集合与元素课件
集合的含义与表示 课件
利用描述法表示集合应该注意以下五点： (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式 就不符合要求，需将 k∈Z 也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如， 方程 x2－2x＋1＝0 的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成 {x|x2－2x＋1＝0}． (5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
2．设不等式 3－2x<0 的解集为 M，下列正确的是( )
A．0∈M,2∈M
B．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉M 答案：B
D．0∉M,2∉M
探究三 用列举法表示集合 [典例 3] 用列举法表示下列集合． (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合； (2)方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； (3)直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合； (4)方程组xx＋ －yy＝ ＝1－，1 的解．
3．用列举法表示下列集合： (1)小于 10 的所有自然数组成的集合； (2)由 1～20 以内的所有质数组成的集合．
解析：(1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A，那么 A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． (2)设由 1～20 以内的所有质数组成的集合为 C，那么 C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
1．下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数
B．等于 2 的数
C．接近于 0 的数
D．不等于 0 的偶数
集合与元素说课课件
目录
• 引言 • 集合的基本概念 • 元素与集合的关系 • 集合的基本运算 • 集合的应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
01
集合论是数学的重要分支，它为 数学和其他学科提供了基本的数 学语言和思维方式。
02
通过学习集合论，学生可以更好 地理解数学概念，提高数学思维 能力，为后续学习打下基础。
集合的表示方法
总结词
集合可以用大括号、列举法、描述法等方式来表示。
详细描述
大括号表示法，如${a, b, c}$，表示由元素a、b、c组成的集合。列举法，如集 合A={1,2,3}，表示集合A包含元素1、2、3。描述法，如集合B={x|x>2}，表示 集合B包含所有大于2的实数x。
集合的分类
总结词
05
集合的应用
在数学中的应用
代数
集合论是现代代数学的基础，代数方程的解 集就是一个典型的例子。
几何
在几何学中，点集、直线集、平面集等都是 集合的具体应用。
概率统计
的应用
01
02
03
数据结构
计算机科学中的数据结构， 如数组、链表、树、图等， 都是基于集合的概念。
决策
在决策过程中，可以将选 项或方案看作是一个集合， 通过比较不同集合的元素 来做出决策。
06
课程总结与展望
本课程的主要内容回顾
集合的运算
讲解了集合的交、并、差等基本 运算及其性质。
集合的基数
介绍了集合中元素的个数，即集 合的基数。
01
02
集合的基本概念
介绍了集合的定义、表示方法和 元素之间的关系。
根据不同的分类标准，集合可以分为不同的类型。
集合与元素
同学们好！ 同学们好！
现在开始上课
第七章 集合与简易逻辑
§7－1 集合与元素（第 一 课） － 集合与元素（
单位： 单位：武汉市财政学校 授课人： 授课人：
§ 7－ 1
集合与元素
观察: （）“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋” 观察:（13）使一元一次不等式 印度洋、>北冰洋” 的距离等于3 （2） 平面上到定点 O的距离等于 3 ） 的距离等于 武汉市财政学校全体师生. ( 4） 太平洋、大西洋、 2. + 1 的 )） 武汉市财政学校全体师生 x
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记作 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集.记作
例如， 例如，由方程 空集： 有空集： …
2
φ
.
的所有实数解组成的集合是空集. x = −1 的所有实数解组成的集合是空集 空集： 还有空集： …
填空： 用符号 ∈ 或 ∉ 填空： 想一想： 想一想：
0
解： 0
例2 . 用描述法表示下列集合： 用描述法表示下列集合： （1）大于2的整数组成的集合； ）大于 的整数组成的集合； 的整数组成的集合 （2）不等式 x − 2 > 3 的解集； ） 的解集； （3）所有直角三角形组成的集合. ）所有直角三角形组成的集合 解： 1） {a a > 2, 且 a ∈ Z } （ ） （2）{ x ） （3） ）
集合中的元素具有： 集合中的元素具有： 确定性、 互异性、无序性. 确定性、 互异性、无序性.
互异性也叫无重性 是指集合中的元素 互异性 不能重复出现. 不能重复出现 无序性是指集 无序性 合中的元素不 计较排列次序. 计较排列次序
确定性 确定性是指组 成集合的元素 是确定的. 是确定的
北师大版中职数学基础模块上册：1.1.1集合与元素课件(共15张PPT)
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的数学运算、直观想象、逻辑推理和 数学抽象的核心素养
创设情境，生成问题 在活初动中1，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
观察几组对象： （1）中华人民共和国成立70周年阅兵式上的海上作 战模块包括的所有方队； （2）0～10中的所有奇数； （3）我国农历二十四节气； （4）方程x2-5x-6=0的解； （5）到一个角的两边距离相等的所有点. 思考以上各组对象并总结其共同特征？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例如,“大于10的偶数”可以组成一个集合，将其记 为集合B，那么集合B中的元素就12,14,16,18,20,…，则 16∈B,17∉B,8∉B.
“联合国安全理事会常任理事国”可以组成一个集合 ，这个集合中的元素是中国、俄罗斯、美国、英国、法 国.如果把这个集合记为D，则中国∈D，日本∉D.
作“a属于A”；如果b不是集合A中的元素，就说b不属于A ，记作b∉A，读作“b不属于A”.
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
特别提示 给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合就
很明确了.也就是说，给定一个集合，就给定了一个明确 的条件，据此可以判定任何一个对象是否属于这个集合. 这说明集合的元素具有确定性．
人说出这个集合中的两个元素，再交换练习，看谁的 正确率高.
课堂小结
1.1.1
/作业布置/
集合课件PPt
集合的传递性、吸收性、反对称性
传递性
如果A包含B，B包含C，则A包含C。
吸收性
如果A包含B，则A并B等于A。
反对称性
如果A包含B，B包含A，则A等于B。
集合运算的应用
用于解决数学问题中 的分类和合并问题。
用于逻辑推理和证明 中的概念和定理的表 述和证明。
用于处理集合之间的 关系和运算，如交、 并、补等。
集合的表示方法
列举法
将集合的元素一一列举出来，用 大括号{}括起来。例如：{1,2,3}表 示一个包含三个元素的集合。
描述法
通过描述集合中元素的共同特征 来表示集合。例如：{x|x是正方形 }表示所有正方形的集合。
集合的分类
01
02
03
有限集
包含有限个元素的集合。 例如：{1,2,3}是一个有限 集。
无限集
包含无限个元素的集合。 例如：自然数的集合N是 一个无限集。
空集
不包含任何元素的集合。 例如：{}是一个空集。
02 集合运算
交集、并集、补集
交集
由两个集合中共有的元素 组成的集合称为这两个集 合的交集。
并集
由两个或两个以上集合的 所有元素组成的集合称为 这些集合的并集。
补集
在集合A中，不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集。
应用
关系在数据库、人工智能和自然语言处理等领域都有广泛的应用。
等价关系与划分
定义
等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。自反性指任何元素都 与自己有这种关系，对称性指如果a与b有这种关系，则b与a也有这种关系，传递性指如 果a与b有这种关系，b与c也有这种关系，则a与c也有这种关系。
证明数学定理
第4讲集合与元素（数学竞赛）
第4讲集合与元素（数学竞赛）第4讲集合与元素[知识点⾦]元素与集合只有属于和不属于两种关系，但如何判定⼀个元素是否属于该集合，有时要进⾏适当甚⾄灵活的变形，达到集合所要求的形式.[例题精析]例1 设A= },{22Z y x y x a a ∈-=、求证：（1）⼀切奇数属于A（2）偶数 4k – 2（k ∈z ）不属于A（3）属于A 的两个整数，其积仍属于A分析关键构造出集合元素所需形式.证明（1）设a 为任意奇数，则 a = 2k –1（k ∈Z ）因为 2k –1 = k 2 -（k-1）2 ,k ，k-1∈Z, 故a ∈A由a 的任意性知，⼀切奇数属于A.（2）假设4k – 2∈A ，则存在x 、y ∈Z 使 4k – 2 = x 2 – y 2即（x + y ）（x - y ）= 2（2k-1）… ①①式说明x + y 与 x – y 必有⼀个是偶数，但x + y 与 x – y 具有相同的奇偶性，这是⼀对⽭盾，故①不成⽴.所以 4k – 2 ?A（3）设a 、b ∈A ，则a = 2221y x -，b = 2222y x - （Z y y x x ∈2121,,,）因为 a b =（2121y x -）（2222y x -）= +2221x x 2221y y -2221y x -2122y x = （2121y y x x -）2 -（1221y x y x -）2⽽ Z y y x x ∈-2121，1221y x y x -Z ∈, 所以 a b ∈A.例2 （全国⼥⼦数学奥林匹克）如果存在 1，2，...，n 的⼀个排列1a ，2a ，…，n a 使得 k+k a （k=1, 2, ..., n ）都是完全平⽅数，就称n 为“好数”.试问：在集合 {11, 13, 15, 17, 19} 中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.解除了11之外都是“好数”.（1）易知11只能与5相加得到24，⽽4也只能与5相加得到23，因此，不存在满⾜条件的数列，所以11不是“好数”.(2)13是“好数”，因为如下的排列中，)13,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：13121110987654321:k 34567191011121328:k a（3）15是“好数”，因为如下的排列中，)15,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：151413121110987654321:k123456789101112131415:k a （4）17是“好数”，因为如下的排列中，)17,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：1716151413121110987654321:k 8911112131415161721045673:k a 其中⽤到了轮换).15,10,6,3,1(（5）19是“好数”，因为如下的排列中，)19,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数： 19181716151413121110987654321:k 17181991011121314151612345678:k a 评注这⾥的关键问题在于构造满⾜条件的排列.例3 （亚太地区数学竞赛）求所有由正整数组成的有限⾮空集合S ，满⾜：若S n m ∈、，则n m S n m n m 、、(,)(∈+不必须不同）. 分析我们由特殊的情形，先得知S ∈2，进⽽循序渐进探索集合S 中可能含有的其他元素，发现集合中可能只有2这⼀个元素，之后如何进⾏简捷的表达呢？.解令m=n,则S ∈2，由于S 是⾮空有限集合，.若S 中存在奇数，则S k k k ∈+=+2)2,(2，以此类推，,...6,4++k k 都属于S,与其是有限集⽭盾,所以S 中的元素都是偶数，如果除了2以外还有其他偶数，不妨设除2以外的最⼩数为k （k>2）,则S k k k ∈+=+12)2,(2，并且k k <+<122，⽽由前⾯讨论知12+k 应该为偶数，这与k 为除2以外的最⼩数⽭盾，所以 S={2}.评注这⾥应⽤极端原理使得表达简捷.例4 321,,S S S 为⾮空集合，对于1，2，3的任意⼀个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-.证明：三个集合中⾄少有两个相等.证明若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,所以每个集合中均有⾮负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成⽴.否则，设321,,S S S 中的最⼩正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最⼩的⾮负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则b a b <-≤0，与b 的取法⽭盾。
高一数学集合ppt课件.pptx
1.1.1 集合的含义与表示
• 1.集合与元素的定义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写拉丁字母A,B,C等表
示集合，用拉丁小写字母a，b，c等表示集合中的元素。如果a是A中的元素，就表示为a∈A，读作a属于A， 反之a∉A，读作a不属于A * 2.集合的三要素： 1、确定性，集合中的元素是确定的，要么在集合中要么不在，二者必居其一；（判断是否能组成集合的 方法） 2、互异性，集合里相同的元素不允许重复出现，比如{a,a,b,b,c,c}是错误的写法，应该写成{a,b,c}.（警示我 们做题后要检查） 3、无序性，集合里的元素的排列不考虑顺序问题，例如{a,b,c}与{a,c,b}表示同一个集合。（方便定义集合 相等）
• 2.交集的符号语言： A∩B={x|x∈A，且x∈B}
并集、交集的性质
• 集合交换律 A∩B=B∩A A∪B=B∪A • 集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) • 集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C） • A∩ Ø = Ø ，A∪ Ø = Ø
全集与补集
• 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这 个集合为全集，通常记作U
• 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CuA 符号语言：CuA={x|x∈U，且x ∉A}
例5
• 1.设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则CuM=______。 • 2.已知全集U={0，1，2}，A={x|x-m=0}，如果CuA={0,1},则m=______。
中职第一章集合与元素
观察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12；
（2）电子商务1班全体学生； （3）满足x－3＞2 的整数；
（4）铅笔、小刀、橡皮、学生 用尺、水笔等文具。
定义
将某些确定的对象看成一个
整体就构成一个集合，简称集. 组成集合的对象叫做这个集
合的元素.
集合的表示法
集合常用大写字母表示， 如A，B，C......
元素常用小写字母表示,
如a，b，c......
3．集合元素的性质：
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a ∈ A； 如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
例1 下面的各组对象能否 5．例题讲解 组成集合？ （1）所有小于10的自然数； （2）某个班个子高的同学；
（3）方程 x 1 0 的所有解；
R
*
练习
教材P3、P4
2
（4）不等式 x 2 0的所有解.
（1）所有小于10的自然数； 5．例题讲解
解 由于小于10的自然数包括 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数，它们是确定的对象，所 以它们可以组成集合。
5．例题讲解 （2） 某个班个子高的同学；
解 由于个子高没有具体的标 准，对象是不确定的，因此不能 组成集合。 如：我们班上155cm，165cm......
(5) R：实数集
集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
⑶空 集：不含任何元素的集合. 记作． 注意空集与零”或“
空 (1) 3.14
”填 Q
*
Q
(2)
(3) 0 N 2 3 (5) Q