考研数学三(无穷级数)模拟试卷1(题后含答案及解析)
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三模试题及答案
考研数学三模试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 已知函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性3. 设曲线C：y^2 = 4x与直线l：x = 2 + t，y = 3 - 2t相切，则实数t的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 + 1，若f[g(x)] = 9x^2 - 6x，则x的取值范围是：A. x > 1B. x < 1C. x > 0D. x < 05-10. （略，类似结构）二、填空题（每题4分，共24分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上的最大值为M，则M的值为________。
12. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，其前n项和为S_n，则S_5的值为________。
13. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| =________。
14. 设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，且过点(1, √3)，则a的值为________。
15-16. （略，类似结构）三、解答题（共40分）17. （12分）设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 3，证明对于任意的m，n ∈ [a, b]，都有∫[a, b] f(x) dx ≥(1/(b-a)) * (m - n)^2。
18. （14分）已知某工厂生产商品x件的总成本为C(x) = 2000 +50x，销售每件商品的收入为p(x) = 110x - x^2，求该工厂的月利润最大值。
2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学三)
2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学三）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)已知函数(,)ln(sin )f x y y x y =+，则()(A)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂不存在，存在(B)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂存在，不存在(C)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂，均存在(D)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂，均不存在(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩的原函数为()(A)),0()(1)cos sin ,0x x F x x x xx ⎧⎪-≤=⎨+->⎪⎩(B))+1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧⎪-≤=⎨+->⎪⎩(C)),0()(1)sin cos ,0x x F x x xx x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩(D))+1,0()(1)sin +cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+>⎪⎩(3)已知微分方程式0y ay by '''++=的解在(,)-∞∞上有界，则()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(4)已知(1,2,)n n a b n <=L ，若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“级数1nn b∞=∑绝对收敛”的()(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(5)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)***0*A B B A B A ⎛-⎫⎪⎝⎭(B)***0*B A A B A B ⎛-⎫⎪⎝⎭(C)***0*B A B A A B ⎛-⎫⎪⎝⎭(D)***0*A B A B B A ⎛-⎫⎪⎝⎭(6)二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(7)已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由与12,ββ线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(8)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX -=()(A)1e(B)12(C)2e(D)1(9)设12,,,n X X X L 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y L 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111(1n i i S X X n ==--∑，22211(1mi i S Y Y m ==--∑，则()(A)2122(,)S F n m S :(B)2122(1,1)S F n m S --:(C)21222(,)S F n m S :(D)21222(1,1)S F n m S --:(10)设12,X X 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，其中()0σσ>是未知参数，记12ˆa x x σ=-，若()ˆE σσ=，则a =()(A)2(B)2(C)(D)二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)2_11l _im o ____(2si s __nc x x x x x→∞--=.(12)已知函数os p 满足22(,)xdy ydx df x y x y -=+,()1,14f π=,则)f =.(13)()2n=02!nx n ∞=∑.(14)设某公司在t 时刻的资产为()f t ，从0时刻到t 时刻的平均资产等于()f t t t-.假设()f t 连续且()00f =，则()f t =.(15)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a=,则11120a a ab =.(16)设随机变量X 与Y 相互独立，且()1,X B p :，()2,Y B p :，(0,1)p ∈,则X Y +与X Y -的相关系数为.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)已知可导函数()y y x =满足2ln(1)cos 0,xae y y x y b ++-++=且(0)0,(0)0y y '==.（Ⅰ）求,a b 的值.（Ⅱ）判断0x =是否为()y x 的极值点.(18)（12分）已知平面区域(),01D x y y x ⎧⎫⎪⎪=≤≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭（Ⅰ）求D 的面积.（Ⅱ）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(19)（12分）已知平面区域22{(,)(1)1}D x y x y =-+≤，计算二重积分1Ddxdy .(20)（12分）设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续倒数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a.(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(21)（12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232--x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求A .(II)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .(22)（12分）设随机变量X 的概率密度为2(),,(1)xx e f x x e =-<<+∞+∞令.x Y e =（Ⅰ）求X 的分布函数（Ⅱ）求Y 的概率密度（Ⅲ）Y 的期望是否存在？2023年答案及解析（数学三）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(A)【解析】(0,1)0=f ，由偏导数的定义000(0,1)ln(1sin1)(,1)(0,1)lim lim sin1lim →→→+∂-===∂x x x x x f f x f x x xx ，因为0lim 1+→=x x x，0lim 1-→=-x x x ，所以(0,1)∂∂fx 不存在，111(0,1)(0,)(0,1)ln 1lim lim lim 1111→→→∂--====∂---y y y f f y f y y y y y y ，所以(0,1)∂∂fy 存在.(2)【答案】(D)【解析】当0≤x时，1()ln(==+⎰f x dx x C 当0>x 时，()(1)cos (1)sin (1)sin sin =+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos =+++x x x C 原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处110lim ln(-→++=x x C C ，22lim(1)sin cos 1+→+++=+x x x x C C 所以121=+C C ，令2=C C ，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos ,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C x f x dx x x x C x ，结合选项，令0=C ，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos ,0⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩x x F x x x x x (3)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by 的特征方程为20++=a b λλ，当240∆=->a b 时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212--=+xx y C eC e λλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b 时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b时，特征方程的根为1,222=-±a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+a x y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (4)【答案】(A)【解析】由条件知1()nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法，得1nn b∞=∑绝对收敛；设1nn b∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.(5)【答案】(B)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(B)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**B A EOB A E A B A B A B E OA B E OA B E ⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故(B)正确.(6)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(7)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈(8)【答案】(C)【解析】法一：由题可知1EX =，所以1,0||1,1,2,X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩L，故，1||1{0}(1){}k E X EX P X k P X k ∞=-=⋅=+-=∑01(1){}(01){0}k k P X k P X e ∞==+-=--=∑112(1)(01)E X e e e=+---=，选（C ）法二：随机变量X 服从参数为1泊松分布，即()()110,1,2,...!P X k e k k -===期望()1E X =()()()()111111111101...1..0!1!2!!E X E X E X e e k e k -----=-=⋅+⋅+⋅++-⋅+()()111111112222211111!!!1!!k k k k k k e k e e e e e e e k k k k k ∞∞∞∞∞--------======+-⋅=+-=+--∑∑∑∑∑()()11111112e e e e e e ----=+----=选(C).(9)【答案】(D)【解析】12,,...,n X X X 的样本方差()221111n i i S X Xn ==--∑12,,...,n Y Y Y 的样本方差()222111mi i S Y Y m ==--∑则()()221211n S n χσ--:()()2222112m S m χσ--:，两个样本相互独立所以()()()()()21222211222212221121,11212n S n S S F n m m S S S m σσσσ--==----:选择(D).(10)【答案】(A)【解析】由题可知212~(0,2)X X N σ-.令12Y X X =-，则Y 的概率密度为2222()y f y σ-⋅=.22222240(||)||y y E Y y dy yedy σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰⎰，12(||)(||)E a X X aE Y -==.由ˆ()E σσ=，得2a =.选(A).二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】23.【解析】2233221111111lim (2sincos 2(())(1())62x x x x x x x x x x x x οο→∞⎡⎤--=--+--+⎢⎥⎣⎦22221112(623x x xx ο⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.(12)【答案】3π.【解析】由题意可得22(,),x y f x y x y -'=+则1(,)arctan ()arctan ()x xf x y y c y c y y y y=-⋅⋅+=-+,又因为22(,)y x f x y x y '=+可得()c y c '=，由(1,1)4f π=可得2c π=，即(,)arctan 2xf x y y π=-+，即3f π=.(13)【答案】1122x xe e -+【解析】令20()(2)!n n x s x n ∞==∑,则211()(21)!n n x s x n -∞='=-∑,22210()()(22)!(2)!n nn n x x s x s x n n -∞∞==''===-∑∑.即有()()0s x s x ''-=,解得12()x x s x C e C e -=+.又由(0)1,(0)0s s '==有121C C +=,120C C -=,解得1212C C ==.故11()22x x s x e e -=+.(14)【答案】222te t --【解析】由题意可得方程()()tf x dx f t t tt=-⎰，即20()()t f x dx f t t =-⎰.两边同时t 对求导得()()2f t f t t '=-,即()()2f t f t t '-=.由一阶线性微分方程通解公式有：11()2dt dtf t e te dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰()2tte tedt C-=+⎰()22t te t e C -⎡⎤=-++⎣⎦22t Ce t =--.又由于(0)0f =,则20C -=，即2C =.故()222tf t e t =--.(15)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.(16)【答案】13-【解析】因为()1,X B p ~，所以(1)DX p p =-.因为()2,Y B p ~，所以2(1)DY p p =-.ov(,)ov(,)ov(,)C X Y X Y C X Y X C X Y Y +-=+-+ov(,)ov(,)ov(,)ov(,)C X X C Y X C X Y C Y Y =+--(1)2(1)(1)DX DY p p p p p p =-=---=--因为X 与Y 相互独立,所以()3(1)D X Y DX DY p p +=+=-,()3(1)D X Y DX DY p p -=+=-故13ρ==-三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】（1）在题设方程两边同时对x 求导得，cos 2ln(1)sin 01x yae y y y x y y x'''+⋅+-++⋅⋅=+①将0x =，0y =代入题设方程得，0a b +=；将0x =，0y =，(0)0y '=代入①式得，10a -=综上：1a =，1b =-.（2）在等式①两边再对x 求导得，()22sin (1)cos 2()2ln(1)sin 0(1)x y y x yae y y y y x y y x '-⋅⋅+-'''''''++⋅+-++⋅⋅=+②将0x =，0y =，(0)0y '=代入②式得，(0)12y a ''=--=-.由于(0)0y '=，(0)2y ''=-，故0x =是()y x 的极大值点.(18)【解析】（1）面积2tan 2221444sec csc ln csc cot ln(1tan sec x ttS dt tdt t tt t ππππππ=+∞====-=+⋅⎰⎰⎰.（2）旋转体体积为2222211111111arctan (1)(1)14x V y dx dx dx x x x x x x ππππππ+∞+∞+∞+∞⎛⎫⎛⎫===-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰.(19)【解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进行计算：σσσσσd y x d y x d y x d y x d y x D D D D D D D 1212121213213212222222222-+++-++-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++分别采用极坐标进行计算：18613)1(13010221ππθσπ=⋅=-=+-⎰⎰⎰⎰dr r r d d y x D 3439166cos 38cos 2)1(1233223cos 20222+-=-=-=+-⎰⎰⎰⎰⎰ππππθπθθθθσd dr r r d d y x D 18334361cos 2cos 38)1(1302330cos 21223ππθθθθσππθ+-=+-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰d dr r r d d y x D 所以：33932121212132122222222++-=-+++-++-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πσσσσd y x d y x d y x d y x D D D D (20)【解析】（1）证明：22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,a a ξηη∈⊂-，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()2()(),f a f a a f ξ''+-=即()2()()f a f a f aξ+-''=.（2）证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x aγγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max ,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a a η''≥--(21)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)Tα=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(22)【解析】（I ）21(),(1)11xx x x x x x e e F x dx x R e e e -∞-∞==-=∈+++⎰（II ）【法一】分布函数法(){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时，()0Y F y =；当0y ≥时，(){ln }(ln )1Y y F y P X y F y y=≤==+；所以Y 的概率密度为21,0(1)()0,Y y y f y ⎧>⎪+=⎨⎪⎩其他.【法二】公式法因为xy e =在(,)-∞+∞上单调且处处可导，当(,)x ∈-∞+∞，0y >，此时ln x y =，所以Y 的概率密度为ln 2ln 211,0,0(ln )(ln ),0(1)()(1)0,0,0,y y Y e y y f y y y y f y e y ⎧⎧>'⋅>>⎧⎪⎪+===+⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩其他其他其他.（III ）2001ln(1)(1)1y EY dy y y y +∞+∞⎛⎫==++=∞ ⎪++⎝⎭⎰，所以不存在.。
考研数学三试题讲解及答案
考研数学三试题讲解及答案模拟试题：考研数学三一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于：A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. e^(-λ) * λ^k / k!D. e^(-λ) * k * λ^k3. 对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)的下列性质中，错误的是：A. f(x) ≥ 0B. ∫[-∞, +∞] f(x) dx = 1C. P(a < X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dxD. E(X) = ∫[-∞, +∞] x * f(x) dx4. 设矩阵A为n阶可逆矩阵，且B=2A，则矩阵B的行列式|B|等于：A. |A|B. 2 * |A|C. 4 * |A|D. 2^n * |A|5. 设曲线C1: y = x^2 和曲线C2: y = 1/x 在它们交点处的切线方程分别为l1和l2，若l1与l2关于y轴对称，则交点的横坐标为：A. 1B. -1C. 2D. -26. 已知函数F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，其中f(x)为连续函数，则F(x)是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 常数函数D. 既不是单调递增也不是单调递减函数7. 设数列{an}满足an+1 = 1/3an + 2/3，证明数列{an}是单调递增数列，需要使用：A. 作差法B. 作商法C. 定义法D. 放缩法8. 对于函数y = ln(cos x)，在区间(0, π/2)内：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增9. 设f(x)在区间[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，都有f(x) ≥ 1/x，则：A. f(x)在[a, b]上一定存在零点B. f(x)在[a, b]上一定存在最大值C. f(x)在[a, b]上一定存在最小值D. f(x)在[a, b]上不一定存在最小值10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，当x > 1时，f(x)的最小值是：A. -2B. 0C. 2D. 3答案：1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. A8. B9. C10. A二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 6，当x ∈ [1, +∞)时，f(x)的最大值是________。
考研数3试题及答案
考研数3试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的函数是（）。
A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于（）。
A. λ^k / k!B. e^(-λ) * λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. k * e^(-λ) * λ^(k-1)3. 以下哪个选项是利用导数定义的极限形式（）。
A. lim (x->0) [sin(x)/x]B. lim (x->0) [tan(x)/x]C. lim (x->0) [1 - cos(x)]/x^2D. lim (x->0) [x/sinx]4. 设函数f(x)在点x=a处可导，那么f'(a)等于（）。
A. lim (h->0) [f(a+h) - f(a)]/hB. lim (h->0) [f(a) - f(a-h)]/hC. lim (h->0) [f(a+h) - f(a-h)]/2hD. lim (h->0) [f(a+2h) - f(a)]/2h5-10. （略，类似结构的选择题）二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在x=1处取得极小值，则f'(1)等于_________。
12. 设等比数列的首项a1=2，公比q=3，那么该数列的第5项a5等于_________。
13. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x上点P(2,8)的切线斜率k等于_________。
14. 一个工厂有5台机器，其中3台机器运行正常，2台机器出现故障，那么从这5台机器中随机抽取2台，恰好抽到1台正常和1台故障机器的概率为_________。
15. 从1到100的整数中随机抽取一个数，这个数是3的倍数的概率为_________。
2023年考研数学三真题及答案解析
（1）若
f
0
0 ，则存在
a, a ，使得
f
1 a2
f
a
f
a
.
（2）若 f x 在 a, a 内取得极值，则存在 a, a ，使得
f
1 2a2
f a f a .
21.（本题满分 12 分）
x1 x1 x2 x3
设矩阵
Α
满足对任意
x1,
x2
,
x3
均有
A
x2
2
x1
x2
x3
1
7.D.
k
5
,
k
R
8
8.C. 2 e
9.D.
2S12 S22
~
F n 1, m 1
10.A.
2
二、填空题
2
11. .
3 14. 2et 2t 2 .
三、解答题
12. .
3 15. 8 .
13. 1 (ex ex ) . 2
16. 1 . 3
17.（1） a 1, b 1 .（2） x 0 是 y(x) 的极大值点.
1
, x 1 .
x x2 1
（1）求 D 的面积；
（2）求 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.
19.（本题满分 12 分）
已知平面区域 D (x, y) (x 1)2 y2 1 ，计算二重积分 x2 y2 1dxdy .
D
20.（本题满分 12 分）
已知 f x 在a, a上具有二阶连续导数.证明：
x3 0, ax3 0,
ax1 bx2 2
有解，其中
a,b
为常数，若
a 1 1
0 a 2
考研数学三试题及答案
考研数学三试题及答案考研数学三模拟试题一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母标号涂在答题卡上。
）1. 设函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则方程 \( f(x) = 0 \) 的实根个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \) 的值是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 23. 设 \( A \) 和 \( B \) 是两个事件，若 \( P(A) = 0.4 \)，\( P(B) = 0.5 \)，且 \( A \) 与 \( B \) 互斥，则 \( P(A \cup B) \) 等于（）。
A. 0.4B. 0.5C. 0.9D. 0.84. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限内的围成图形的面积是（）。
A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( \frac{4}{3} \)5. 设 \( a \)、\( b \)、\( c \) 是互不相等的实数，若 \( ax^3+ bx^2 + cx + 1 = 0 \) 有三个实根 \( x_1 \)，\( x_2 \)，\( x_3 \)，则 \( (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 \) 的值为（）。
A. \( -\frac{b}{a} \)B. \( -\frac{c}{a} \)C. \( -\frac{b^2}{a} \)D. \( -\frac{c^2}{a} \)二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请在每小题的答题位置直接填写答案。
考研数学三经济ch8各章复习题目及答案
考研数学三经济ch8各章复习题目及答案第八章无穷级数一. 填空题(1) 设有级数∑∞=??? ??+121n nn x a , 若31lim 1=+∞→n n n a a , 则该级数的收敛半径为______. 解. 收敛半径R =3222||lim 11=++∞→n n n n n a . 答案为32.(2) 幂级数∑∞=--+112)3(2n n nn x n 的收敛半径为______. 解. 13||)3(2)3(21lim 2121211<=-+-++-+++∞→x xn x n n nn n n n n , 所以3||<="">(3) 幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛区间为______. 解. 11121limlim1=++=∞→+∞→n n a a n nn n , 所以收敛半径为1. 当x = 1时, 得级数∑∞=+111n n 发散, 当x = －1时, 得级数∑∞=+-11)1(n nn 收敛. 于是收敛区域为[－1, 1).(4) 幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为______.解. 21212)1(1lim lim11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a , 所以收敛半径为2. 当x = 2时, 得级数∑∞=121n n 发散, 当x = －2时, 得级数∑∞=--112)1(n n n 收敛. 于是收敛区域为[－2, 2).(5) 幂级数∑∞=-1)1(n nxn 的和函数为______.解.∑∑∑∞=∞=--∞=-=??? ??-=??=-=-222'2'212221)1(1)1()1(n n n n n nx x x x x x x xn xxn . 该等式在(－1, 1)中成立. 当x = ±1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以221)1()1(x x x n n n-=-∑∞=, (－1, 1).二. 单项选择题(1) 设∑∞==>1),2,1(0n n n a n a ，且收敛, 常数)2,0(πλ∈, 则级数∑∞=-12)tan ()1(n n n a n n λ(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关解. 因为∑∞=1n na收敛, 所以∑∞=12n na收敛. λλ=∞→n n n a a n n 22)(tan lim. 所以∑∞=12)t an (n n a n n λ和∑∞=12n na有相同的敛散性. 所以原级数绝对收敛.(2) 设)11ln()1(nu n-=, 则 (A) ∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛. (B) ∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散. (C) ∑∞=1n nu收敛, 而∑∞=12n nu(D)∑∞=1n nu发散,∑∞=12n nu收敛.解. 由莱布尼兹判别法∑∞=1n nu收敛,∑∑∞=∞=+=1212)11(ln n n nnu. 因为1)11(ln lim2=+∞n n ,∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=12n n u 发散. ( C)是答案. (3) 下列各选项正确的是 (A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛, 则∑∞=+12)(n n nv u收敛(B) 若||1nn n vu ∑∞=收敛, 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n nv 都收敛 (C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥(D) 若级数∑∞=1n nu收敛, 且),2,1( =≥n v u n n , 则级数∑∞=1n nv收敛.解. )(22)(2222n n n n n n n n n v u v v u u v u +≤++=+. 所以(A)是答案.(4) 设α为常数, 则级数∑∞=-121sin n n n n α(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关. 解. ∑∞=12sin n n n α绝对收敛, ∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=-121sin n n nn α发散. (B)是答案三. 判断下列级数的敛散性: (1)∑∞=+11sin )2ln(1n n n 解. 因为1ln 11sin )2ln(1lim =+∞→n n nn n , 所以∑∞=+11sin )2ln(1n n n 和∑∞=1ln 1n n n 有相同的敛散性. 又因为∞+2ln 1dx x x 发散, 由积分判别法知∑∞=1ln 1n n n 发散. 所以原级数发散. (2))0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n解. 因为11)1)()(1(1lim 3=+++-+∞→n n a n a n a n , 所以)0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n 和∑∞=131n n 有相同的敛散性. ∑∞=131n n 收敛, 所以原级数收敛. (3) ∑∞=1!3n n n nn解. 13!3)1()!1(3lim lim111>=++=++∞→+∞→en n n n u u nn n n n nn n , 所以级数发散. (4) ∑∞=+12)/1(n nn n n 解. 10/1)(lim )/1(lim 22<=+=+∞→∞→n n n n n n n n n n n , 所以级数收敛. (5) ∑∞=12)!2()!(n n n解. 141)12)(22()1(lim )!22()!1()!1(lim lim21<=+++=+++=∞→∞→+∞→n n n n n n n n n u u n n nn n ，所以级数收敛. (6)∑∞=-1)ln 1(n nnn 解. 考察极限yy y n y nn n y y nn 10)ln 1(lim 11)ln 1(lim+=-+→∞→令令yy y u y1)ln 1(+=, y y y y y u ln )ln 1ln(ln -+=11ln ln 11ln lim ln )ln 1ln(lim lim ln ln lim 0000--++=-+==++++→→→→y yy y y y y y y u u y y y y =0ln 1ln 1ln ln 1ln lim 20=+----++→y y y y y y y y y所以1lim 0==+→e u y , 即原极限为1. 原级数和∑∞1n n 有相同的敛散性. 原级数发散.四. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=++-11312)1(n nnn n解. 因为321312lim =??? ??++∞→n n n n n , 所以∑∞=??++11312n nn n 收敛, 原级数绝对收敛. (2)∑∞=-+++-111)1(1)1(n nn n n解. 011)1(1lim=-+++∞→n n n n , 令11)1(1)(-+++=x x x x f 当x > 0时, 0]11)1[(1121)1()('22<-++-++-=x x x x x f , 所以数列?-+++11)1(1n n n 单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为1111)1(1lim =-+++∞→nn n n n , 而∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=-+++111)1(1n n n n 发散. 原级数条件收敛. (3)∑∞=+1)sin(n nn ππ解.∑∑∞=∞=-=+11sin)1()sin(n nn nn n πππ.因为ππ=∞→nn n 1sin, 又因为∑∞=-11)1(n n n , 条件收敛, 所以原级数条件收敛.(4)∑∞=--111tan)1(n n nn解. ∞→n limnn n n 11tan=1, ∑∞=11n nn收敛, 原级数绝对收敛.五. 求下列级数的收敛域:(1) ∑∞=+++12)1()1(n nn n x x解. 11)1(|1|lim 22<++=+++∞→x x n n x x n n n , 01<<-x当x =－1, 0时, 都得数项级数∑∞)1(1n n n , 收敛, 所以原级数的收敛域为[－1, 0]. (2) ∑∞=++-11212)1(n n nn x解. 1||12||lim 212<=++∞→x n x n n n , 于是1||<="" bdsfid="493" p=""> 当1=x 时, 得∑∞=+-1121)1(n nn , 收敛;当1-=x 时, 得∑∞=++-11121)1(n n n , 收敛. 于是原级数的收敛区域为[－1, 1]. (3)∑∞=--112212n n nx n解. 2||12||||212lim 212<<=--∞→x x x n n n n n ，. 当2±=x 时, 得数项级数∑∞=-1212n n 及∑∞=--1212n n , 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区域为)2,2(-. (4) ∑∞=?-129)1(n nnn x 解. 19|1|9|1|lim 22<-=?-∞→x n x n n n n . 当31±=-x 时得数项级数∑∞=11n n, 发散. 该级数的收敛区域为(－2, 4).六. 求下列级数的和: (1)∑∞=----112112)1(n n n n x 解. 1||12||lim 212<=--∞→x n x n n n 级数收敛, 所以收敛半径为1. 当1±=x 时都得到交错级数. 由莱布尼兹判别法知收敛. 所以收敛区域为[－1, 1].令 =)(x s ∑∞=----112112)1(n n n n x .=)('x s 2122111)1(x x n n n +=-∑∞所以x dx x dx x s x s xxarctan 11)(')(02=+==, [－1, 1]. (2)∑∞=+1)1(n n x n n 解. 1||||)1(lim <=+∞→x x n n n nn 收敛. 当1±=x 得∑∞=+1)1(n n n 及∑∞=+-1)1()1(n nn n 都发散.所以收敛区域为(－1, 1).∑∞==+1)1(n nx x n n 3''21''111)1(21)1(x x x x x x x x n n n n n n += +=??? ??+∑∑∞=∞=+-积分二次,(－1, 1)(3) ∑∞2)1(n nnn x 解. 12|1|2|1|lim <+=+∞→x n x n n n n , 所以当13<<-x 时收敛. 当1=x 时得数项级数∑∞=11n n , 发散; 当3-=x 时得数项级数∑∞=-11)1(n n n , 收敛. 于是收敛区域为[－3, 1).∑?∑∑--∞=--∞=∞=-=+=???? ??+=+x x n n x n n nn n n dx xdx x dx n x n x 1111'111122121212)1(2)1(=xx -=--12ln )1ln(2ln , [－3, 1).七. 把下列级数展成x 的幂级数: (1) x x x x f arctan 2111ln 21)(+-+=解. 由第六题第3小题知∑∞=----=112112)1(a r c t a n n n n n x x 所以 x x x x x x x f arctan 21)]1ln()1[ln(41arctan 2111ln 21)(+--+=+-+==∑∑∑∑∞=-∞=--∞=∞=--=--++-134********412)1(21)1(41n n n n n n n n n n n x n x n x n x , (－1, 1) (2) ? +=xdx xx x f 0)1ln()( 解. x x )1ln(+=∑∑∞=--∞=--=-11111)1()1(1n n n n n n nx n x x , (－1, 1] ∑?∑?∞=-∞=---=-=+=12101110)1()1()1ln()(n n n x n n n xn x dx n x dx x x x f由于∑∞=121n n收敛, 所以当1±=x 时上述级数都收敛. 所以∑?∞=--=+=1210)1()1ln()(n n n xn x dx x x x f , [－1, 1]。
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考研数学三（无穷级数）模拟试卷1(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设pn=(an+丨an丨）/2，qn=(an-丨an丨）/2，n=1,2,…,则下列命题正确的是
A．若an条件收敛，则pn与qn都收敛
B．若an绝对收敛，则pn与qn都收敛
C．若an条件收敛，则pn与qn的敛散性都不定
D．若an绝对收敛，则pn与qn的敛散性都不定
正确答案：B 涉及知识点：无穷级数
2．设一下命题：①若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛.②若un收敛，则un+1000收敛.③若un+1/un＞1，则un发散.④若(un+vn)收敛，则un，vn都收敛.则以上命题中正确的是
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
正确答案：B 涉及知识点：无穷级数
3．设an＞0，n=1,2,…,若an发散，（-1）n-1an收敛，则下列结论正确的是A．a2n-1收敛，a2n发散.
B．a2n收敛，a2n-1发散.
C．(a2n-1+a2n)收敛.
D．(a2n-1-a2n)收敛.
正确答案：D 涉及知识点：无穷级数
4．若an收敛，则级数
A．丨an丨收敛
B．（-1）nan收敛
C．anan+1收敛
D．(an+an+1)/2收敛
正确答案：D 涉及知识点：无穷级数
5．设{un}是数列，则下列命题正确的是
A．若un收敛，则（u2n-1+u2n）收敛.
B．若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛.
C．若un收敛，则(u2n-1-u2n)收敛.
D．若(u2n-1-u2n)收敛，则un收敛.
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
6．已知级数据对收敛，级数条件收敛，则
A．0＜a≤1/2
B．1/2＜a≤1
C．1＜a≤3/2
D．3/2＜a＜2
正确答案：D 涉及知识点：无穷级数
7．下列各项正确的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
8．设un=（-1）2ln，则级数
A．
B．
C．
D．
正确答案：C 涉及知识点：无穷级数
9．设an＞0（n=1，2，…，且an收敛，常数λ∈（0，π/2),则级数（-1）n(ntanλ/n)a2n
A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．敛散性与λ有关
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
10．设un≠0（n=1,2，…），且
A．发散
B．绝对收敛
C．条件收敛
D．收敛性根据所给的条件不能判定
正确答案：C 涉及知识点：无穷级数
11．的收敛半径为
A．5
B．4
C．3
D．2
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
12．设幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan(x-1)n+1的收敛区间是A．(-2,4）
B．(-2,5）
C．(-2,3）
D．(-2,1）
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
13．设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( )．
A．α1，α2，α3线性相关
B．α1，α2，α3线性无关
C．α1可用β，α2，α3线性表示
D．β可用α1,α2线性表示
正确答案：C 涉及知识点：无穷级数
填空题
14．已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数an(x-3)n 的收敛域为______.
正确答案：(1,5] 涉及知识点：无穷级数
15．设{an}单调减少，an=0，Sn=ak(n=1,2,…)无界，则幂级数an（x-1)n的收敛域为_______.
正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数
16．已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3的正、负惯性指数都是1，则a=_________．
正确答案：-2 涉及知识点：无穷级数
17．设向量组α1，α2，α3线性无关，问常数a，b，c满足什么条件时，aα1-α2，bα2-α3，cα3-α1线性相关?
正确答案：abc=1．涉及知识点：无穷级数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．已知f(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=e/n，求函数项级数fn(x)之和．
正确答案：由已知条件可知fn(x)满足f’n(x)-fn(x)=xn-1ex其通解为fn(x)=ex （xn/n+C）.由条件f1(x)=e/n,可确定常数C=0，故fn(x)=ex（xn/n+C）.从而涉及知识点：无穷级数
19．求幂级数的和函数f(x)及其极值。
正确答案：涉及知识点：无穷级数
20．求幂级数x2n在区间（-1,1）内的和函数S（x）.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
21．设银行存款的年利率为r=0．05，并依年复利计算．某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?
正确答案：涉及知识点：无穷级数
22．幂级数xn的收敛半径为_________.
正确答案：1/e 涉及知识点：无穷级数
23．幂级数x2n-1的收敛半径为_________.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
24．求幂级数xn/n的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
正确答案：时，愿幂级数收敛. 涉及知识点：无穷级数
25．求幂级数x2n的收敛域和函数.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
26．将函数f(x)=x/(2+x-x2)展开成x的幂级数.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
27．将函数y=ln(1-x-2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间.
正确答案：1-x-2x2=(1-2x)(1+x)可知，ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x) 涉及知识点：无穷级数
28．将函数f(x)=1/(x2-3x-4)展开成x-1的幂级数，并指出其收敛区间.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
29．
正确答案：涉及知识点：无穷级数
30．有k个坛子，每一个装有n个球，分别编号为1至n，今从每个坛子中任取一球，求m是所取的球中的最大编号的概率．
正确答案：每次取球编号有n种可能，k次取球共有nk种可能，而“取得号码不超过m”的可能取法有mk，类似地，“取得号码不超过m-1”的可能取法有(m-1)k，故“m为最大号码”的取法有mk- (m-1)k种，则P(m为最大号码)=[mk-(m-1)k]/nk．涉及知识点：无穷级数
31．已知P(A)=0．4，P(B)=0．25，P(A-B)=0．25，求P(AB)，P(A∪B)，P(B-A)
正确答案：利用概率性质P(A-B)=P(A)-P(AB)，有P(AB)=P(A)-P(A-B)=0．4-0．25=0．15；根据加法公式，得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0．4+0．25-0．15=0．5；根据减法公式，有P(B-A)=P(B)-P(AB)=0．25-0．15=0．1；涉及知识点：无穷级数32．将13个分别写有A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率．
正确答案：P(13个卡片排成单词“MATHEMATICIAN”)=(3!×1×1×1×2!×2!×1×2!)/13!=48/13!．涉及知识点：无穷级数
33．一个均匀的四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以A、B、C分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断A、B、C是否两两独立，是否相互独立．
正确答案：根据题意，有P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4，P(ABC)=1/4，因此P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，A，B，C两两独立，而P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)，故A，B，C不相互独立．涉及知识点：无穷级数
34．设α1，α2，…,αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…,αr线性表示，但β不能由α1，α2，…,αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…,αr-1，β线性表示．
正确答案：因为β可由α1，α2，…,αr线性表示，设β=k1α1+k2α2+…+kr-1αr-1+krαr，又因为β不能由α1，α2，…,αr-1线性表示，所以kr ≠0，故αr=(1/kr)(p - k1α1-k2α2-…-kr-1αr-1)，即αr可由α1，α2，…,αr-1，β线性表示．涉及知识点：无穷级数。