隧穿效应
隧穿效应的条件
隧穿效应的条件一、引言隧穿效应是指在量子力学中，粒子能够穿越本应无法通过的势垒或势阱的现象。
这一现象是量子力学的重要基石之一，对于理解微观粒子的行为具有重要意义。
本文将探讨隧穿效应的条件，帮助读者深入理解这一现象。
I. 什么是隧穿效应隧穿效应最早由德国物理学家G. G. M. Scharter在20世纪初提出。
在经典物理学中，粒子只能在势垒或势阱的高处被反射回来，无法穿越。
然而，量子力学告诉我们，波函数可以描述粒子的位置和动量，在势垒或势阱存在的情况下，粒子还是有一定概率穿越的。
二、隧穿效应的条件要发生隧穿效应，需要满足一定的条件。
下面将详细介绍这些条件。
I. 势垒或势阱的存在隧穿效应的第一个条件是存在势垒或势阱。
势垒是一种在空间中存在的能量壁垒，势阱则相反，是一种能量低谷。
在量子力学中，势垒和势阱可以用势能函数来描述。
II. 粒子的能量隧穿效应的第二个条件是粒子的能量。
粒子的能量必须小于势垒的高度，或者大于势阱的深度。
只有在这种情况下，粒子才能通过势垒或势阱的障碍。
III. 波函数的宽度隧穿效应的第三个条件是波函数的宽度。
波函数描述了粒子在空间中的分布情况，其宽度与粒子的动量和不确定性有关。
波函数的宽度越小，粒子的位置确定性越强，隧穿概率越小。
IV. 粒子的质量隧穿效应的第四个条件是粒子的质量。
质量较大的粒子隧穿的概率较小，而质量较小的粒子则相反。
这是因为质量较大的粒子具有较大的动量，其波函数的宽度较小，因此隧穿概率较低。
三、隧穿效应的实际应用隧穿效应在实际中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用领域。
I. 核聚变核聚变是将两个或更多的原子核结合成一个更重的原子核的过程，释放出巨大的能量。
在核聚变过程中，质子和其他原子核需要克服势垒，而隧穿效应提供了这种可能。
II. 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜（STM）是一种使用隧穿效应来观察物体表面的仪器。
利用运动中的电子穿透样品的隧道效应，可以获得非常高的空间分辨率，微观结构可以被观察到。
量子隧穿效应的应用
量子隧穿效应的应用量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中的粒子行为及其相互作用。
隧穿效应是其中的一个重要现象。
隧穿效应指的是一个量子粒子通过一个高于其能量的势垒时，即使经典物理学认为该粒子无法通过该势垒，量子力学反而证明该粒子存在一定的隧穿概率。
这一现象在科学界引起了广泛的关注，并在各个领域得到了应用。
1. 量子隧穿效应在半导体加工中的应用在半导体加工过程中，需要用化学气相沉积或物理气相沉积法在硅片的表面上制备出薄膜。
在这个过程中，需要通过设置一个高于气相压强的势垒来避免气体分子碰撞在硅片表面，但是这个势垒也会阻碍气体分子进入表面。
此时，量子隧穿效应的应用就可以派上用场。
通过量子隧穿效应，气体分子可以穿越势垒并进入硅片表面，从而在硅片上形成薄膜。
2. 量子隧穿效应在扫描隧穿显微镜中的应用扫描隧穿显微镜（STM）是一种高分辨率成像技术，它利用量子隧穿效应来探测样品表面的原子结构。
STM的探头是一个非常锋利的金属针，其末端只有几个原子大小，当离样品表面非常接近时，探头上的电子会透过样品表面的势垒进行隧穿，从而在样品表面上探测到电流信号。
通过分析这些电流信号，可以得到非常高分辨率的原子级别成像效果。
这种技术在物理学、材料科学等领域有着广泛的应用。
3. 量子隧穿效应在量子计算中的应用量子计算是一种利用量子隧穿效应的计算方法。
传统的计算机使用二进制逻辑，即只能表示0和1这两个状态，而量子计算则可以利用量子叠加态和量子纠缠态的特性，同时处理大量不同状态的信息，在算法设计、密码学、大数据管理等方面有着极大的优势。
量子计算机因为其能够同步进行多个运算，加速运算，才得以在核磁共振、超导体等方面应用。
总之，量子隧穿效应是现代科学中一个十分神秘的现象，它在科学技术领域中有着广泛的应用前景，比如在制造、表面物理、化学和电子学等方面有着不可替代的作用。
量子力学中的量子隧穿效应研究
量子力学中的量子隧穿效应研究量子力学是现代物理学中一门重要的学科，它描述了微观世界中的粒子行为。
在量子力学中，有一个引人注目的现象，即量子隧穿效应。
本文将探讨量子隧穿效应的研究。
1. 量子隧穿的基本概念量子隧穿是指粒子在经典力学下无法穿越的势垒时，却能以一定的概率通过势垒的现象。
在经典力学中，粒子需要具备足够的能量才能克服势垒，但在量子力学中，粒子具有波粒二象性，存在概率波函数，因此可以在势垒的两侧出现。
2. 量子隧穿的理论解释量子隧穿现象可以通过薛定谔方程进行解释。
薛定谔方程描述了量子体系的演化，其中包含了波函数及其演化的数学表达式。
通过薛定谔方程，可以计算出粒子在势垒两侧出现的概率。
3. 量子隧穿的实验验证为了验证量子隧穿效应，科学家们进行了一系列的实验。
其中最著名的实验之一是电子隧穿显微镜实验。
在这个实验中，科学家使用了电子束来照射样品，观察电子在样品表面的行为。
实验结果显示，电子可以穿越样品表面，这与经典物理学的预期不符，但与量子力学的预测相符合。
4. 量子隧穿的应用量子隧穿效应在许多领域都有重要的应用。
例如，在半导体器件中，电子通过量子隧穿可以在禁带中传输，从而实现了电子器件的微小化。
此外，量子隧穿还在核聚变、扫描隧道显微镜等领域有着重要的应用。
5. 量子隧穿的研究进展随着科技的进步，对于量子隧穿的研究也在不断深入。
科学家们通过改进实验技术，提高了对量子隧穿现象的观测精度。
同时，理论物理学家们也在不断完善对量子隧穿的理论描述，以更好地解释实验结果。
6. 量子隧穿的挑战与前景尽管量子隧穿现象已经得到了广泛的研究和应用，但仍然存在一些挑战。
例如，量子隧穿的机制仍然不完全清楚，需要进一步的研究来揭示其中的奥秘。
此外，量子隧穿在实际应用中还存在一些限制，需要进一步的技术突破才能实现更广泛的应用。
总结：量子隧穿效应是量子力学中的一个重要现象，它描述了粒子在势垒中的穿越行为。
通过实验和理论研究，我们可以更好地理解和应用量子隧穿现象。
量子力学知识：量子隧穿效应及其应用
量子力学知识：量子隧穿效应及其应用量子隧穿效应是指量子粒子在经典力学禁区中的一种特殊现象，即在经典力学中无法发生的粒子穿过高势垒的现象。
这是因为量子力学中粒子的性质与经典力学不同，在一些情况下，粒子不仅具有粒子性，而且具有波动性。
量子隧穿的出现，表明量子力学确实有自己的独特的特性。
具体地说，量子隧穿效应将一个粒子在能量较低时，即使其能量低于垒的高度，也能通过隧道现象穿过垒进入另一侧。
这就是说，因为经典物理规律并不能解释这种现象，所以才被称作量子力学中的隧穿。
量子隧穿效应不仅是一种稳定的特性，而且还具有广泛的应用价值。
应用最广泛的是电子显微镜中的隧道电镜，以及量子计算机中的隧穿二极管。
在这些应用中，量子力学的隧穿效应使得高能量粒子在没有能量损失的情况下穿过障碍物，实现了一些技术难题的解决。
一、隧道电镜隧道电镜是通过采用电子束和标本间的隧道现象进行成像的一种高分辨率显微技术。
它使用精密的控制系统来保持电子束的稳定，使得电子束的能量低于输运能垒，从而产生电子隧道。
这样能够将图像取代光学透镜中的集中成像方式直接反映在数字传感器上，从而实现成像，并能够获得非常高的成像分辨率。
与光学显微镜相比，隧道电镜可以在非常小的标本中看到非常显著的细节。
它的开发改变了材料科学的面貌，为现代纳米材料制备和研究提供了一种至关重要的工具。
二、隧穿二极管隧穿二极管是一种基于隧穿效应的电子元件，可以实现高速低功耗的数字电路，其构造简单、生产成本低廉。
它是一种结构紧凑的半导体器件，在许多量子器件中有广泛的应用。
隧穿二极管具有优异的电学特性，主要是由于隧道效应引起。
隧道效应意味着能量足够低的电子穿过半导体能带缺口，并形成隧道流。
这些特性使其在微电子计算机和半导体器件的制造中得到广泛的应用。
隧穿二极管的不断优化，已经成功地实现了单个量子隧穿晶体管，更高级别的视觉处理器和压缩计算的实现。
结语在今天的科技发展中，量子隧穿效应的价值和应用不断得到证实，为探索新领域和新技术提供了可能性。
物理学中量子隧穿效应的研究
物理学中量子隧穿效应的研究量子隧穿效应是量子物理学中的一个重要现象，它发生在系统被过阻尼的时候。
简单的说，隧穿就是指一个粒子能够穿过一个势垒而不被反弹回去的现象。
这个现象在经典物理学中是无法解释的，因为在经典物理学中，认为所有粒子都要以某一种速度来反弹回物体表面。
量子隧穿效应对于半导体器件中的电子传输和核聚变等物理现象的理解有重要作用。
本文将通过对量子隧穿效应的研究，探讨物理学的未来和科技的发展。
一、基本原理量子隧穿效应是一种不可逆的现象，它发生的根本原因是波粒二象性。
在一些物理系统中，粒子不再像经典物理系统中以一定的能量和角动量旋转，因为这些角动量都是量子化的。
因此，一个粒子的波函数贡献可以隧穿到离它很远的区域内。
通俗的说，粒子跨越离它很远的势垒，是因为它在其中存在的不确定性和量子湍流。
二、应用1. 半导体器件在半导体器件中，电子的能量非常低，因此，电子可能会被位于器件表面的电荷阻挡，不允许它们通过。
但是，因为量子隧穿效应的存在，电子仍有可能通过这个势垒，产生隧穿。
这种现象是许多半导体器件的基础，例如电子隧穿二极管（ESD）和隧穿场效应晶体管（TFET）等。
2. 核聚变在核聚变中，原子核隧穿通过具有高能量的势垒可被认为是限制核聚变的主要过程之一。
量子隧穿效应在核聚变中的应用非常广泛，因为核聚变需要非常高的温度和压力。
因此，它需要以量子隧穿的方式来穿过势垒以获得更高的能量和速度。
三、未来展望量子隧穿现象是许多物理学研究的基础，它为未来的科技发展带来了无限的可能性。
目前，研究人员正在尝试创建一种新的“量子隧穿计算机”，这种计算机可以通过穿过算法所需的极难的数学势垒来进行超快的计算。
此外，研究人员也在探究量子隧穿效应在扫描隧道显微镜和芯片制造方面的应用。
这种技术将使芯片制造商可以在不损坏芯片的情况下进行更快，更准确的检测，从而提高芯片制造过程的效率。
总的来说，量子隧穿效应是目前物理学中的一个重要话题，它已经被证明在诸多领域中具有重要的应用价值。
量子隧穿效应
量子隧穿效应量子隧穿效应是量子力学中的重要概念，它揭示了微观世界中粒子的一种特殊行为。
本文将介绍量子隧穿效应的基本原理、实验观测以及其在科学研究和应用中的重要性。
一、基本原理量子隧穿效应是指在势垒下，粒子出现在经典力学不允许的区域的现象。
在经典力学中，当一个粒子碰到一个高于其能量的势垒时，根据经典物理定律，该粒子将被反弹或被阻挡。
然而，根据量子力学的原理，粒子具有波粒二象性，它们可以在势垒下出现在经典禁区。
量子隧穿效应的产生是基于不确定性原理的结果。
根据不确定性原理，我们无法准确知道粒子的位置和动量，只能通过波函数的概率分布来描述。
当粒子遇到势垒时，其波函数会透过势垒，有一定的概率出现在势垒的另一侧。
二、实验观测量子隧穿效应的实验观测是通过一系列精确的实验验证来证实的。
其中最常见的实验是扫描隧穿显微镜实验（STM）。
STM利用隧穿效应的原理，通过在表面扫描探测针和样品之间的隧穿电流来观测各种材料的表面形貌和表面物理性质。
除了STM，科学家还通过其他实验方法观测到了量子隧穿效应，如透射电子显微镜实验（TEM）、穿隧电流实验等。
这些实验的成功观测为量子隧穿效应的研究提供了有力的证据和实验数据。
三、重要性和应用量子隧穿效应在科学研究和技术应用中具有重要的意义和广泛的应用。
1. 量子力学研究：量子隧穿效应是研究量子力学现象的重要基础之一。
通过对量子隧穿效应的研究，科学家们可以更深入地了解量子世界的特性，揭示物质微观行为的奥秘。
2. 纳米科技：量子隧穿效应在纳米科技中有广泛的应用。
通过利用隧穿效应，科学家们可以实现纳米尺度下的电子输运、磁性材料的纳米磁性调控、纳米尺度下的电子器件等。
3. 核聚变：量子隧穿效应在核聚变反应中发挥了重要作用。
在核聚变过程中，氢原子核需要克服库仑势垒才能进行聚变，而隧穿效应则为氢原子核的聚变提供了可能。
4. 导电性和热传导：通过量子隧穿效应，电子可以透过势垒，并在导电材料中传输。
量子隧穿效应 - 维基百科,自由的百科全书
有科学家认为，化学反应中的量子隧穿效应是宇宙中众多有机分子得以合成的基础，也有可能是合成早期 生命所需的有机化合物的重要机制。外太空中，温度极低，并且存在着大量的氢元素和氦元素，和大量 的甲醛分子作合成原料，这些因素，都有利于量子隧穿效应的发生。通过很多类似的反应，可以由简单的 无机原料，突破传统化学反应的禁阻，合成很多复杂的有机化合物。这些有机分子很可能与生命起源有重 要关联。
目录
1 入门概念 2 隧穿效应的例子 3 历史 4 数学推导 5 量子隧穿效应明显的化学反应 6 参阅 7 参考文献
入门概念
这些"类似隧穿现象"发生的尺寸与行进波的波长有关。对于电子来说， 2 型介质区域的厚度通常只有 几纳米。相比之下，对于一个隧穿出原子核的阿尔法粒子来说，厚度会是超小；对于光波来说，虽然 2 型介质区域的厚度超大，类似现象仍旧会发生。
电子波包遇到位势垒而产生的反射 和隧穿效应。往位势垒的左边移动 的明亮圆盘是波包的反射部分。暗 淡的圆盘可以被观察到往位势垒的 右边移动，是波包穿过位势垒的很 微小的一部分。这是经典力学所不 允许的。顺便注意入射波与反射 波，因为叠加，而产生的干涉条 纹。
这里所研讨的现象通常称为量子隧穿效应或粒子隧穿效应。但是，隧穿理论注重的是粒子在波动方面的物 理行为，而不是关于粒子能级方面的效应。因此，有些作者比较喜欢称这现象为波动隧穿效应
同时期，Ronald Gurney 和 Edward Condon 也独立地研究出阿尔法衰变的量子隧穿效应。不久，两组 科学队伍都开始研究粒子穿透入原子核的可能性。
量子隧穿理论也被应用在其它领域，像电子的冷发射 (cold emission)、半导体物理学、超导体物理 学等等。快闪存储器的运作原理牵涉到量子隧穿理论。超大型集成电路 (VLSI integrated circuit) 的一个严峻的问题就是电流泄漏。这会造成相当大的电力流失和过热效应。
隧穿效应资料
隧穿效应
隧穿效应是一种量子力学现象，描述了微观粒子能够通过经典物理学中无法透过的障碍物的现象。
这种现象的发现在理解微观世界中的基本粒子行为中发挥着重要作用。
量子隧穿效应的基本原理
在经典物理学中，粒子被认为必须具有足够的能量才能克服障碍物。
例如，一个足够小的物体将无法通过较高的墙壁。
但在量子力学中，粒子的行为却具有一种奇特性质：即使其量子状态无法在经典物理学中突破障碍物，也能够通过“隧穿”到达目的地。
隧穿效应的应用
隧穿效应在许多领域都有广泛应用。
在半导体器件中，隧穿效应用于隧穿二极管的设计，使得器件在低功耗和高速度方面具有很高的性能。
此外，隧穿效应还被用于扫描隧道显微镜和量子点器件中。
隧穿效应的解释
量子力学通常通过薛定谔方程来解释隧穿效应。
粒子处于波函数的状态，其波函数在障碍物后面不为零，因此存在一定概率穿过障碍物。
这一概率取决于障碍物的高度和宽度以及粒子的波长，当这些条件满足时，隧穿效应就会发生。
小结
总的来说，隧穿效应是量子力学中一个重要且神秘的现象，它推翻了经典物理学对粒子行为的传统认识。
隧穿效应的发现给人们带来了更深入理解微观世界的机会，同时也为现代科学技术的发展带来了重要的应用价值。
隧穿磁阻效应 巨磁阻效应
隧穿磁阻效应巨磁阻效应隧穿磁阻效应（TMR）和巨磁阻效应（GMR）是当今磁性材料研究领域的热点话题。
这两种效应在信息存储、传感、计算和通信等领域有着重要应用，其原理和性能对于进一步发展高性能磁性材料具有重要的指导意义。
首先来介绍一下隧穿磁阻效应。
隧穿磁阻效应是指在磁隧道结构中，电子通过磁隧道隧道结构时，由于自旋极化效应导致电阻发生变化的现象。
简单来说，当电子通过两个磁性电极之间的绝缘层时，自旋方向与电子传输方向相同的电子会比相反方向的电子更容易通过磁隧道隧道结构，从而引起电阻变化。
这种效应的提出，对于磁性存储器的发展起到了至关重要的作用。
而巨磁阻效应是由两个平行排列的磁性层之间的电子自旋极化引起的磁阻变化。
当两个磁性层的磁化方向平行时，电子传输更为顺利，电阻较低；当两个磁性层的磁化方向反平行时，电子传输受到阻碍，电阻增加。
这种效应通常在磁性多层膜结构中观察到，并且在磁头、传感器、读取头等设备中得到广泛应用。
这两种效应的发现和应用，推动了信息技术的快速发展。
例如，磁性存储器中的磁存储单元可以通过感知电流通过磁阻变化来记录和读取信息。
这样的存储器具有高速、非易失性和密度高等特点，已经成为现代计算机存储器的重要组成部分。
此外，TMR和GMR也用于传感器的制造。
传感器是一种将物理量转化为电信号的装置，广泛应用于汽车、医疗、环境监测等领域。
通过利用磁性材料的TMR和GMR效应，可以制造高灵敏度、高精度的传感器，如磁传感器、压力传感器和温度传感器等。
这些传感器的应用不仅提高了产品的性能，还能够使得生活更加智能和便利。
最后，TMR和GMR研究的进展，对于磁性材料的制备和应用有着重要的指导作用。
研究人员通过改变材料的成分、结构和处理方法等，不断提高TMR和GMR效应的性能。
这对于开发更加高效、可靠的磁性材料具有重要意义。
此外，TMR和GMR的相互作用也值得深入探究，以进一步理解磁性材料的微观机制和性能。
这对于材料科学的发展和新材料的开发有着重要的启示和意义。
量子输运中的电子隧穿效应
量子输运中的电子隧穿效应引言：量子输运是指在纳米尺度下，电子在材料中的输运过程。
在这个尺度下，经典物理学的规律不再适用，而需要引入量子力学的概念和理论来解释和描述。
在量子输运中，电子隧穿效应是一个非常重要的现象，它在纳米器件的设计和制造中起着关键作用。
本文将深入探讨量子输运中的电子隧穿效应，包括其原理、影响因素以及应用。
一、电子隧穿效应的原理电子隧穿效应是指电子能够穿越一个高电位区域，进入一个低电位区域的现象。
在经典物理学中，电子是不能穿越高电位能垒的，因为它们没有足够的能量。
然而，在量子力学中，电子存在波粒二象性，具有波动性质。
根据量子力学的原理，波函数可以渗透到势垒之外的区域，因此电子也可以通过隧穿效应穿越势垒。
二、电子隧穿效应的影响因素1. 势垒高度：势垒的高度决定了电子隧穿的难度。
势垒越高，电子穿越的概率越低，需要更高的能量。
因此，选择合适的材料和结构设计，以控制势垒的高度，对于实现有效的电子隧穿是至关重要的。
2. 势垒宽度：势垒的宽度也会影响电子隧穿的概率。
势垒越宽，电子穿越的概率越低。
因此，在设计纳米器件时，需要考虑势垒的宽度，以实现所需的电子隧穿效应。
3. 温度：温度对电子隧穿效应有显著影响。
随着温度的升高，电子的能量也会增加，从而增加了电子穿越势垒的概率。
因此，在实际应用中，需要考虑温度对电子隧穿效应的影响，并进行合理的温度控制。
三、电子隧穿效应的应用1. 纳米器件：电子隧穿效应在纳米器件的设计和制造中起着重要作用。
通过控制势垒的高度和宽度，可以实现电子在纳米尺度下的输运和操控，从而实现更高效、更小尺寸的器件。
2. 量子计算：电子隧穿效应在量子计算中也有广泛应用。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，其基本单位是量子比特（qubit）。
通过利用电子隧穿效应，可以实现量子比特之间的信息传递和操作，从而实现更强大的计算能力。
3. 量子通信：电子隧穿效应在量子通信中也扮演着重要的角色。
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同理得反射系数：
2 2 2 J R | A |2 ( k1 k2 ) si n2 k2a R 2 2 2 2 2 2 JI | A| ( k1 k2 ) si n2 k2a 4k1 k2
由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 x > a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。
A
2i (k 12 k 22 ) sin k 2 a (k1 k 2 ) e
2 ik2 a
(k1 k 2 ) e
2 ik2 a
A
于是透射系数为:
2 J D | C |2 4k12 k2 D 2 2 2 2 2 JI | A| ( k1 k2 ) sin2 k2a 4k12 k2
§9 势垒贯穿
(一）引言 （二）方程求解 （三）讨论
（四入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下：
V0 V ( x) 0
0 xa x 0, xa
E
I 0 V(x) V0 II a III
现在的问题是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。
透射系数 则变为：
因为
k1 k3
即势垒既宽又高，于是 ：e k3a e k3a , 则 sinh 2 ( k 3a )
(e
1 2
k 3a
2 k 3a e k3a ) 1 e 4
2
2 4k12 k3 4 D 2 k3 2 2 k 3a 2 2 1 2 k 3a 2 1 k1 (k1 k3 ) 4 e 4k12 k3 [ 4 4 k3 k1 ] e
ik2 Be ik2a ik2 Be ik2a ik1Ce ik1a
A B B A ik2a ik2 a ik1a Be B e Ce 0 k1 A k 2 B k 2 B k1 A k Be ik2a k Be ik2a k Ce ik1a 0 2 1 2
为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。
II 反射系数： 反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数 R = JR/JI
下面求
其物理意义是：描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂 直 x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的 I 区）在 单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比。
k3 k1
必大于 1 ,
且当
k 3 a 1
时，e 2 k 3a 4
故4可略
于是：
D
16 2 k 3a e k3 2 k1 [k k1 ] 3
D0e
2 k3a
D0e
2a 2 (V0 E )
D0
粗略估计，认为 k1 ≈ k3 （相当于E ≈V0/2）, 下面通过实例来说明透射系数 的量级大小。
1 Ae ik1 x A e ik1 x ik x ik x 2 Be 2 Be 2 ik1 x ik1 x Ce C e 3
波函数意义
定态波函数ψ1,ψ2,ψ3 分别乘以含时因子 exp[-iEt/] 即可看出：
式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传播的平面波。由于在 x > a 的III 区没有 反射波，所以 C'=0，于是解为：
3. 求解线性方程组
求解方程组得:
A B B A ik2a Be ik2a Ce ik1a 0 Be k1 A k 2 B k 2 B k1 A k Be ik2a k Be ik2a k Ce ik1a 0 2 1 2
（2）E < V0情况
因 k2=[2μ(E-V0)/ ]1/2，当 E < V0 时，k2 是虚数，
故可令： k2=ik3， 其中k3=[2μ(V0-E)/ ]1/2。 这样把前面公式中的 k2 换成 ik3 并注意到： sin ik3a = i sinh k3a
2 4k12 k3 D 2 2 2 2 2 (k1 k3 ) sinh k3a 4k12 k3 2 2 2 ( k12 k3 ) sinh k3a R 2 2 2 2 2 (k1 k3 ) sinh k3a 4k12 k3
反射波ψ= A’exp[-ik1x]， 所以反射波几率流密度： 对透射波ψ= Cexp[ik1x]， 所以透射波几率流密度：
JR
其中负号表示与入 射波方向相反。
J
i [ d 2 dx
k1
| A'|2
JD
k1
| C |2
d ] dx
4k1k 2e ik1a C A 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
x a: 2 (a ) 3 (a ) Be ik2a Be ik2a Ce ik1a
综合 整理 记之
x 0: 1 ' (0) 2 ' (0) ik1 A ik1 A ik2 B ik2 B
x a:
2 ' (a ) 3 ' (a )
因为 E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程可改写为：
k 2 0 1 1 1 2 2 k2 2 0 2 3 k1 3 0
解得：
x0 0 xa xa I 区 II 区 III 区
E (V0 E ) 16 16 k3 2 2 k1 V [k ] 0 k1 3
则 D0 = 4是一常数。
1 Ae ik1 x A e ik1 x ik x ik x 2 Be 2 Be 2 ik1 x Ce 3 1. 波函数连续
利用波函数标准条件来定系数。 首先， 解单值、有限条件满足。
2. 波函数导数连续
x 0:
1 (0) 2 (0) A A B B
D 和 R
几率流密度矢量：
对一维定态问题，J 与 时间无关，所以入射波 Ψ = Aexp[ik1x] ψ* = A* exp[-ik1x]
J J
i 2
[ ]
i 2
[
d dx
d dx
]
则入射波几率流密度
i k1 ik1 x d ik1 x ik1 x ik1 x d JI [ Ae Ae Ae Ae | A |2 2 dx dx
即使 E < V0，在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。
V(x)
入射波+反射波
V0
透射波
隧道效应
0
a
x
（tunnel effect） 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它 是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现 象只在一定条件下才比较显著。下图给出了势 垒穿透的波动图象。
（三）讨论
（1）当k3a >> 1时
（二）方程求解
上述三个区域的 Schrodinger 方程可写为：
（1）E > V0 情况
2 令：k1 2 k2 2 E 2 2 ( E V0 ) 2
2 E 0 x0 1 2 1 2 0 xa 2 2 [ E V0 ] 2 0 3 22E 3 0 xa
2 2i ( k 12 k2 ) sin k2a
C
4k1k2e A 2 ik2a 2 ik2 a ( k1 k2 ) e ( k1 k2 ) e
ik1a
A
( k1 k2 ) e
2
ik2a
( k1 k2 ) e
2
ik2 a
A
4. 透射系数和反射系数
I 透射系数： 透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数 D = JD/JI