LC无阻尼自由振荡电路

LC无阻尼自由振荡电路
将一个电感L、电容C串联，无电源，忽视电路中的电阻。

电路接通后，会产生电流吗？
显然，如果产生了电流，说明此时电路具有能量（电能），但是电路中，既没有提供电能的电源，也没有消耗电能的电阻，只是闭了一个开关而已，这说明原先电路中就有能量。

因为最开始时，开关未闭合，电路中显然没有电流，那么电感中无电流，就没有电流产生的磁场，所以电感中没有磁场能。

所以这个能量，只能来源于电容C两极板间的电势能。

设最初时电容器两极板间电压为U
这个电路涉及到电流方向的问题，所以要选取关联参考方向。

以从电容器高电位极板通过电感回到低电位极板的方向为关联参考方向，电压、电流均按此方向确定。

根据基尔霍夫定律，有
u L +u
C
=0
则u
C =-u
L
根据电感、电容上电流、电压间的微分关系，有
u
L
=L*di/dt
i=C*du
C
/dt
则
i=C*d(-u
L
)/dt
i=-C*du
L
/dt
i=-C*d(L*di/dt)/dt
i=-LC*d2i/dt2
LC*d2i/dt2+i=0
这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，用特征方程法解
方程中i对t的二阶导数前系数为LC，i前的系数为1，则特征方程为LCx2+1=0
LCx2=-1
x2=-1/LC
x=±(-1/LC)1/2
（注：为避免与电流符号混淆，虚数单位用j表示）
x=±(1/LC)1/2j
x 1=(1/LC)1/2j,x
2
=-(1/LC)1/2j
根据特征方程法的解法，方程通解应为：（注：为避免与电容混淆，积分变量用A'、B'表示）
i=A'e(1/LC)^(1/2)*jt+B'e-(1/LC)^(1/2)*jt
i=A'e[(1/LC)^(1/2)*t]j+B'e[-(1/LC)^(1/2)*t]j
根据欧拉公式e jx=jsinx+cosx，有
i=A'{jsin[(1/LC)1/2t]+cos[(1/LC)1/2t]}+B'{jsin[-(1/LC)1/2t]+cos[-(1/LC)1/2 t]}
i=A'jsin[(1/LC)1/2t]+A'cos[(1/LC)1/2t]+B'jsin[-(1/LC)1/2t]+B'cos[-(1/LC)1/ 2t]
i=A'jsin[(1/LC)1/2t]+A'cos[(1/LC)1/2t]-B'jsin[(1/LC)1/2t]+B'cos[(1/LC)1/2t ]
i=(A'-B')jsin[(1/LC)1/2t]+(A'+B')cos[(1/LC)1/2t]
当t=0时，因电感上电流不突变，所以i=0
代入i=(A'-B')jsin[(1/LC)1/2t]+(A'+B')cos[(1/LC)1/2t]，得
0=(A'-B')jsin0+(A'+B')cos0
0=(A'-B')j*0+(A'+B')*1
0=A'+B'
B'=-A'
将B'=-A'代回i=(A'-B')jsin[(1/LC)1/2t]+(A'+B')cos[(1/LC)1/2t]，得i=[A'-(-A')]jsin[(1/LC)1/2t]+[A'+(-A')]cos[(1/LC)1/2t]
i=(A'+A')jsin[(1/LC)1/2t]+(A'-A')cos[(1/LC)1/2t]
i=2A'jsin[(1/LC)1/2t]+0*cos[(1/LC)1/2t]
i=2A'jsin[(1/LC)1/2t]
为方便记录，令2A'j=A，则
i=Asin[(1/LC)1/2t]
di=d{Asin[(1/LC)1/2t]}
di=A*d{sin[(1/LC)1/2t]}
di=A*cos[(1/LC)1/2t]*d[(1/LC)1/2t]
di=A*cos[(1/LC)1/2t]*(1/LC)1/2*dt
di/dt=A(1/LC)1/2cos[(1/LC)1/2t]
当t=0，因电容上电压不突变，所以u
C =-U
则u
L =-u
C
=U
所以u
L =L*di/dt=U
于是di/dt=U
/L
代入di/dt=A(1/LC)1/2cos[(1/LC)1/2t]，得
U
/L=A(1/LC)1/2cos[(1/LC)1/2*0]
=AL(1/LC)1/2cos0
U
=A(L2)1/2(1/LC)1/2
U
U
=A(L2/LC)1/2
=A(L/C)1/2
U
A=U
/(L/C)1/2
(C/L)1/2
A=U
代回i=Asin[(1/LC)1/2t]，得
i=U
(C/L)1/2sin[(1/LC)1/2t]
这就是LC无阻尼自由振荡电路上电流公式。