不同copula函数的区别和应用
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copula函数及其应用陆伟丹2012214286信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。
首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。
其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。
另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。
此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。
正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。
Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 195 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。
S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。
J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。
Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。
D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。
Copula函数的比较及在VaR度量中的应用研究的开题报告
Copula函数的比较及在VaR度量中的应用研究的开题报告一、研究背景在金融风险的度量中，Value at Risk（VaR）是一种广泛使用的方法。
VaR是投资组合预期损失的上限，可以用来衡量风险，是金融机构管理自身风险的一项基本指标。
VaR方法有许多不同的建模方法，其中Copula函数便是其中的一种。
Copula函数是用于描述多元随机变量之间依赖关系的工具，它将变量的边际分布与其相关关系分开处理，进而能够准确地描述其联合概率分布。
多年来，Copula函数已经被广泛应用于金融风险管理的各个方面，并被证明是一种灵活且有效的方法，能够提高风险度量的准确性。
然而，目前对于Copula函数的选择及在VaR度量中的应用还存在许多争议。
各种不同的Copula函数都有其优点和局限性，如何选择合适的Copula函数，以及如何在VaR度量中合理应用Copula函数，对金融机构的风险管理至关重要。
因此，本文将研究Copula函数的比较及在VaR度量中的应用。
二、研究内容及方法本文的研究内容分为两个方面：1. Copula函数的比较。
本文将介绍常见的Copula函数，并从其性质、优点和局限性等方面进行比较，以找出在VaR度量中最适合的Copula函数。
2. Copula函数在VaR度量中的应用研究。
本文将根据选定的Copula函数，分析其在VaR度量中的应用，包括如何计算VaR、如何处理极端事件、如何进行风险分析等。
本文的研究方法主要采用文献资料分析的方法。
通过查阅国内外文献，并结合实际案例，对Copula函数的比较及在VaR度量中的应用进行研究。
三、研究意义随着全球金融市场的不断发展，金融风险管理变得越来越重要。
对于金融机构而言，对风险的准确度量与管控至关重要。
本文主要研究Copula函数的比较及在VaR度量中的应用，有以下几点意义：1. 通过比较不同的Copula函数，挖掘出适合VaR度量的最优模型，提高了VaR 的准确性和可靠性。
金融计算与建模：Copula函数及其应用
cd
2
根据上述定义，t即为数组对 {( xi , yi ),( x j , y j )} 一致与不 一致的概率之差。
将Kendall’s tau引入Copula函数： 定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则 (X，Y)的Kendall’s tau为： 4 C (u, v)dC (u, v) 1 (14.16)
n
n
是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量 ，必须满足： （1） 对( X , Y ) 有定义； （2）1 X ,Y 1, X , X 1, X , X 1 （3） X ,Y Y , X （4）若X,Y独立，则 X ,Y 0 （5） X ,Y X ,Y X ,Y （6）若 C1, C2 满足 C1 C2 ，则 C1 C2 （7）若 {( X n , Yn )} 则 lim C C
Copula函数的一些其他性质：
性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递 减，即，若 v [0,1]n，则： (14.4) 性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数， n v [0,1] 则对于每个 ，有： (14.5) W n (v ) C(v ) M n (v ) 其中
定理3为连续随机变量则彼此独立当且仅当这些变量的copula函数copula定义4正态分布随机变量的均值分别为方差分别为协方差矩阵为r则随机变量的分布函数为copula函数称为协方差矩阵为的正态gausscopula函数
Copula函数
一、 C o p u l a 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。
不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。
Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。
Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、 Copula 函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。
Copula函数的选择及其在金融分析中的若干应用
摘 要Copula理论是一种基于联合分布的建模方法，最大的优点就是把边缘分布和相关结构分离开，它的提出为解决多元联合分布的构建以及变量间的非线性相关性问题提供了一个灵活实用的方法，人们将其广泛的用于金融领域，应用于投资组合、资产定价等方面，对金融数据相关性进行建模、分析有着非常重要的意义和作用。
本文主要讨论了Copula理论在金融领域的应用，分析了基于Copula理论的多金融资产的投资组合优化及风险度量的问题。
主要工作如下：首先介绍Copula函数的相关概念和性质，目前国内外Copula理论研究的进展情况，本文的研究思路、方法及相关应用。
传统的金融数据分析是基于正态分布的假设，但正态假设有其局限性，往往不能满足，本文打破传统的基于正态分布的假设，讨论了Copula理论和Monte Carlo模拟在风险VaR估计中的应用，并选用股票数据实例分析了基于Archimedean Copula的风险VaR估计，结果表明此方法是有效的，而传统的VaR计算方法低估了风险。
并进一步将此方法推广到多维资产的情形，说明与单支股票风险均值相比采用此方法确定的投资组合降低了金融风险。
文章为了进一步提高模型构造的有效性，提出了一种基于Bayes理论的混合Copula构造方法，把多个Copula函数所具有的优点融合到一个混合函数中，通过调整各个函数的权重系数来调整函数尾部相关性强弱，比单个Copula相关结构更为灵活。
另外，将Bootstrap方法引入到Copula中的参数估计中，实例表明采用Bootstrap 方法对参数的估计与实际值比较接近，为我们提供了解决问题的另一种有效的思路。
最后，对本文进行了总结，并对一些本文中可以继续探讨研究的方向进行了进一步的前景展望。
关键词：Copula函数；VaR估计；Bootstrap方法；投资组合Selection of Copulas and its Application on FinanceAbstractCopula functions which based on joint distribution provide a flexible and useful statistic tool to construct multivariate joint distribution and solve the nonlinear correlation problem. One of its advantages is the dependence structure of variables no longer depending on the marginal distributions. Copula theory has gained increasing attention in asset pricing, risk management, portfolio management and other applications. In detail, my research is as follows:We first introduce the ideas of copula theory and several copula functions which belong to Archimedean families. Then we discuss the use of Archimedean Copula in VaR and CVaR calculation without the traditional multidimensional normal distribution assumption in financial risk management. Our empirical analysis which based on stock market data uses Monte Carlo simulation method and the results show that the VaR calculated by copula method is larger than traditional method. It means that traditional method underestimated the risk of stock market, and the Monte Carlo simulation based on Copula is effective for financial Market. Then, this method is extended to the multidimensional case, to show that the VaR of proper portfolio is lower than means of risk with single stock.In order to improve the validation of model construction, we introduce a simple Bayesian method to choose the “best” copula which is a mixture of several different copulas. By estimating parameters of each chosen copula and adjusting their weight coefficients in the mixed copula, the model has all the advantages of the chosen copulas and has more flexibility because different weight coefficient combinations describe different asset correlations. In addition, we introduce Bootstrap method to estimate the parameters of Archimedean Copula. The real analysis also shows the estimated parameter by Bootstrap method gets closer to actual value. So it is another efficient way to solve our problems.At last, we make a summary of the whole paper, and look into the future of some aspects that could be discussed in the coming days.Key Words：Copulas; VaR estimation; Bootstrap method; portfolio目录摘 要 (1)Abstract (III)第一章 绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 论文组织结构 (3)第二章 Copula选择及检验 (4)2.1 Copula函数的基本概念 (4)2.1.1 Copula函数定义及性质 (4)2.1.2 阿基米德Copula (5)2.1.3 相关性度量 (6)2.2 常用的二元Archimedean Copula函数与相关性分析 (8)2.2.1 Gumbel Copula函数 (8)2.2.2 Clayton Copula函数 (9)2.2.3 Frank Copula函数 (10)2.3 Copula模型参数估计 (11)2.3.1 Genest and Rivest的非参数估计法 (11)2.3.2 极大似然估计法（The Maximum Likelihood Method） (12)2.3.3 边缘分布函数推断法（The method of Inference of Functionsfor Margins） (13)2.3.4 典型极大似然法（The Canonical Maximum Likelihood Method） (13)2.4 Copula的检验 (13)2.4.1 Klugman-Parsa法则 (13)2.4.2 Copula分布函数检验法则 (14)2.4.3 非参数检验法则 (14)第三章 基于Copula的VaR分析计算 (15)3.1 VaR的基本概念 (15)3.1.1 VaR的定义 (15)3.1.2 VaR的计算要素 (16)3.2 基于Copula的投资组合VaR的计算 (16)3.2.1 Copula-VaR的解析方法 (16)3.2.2 用Copula变换相关系数的VaR分析方法 (17)3.2.3 基于Copula的蒙特卡洛模拟法 (18)3.2.4 实证分析 (19)3.3 基于三维Copula的VaR计算 (25)3.3.1 多元阿基米德Copula的构造 (25)3.3.2 基于Copula的Monte Carlo模拟法 (26)3.3.3 实证分析 (27)第四章 混合Copula的构造与Bootstrap方法的应用 (30)4.1 混合Copula的构造与应用 (30)4.1.1 基于Bayes理论的混合Copula构造 (30)4.1.2 实证分析 (32)4.2 Bootstrap方法的应用 (35)4.2.1 Bootstrap基本原理 (35)4.2.2 Bootstrap估计Copula参数 (36)第五章 结论与展望 (38)5.1 结论 (38)5.2 展望 (38)参考文献 (39)在校期间研究成果 (42)致 谢 (43)附录 数据 (44)附录 程序 (50)第一章 绪论1.1 研究背景与意义当今金融市场的发展达到了空前的规模，国际化、自由化、证券化、金融创新得到了飞速发展，但其不稳定因素也随之增加，脆弱性体现了出来。
14Copula函数及其应用
这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。 此外，
X ,Y C 12
[0,1]2
uvdC (u, v) 3 12
[0,1]2
C (u, v)dudv 3
即可将 X ,Y 理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平 均距离。
Kendall’s tau及Spearman’s rho作为度量相关性指标的合理性
t-分布Copula函数
t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。 定义5 正态分布随机变量 X1 , , X n 的均值分别为 0， 2 方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为 分布随机变量， ( X1 , , X n ) 自由度为 ，与 独立。则随机变量 U t ( X ),i I 的分布函数 C (u , , u )为Copula函数， Y 称为自由度为 ，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。
LY (t ) : E[etY ] ety dG( y) ety g ( y)dy : Lg (t ),t 0
0 0
L (t ) : e ( y)dy (t ),t 0
ty 0
(14.10)
（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。
n
n
是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
几种不同生成元的Copula函数：
定义9 （1）Clayton Copula:
(t ) (t 1),
Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究
Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用探究摘要：本文主要介绍Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用探究。
起首，我们概述了Copula理论的基本观点和特点，以及其在金融领域的应用优势。
接着，我们详尽探讨了Copula函数的种类和选择方法，并介绍了Copula函数在金融时间序列分析中的应用案例。
最后，我们总结了Copula理论在多变量金融时间序列分析中的重要作用，并展望了将来的探究方向。
一、引言随着金融市场的快速进步和全球化程度的提高，对金融风险的准确器量和管理变得越来越重要。
多变量金融时间序列分析是对金融市场中多个变量间关联性的探究，其中建立精确的统计模型是至关重要的。
传统的方法使用线性相关性进行分析，但浩繁金融变量之间并不存在线性相关性。
因此，Copula理论应运而生，为探究金融变量之间的非线性干系提供了一种强大工具。
二、Copula理论的基本观点和特点Copula理论是由斯克洛乌卡和杰戴（Sklar, 1959）于20世纪50时期末提出的。
它独立于单变量分布的边缘分布，将边缘分布和相关结构分离开来，能够更准确地描述多维随机变量的联合分布。
Copula函数是一种毗连多个边缘分布的函数，它的主要特点是能够抓取变量之间的非线性干系，并提供了更多灵活的模型选择。
三、Copula函数的种类和选择方法Copula函数的种类较多，常见的有Gumbel、Clayton和Frank等。
选择合适的Copula函数对于分析金融时间序列数据至关重要。
一般来说，选择Copula函数需要通过相干系数矩阵的分析，如Pearson相干系数、Spearman相干系数和Kendall相干系数。
此外，还可以使用拟合优度统计量和模型比较指标来评估不同Copula函数的拟合效果和模型选择。
四、Copula函数在金融时间序列分析中的应用案例Copula函数在金融时间序列分析中有广泛的应用。
其中，常见的应用包括风险管理、投资组合优化和金融衍生品定价等方面。
copula函数 计算
copula函数计算
Copula函数是用于描述多元随机变量边际分布和联合分布之间关系的一种数学工具。
它是一种函数，将每个边际分布中的随机变量映射到[0,1]区间上，使得它们可以统一起来进行联合分析。
Copula函数通常被用于金融学、保险学、气象学、环境科学、工程学等领域中的风险评估和依赖关系建模。
计算Copula函数需要先根据数据估计出每个随机变量的边际分布函数。
然后，通过对数据进行统计分析，可以得到随机变量之间的依赖关系（如相关系数或协方差矩阵）。
最后，在考虑到依赖关系的条件下，通过使用Copula函数来估计联合分布。
常用的Copula函数包括高斯Copula、t-Copula、Frank Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula等。
不同的Copula函数适用于不同类型的依赖关系。
例如，高斯Copula适用于线性依赖关系，而t-Copula适用于具有重尾分布的数据。
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不同copula函数的区别和应用
Copula函数是一种用于描述和分析随机变量之间关系的工具。
不同的copula函数可以用来描述不同类型的关系，如线性、非线性、对称、非对称等。
常见的copula函数包括高斯、t、Clayton、Gumbel、Frank等。
高斯copula函数是最常用的一种copula函数，它可以用来描述线性相关性。
t copula函数考虑了数据的偏斜和尖峰，可以用于描述非线性相关性。
Clayton copula函数适用于描述正相关性，而Gumbel copula函数适用于描述负相关性。
Frank copula函数则适用于描述非对称相关性。
copula函数在金融领域中有广泛的应用，如在风险管理中用于计算VaR和CVaR，模拟收益率和资产价格等。
在保险领域中，copula 函数可用于确定不同险种之间的相关性。
此外，copula函数也可以用于建立多维随机过程的模型，如天气预测、环境监测等。
总之，不同的copula函数具有不同的应用场景，了解它们的特点和区别可以帮助我们更好地理解和分析数据之间的关系。
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