沪教版下第十八章《正比例函数和反比例函数》全章复习讲义

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沪教版-八年级数学-正比例函数与反比例函数复习讲义

正比例函数与反比例函数一．选择题（共15小题）1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A ．3x y =B ．3x y =-C ．3y x=D ．3y x=-2．反比例函数my x=的图象在第二、四象限内，则点(,1)m -在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是( ) A ．函数图象经过点(2,2)B ．函数图象位于第一、三象限C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y <- 4．反比例函数3k y x+=的图象在二，四象限，则k 的取值范围是( ) A ．3kB ．3k -C ．3k >D ．3k <-5．若1(3B -，1)y 、2(2,)A y -、3(1,)C y 三点都在函数(0)ky k x=>的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y >>6．反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．都有可能7．已知点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则( ) A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >> 8．若点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 都在反比例函数1y x=-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是( )A ．123y y y <的图象上有三点11(A x ，1)y 、22(A x ，2)y 、33(A x ，3)y ，若1230x x x >>>，则下列各式中，正确的是( ) A ．123y y y <>D ．120y y >>11．已知0k >，则函数y kx =，ky x=-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．12．已知函数y kx =中y 随x 的增大而减小，那么它和函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．13．正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22211()2k y k x -=≠的大致图象如图所示，那么1k 、2k 的取值范围是( )A ．10k >，212k >B ．10k >，212k <C ．10k <，212k >D ．10k <，212k <14．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S （千米）与离家的时间t （分钟）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．15．小亮早晨从家骑自行车去学校上学，先上坡后下坡，行程情况如图所示，如果返回时上坡、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是()A ．30分钟B ．33分钟C ．37.2分钟D ．48分钟二．填空题（共10小题） 16．若函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m 的值是．17．已知函数2(1)1y m x m =-+-是正比例函数，则m = ．18．函数231x y x +=+中自变量x 的取值范围是． 19．函数121x x =-++的定义域是．20．已知函数1()1f x x=+，则(2)f = ． 21．已知反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大，那么k 的取值范围是．22．一水池的容积是3100m ，现有蓄水310m ，用水管以每小时36m 的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式（并写出定义域）． 23．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6C ︒，已知某登山大本营所在的位置的气温是2C ︒，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是C y ︒，那么y 关于x 的函数解析式是． 24．如图，函数12(0)y x x=>的图象经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为．25．正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为1-，作AD x ⊥轴，垂足为D ，O 为坐标原点，1AOD S ∆=．若x 轴上有点C ，且4ABC S ∆=，则C 点坐标为．三．解答题（共5小题） 26．解方程：21(23)2503x --=．27．关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．28．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成反比例，2y 与x 成正比例，且当2x =时，14y =，2y =．求y 关于x 的函数解析式．29．小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程y （米)与时间x （分钟）之间的函数关系．（1）爸爸行走的总路程是米，他途中休息了分钟；（2）当030x 时，y 与x 之间的函数关系式是；（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟米；（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是米．30．如图，点P 是一个反比例函数与正比例函数2y x =-的图象的交点，PQ 垂直于x 轴，垂Q 的坐标为(2,0)．（1）求这个反比例函数的解析式．（2）如果点M 在这个反比例函数的图象上且MPQ ∆的面积为6，求点M 的坐标．正比例函数与反比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A ．3x y =B ．3x y =-C ．3y x=D ．3y x=-【解答】解：A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 的增大而增大，故本选项正确．B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误．故选：A ． 2．反比例函数my x=的图象在第二、四象限内，则点(,1)m -在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：反比例函数my x=的图象在第二、四象限内， 0m ∴<，∴点(,1)m -的横纵坐标都为负， ∴点M 在第三象限，故选：C ．3．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是( ) A ．函数图象经过点(2,2)B ．函数图象位于第一、三象限C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y <-【解答】解：A 、关于反比例函数4y x=-，函数图象经过点(2,2)-，故此选项错误； B 、关于反比例函数4y x=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C 、关于反比例函数4y x=-，当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确； D 、关于反比例函数4y x=-，当1x >时，4y >-，故此选项错误；故选：C ． 4．反比例函数3k y x+=的图象在二，四象限，则k 的取值范围是( ) A ．3k B ．3k -C ．3k >D ．3k <-【解答】解：3k y x+=的图象在二，四象限， 30k ∴+<，即3k <-．故选：D ．5．若1(3B -，1)y 、2(2,)A y -、3(1,)C y 三点都在函数(0)ky k x=>的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．321y y y >>【解答】解：0k >，∴反比例函数图象在一、三象限内，且在每个象限内y 随x 的增大而减小121(,),(2,)3B y A y --在第三象限，123->-，210y y ∴>> 3(1,)C y 在一象限， 30y ∴>， 321y y y ∴>>，故选：D ． 6．反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．都有可能【解答】解：反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-， 2k ∴=-，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，120x x <<，1(A x ∴，1)y 、2(B x ，2)y 两点均位于第二象限， 12y y ∴<．故选：B ．7．已知点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则( ) A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >>【解答】解：函数图象如图所示：123y y y >>，故选：A ．8．若点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 都在反比例函数1y x=-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是( )A ．123y y y <的图象上有三点11(A x ，1)y 、22(A x ，2)y 、33(A x ，3)y ，若1230x x x >>>，则下列各式中，正确的是( ) A ．123y y y <，3120y y y ∴<<<．故选：D ．10．如果两点11(1,)P y -和22(2,)P y -在反比例函数1y x=的图象上，那么1y ，2y 的符号和大小关系是( ) A ．210y y <>D ．120y y >>【解答】解：把点11(1,)P y -代入反比例函数1y x=得，11y =-；点22(2,)P y -代入反比例函数1y x =得，212y =-； 1102-<-<， 120y y ∴<<．故选：B ．11．已知0k >，则函数y kx =，ky x=-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当0k >时，0k -<，故函数y kx =的图象位于一三象限，ky x=-的图象位于二、四象限，故选：C ．12．已知函数y kx =中y 随x 的增大而减小，那么它和函数ky x=在同一直角坐标系内的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数y kx =中y 随x 的增大而减小， 0k ∴<，∴函数y kx =的图象经过二、四象限，故可排除A 、B ；0k <， ∴函数ky x=的图象在二、四象限，故C 错误，D 正确．故选：D ．13．正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22211()2k y k x -=≠的大致图象如图所示，那么1k 、2k 的取值范围是( )A ．10k >，212k >B ．10k >，212k <C ．10k <，212k >D ．10k <，212k <【解答】解：正比例函数1y k x =过一、三象限，故10k >；反比例函数22211()2k y k x -=≠的图象在二、四象限，故2210k -<，即212k <．故选：B ．14．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S （千米）与离家的时间t （分钟）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：小李距家3千米， ∴离家的距离随着时间的增大而增大，途中在文具店买了一些学习用品， ∴中间有一段离家的距离不再增加，综合以上C 符合，故选：C ．15．小亮早晨从家骑自行车去学校上学，先上坡后下坡，行程情况如图所示，如果返回时上坡、下坡的速度仍与上学时的上、下坡速度相同，那么小亮从学校骑车回家的时间是()A ．30分钟B ．33分钟C ．37.2分钟D ．48分钟【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度36182=÷=（百米/分），下坡路的距离是963660-=百米，所用时间为301812-=（分)，∴下坡速度60125=÷=（百米/分）；去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：602365307.237.2÷+÷=+=（分钟）．故选：C ．二．填空题（共10小题） 16．若函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m 的值是 2- ．【解答】解：函数23(2)m y m x -=-是正比例函数，231m ∴-=，20m -≠，解得：2m =±，2m ≠，故2m =-．故答案为：2-．17．已知函数2(1)1y m x m =-+-是正比例函数，则m = 1- ．【解答】解：由正比例函数的定义可得：210m -=，且10m -≠，解得：1m =-，故答案为：1-．18．函数y =中自变量x 的取值范围是 2x -且x ≠ 【解答】解：根据题意得：20x +且310x +≠，解得：2x -且13x ≠． ∴自变量x 的取值范围是2x -且13x ≠．故答案为：2x -且13x ≠．19．函数11x =+的定义域是 2x 且1x ≠- ．【解答】解：由函数关系式可得：20x -，10x +≠， 2x ∴且1x ≠-．故答案为：2x 且1x ≠-．20．已知函数1()1f x x=+，则f 1- ．【解答】解：因为函数1()1f x x=+，所以1f ===-．1-． 21．已知反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大，那么k 的取值范围是 0k < ．【解答】解：反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大， k ∴的取值范围是：0k <．故答案为：0k <．22．一水池的容积是3100m ，现有蓄水310m ，用水管以每小时36m 的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式（并写出定义域） 106(015)V t t =+ ．【解答】解：水池蓄水量3()V m 与进水时间t （小时）之间的函数关系式为：106(015)V t t =+．故答案为：106(015)V t t =+．23．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6C ︒，已知某登山大本营所在的位置的气温是2C ︒，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是C y ︒，那么y 关于x 的函数解析式是 62y x =-+ ．【解答】解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：62y x =-+．故答案为：62y x =-+． 24．如图，函数12(0)y x x=>的图象经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为 (6,2) ．【解答】解：把3x =代入12(0)y x x =>中，得4y =，(3,4)B ∴，C 点是AB 的中点，A 点在x 轴上， C ∴点的纵坐标为：422÷=，把2y =代入12(0)y x x=>中，得6x =， (6,2)C ∴．25．正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为1-，作AD x ⊥轴，垂足为D ，O 为坐标原点，1AOD S ∆=．若x 轴上有点C ，且4ABC S ∆=，则C 点坐标为 (2,0)或(2,0)- ．【解答】解：设反比例函数为(0)ky k x=≠，正比例函数为(0)y ax a =≠；这两个函数的图象关于原点对称，A ∴和B 这两点应该是关于原点对称的，A 点的横坐标为1-，由图形可知，AD 就是A 点的纵坐标y ，而AD 边上的高就是A 、B 两点横坐标间的距离，即是2，这样可以得到1222S y =⨯=，解得2y =． A ∴点坐标是(1,2)-；B 点的坐标是(1,2)-，设(,0)C x ， 4ABC S ∆=， ∴1122422x x ⨯+⨯=，解得2x =， (2,0)C ∴或(2,0)-．三．解答题（共5小题）26．解方程：21(23)2503x --=．【解答】解：21(23)2503x --=2(23)750x --=， 2(23)75x -=，23x -=±23x =±解得：1x =2x = 27．关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解答】解：关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根， ∴有210(2)4(1)(3)0k k k k -≠⎧⎨=--+>⎩，即11280k k ≠⎧⎨->⎩，解得：32k <且1k ≠．答：k 的取值范围为32k <且1k ≠． 28．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成反比例，2y 与x 成正比例，且当2x =时，14y =，2y =．求y 关于x 的函数解析式．【解答】解：根据题意，设111k y x =-，221(y k x k =、20)k ≠． 12y y y =+，121k y k x x ∴=+-，当2x =时，14y =，2y =， ∴112422k k k =⎧⎨+=⎩． 14k ∴=，21k =-．41y x x ∴=--． 29．小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．图中的折线反映了爸爸行走的路程y（米)与时间x（分钟）之间的函数关系．（1）爸爸行走的总路程是3600米，他途中休息了分钟；（2）当030x时，y与x之间的函数关系式是；（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟米；（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是米．【解答】故答案为：70y x=；（3）爸爸休息之后行走的速度是(36002100)(8050)50-÷-=米/分钟，故答案为：50．（4）妈妈到达缆车终点的时间为：36002.58180=（分)，爸爸迟到8050822--=（分)，终点时，爸爸离缆车终点的路程为：22501100⨯=（米)，故答案为：1100．30．如图，点P是一个反比例函数与正比例函数2y x=-的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂Q的坐标为(2,0)．（1）求这个反比例函数的解析式．（2）如果点M在这个反比例函数的图象上且MPQ∆的面积为6，求点M的坐标．【解答】解：（1）把2x =代入2y x =-得4y =- (2,4)P ∴-，设反比例函数解析式(0)ky k x=≠， P 在此图象上 2(4)8k ∴=⨯-=-， 8y x∴=-．（2）(2,4)P -，(2,0)Q4PQ ∴=，过M 作MN PQ ⊥于N ．则162PQ MN =， 3MN ∴=，设8(,)M x x-，则 235x =+=或231x =-=- 当5x =时，885x -=-，当1x =-时，81x-=， 8(5,)5M ∴-或(1,8)-．。

反比例函数知识点知识点总结

反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

其中，x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。

需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为在分母中，分母不能为 0。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。

2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），通过对 y ＝ k/x 两边同时乘以 x 得到。

3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这是用幂的形式表示。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像属于双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。

当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。

四、反比例函数的性质1、单调性当 k＞0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递减；当 k＜0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递增。

2、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它有两条对称轴，分别是直线 y ＝ x 和 y ＝ x；对称中心是原点（0，0）。

3、渐近线当 x 趋近于正无穷或负无穷时，曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

4、取值范围当 k＞0 时，y＞0 或 y＜0；当 k＜0 时，y＜0 或 y＞0。

五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图像上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期正比例函数和反比例函数的复习教案

正比例函数和反比例函数的复习一、教学目标：1．系统梳理正比例函数和反比例函数的概念和性质；2．引导学生梳理求正，反比例函数解析式的条件和方法；3．通过函数解析式来确定函数的大致位置，使学生充分体会和感悟数形结合的思想方法；4．提高应用正比例函数和反比例函数解决实际问题的能力。

二、教学重点：1．通过类比总结归纳确定正比例函数解析式和反比例函数解析式依靠待定系数法；2．由于正比例函数和反比例函数在实际中的应用定义域可能是部分实数，故它们的图像可能是直线的部分，可能是曲线的一部分。

三、教学难点：1．反比例函数在面积中的应用2．通过画反比例函数的大致图像，从而确定点的大致位置。

四、教学过程：（一）知识点的梳理：正比例函数反比例函数解析式定义域x取一切实数或的一切实数图像k>0 k<0k>0 k<0增减性当k>0时，图像经过第一，三象限，y 的值随着x 的值的增大而增大；当k 〈0时，图像经过第二，四象限，y 的值随着x 的值的增大而减小。

当k>0时，图像经过第一，三象限，在每个象限内，y 的值随着x 的值的增大而减小；当k 〈0时，图像经过第二，四象限，在每个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大。

（二）正确区分正比例函数和反比例函数：判断下列函数中，哪些是关于的正比例函数？哪些是反比例函数？小结：依据解析式来判断正，反比例函数（三）探索确定正比例，反比例函数的解析式所需要的条件： 1．已知是的正比例函数，且当=2时，=4，则函数解析式是变式1：已知是的正比例函数，点M （2，4）在这个函数的图像上，则函数解析式是变式2：一个正比例的函数图像如图所示，写出这个函数解析式变式3：设三角形底边长为，底边上的高是4，三角形的面积为，则与的函数解析式2．已知是的反比例函数，且当=2时，=4，则函数解析式是变式1：已知是的反比例函数，点M（2，4）在这个函数的图像上，则函数解析式是变式2：一个反比例的函数图像如图所示，写出这个函数解析式变式3：设三角形底边长为，底边上的高是，三角形的面积为4，则与的函数解析式变式4：（1）如图，A（，）为反比例函数图像上的一点，AB垂直轴于B，B为垂足，若，则这个反比例函数的解析式是（2）如图，点P（，）是反比例函数图像上的一点，PM⊥轴，PN⊥轴，M，N为垂足，xy24 A.O且，则矩形PMON 的面积是8，则这个反比例函数的解析式是小结：确定正比例函数和反比例函数的解析式只要一个条件，比如知道函数图像上的一个点，用的都是待定系数法，求关于k 的一元一次方程（四）通过正比例，反比例函数的解析式来确定点的坐标：1．正比例函数中，当=-2时，对应的函数值是 -1变式：反比例函数中，当=-2时，对应的函数值是 -12．点P （-4，m ）在正比例函数上，则m= -16变式：点P （-4，m ）在反比例函数上，则m= -13．已知点A （2，4）在正比例函数图像上，则下列各点中，不在此图像上的点是（ D ）A （3，6）B （-3，-6）C （1，2）D （-1， 2）变式：已知点B （-4，-6）在反比例函数图像上，则下列各点中，不在此图像上的点是（ C ） A （4，6） B （6，4） C （-6，4） D （-6，-4）小结：有时候可以把解析式变形为，如题3。

反比例函数（基础）知识讲解

反比例函数（基础）【学习目标】1. 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例即xy k =，或表示为kyx =，其中k 是不等于零的常数是不等于零的常数.. 一般地，一般地，形如形如ky x=(k 为常数，0k ¹)的函数称为反比例函数，的函数称为反比例函数，其中其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数是函数，定义域是不等于零的一切实数. .要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ¹.故函数图象与x 轴、y 轴无交点；轴无交点；（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件这一条件. .（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式，从而得到反比例函数的解析式. .要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出即可求出k 的值，从而确定其解析式从而确定其解析式. .用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：k y x=(0k ¹)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k 的值；的值；（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式ky x= 中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴标轴. .要点诠释：（1）若点）若点((a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点的图象上，则点((a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ¹) ) 中，由于中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，时，双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，四象限，四象限，在每个象限内，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；的符号决定的；反过来，反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号的符号. . 要点四、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x ky =(0k ¹) ) 上任意一点作上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ¹) ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. . 【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y 是x 的反比例函数？的反比例函数？（1）5xy =；（（2）3y x =；（（3）23y x =；（（4）12xy =；（（5）21y x =-；（6）2y x=-；（（7）12y x -=；（（8）5a y x -=（5a ¹，a 是常数）是常数）【答案与解析】解：根据反比例函数(0)k y k x=¹的形式及其关系式xy k =，1y kx -=，可知反比例函数有：有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)．．【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如k y x=(k 为常数，0k ¹)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意ky x=(k 为常数，0k ¹)常见的变化形式，如xy k =，1y kx -=等，所以(4)(7)(4)(7)也是反比例函数．在也是反比例函数．在也是反比例函数．在(5)(5)(5)中，中，y 是()1x -的反比例函数，而不是x 的反比例函数．例函数．(1)(1)(1)中中y 是x 的正比例函数．的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3y x=的图象都过点A(m ，1) 1) ．求此正比．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．例函数的关系式及另一个交点的坐标．【答案与解析】解：解：因为3y x=的图象经过点A(m ，1)1)，则，则31m =，所以m ＝3．把A(3A(3，，1)1)代入代入y kx =中，得13k =，所以13k =．所以正比例函数关系式为13y x =．由1,33,y x y x ì=ïíï=ïî得得3x =±．当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为．所以另一个交点的坐标为((－3，－，－1)1)1)．．【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？值为多少？【答案】解：设ky x =，当6x =-时，4y =，所以46k=-，则k ＝－＝－242424，，所以有24y x-=．当2x =时，24122y -==-．类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点为常数）的图象上有三点((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y ，y ，的大小关系是（的大小关系是（））． A ．231y y y << B B．．321y y y << C C．．123y y y << D D．．312y y y << 【答案】D ；【解析】解：当0k <时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．此题中需要注意的是大．此题中需要注意的是((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)不在同一象限内．因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数ky x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x =，当x ＝－＝－11时，y ＝－＝－22，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－，自变量由－11到1，函数值y 由－由－22到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)m y m x-=-的图象在第二、四象限，的图象在第二、四象限，(1)(1)求求m 的值．的值．(2)(2)若点若点若点((－2，1y )、(－1，2y )、(1(1，，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：解：(1)(1)(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-ìí-¹î，∴，∴ 1m =.(2)(2)由由(1)(1)得此函数解析式为：得此函数解析式为：2y x=-． ∵ ( (－－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－在第二象限，－22＜－＜－11，∴，∴ 120y y <<．而(1(1，，3y )在第四象限，30y <． ∴ 312y y y << 类型四、反比例函数综合4、已知点A(0A(0，，2)2)和点和点B(0B(0，－，－，－2)2)2)，点，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△的图象上，如果△PAB PAB 的面积是6，求P 点的坐标．点的坐标．【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC PC⊥⊥y 轴于点C．∵ A(0 A(0，，2)2)、、B(0B(0，－，－，－2)2)2)，， ∴ AB AB＝＝4．又∵又∵ 0||PC x =且6PABS=△，∴01||462x =，∴，∴ 0||3x =，∴，∴ 03x =±．又∵又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =．∴ P 的坐标为113,3P æö-ç÷èø或13,3æö-ç÷èø．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：作AC AC⊥⊥y 轴于C ，连BC BC，则△】解：由双曲线与正比例函数y 1322AOCABCSS ==△△．A 点坐标为点坐标为((A x ，A y )，而于是1113||||2222AOCA A AASAC OC x y xy ===-=△，3A y =-，kx =得A A x y k =，所以所以反比例函数解析式为3y -=．。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 18.3 反比例函数课件

（4）当x=t (t≠0) 时，用含t的式子表示y.
巩固训练、反馈提高
练习1：判断下列问题中两个变量是否成反比例，为什么？（1）三角形的面积S一定时，它的一条边长a和这条边上的高h；（2）存煤量Q一定时，平均每天的用煤量m与可使用的天数t；（3）货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x；（4）车辆所行驶的路程s一定时，车轮的直径d和车轮的旋转周数n.
1 2 4.5 6
9
12
x（厘米）
y（厘米） 36 18 8
6
4
3
长方形的周
长（厘米） 74 40
25
24
26
30
（4）完成上表后探究：当x= 6 厘米时，长方形的周长最小；（5）探究：若把题目中长方形的面积改为20平方厘米，则
这个长方形的周长最小值为厘米。
探究活动2
（1）如果y是x的反比例函数，那么x是y的反比例函数吗？（2）如果y是z的反比例函数，z是x反比例函数，那么y
反比例函数的概念和解析式：
解析式形如
y
k x
（k是常数，k≠0）的函数Байду номын сангаас做反
比例函数，其中k叫做比例系数;
反比例函数 y kx（k是常数，k≠0）的定义域是不等于零的一切实数； .
合作探索、运用新知
例1：下列问题中的两个变量是否成反比例？
（1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的
与x具有怎样的函数关系？
作业
练习册18.3（1）预习课本18.3（2）反比例函数的图像和性质
（1） y 1 x 3
（2） y x 4
（3） y 1 5x
（4） y 2x1

反比例函数全章复习与巩固(提高)知识讲解

反比例函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k y k x=≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、反比例函数的概念一般地，形如k y x =(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在k yx =中，自变量x 的取值范围是，k y x =()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k y x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0k y k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x k y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x k y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③x k y x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k >，一、三象限0k <，二、四象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xk y =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线xk y =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为k .要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、（2020•上城区一模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x ＞0，k ＞0）的图象经过点A （m ，n ），B （2，1），且n ＞1，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点A 的坐标．【思路点拨】根据图象和△ABC 的面积求出n 的值，根据B （2，1），求出反比例函数的解析式，把n 代入解析式求出m 即可．【答案与解析】解：∵B （2，1），∴BC=2，∵△ABC 的面积为2，∴×2×（n ﹣1）=2，解得：n=3，∵B （2，1），∴k=2，反比例函数解析式为：y=，∴n=3时，m=，∴点A 的坐标为（，3）．【总结升华】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，用待定系数法求出k 、根据三角形的面积求出n 的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用．举一反三：【变式】已知反比例函数k y x=与一次函数y ax b =+的图象都经过点P(2，－1)，且当1x =时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.【答案】因为双曲线k y x=经过点P(2，－1)，所以2(1)2k xy ==⨯-=-．所以反比例函数的关系式为2y x-=，所以当1x =时，2y =-．当1x =时，由题意知2y ax b =+=，所以直线y ax b =+经过点(2，－1)和(1，2)，所以有21,2,a b a b +=-⎧⎨+=⎩解得3,5.a b =-⎧⎨=⎩所以一次函数解析式为35y x =-+．类型二、反比例函数的图象及性质2、已知反比例函数k y x =(k ＜0)的图象上有两点A(11x y ，)，B(22x y ，)，且12x x <，则12y y -的值是()．A．正数B．负数C．非负数D．不能确定【思路点拨】一定要确定了A 点和B 点所在的象限，才能够判定12y y -的值.【答案】D；【解析】分三种情形作图求解．(1)若120x x <<，如图①，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数；(2)若120x x <<，如图②，有12y y >，12y y -＞0，即12y y -是正数；(3)若120x x <<，如图③，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数．所以12y y -的值不确定，故选D 项．【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论.举一反三：【变式】已知0a b ⋅<，点P（a b ，）在反比例函数xa y =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C；提示：由0a b ⋅<，点P（a b ，）在反比例函数xa y =的图象上，知反比例函数经过二、四象限，所以00ab <>，，直线b ax y +=经过一、二、四象限.3、（2020•淄博）反比例函数y=（a ＞0，a 为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M 在y=的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=的图象于点B ，当点M 在y=的图象上运动时，以下结论：①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB 的面积=矩形OCMD 面积﹣（三角形ODB 面积+面积三角形OCA ），解答可知；③连接OM ，点A 是MC 的中点可得△OAM 和△OAC 的面积相等，根据△ODM 的面积=△OCM 的面积、△ODB 与△OCA 的面积相等解答可得．【答案】D ．【解析】解：①由于A 、B 在同一反比例函数y=图象上，则△ODB 与△OCA 的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD 、三角形ODB 、三角形OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确；③连接OM ，点A 是MC 的中点，则△OAM 和△OAC 的面积相等，∵△ODM 的面积=△OCM 的面积=，△ODB 与△OCA 的面积相等，∴△OBM 与△OAM 的面积相等，∴△OBD 和△OBM 面积相等，∴点B 一定是MD 的中点．正确；故选：D ．【总结升华】本题考查了反比例函数y=（k ≠0）中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．4、反比例函数xm y =与一次函数)0(≠-=m m mx y 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【答案】C；【解析】一次函数()1y mx m m x =-=-是经过定点（1，0）,排除掉B、D 答案；选项A中m 的符号自相矛盾，选项C 符合要求.【总结升华】还可以按照m ＞0，m ＜0分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求.举一反三：【变式】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与xb a y +=在同一坐标系中的图象不可能是().【答案】B ；提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是<0,0a b <，则0a b +<，对于反比例函数来说，0a b +>，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.类型三、反比例函数与一次函数综合5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+(k ≠0)的图象与反比例函数m y x=(m ≠0)的图象相交于A、B两点．求：(1)根据图象写出A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．【答案与解析】解：(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，12)，点B 的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数(0)m y m x =≠的图象经过点A(2，12)，∴m ＝1．∴反比例函数的解析式为：1y x=．∵一次函数y kx b =+的图象经过点A 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B(－1，－1)，∴12,21,k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩解得：1,21.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴一次函数的解析式为1122y x =-．(2)由图象可知：当x ＞2或－l＜x ＜0时一次函数值大于反比例函数值．【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所求.举一反三：【变式】如图所示，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于点P，PA⊥x 轴于点A，PB⊥y 轴于点B，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C、点D，且27DBP S =△，12OC CA =．(1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的表达式；(3)根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？【答案】解：(1)由一次函数3y kx =+可知：D(0，3)(2)设P(a ，b )，则OA＝a ，13OC a =，得1,03C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由点C 在直线3y kx =+上，得1303ka +=，ka ＝－9，DB＝3－b＝3－(ka ＋3)＝－ka ＝9，BP＝a ．由1192722DBP S DB BP a === △，∴a ＝6，∴32k =-，b ＝－6，m ＝－36．∴一次函数的表达式为332y x =-+，反比例函数的表达式为36y x=-．(3)根据图象可知：当x ＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．类型四、反比例函数的实际应用6、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y (℃)，从加热开始计算的时间为()min x ．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃．(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【思路点拨】（1）首先根据题意，材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把y ＝15代入300y x=中，进一步求解可得答案．【答案与解析】解：依题意知两函数图象的交点为(5，60)(1)设材料加热时，函数解析式为y kx b =+．有15956015b k k b b ==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩∴915y x =+(0≤x ≤5)．设进行制作时函数解析式为1k y x=．则1300k =，∴300y x =(x ≥5)．(2)依题意知300x ＝15，x ＝20．∴从开始加热到停止操作共经历了20min．【总结升华】把握住图象的关键点，根据反比例函数与一次函数的定义，用待定系数法求解析式，并利用解析式解决实际问题.。

沪教版八年级数学暑假同步讲义第18讲函数单元复习(解析版)

正比例函数和反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，从本章开始，我们以运动．变化的观点为指导，引入变量和函数的初步的概念，学习两种与现实生活密切相关的简单函数．通过对这两类函数的解析式．定义域．它们的图像和性质的逐一研究，深化了函数概念的理解，并得出研究函数的一般方法．函数的概念与性质是初中阶段的重点．(1)理解函数的意义，掌握函数的定义域和对应法则,会求出x a 时的函数值．(2)本章研究了两个最简单的函数，即正比例函数与反比例函数的定义．图像和性质.这是本章的重点．要理解这两个函数的概念，能借助直观的图像，得到它们的一些基本性质，并知道它们在现实生活中的广泛应用．会用这些概念和性质，采用一定的方法，并渗透数形结合的思想，去解决一些简单的实际问题．(3)掌握函数的三种常用表示法，即解析法．列表法和图像法．知道各种表示法的优缺点，善于把这些方法结合起来，对函数进行分析与研究，还要善于利用图表获取信息．处理信息去解决问题，善于用数形结合的思想研究性质．知识结构正反比例函数单元复习内容分析班假暑级年八2 / 14一．函数的意义1．在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果x 在它的允许值范围内变化，y 随着x 的变化而变化，也就是他们之间存在着相依关系，就说变量y 是变量x 的函数．2．当一个变量取一个确定值时，按照某一对应法则，另一个变量也有确定的值与它对应，这就反映了两个变量间的对应关系，就目前我们涉及的函数，对于自变量在它自己允许值范围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与它对应，这里的对应法则就是函数的要素之一．3．自变量可取值的范围，我们称它为定义域.每一个函数都有定义域，定义域是函数的要素之一.函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体就称为函数的值域，这也是函数的要素之一．二．正比例函数和反比例函数正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x =≠图像经过(0,0)(1,)k 和两点的直线双曲线性质当0k >时，图像经过第一．三象限；当0k <时，图像经过第二．四象限当0k >时，图像经过第一．三象限当0k <时，图像经过第二．四象限增减性当0k >时，y 的值随着x 的值增大而增大当0k >时，y 的值随着x 的值增大而减小当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小；当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大．三．函数的常用表示法 1．数学方法—“待定系数法”，待定系数法是数学中常用的方法；2．数学思想—“数形结合”的思想，在解函数题时要充分利用所给函数图形，会正确画图．知识精讲【习题1】下列说法正确的是（）． A ．21x +不是x 的函数B ．汽车的行驶速度与驾驶员的身高存在函数关系C ．凡是过原点的直线的解析式都是正比例函数D ．反比例函数4y x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小【答案】D【解析】A 答案中是函数关系；B 答案中两者不存在函数关系；C 答案中过原点的直线也可以是x 轴和y 轴．【总结】本题主要考查函数的概念，以及正、反比例函数的性质．【习题2】 y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，那么y 与z 的关系是（）．A ．成正比例B ．成反比例C ．可能成正比例也可能成反比例D ．既不成正比例也不成反比例【答案】B【解析】∵y 与x 成正比例，∴kx y =，∵x 与z 成反比例，∴z m x =，∴zkm y =．【总结】本题主要考查两个变量成正比例或者成反比例的概念．【习题3】若函数231(1)mm y m x ++=+是正比例函数，则m 的值为（）．A ．3m =-B ．0m =C ．30m m =-=或D ．30m m ==或【答案】C【解析】1132=++m m ，则0=m 或3-．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．【习题4】函数3y x =．2y x =-．34y x =的共同点是（）． A ．图像经过相同的象限 B ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐减小C ．图像都经过原点D ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐增大选择题【答案】C【解析】都是正比例函数，因此图像都过原点．【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题5】若正比例函数的图像经过点(12)-，，则这个函数的图像一定经过点（）．A ．(21)-，B ．1(2)2-，C ．(12)-，D ．1(2)2，【答案】C【解析】正比例函数解析式为x y 2-=，代入C 中的点坐标，成立．【总结】本题主要考查正比例函数图像上点的坐标特征．【习题6】如图，过原点的一条直线与反比例函数(0)ky k x=≠的图像分别交于A 、B 两点．若A 点的坐标为()a b ，，则B 点的坐标为（）．A ．()a b ，B ．()b a ，C ．()b a --，D ．(a --，【答案】D【解析】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题7】已知0ab >，则函数by x a=的图像经过（）．A ．二、三象限B ．二、四象限C ．一、三象限D ．一、四象限【答案】C【解析】∵0ab >，∴0>ab．【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题8】已知：点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图像上任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（）． A ．2B ．2-C ．±2D ．4【答案】C【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像性质中面积不变性的运用．【习题9】已知反比例函数3k y x+=在它的图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，则k 的取值范围是（）． A ．0k >B ．0k <C ．3k >-D ．3k <-【答案】D 【解析】()0<=k xky 在每个象限内y 随着x 的增大而增大．【总结】考查反比例函数的定义和图像性质．【习题10】函数11y x =-的定义域是_________．【答案】1>x ．【解析】需要满足01>-x ，则1>x ．【总结】本题主要考查函数的定义域的求法，当含有二次根式时，被开方数要非负，同时保证分母不为零．【习题11】已知2()2f x x=-，则(2)f =_________．【答案】12+．【解析】2(2)=2+122f =-．【总结】本题主要考查利用代入法求函数的值．【习题12】正比例函数的图像经过(21)，，那么这个正比例函数的解析式是_________．【答案】x y 21=．【解析】主要考查利用待定系数法求正比例函数解析式．【习题13】反比例函数12y x=-的比例系数是_________．【答案】21-．【解析】xky =中k 叫做比例系数．填空题【总结】本题主要考查反比例函数比例系数的概念．【习题14】反比例函数2k y x-=的图像经过点(23)--，，那么这个反比例函数的解析式是 _________．【答案】xy 6=．【解析】待定系数法求反比例函数解析式．【习题15】反比例函数mny x=，当m 、n 异号时，它的图像位于第_______象限．【答案】二、四．【解析】m ．n 异号时，则0<mn ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题16】若函数23my mx -=，当m =______时，此时函数是正比例函数，且图像在第一、三象限，y 随x 的减小而_________．【答案】2；减小．【解析】132=-m ，则2±=m ；∵图像在第一、三象限，则2=m ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念以及正比例函数的图像的性质．【习题17】已知y8x =时，16y =，那么当64x =-时，y =__________，当64y =-时，x =__________．【答案】-32；-512【解析】∵y成正比例，∴3x k y =．∵当8x =时，16y =，∴3816k =，∴8=k ，∴38x y =．当64x =-时，326483-=-⨯=y ；当64y =-时，6483-=x ，则512-=x ．【总结】本题一方面考查两个变量成正比例的概念，另一方面考查求函数值的问题．【习题18】要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q (米3)和水泵抽水时间t (小时)的函数关系式为__________， t 的取值范围为_________________．【答案】t Q 30600-=；200≤≤t 【解析】工作总量=工作时间×工作效率．【总结】本题主要考查函数与实际问题的结合．【习题19】已知函数y ax =和4ay x-=的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是__________．【答案】(12)，或(12)--，．【解析】当1=x 时，a ax y ==，a xay -=-=44，则a a -=4，解得：2=a ．所以两个函数的解析式为：2y x =和2y x=，联立，解得交点坐标为：(12)，或(12)--，．【总结】本题主要考查待定系数法求解析式以及利用解析式求交点坐标．【习题20】已知：函数55y x x =--，求：（1）自变量的取值范围；（2）(4)A m ，在这个函数图像上，求m 的值；（3）当11x =-时，函数值y 等于多少？（4）当x 取什么值时，函数值是3？【答案】（1）（1）5≤x ；（2）19；（3）-59；（4）1．【解析】（1）5≤x ；简答题（2）当4=x 时，194545=--⨯=m ；（3）当11-=x 时，()()59115115-=----⨯=m ；（4）355=--x x ，x x -=-535，两边平方可得：0429252=+-x x ，则11=x ，2542=x ；代入到原方程中，254=x 不满足方程，则1=x ．【总结】本题主要考查根据函数解析式求函数值．【习题21】市出租车起步价是7元（路程小于或等于3千米），超过3千米加收1.2元，求出租车车费y 与行程x （3x >）之间的函数关系式．【答案】4.32.1+=x y ．【解析】()4.32.132.17+=-+=x x y ．【总结】本题主要考查根据实际问题确定函数解析式．【习题22】近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距是0.25米．求y 与x 的函数关系式．【答案】xy 100=．【解析】用待定系数法求反比例函数解析式．【习题23】现有100本图书借给学生每人2本，写出余下书数y (本)与学生数x (人)之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】()5002100≤≤-=x x y ．【解析】考查实际问题．【习题24】已知等腰三角形的周长为24，设腰长为x ，底边长为y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并求出自变量x 的取值范围．【答案】()126224<<-=x x y ．【解析】由三角形三边关系可得：x x y x x +<<-，将x y 224-=代入不等式中，可得： 126<<x ．【总结】本题主要考查函数关系式与实际问题之间的关系．【习题25】某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x 与售价y写出y 关于x 的函数解析式并画出函数图像．【答案】x y 1.2=，图像略．【解析】x x x y 1.21.02=+=【习题26】当k 为何值时，函数321()3k y k x -=+，（1）是正比例函数，并求出此时的函数解析式；（2）是反比例函数，此时函数的图像在什么象限？【答案】（1）x y 34=；（2）x y 32=，此时函数在一、三象限．【解析】（1）123=-k ，则1=k ，函数解析式为x y 34=；（2）123-=-k ，则31=k ，函数解析式为xy 32=，此时函数图像在一、三象限．【总结】本题一方面考查正、反比例函数的概念，另一方面考查反比例函数的性质．【习题27】已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像经过直线3y x =m ）．求m 和k 的值．【答案】33=m ，9=k ．【解析】∵m ）在直线3y x =上，∴33=m∵在反比例函数xky =上，∴9333=⨯=k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像上的点与图像的关系．【习题28】已知y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，如果(24)A m m -+，是它图像上的一点，求m 的值．【答案】32=m ．【解析】∵y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，∴x y 4=，∵(24)A m m -+，是x y 4=上的一点，∴m m 442=+-，∴32=m ．【总结】本题主要考查正比例函数图像上的点与图像的关系．【习题29】若双曲线21k y x-=的图象经过第二、四象限，求k 的取值范围．【答案】21<k ．【解析】由题意，可得：012<-k ，所以21<k ．【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题30】在反比例函数21m y x--=的图像上有三点11()x y ，，22()x y ，，33()x y ，，若1230x x x >>>，比较1y ，2y ，3y 的大小．【答案】312y y y <<．【解析】012<--m ，则函数y 随着x 增大而增大．【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题31】若11()A x y ，、22()B x y ，、33()C x y ，是函数3y x=图象上的点，且1230x x x <<<，求1y 、2y 、3y 、0的大小关系．【答案】3120y y y <<< 【解析】函数3y x=y 随着x 增大而减小．【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题32】已知反比例函数3m y x+=经过点A (2)m -，和B 2)n n （，，（1）求m 和n 的值；（2）若图像上有两点111()p x y ，和122()p x y ，，且120x x <<，试比较1y 和2y 的大小．【答案】（1）1-=m ，1±=n ；（2）21y y <．【解析】（1）∵反比例函数3m y x +=经过点A (2)m -，，∴23+=-m m ，解得：1-=m ．∴反比例函数解析式为：x y 2=，∵()n n B 2，在x y 2=上，∴nn 22=，∴1±=n（2）∵120x x <<，∴21y y <．【总结】本题一方面考查利用待定系数法确定反比例函数的解析式，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题33】已知点A 坐标为(60)-，，点(1)B a -，在直线3y x =上，求AOB ∆的面积．【答案】9．【解析】∵点(1)B a -，在直线3y x =上，∴(13)B --，∴93621210=⨯⨯=⋅⋅=y B A B OA S △．【总结】本题主要考查函数在求几何图形面积中的应用．【习题34】已知M 是反比例函数(0)ky k x =≠图像上一点，MA ⊥x 轴于A ，若4AOM S ∆=，求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 8=．【解析】过反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点作x 轴的垂线（或y 轴的垂线)构成的三角形的面积为k 21．解答题【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题35】已知直线y kx =过点(23)-，，点A 是直线y kx =上一点，点B 的坐标(40)，，且12ABC S ∆=，求点A 的坐标．【答案】()64-，A 或()64，-．【解析】∵直线y kx =过点(23)-，，∴x y 23-=∵点A 是直线32y x =-上一点，∴可设⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m A 23,∵12ABC S ∆=，∴1221=⋅⋅y A OB ，即1223421=-⨯⨯m ，则4±=m∴()64-，A 或()64，-．【总结】本题综合性较强，注意两种情况的讨论．【习题36】已知直线12y x =与双曲线ky x=交于A 点，且点A 的横坐标为4．若双曲线ky x=上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积．【答案】15．【解析】∵点A 的横坐标为4，∴其纵坐标为2214=⨯，∴()2,4A ． ∵()24，A 在x k y =上，则反比例的解析式为xy 8=，∴()81，C ．过点C 、A 分别作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则4==AOF COE S S △△．∴AOE COA CEFA COE S S S S △△梯形△+=+ ∴CEFA COA S S 梯形△= ∵()1538221=⨯+⨯=CEFA S 梯形∴15=COA S △．【总结】本题综合性较强，要注意分析坐标与距离的关系，另外注意利用割补法求面积．【习题37】正方形ABCD 的边长为8厘米，现点P 由点B 出发，沿BC →CD 边，设点P从B 点移动了x cm ，ABP S y ∆=2cm ，求y 关于x 的解析式，并写定义域．【答案】当80≤≤x 时，x y 4=；当168≤<x 时，32=y ．【解析】当P 在BC 上运动时，x x y 4821=⨯⨯=；当P 在CD 上运动时，328821=⨯⨯=y ．【总结】本题主要考查动点与三角形面积的关系，注意分类讨论．【习题38】如图，正比例函数y kx =（k ＞0）与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求ABCD S 四边形．【答案】6．【解析】∵正比例函数y kx =（k ＞0）与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点． ∴A 、C 关于原点对称， ∴OB OD =，∴OAD OAB S S △△=，OCD OCB S S △△=． ∵23=AOB S △，23=COD S △，∴3462AOB AOD DOC COB ABCD S S S S S =+++=⨯=△△△△四边形．【总结】本题一方面考查反比例函数与正比例函数的交点坐标的特征，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题39】已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像上有一点A ，过点A 向x 轴，y 轴分别作垂线，垂足分别为点B 、C ，且矩形ABOC 的面积为15．求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 15=或x y 15-=．【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题40】已知正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22(0)ky k x=≠的图像交于A ．B两点，点A 的坐标为（2，1）．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点B 的坐标．班假暑级年八14 / 14【答案】（1）x y 21=，xy 2=；（2）()12--，B 【解析】用待定系数法求函数解析式；正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题41】如图所示，在函数1y x=的图象上有三点A ．B ．C ，过这三点分别向x 轴．y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴．y 轴围成的矩形的面积分别为1S 、2S 、3S ，比较1S 、2S 、3S 的大小．【答案】123S S S ==．【解析】过反比例函数x ky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．。

正比例函数与反比例函数(沪教版)

正比例函数与反比例函数一、知识点归纳1、正比例与反比例如果这两种量中相对应的数的比值一定，这两种量就叫做成正比例量，二者之间关系即叫做正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例量，二者之间关系即叫做反比例关系二、典型例题1、已知函数是常数，当m是什么数时，（1）是正比例函数；（2）是反比例函数，并画出他们图像示意图即可。

2、直线＞与双曲线交于A（，）、B（，）两点，则2的值等于。

三、同步练习（一）填空题1、如果是正比例函数，则k= 。

2、点（a-1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数(k＞0)的图像上，若y1＜y2，则a的范围是。

3、长方形的面积为10cm2，则它的两条相邻边y（cm）与x（cm）之间的函数解析式为，定义域为。

（二）选择题1、若是反比例函数，则a的取值为（）A.1B. -1C.±1D. 任意数2、如果两点P1（1，）和P2（2，）都在反比例函数＞的图像上，那么（）A.＜＜B.＜＜C.＞＞D.＞＞3、如果与y成正比例，与z成反比例，下列说法正确的是（）A.与z成正比例B.与z成反比例C.与z不成比例D.与成正比例（三）解答题1、已知函数（1）当m为何值时，此函数为正比例函数，且图像经过第二、四象限？（2）当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y与x反方向变化。

2、若y=2y1+y2，y1与x-1成正比例，y2与成反比例，且当x=1时，y=-3；x=4时，y=3/2，写出y与x的函数解析式。

3、有一个水箱，它的容积为500升，水箱内原有水200升，现需将水箱注满，已知每分钟注水10升。

（1）写出水箱内增加的水量Q（升）与时间t（分）之间的函数解析式；（2）求出自变量t的取值范围；（3）画出函数图像。

4、已知直线y=kx与双曲线y=有两个交点，其中一个交点的横坐标为1.求（1）两个函数的解析式；（2）两个交点的坐标。

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（a，3）（a＞4），射线OA与反比例函数y=的图像交于点P，点B、C分别在该反函数上，且AB∥x轴，AC∥y轴。

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《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。

y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 要点二、正比例函数 1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k 是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.注意：正比例函数的定义域是一切实数. 2.图象：一般地，正比例函数y=kx （k 为常数，k ≠0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k ）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx 的图像叫做直线y=kx. 3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx 的图像.为了方便，我们通常取原点O （0，0）和点（1，k ）. 4.正比例函数的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值变化的世界函数建立数学模型应用概念选择方案概念函数表示图象性质正比例函数反比例函数与数学问题的综合与实际问题的综合列表法解析法图象法也随着逐渐增大.（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐减小.要点三、反比例函数 1、定义定义域为不等于零的一切实数的函数xky =，（ k 为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k 也叫比例系数. 2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

3、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。

注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 4、反比例函数的性质：（1）当k ＞0时，函数图像的两个分支分别分布在第一、三象限内，在每一个象限中，y 随x 的增大而减小；（2）当k ＜0时，两个分支分别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，y 随x 的增大而增大。

（3）两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴。

要点四、函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 1、解析法把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如)0(≠=k kx y 、)0(≠=k xky ，再如t S 100=、r C π2=、x y -=15……，2、列表法这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法． 3、图象法这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．【典型例题】类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（）Ａ.变量,x y 满足23x y +=，则y 是x 的函数；Ｂ.变量,x y 满足x y =||，则y 是x 的函数；Ｃ.变量,x y 满足x y =2，则y 是x 的函数；Ｄ.变量,x y 满足221y x -=，则y 是x 的函数.【答案】A ；【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的x 的值，都有两个y 值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的.举一反三：【变式】如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．2、求函数32x y x +=+的定义域【答案与解析】解：要使函数32x y x +=+有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2.解得自变量取值是x ≥－3且x ≠－2.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数的定义域（1）．52+-=x x y （2）．423xy x =- （3）．23y x =+（4）．21y x =-（5）．312y x =-【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；（2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．23y x =+2x ＋3≥0，即32x ≥-；（4）．21y x =-2x －1＞0，即12x >；（5）．312y x =-，x 为任何实数，函数都有意义；类型二、函数的解析式3、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数（1）求证：z 是x 的正比例函数；（2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数120,0k k ≠≠Q ∴120k k ≠且为常数∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠（2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴1214k k =∴z 关于x 的函数关系式是14z x =. 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆.举一反三：【变式】若函数22432m ny x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.【答案与解析】解：由题意，得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 11.5m n =⎧⎨=⎩∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1.4、．已知函数是反比例函数，则此函数解析式为_________。

【解析】：依题意，得：解得故所求函数解析为。

【总结升华】：反比例函数(k 是常数，k ≠0)也可记为：，其中k ≠0，x 的指数是－1。

举一反三：【变式】若函数y=(m 2－1)x为反比例函数，则m=________．【解析】：在反比例函数y=中，其解析式也可以写为y=k ·，故需满足：解得：.【总结升华】：函数y=为反比例函数，需满足k ≠0，且x 的指数是－1，两者缺一不可．类型三、函数的图象和性质5、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =、2y k x =、3y k x =、4y k x = 的图象分别为1l 、2l 、3l 、4l ，则下列关系中正确的是（） A ．1k ＜2k ＜3k ＜4k B ．2k ＜1k ＜4k ＜3k C ．1k ＜2k ＜4k ＜3k D ．2k ＜1k ＜3k ＜4k【答案】B ；【解析】首先根据直线经过的象限，知：2k ＜0，1k ＜0，4k ＞0，3k ＞0，再根据直线越陡，|k |越大，知：2||k ＞|1k |，|4k |＜|3k |．则2k ＜1k ＜4k ＜3k【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.举一反三：【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，1x ＋1y ＞0，那么t 的取值范围是（） A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12D ．不确定【答案】A ；提示：因为1x 1y ＜0，1x ＋1y ＞0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t－1＜0，t＜12．6．如图1，P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是____________．【答案】设P点坐标为(a，b)，则所以,.而，故，即.再设反比例函数为，由点P(a,b)在图象上，得，所以.从而求出，故解析式为.举一反三：【变式】已知反比例函数的图象在一、三象限，那么m的取值范围是_____。

【解析】：因为反比例函数的图象在一、三象限所以。

【总结升华】：反比例函数(k为常数，k不等于零)，当双曲线的两支分别位于第一、三象限时,则；当双曲线的两支分别位于第二、四象限，则。

类型四、函数的应用7、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？【答案与解析】解：依题意：1122PS OA y =⋅⋅=∵O （0，0），A （6，0）∴OA ＝6【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长. 举一反三：【变式1】一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强p （Pa ）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N ，回答下列问题：（1）用含S 的代数式表示p ，p 是S 的反比例函数吗？为什么？（2）当木板面积为0.2m 2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要多大？（4）画出相应的函数图象．【解析】：随着木板面积变小（大），压强p （Pa ）将变大（小）．（1），所以p 是S 的反比例函数，符合反比例函数的定义．（2），所以面积为时，压强是．（3）若压强，解得，故木板面积至少要.（4）函数图象如图所示：【总结升华】：解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识和物理知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具. 【变式2】若正比例函数的图像经过点A （－5，3），（1）求k 的值；（2）判断y 随x 的增大如何变化；（3）如果这条直线上点B 的横坐标B x ＝4，那么它的纵坐标的值是多少？【解析】解：(1)∵直线y kx =经过点A （－5，3）∴3＝－5k∴k ＝53- ∴直线的解析式为35y x =- （2）∵k ＝53-＜0,∴y 随x 的增大而减小。