专题11 一元二次函数的最值问题(解析版)

专题11 一元二次函数的最值问题
一、知识点精讲
1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．
二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2
44ac b a -，无最
大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值．
2．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．
如：2
y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论：
[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论：
①对称轴02m n
x +≤
，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02
m n
x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；
说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。

二、典例精析
【典例1】求下列函数的最大值或最小值．
（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ． 【答案】见解析
【分析】：由于函数5322--=x x y 和432
+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确
定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
【解析】：（1）因为二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，所以抛物线5322--=x x y 有最低点，
即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，所以当4
3=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是
8
49-． （2）因为二次函数432
+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数
有最大值．因为432+--=x x y =4
25)2
3(2
+
+-x ，所以当23
-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值
425 【典例2】当12x ≤≤时，求函数2
1y x x =--+的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】：
作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．
【说明】：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【典例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【答案】见解析 【解析】：
作出函数2
(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．
可以看出：当1x =时，min
1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【典例4】当1t x t ≤≤+时，求函数215
22
y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 【答案】见解析
【分析】：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
【解析】：函数215
22
y x x =
--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 15
22
y t t =--；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2min 15
11322
y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，
22min 151
(1)(1)3222
y t t t =+-+-=-．
综上所述：2
213,023,01
15
,1
2
2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪
=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩ 【典例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】见解析
【解析】(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又
1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤
(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下
∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=
∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
三、对点精练
1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点． 【答案】4,14或2，
32
【解析】当m=4时图象的顶点在y 轴上，当m =14或2时，图象的顶点在x 轴上，当m =
3
2
时图象过原点。

2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．
【答案】2216
l m
【解析】设长为x,则宽为
222l x l x -=-，面积2()22l l y x x x x =-=-+，当4
l
x =时，面积最大，最大面积为22
16
l m 3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值． 【答案】见解析
【解析】对称轴为,(0)2a x a =->，当122a
a -≤-⇒≥时，在x=-1时取最大，在x=1时取最小，当
01022a a >-
>-⇒<<时，在2
a
x =-时取最大，在x=1时取最小，故带入得a=2,b=-2. 4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值． 【答案】见解析
【解析】对称轴为,x a =-，当11a a -≤-⇒≥时，1
454()4a a +=⇒=-舍
对称轴为,x a =-，当22a a -≥⇒≤-时，2241()a a -=⇒=-舍 对称轴为,x a =-，当111122a a -<-≤⇒-≤<时，1
4544
a a +=⇒=-满足要求 对称轴为,x a =-，当
11
2222
a a <-<⇒-<<-时，2241a a -=⇒=-满足要求
5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)． 【答案】见解析
【解析】对称轴为,x t =，当0t ≤时，最大值在x=1处取得，为2-2t, 对称轴为,x t =，当0t >时，最大值在x=-1处取得，为2+2t。