一元二次不等式及其解法[高考数学总复习][高中数学课时训]

一元二次不等式及其解法1.下列结论正确的是 . ①不等式x 2≥4的解集为{x |x ≥±2} ②不等式x 2-9＜0的解集为{x |x ＜3}③不等式(x -1)2＜2的解集为{x |1-2＜x ＜1+2}④设x 1,x 2为ax 2+bx +c =0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2} 答案 ③2.（2007·湖南理）不等式12+-x x ≤0的解集是 . 答案 （-1，2］3.（2008·天津理）已知函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 则不等式x +(x +1)·f (x +1)≤1的解集是 .答案 {x |x ≤2-1}4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).若不等式(x -a )⊗(x +a )＜1对任意实数x 成立,则a 的取值范围是 . 答案 -21＜a ＜235.(2008·江苏，4)A ={x |(x -1)2＜3x -7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x . 解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x , 即2x 2-3x -7≤0.解方程2x 2-3x -7=0,得x =4653±. 所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-4654346543x x . 例2 已知不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx +a ＜0的解集. 解 方法一 由已知不等式的解集为(α，β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx +c =0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac ab①②∵a ＜0,∴由②得c ＜0, 则cx 2+bx +a ＜0可化为x 2+x c b +ca＞0, ①÷②得c b =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα11＜0, 由②得c a =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+c b x +c a =0的两根. ∵0＜α＜β,∴不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或.方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0, 且α，β是ax 2+bx +c =0的两根， ∴α+β=-a b ,αβ=ac, ∴cx 2+bx +a ＜0⇔a c x 2+abx +1＞0 ⇔(αβ)x 2-(α+β)x +1＞0⇔(αx -1)(βx -1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1, ∴cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ). (1)解这个关于x 的不等式;(2)若x =-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax -1)(x +1)＞0. ①当a =0时,由-(x +1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1; ③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a 1＜x ＜-1; 若a1=-1,即a =-1,则不等式解集为空集; 若a 1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1.综上所述,a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a =-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11x a x ;a =0时,解集为{x |x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><-<a x x x 11或.(2)∵x =-a 时不等式成立, ∴112+---a a ＞0,即-a +1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4 （14分）已知f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈［-1，+∞）时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围. 解 方法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x =a ,2分 ①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f （x )在［-1，+∞）上单调递增，f (x )min =f (-1)=2a +3,4分要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a , 即2a +3≥a ,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1;6分②当a ∈［-1，+∞）时，f (x )min =f (a )=2-a 2, 8分由2-a 2≥a ,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1, ∴-1≤a ≤ 1.12分 综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.14分方法二 由已知得x 2-2ax +2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 4分 即Δ=4a 2-4（2-a ）≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a ,10分 解得-3≤a ≤1.14分1.解下列不等式： （1）-x 2+2x -32＞0;(2)9x 2-6x +1≥0.解 （1）-x 2+2x -32＞0 ⇔x 2-2x +32＜0 ⇔3x 2-6x +2＜0Δ=12＞0,且方程3x 2-6x +2=0的两根为 x 1=1-33,x 2=1+33, ∴原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-331331x x .(2)9x 2-6x +1≥0⇔(3x -1)2≥0. ∴x ∈R ,∴不等式解集为R .2.已知关于x 的不等式（a +b ）x +(2a -3b )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0的解集.解 ∵（a +b ）x +(2a -3b )＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a =2b ＞0,b ＞0,不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0, 即为-bx -3b ＞0,亦即-bx ＞3b ,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x |x ＜-3}. 3.解关于x 的不等式2ax a x --＜0 （a ∈R ）.解2a x a x --＜0⇔(x -a )(x -a 2)＜0,①当a =0或a =1时，原不等式的解集为Φ； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a .综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }; 当a =0或a =1时，原不等式的解集为Φ. 4.函数f （x ）=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围. (2)当x ∈［-2,2］时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax +3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图(1),当g (x )的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈［-2,+∞)时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--0324220)3(42a a a a a ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462a a a a 或 解之得a ∈Φ.③如图(3),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈(-∞,2］时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--0324220)3(42a a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462a a a a 或 ⇔-7≤a ≤-6综合①②③得a ∈［-7，2］.一、填空题1.函数y =)1(log 221-x 的定义域是 .答案 ［-2,-1）∪（1，2］ 2.不等式412--x x ＞0的解集是 .答案 (-2,1)∪(2,+∞)3.若(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 答案 m ＜-1113 4.若关于x 的不等式：x 2-ax -6a ＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 . 答案 -25≤a ＜-24或0＜a ≤15.(2009·启东质检)已知函数f (x ）的定义域为（-∞，+∞）， f ′(x )为f (x )的导函数，函数y =f ′(x )的图象如右图所示，且f (-2)=1,f (3)=1,则不等式f (x 2-6)＞1的解集为 . 答案 (2,3)∪(-3,-2)6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为 .答案 {x |0＜x ＜1}7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-8)8.已知{x |ax 2-ax +1＜0}=Φ,则实数a 的取值范围为 . 答案 0≤a ≤4 二、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax -a 2＜0. 解 原不等式可化为(7x +a )(8x -a )＜0,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0.①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ; ②当-7a =8a,即a =0时,原不等式解集为φ; ③当-7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7a . 综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87a x a x ;当a =0时,原不等式的解集为Φ;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78a x a x .10.已知x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，求不等式qx 2+px +1＞0的解集.解 ∵x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x , ∴-21,31是方程x 2+px +q =0的两实数根， 由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px +1＞0可化为-0161612>++x x , 即x 2-x -6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px +1＞0的解集为{x |-2＜x ＜3}.11.若不等式2x -1＞m (x 2-1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 方法一 原不等式化为(x 2-1)m -(2x -1)＜0. 令f (m )=(x 2-1)m -(2x -1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f解得271+-＜x ＜231+. 方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x =±1时，不等式变为2x -1＞0,即x ＞21,∴x =1,此时原不等式恒成立. （2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2,∴1＜x ＜231+. (3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1. 由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217x x .12.已知函数f (x )=ax 2+a 2x +2b -a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a ,b 的值及函数f (x )的表达式； （2）设F （x ）=-4kf (x )+4(k +1)x +2(6k -1),问k 取何值时，函数F （x ）的值恒为负值？ 解 (1)由题意可知-2和6是方程f (x )=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623a a b a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f (x )=-4x 2+16x +48. (2)F (x )=-4k (-4x 2+16x +48)+4(k +1)x +2(6k -1) =kx 2+4x -2.当k =0时，F (x )=4x -2不恒为负值； 当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.。