北京东直门中学2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题(word无答案)
2019-2020学年下学期九年级数学第一次月考试卷
2019-2020学年下学期九年级数学第一次月考试卷一、选择题(每小题3分，共60分)1. －15的相反数是( )A. 5B. 15C. －5D. －152. 移动支付被称为中国“新四大发明”之一，据统计我国目前每分钟移动支付金额达3.79亿元，将数据3.79亿用科学记数法表示为( )A. 3.79×108B. 37.9×107C. 3.79×106D. 379×1063. 某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是( )第3题图4. 古代“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则绳索和竿长分别为( )A. 30尺和15尺B. 25尺和20尺C. 20尺和15尺D. 15尺和10尺5. 如图，直线l 1∥l 2，被直线l 3、l 4所截，并且l 3⊥l 4，∠1＝44°，则∠2等于( )A. 44°B. 54°C. 46°D. 56°第5题图 6. 若反比例函数y ＝2－k x 的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是( )A. k <2B. k >－2C. k <－2D. k >27. 关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋m ＝0根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定8. 学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”A. 70分，70分B. 80分，80分C. 70分，80分D. 80分，70分9. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC 的两边分别交于点E 、F ，分别以点E 和点F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线BM ，交AC 于点D ，若AD ＝10 cm ，∠ABC ＝2∠A ，则CD 的长为( )A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm第9题图10. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AD ＝4，动点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线CD －DB 向终点B 运动，设运动时间为x 秒，△APC 的面积为y ，则y 与x 的大致图象为( )第10题图11.下列各数中最小的数是()A. |－5|B. －(－3)C. 0D. π12.如图，由完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为()第12题图13.如图，已知AB∥CD，∠A＝110°，∠D＝30°，则∠CED的度数为()第13题图A. 70°B. 75°C. 80°D. 85°14.下列计算正确的是()A. a2·a2＝2a4B. (－a2)3＝－a6C. 3a2－6a2＝3a2D. (a－2)2＝a2－415.若关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. k<1且k≠0B. k≠0C. k<1D. k>116.甲、乙两个班参加了学校组织的“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()A.B. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定D. 甲班成绩优异的人数比乙班多17.程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大僧共得几馒头．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大和尚共分得()个馒头．A. 25B. 72C. 75D. 9018.现有两个不透明的袋子中分别装有标号1、2、3、4和标号2、3、4的7个小球，7个小球除标号外其余均相同，随机从两个袋子中各抽取一个小球，则两小球标号数字和大于6的概率为()A. 12 B.13 C.14 D.1619.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E；②分别以D、E为圆心，DE的长为半径画弧，两弧相交于点F；③作射线AF，交BC于点G，则CG的长为()A. 3B. 6C. 23 D.83第19题图20.如图，点O(0，0)，A(0，1)是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA 2A 3B 2，…，依此规律，则点A 7的坐标是( )第20题图A. (－8，0)B. (8，－8)C. (－8，8)D. (0，16)二、填空题(每小题3分，共30分)21. 计算：(13)－1－3－8＝________．22. 不等式组⎩⎨⎧5x －1>3x －5－12x≤2－x的解集是________．23. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黑球，摸出一个不放回，再摸一次，则两次都摸到红球的概率为________．24. 如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝75°，以C 为旋转中心将△ABC 顺时针旋转，当点B 落在AB 上点D 处时，点A 的对应点为E ，则阴影部分面积为________．第24题图25. 如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 是AB 上一点，将正方形沿CE 折叠，点B 落在正方形内一点B′处，若△AB′D 为等腰三角形，则BE 的长为________．第25题图26. 计算： (π－3.14)0－3－1＝________．27. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≥02x>x －1的最大整数解是________． 28. 点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c(a<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是________．29. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝90°，以AB 为直径的半圆交斜边BC 于点D ，则图中阴影部分的面积为________．第29题图 第30题图30. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，点P 是射线BC 上一动点，l 为矩形的一条对称轴，将△ABP 沿AP 折叠，当点B 的对应点B′落在l 上时，BP 的长为________．三、解答题(共30分)31. (8分)先化简，再求值：(a －2a a ＋1)÷a 2－2a ＋1a 2－1，其中a ＝5－1.32. (10分)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB ＝42°，∠CBA ＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短多少公里？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，2≈1.41)第32题图33. (12分)如图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想图①中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．第33题图。
最新北京市2019-2020年九年级下第一次月考数学试卷含答案解析
九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题有8小题，共24分）．1．﹣5的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（）﹣1=﹣2 C．|﹣6|=6 D． =±43．用科学记数法表示﹣0.0000031，结果是（）A．﹣3.1×10﹣4B．3.1×10﹣6C．﹣0.31×10﹣5D．﹣3.1×10﹣64．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤25．如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，BC=5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（）A．9πB．12π C．15π D．20π6．如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线BD的长是（）A．5 B．10 C．5 D．107．如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．8．若A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（0，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2二、填空题（本大题有8小题，共24分）9．因式分解：2a3﹣8a= ．10．不等式组的解集是．11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC等于°．12．已知，△ABC，按如下步骤作图：（1）以A为圆心，AC长为半径画弧；（2）以B为圆心，BC长为半径画弧，与前一条弧相交于点D，（3）连接CD．若AC=6，CD=8，则sin∠CAB= ．13．已知实数m是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的一根，则代数式2m2﹣4m+2值为．14．一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=的图象一个交点为（a，b），则a+b﹣ab= ．15．已知A，B，C是反比例函数y=（x＞0）图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段为边作出三个正方形，再以正方形的边长为直径作两个半圆，组成如图所示的阴影部分，则阴影部分的面积总和是．（用含π的代数式表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．三、解答题（本大题有11小题，共72分）17．计算： +|1﹣|+（sin30°）﹣1﹣（π﹣3.14）0．18．解方程： +=1．19．先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入，求原式的值．20．某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）请将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有人达标；（3）若该校学生有学生 2000人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？21．如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，AE平分∠BAC、CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求证：四边形AECF是菱形．22．已知关于x的方程2x2﹣（2m+4）x+4m=0．（1）求证：不论m取何实数，方程总有两个实数根；（2）等腰△ABC的一边长b=3，另两边长a，c恰好是此方程的两个根，求△ABC的周长．23．小英和小明姐弟二人准备一起去观看端午节龙舟赛．但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去看龙舟赛．游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先由小英从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小明从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同．则小英赢，否则小明赢．（1）请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．24．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为100米的点P处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO=45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此出租车是否超过了城南大道每小时60千米的限制速度？25．如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．26．已知抛物线y=ax2﹣x+c过点A（﹣6，0），对称轴是直线x=﹣2，与y轴交于点B，顶点为D．（1）求此抛物线的表达式及点D的坐标；（2）连DO，求证：∠AOD=∠ABO；（3）点P在y轴上，且△ADP与△AOB相似，求点P的坐标．27．在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE= 时，△PEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM：MC=m：n（m、n为正数），试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有8小题，共24分）．1．﹣5的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣【考点】倒数．【专题】常规题型．【分析】根据倒数的定义可直接解答．【解答】解：﹣5的倒数是﹣．故选：D．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（）﹣1=﹣2 C．|﹣6|=6 D． =±4【考点】同底数幂的乘法；绝对值；算术平方根；负整数指数幂．【分析】据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数；负数的绝对值是它的相反数；一个正数的算术平方根只有一个；对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故B错误；C、|﹣6|=6，故C正确；D、16的算术平方根是4，故D错误；故选：C．【点评】本题考查同底数幂相乘，底数不变指数相加；负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数；负数的绝对值是它的相反数；一个正数的算术平方根只有一个，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键3．用科学记数法表示﹣0.0000031，结果是（）A．﹣3.1×10﹣4B．3.1×10﹣6C．﹣0.31×10﹣5D．﹣3.1×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：﹣0.0000031=﹣3.1×10﹣6，故选D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．5．如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，BC=5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（）A．9πB．12π C．15π D．20π【考点】圆锥的计算．【分析】由勾股定理易得圆锥的底面半径长，那么圆锥的侧面积=×2π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵AC=4，BC=5，∴由勾股定理得：AB=3∴底面的周长是：6π∴圆锥的侧面积等×6π×5=15π，故选C．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．6．如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线BD的长是（）A．5 B．10 C．5 D．10【考点】菱形的性质．【分析】由四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得∠ACB=BCD=×120°=60°，AC⊥BD，OC=AC=×5=2.5，BD=2OB，又由三角函数的性质，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACB=BCD=×120°=60°，AC⊥BD，OC=AC=×5=2.5，BD=2OB，∴在Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ACB=2.5×=，∴BD=2OB=5．故选C．【点评】此题考查了菱形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，由俯视图可以看出一共3列，右边有前后2排，后排是2个小正方体，前面一排有1个小正方体，其他两列都是1个小正方体，由此可判断出这个几何体的主视图．【解答】解：俯视图可以看出一共3列，右边有前后2排，后排是2个小正方体，前面一排有1个小正方体，其他两列都是1个小正方体，由此可判断出这个几何体的主视图是A故选A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．8．若A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（0，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∵﹣2﹣（﹣5）=﹣2+5=3，﹣2﹣（﹣3）=﹣2+3=1，0﹣（﹣2）=2，∴y2＜y3＜y1．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键．二、填空题（本大题有8小题，共24分）9．因式分解：2a3﹣8a= 2a（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．【解答】解：2a3﹣8a，=2a（a2﹣4），=2a（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．不等式组的解集是﹣2＜x≤1 ．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别求出不等式组中的每个不等式的解集，再找到其公共部分面积可．【解答】解：，由①得，x＞﹣2；由②得x+2x﹣2≤1，3x≤3，x≤1；∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1；故答案为﹣2＜x≤1．【点评】本题考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC等于25 °．【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】由等腰三角形的性质可求得∠C，再根据平行线的性质可求得∠DAC．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BAC=130°，∴∠C==25°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=25°，故答案为：25．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和平行线的性质，根据等腰三角形的两底角相等求得∠C 的度数是解题的关键．12．已知，△ABC，按如下步骤作图：（1）以A为圆心，AC长为半径画弧；（2）以B为圆心，BC长为半径画弧，与前一条弧相交于点D，（3）连接CD．若AC=6，CD=8，则sin∠CAB= ．【考点】作图—基本作图；解直角三角形．【分析】如图，连接AD、BD．AB与CD交于点O．首先证明AB垂直平分线段CD，根据sin∠ACB=，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AD、BD．AB与CD交于点O．∵AC=AD，BC=BD，∴AB垂直平分线段CD，∴CO=OD=4，在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，AC=6，CO=4，∴sin∠ACB===．故答案为．【点评】本题考查基本作图、线段线段垂直平分线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．已知实数m是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的一根，则代数式2m2﹣4m+2值为 4 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=1，然后利用整体代入的方法将其代入到2m2﹣4m+2=2（m2﹣2m）+2计算．【解答】解：根据题意m2﹣2m﹣1=0，即m2﹣2m=1，∴2m2﹣4m+2=2（m2﹣2m）+2=2+2=4，故答案为：4．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14．一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=的图象一个交点为（a，b），则a+b﹣ab= 1 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】把点的坐标代入函数的解析式可得到b=﹣a+3，ab=2，再代入求值即可求得答案．【解答】解：∵一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=的图象一个交点为（a，b），∴b=﹣a+3，ab=2，∴a+b=3，ab=2，∴a+b﹣ab=3﹣2=1．故答案为1．【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标的特征，利用交点坐标满足两函数的解析式代入可求得a+b和ab的值是解题的关键．15．已知A，B，C是反比例函数y=（x＞0）图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段为边作出三个正方形，再以正方形的边长为直径作两个半圆，组成如图所示的阴影部分，则阴影部分的面积总和是6﹣π．（用含π的代数式表示）【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】由于A，B，C是反比例函数y=（x＞0）图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点），利用整除性易得A点坐标为（1，4），B点坐标为（2，2），C点坐标为（4，1），则三个正方形的边长分别为1，2，1，而每个正方形内的阴影部分的面积都等于正方形的面积减去一个圆的面积，则根据正方形和圆的面积公式得到阴影部分的面积总和=1﹣π•（）2+4﹣π•12+1﹣π•（）2．【解答】解：∵A，B，C是反比例函数y=（x＞0）图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点），∴A点坐标为（1，4），B点坐标为（2，2），C点坐标为（4，1），∴三个正方形的边长分别为1，2，1，∴阴影部分的面积总和=1﹣π•（）2+4﹣π•12+1﹣π•（）2=6﹣π．故答案为6﹣π．【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用正方形的性质和圆的面积公式进行计算．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（本大题有11小题，共72分）17．计算： +|1﹣|+（sin30°）﹣1﹣（π﹣3.14）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简，绝对值的性质，4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解： +|1﹣|+（sin30°）﹣1﹣（π﹣3.14）0=2+﹣1+2﹣1=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．解方程： +=1．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1=x﹣4，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．19．先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入，求原式的值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】将原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除式分子提取a分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后找出满足a范围且能使分式有意义的正整数解，将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．【解答】解：原式=（+）÷=•=，∵﹣2≤a≤2，且a≠±2，a≠0，a≠1，∴a只能取﹣1，当a=﹣1时，原式==．【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．20．某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）请将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有96 人达标；（3）若该校学生有学生 2000人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】计算题．【分析】（1）由“不合格”的人数除以占的百分比求出总人数，确定出“优秀”的人数，以及一般的百分比，补全统计图即可；（2）求出“一般”与“优秀”占的百分比，乘以总人数即可得到结果；（3）求出达标占的百分比，乘以2000即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：24÷20%=120（人），则“优秀”人数为120﹣（24+36）=60（人），“一般”占的百分比为×100%=30%，补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：36+60=96（人），则达标的人数为96人；（3）根据题意得：×2000=1600（人），则全校达标的学生有1600人．故答案为：（2）96【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，AE平分∠BAC、CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求证：四边形AECF是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，且∠B=∠D，再由CE=AF，可得BE=DF，即可利用SAS定理判定△ABE≌△CDF；（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据AE=BE，可得∠ABE=∠BAE，由∠BAC=90°可得∠ABE+∠ACE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，再根据等角的余角相等可得∠ACE=∠EAC，进而得到AE=EC，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，∴∠BAE=BAC，∠FCD=∠ACD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵CE=AF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∵∠BAC=90°，∴∠ABE+∠AC E=90°，∠BAE+∠EAC=90°．∴∠ACE=∠EAC，∴AE=CE，∴平行四边形AECF是菱形．∴四边形AECF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相，对角线互相平分，②菱形的判定定理：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．22．已知关于x的方程2x2﹣（2m+4）x+4m=0．（1）求证：不论m取何实数，方程总有两个实数根；（2）等腰△ABC的一边长b=3，另两边长a，c恰好是此方程的两个根，求△ABC的周长．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；（2）注意：分b=c，b=a两种情况．【解答】解：∵△=[﹣（2m+4）]2﹣4×2×4m=4m2+16m+16﹣32m=4m2﹣16m+16=4（m﹣2）2≥0，∴不论m取何实数，方程总有两个实数根；（2）①当b=c时，则△=0，即（k﹣2）2=0，∴k=2，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7；②若b=3是等腰三角形的一腰长，即b=a=3时，∵2x2﹣（2m+4）x+4m=0．∴2（x﹣2）（x﹣m）=0，∴x=2或x=m，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴m=b=3，∴c=2，∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8．综上所述，△ABC的周长为7或8．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的判别式判断方程的根的情况是基础，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍是解题的关键．23．小英和小明姐弟二人准备一起去观看端午节龙舟赛．但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去看龙舟赛．游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先由小英从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小明从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同．则小英赢，否则小明赢．（1）请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）利用树状图分别列举出所有可能即可．（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两球颜色是否相同的概率，求出概率比较，即可得出结论．【解答】解：（1）（2）根据树状图可知，P（小英赢）=，P（小明赢）=，P（小英赢）＞P（小明赢），所以该游戏不公平．【点评】此题主要考查了游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为100米的点P处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，且∠APO=60°，∠BPO=45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此出租车是否超过了城南大道每小时60千米的限制速度？【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）利用三角函数在两个直角三角形中分别计算出BO、AO的长，即可算出AB的长；（2）利用路程÷时间=速度，计算出出租车的速度，再把60千米/时化为米/秒，再进行比较即可．【解答】解：（1）由题意知：PO=100米，∠APO=60°，∠BPO=45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO=45°，∴BO=PO=100米，在直角三角形APO中，∵∠APO=60°，∴AO=PB•tan60°=100米，∴AB=AO﹣BO=（100﹣100）=100（﹣1）（米）；（2）∵从A处行驶到B处所用的时间为4秒，∴速度为100（﹣1）÷4=25（﹣1）米/秒，∵60千米/时==米/秒，而25（﹣1）＞，∴此车超过了每小时60千米的限制速度【点评】此题是解直角三角形的应用，主要考查了锐角三角函数，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．25．如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．【考点】切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线．（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD．【解答】解：（1）直线BD和⊙O相切（1分）证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC∴∠ABC=∠ODB（2分）∵OD⊥BC∴∠DBC+∠ODB=90°∴∠DBC+∠ABC=90°∴∠DBO=90°∴直线BD和⊙O相切．（5分）（2）连接AC∵AB是直径∴∠ACB=90°在Rt△ABC中，AB=10，BC=8∴∵直径AB=10∴OB=5．（7分）由（1），BD和⊙O相切∴∠OBD=90°∴∠ACB=∠OBD=90°由（1）得∠ABC=∠ODB，∴△ABC∽△ODB（9分）∴∴，解得BD=．【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定的综合运用．26．已知抛物线y=ax2﹣x+c过点A（﹣6，0），对称轴是直线x=﹣2，与y轴交于点B，顶点为D．（1）求此抛物线的表达式及点D的坐标；（2）连DO，求证：∠AOD=∠ABO；（3）点P在y轴上，且△ADP与△AOB相似，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将对称轴是直线x=﹣2，以及点A（﹣6，0），代入解析式求出即可；（2）过D作DH⊥x轴，利用D（﹣2，4），得出在Rt△DHO中tan∠AOD=2，进而得出∠AOD=∠ABO；（3）分别根据情况1：若∠DAP=90°，情况2：若∠ADP=90°，情况3：若∠APD=90°，分析得出P 点坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+c过点A（﹣6，0），对称轴为x=﹣2，∴，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+3，顶点D坐标为（﹣2，4）；（2）过D作DH⊥x轴，∵D（﹣2，4），∴在Rt△DHO中tan∠AOD=2，又∵B（0，3），A（﹣6，0），∴在Rt△ABO中tan∠ABO=2，∴∠AOD=∠ABO；（3）∵△ADP与△AOB相似，而△AOB为直角三角形，∴△ADP也为直角三角形，∴情况1：若∠DAP=90°，∵D（﹣2，4），A（﹣6，0），∴∠DAO=45°，∴∠OAP=45°，∴P（0，﹣6）但此时AD=4，AP=6，∴=，又=，∴△ADP与△AOB不相似，∴此时点P不存在．情况2：若∠ADP=90°，∵D （﹣2，4），A （﹣6，0），∴∠ADH=45°，∴∠HDP=45°，∴P （0，2）此时， ==， =，且∠ADP=∠AOB ，∴△ADP 与△AOB 相似，即当P （0，2）时，使得△ADP 与△AOB 相似．情况3：若∠APD=90°，设P （0，t ），则AP 2+PD 2=AD 2，即36+t 2+4+（t ﹣4）2=32，得t 2﹣4t+12=0，∵△＜0，∴无解，∴点P 不存在．综上所述，点P 的坐标是（0，2）．【点评】此题主要考查了一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质与判定，以及分类讨论思想的应用，根据△ADP不同角为90度分别分析求解是解题关键．27．在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE= 0、2或4±2时，△PEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM：MC=m：n（m、n为正数），试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据△PEC是等腰三角形，分类进行讨论即可；（2）连接BP，首先根据题干条件证明出∠BPD=∠CPE，然后证明△DPB≌△EPC，于是证明出PD=PE；（3）过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H，首先根据角之间的关系求出∠GMD=∠HME，进而证明出△MGD∽△MHE，根据相似三角形对应边成比例，得到，再求出GM、HM关于m、n 的表达式，三式结合求出MD、ME之间的比例关系．【解答】（1）解：当BE=0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，当BE=2时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形由题干条件知PC=2，当CP=CE时△PEC是等腰三角形，BE=4﹣2；当E在BC的延长线上时，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2；故答案为0、2或4±2．（2）证明：连接BP．∵AB=BC 且∠ABC=90°，。
北京市东城区东直门中学2019-2020年九年级下学期数学测试(Word版,无答案)
2019-2020 东直门中学九年级下数学测试五2020.3.26一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 1．若代数式3xx -的值为零，则实数 x 的值为 A ． x =0B ．x ≠0C ．x =3D ．x ≠32. 下面四幅图中所作的∠AOB 不．一．定．等．于．60°的是A ．B ．C ．D ．3. 下列运算中，正确的是A ． x 2 + 5x 2 = 6x 4B ． x 3 ⋅ x 2 = x 6C ． ( x 2 )3 = x 6D ． (xy )3 = xy 3 4.下列实数中，在 2 和 3 之间的是A ． πB ． π - 2C D5. 不等式23x x +>的解集在数轴上表示正确的是6．数轴上分别有 A 、B 、C 三个点，对应的实数分别为 a 、b 、c 且满足， a > c ， b ⋅ c < 0 ，则原点的位置aA ．点 A 的左侧B ．点 A 点 B 之间C ．点 B 点 C 之间D ．点 C 的右侧7．已知反比例函数 y = 6x，当 1 ＜ x ＜ 2 时 ， y 的取值范围是A ． 1 ＜ y ＜ 3B ． 2 ＜ y ＜ 3C ． 1 ＜ y ＜ 6D ．3 ＜ y ＜ 68．如图 1 所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为 20 m/s 和 v (m/s)，起初甲车在乙 车前 a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设 x (s)后两车相距 y(m)，y 与 x 的函数关系如图 2 所示．有以下 结论： ①图 1 中 a 的值为 500； ②乙车的速度为 35 m/s ； ③图 1 中线段 EF 应表示为 500 + 5x ；④图 2 中函数图象与 x 轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是 A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①③④m n⎪=-二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9．分解因式：3a2 + 6a + 3 =．10．关于x 的方程x2 -4x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为.11．如果m = 3n ，那么代数式⎛n-m ⎫⋅⎝⎭mn -m的值是．1 2．如图，已知函数y=x+b和y=ax+c的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+c的解集为13．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50 千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30 分钟. 已知从北京到上海全程约1320 千米，求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x 千米/时，依题意，可列方程为．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =3(x+ 2)2 -1平移后得到抛物线y = 3x2 + 2 .请你写出一种平移方法. 答：.15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为A(1, 0) ，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，∠ABC = 90︒，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限. 将△ABC 绕点A 逆时针旋转75︒，如果点C 的对应点E 恰好落在y 轴的正半轴上，那么B 点的坐标为.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形的直角顶点与原点O 重合，顶点A，B 恰好分别落在函数y1( x＜0) ，y =4( x＞0) 的图象上，x x则tan∠ABO 的值为.三、解答题（本题共68 分，第17－22 题，每小题5 分，第23－26 题，每小题6 分，第27，28 题，每小题7 分）17 4 s in 45︒+ 2)0 - ( 1 )-2 ．218．已知x2 - 3x -4 =0，求代数式(x+1)(x-1) -(x+ 3)2 + 2x2 的值19．解方程：x+1= 3 .x - 2 2 -x20．关于x 的一元二次方程x2 - (m + 3)x + 3m = 0 .（1）求证：方程总有实数根；（2）请给出一个m 的值，使方程的两个根中只．有．一个根小于4 .21. 已知二次函数 y = x 2 + bx + c 图象上部分点的横坐标 x 、纵坐标 y 的对应值如下表:（1）求二次函数的表达式.（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出 y <0 时自变量 x 的取值范围.22．如图，在四边形 ABCD 中， ∠A = 45︒ ， CD = BC ， DE 是 AB 边的垂直平分线，连接CE ． （1）求证： ∠DEC = ∠BEC ； （2）若 AB = 8 ， BC 10，求CE 的长．23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 1 : y = -2x + b 与 x 轴，y 轴分别交于点1(,0)2A ，B ，与反比例函数 图象的一个交点为 M (a ,3) . （1）求反比例函数的表达式；（2）设直线 l 2 : y = -2x + m 与 x 轴， y 轴分别交于点 C ,D ,且 S ∆OCD = 3S ∆OAB ，直接写出 m 的 值.x… 0 1 2 3 … y…3-1…24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD⊥AB 于点E，且DC=AD．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F，FC 的延长线交AB 的延长线于点G.（1）求证：FG 与⊙O 相切；（2）连接EF，求tan EFC 的值.25．小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：收费项目收费标准3 公里以内收费13 元基本单价 2.3 元/公里…………备注：出租车计价段里程精确到500 米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下学期第一次月考试题1
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．北京市2020年〖人教版〗九年级数学下学期第一次月考试题创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校第一部分 选择题一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确．．的） 1.-的绝对值是（ ） A ．， B. -, C.20151, D. 20151- 2.下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（ ）3.今年参加我市初中毕业生学业考试的考生总数大约有83720人，将这个数字保留两个有．．．效数字．．．，用科学记数法表示为( ) A ．84×104B ．8.4×104C ．8.4×105D ．8.372×1047. 如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个 数字之积为奇数的概率是（ ）. A ．53， B.31, C. 21, D. 61 8. 对于一组数据：75，73，75，71，76，下列说法正确．．的是：（ ） A ．这组数据的平均数是75， B.这组数据的中位数是74 C.这组数据的方差是3.2， D.这组数据的众数是76.9.在同一直角坐标系中，函数k kx y -=与xk y = (k 0)的图象大致是（ ）10.某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km 。
一部分学生乘慢车先行,出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地。
已知快车速度是慢车速度的1.5倍,如果设慢车的速度为hxkm ,那么可列方程为（ ）y x O A y x Oy x O C y xO DyxO2A.x 120－15.1120=xB.x 120－15.1120=+x C.11205.1120=-xx D.11205.1120=-+xx11.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的有．．．．（ ）①.0ab <， ②.0ac <, ③.当2x <时，函数值随x 增大而增大；当2x >时，函数值随x 增大而减小, ④.二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的横坐标就是方程20ax bx c ++=的根 A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12.如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上的点，与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若,cm 15S 2APD =∆，2BQC cm 25S =∆， 则阴影部分的面积为（ ）．A ．40cm 2, B.10cm 2, C. 20cm 2, D. 30cm 2.第二部分 非选择题 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13.因式分解：x 3y －xy =▲．14．如图小明在楼上点A 处测得旗杆BC 顶部B 的仰角为30°,测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A 距地面高AD 为12m ，旗杆的高度为▲ m. 15. 观察下列一组数的排列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…， 前个数中，有▲个偶数．16. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线)0k (x ky ≠=上。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册下学期第一次月考数学试卷
北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册下学期第一次月考数学试卷创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题（本大题共7个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题3分，满分21分）1. －12的绝对值是 ( )A ．－2B ．－12Ｃ．12D ．22. 下列运算正确的是（ ） A ．222a a a +=B ．22()a a -=-C ．235()a a =D ．32a a a ÷=3. 不等式10324x x x ->⎧⎨>-⎩的解集是（ ）4.要使x 24-有意义，则字母x 应满足的条件是( ). A.x ＝2 B. x ＜2C. x ≤2 D. x ≥25. 长城总长约为6700010米，用科学记数法表示是 （ ）.(保留两个有效数字) A ．6.7×105米 B. 6.7×106米 C. 6.7×107米 D. 6.7×108米 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15， AB 的垂直平分线 ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则sin ∠CAD=（ ） A.14B. 13C.154D.15157．下列事件属于必然事件的是（ ）Ａ．367人中至少有两人的生日相同；Ｂ．某种彩票的中奖率为1100，购买100张彩票一定中奖。
Ｃ．掷一次骰子，向上的一面是6点； Ｄ．某射击运动员射击一次，命中靶心。
二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分）8. 四次测试小丽每分钟做仰卧起坐的次数分别为：50、45、48、47，这组数据的中位数为_______. 9.在你认识的图形中，写出一个既是轴对称又是中心对称的图形名称：___________________. 10. 如右图，O 的半径是2，∠ACB=30°，则AB 的长是（结果保留π）.11. 如下图3，在半径为10的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ， AB ＝16，则CD 的长是．12.若方程51122m x x 无解，则m = ．13．点（－2，3）在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，则这个反比例函数的表达式是. 14.用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律， 第n 个图形需要棋子_ 枚．（用含n 的代数式表示）三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）15. （本小题5分）计算：119(2)(1)3-⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭16．（本小题5分）先化简再求值：.25624322+-+-÷+-a a a a a 选一个使原代数式有意义的数带入求值.17．（本小题6分）如图，在正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点，（G 与B 、C 两点不重合），E 、F 是AG 上的两点（E 、F 与A 、G 两点不重合），若AF=BF+EF ，∠1=∠2，请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论18． (本小题满分8分) 现有一本故事书，姐妹俩商定通过摸球游戏定输赢（赢的一方先看），游戏规则是：用4个完全相同的小球，分别表上1、2、3、4后放进一个布袋内，先由姐姐从布袋中任意摸出一个小球，记下小球的标号后放回并摇匀，再由妹妹任意摸出一个小球，若两人摸出的小球标号之积为偶数，则姐姐赢，两人摸出的小球标号之积为奇数，则妹妹赢.这个游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由.19.（本小题6分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD ⊥AC 于D ，连结BC ． （1）求证：12OD BC ； （2）若40BAC∠，求∠ABC 的度数．20、（本小题6分）如热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）参考答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 答 案CDCCBAA二、填空题：第1个图形第2个图形 第3个图形 …ABCOD 图3ABC DO21F CDE图6F EDCBA2143开始8．47.5 9.圆，正方行，正六边行，正八边行…… 10.23π 11. 4 12. -4 13. 6y x=-14. 3n+1（n ≥1） 三、解答题：15．解：原式=3213++-3=. 16. 解：原式=.25)3(2)2)(2(32+-+-+÷+-a a a a a a =.25)2)(2()3(232+--++⋅+-a a a a a a =2522+-+a a =23+-a当即可）、的取值不唯一，只要时，（321-≠=a a a 原式=1213-=+-17．解：根据题目条件可判断DE//BF.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠BAF+∠2=90°. ∵AF=AE+EF ，又AF=BF+EF ∴AE=BF∵∠1=∠2，∴△ABF ≌△DAE （SAS ）. ∴∠AFB=∠DEA ，∠BAF=∠ADE. ∴∠ADE+∠2=90°， ∴∠AED=∠BFA=90°. ∴DE//BF.18． 解：树状图如下图： 或列表如下表：1 2341 1×1=1 1×2=2 1×3=3 1×4=4 2 2×1=2 2×2=4 2×3=6 2×4=8 3 3×1=3 3×2=6 3×3=9 3×4=12 4 4×1=44×2=84×3=124×4=16由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种. ∴ P （姐姐赢）=431612= P （妹妹赢）=41164= 所以此游戏对双方不公平，姐姐赢的可能性大. 19．解：(1)证法一：AB 是⊙O 的直径OA OB 又ODAC证法二：AB 是⊙O 的直径 1902C OA AB ∠， OD AC 即90ADO ∠CADO ∠∠又A A ∠∠ADO ACB △∽△(2)AB 是⊙O 的直径，40A ∠20．解：过点A 作BC 的垂线，垂足为D 点 由题意知：∠CAD=45°, ∠BAD=60°,AD=60m 在Rt △ACD 中，∠CAD=45°, AD ⊥BC ∴ CD = AD = 60 在Rt △ABD 中，∵BD tan BAD AD ∠=∴BD=AD·tan∠BAD =603 ∴BC=CD+BD =60+603 ≈163.9 (m)答：这栋高楼约有163.9m ．姐姐 妹妹21. 解：⑴ 设反比例函数的解析式为ky x=，因为(2,1)A 是反比例函数图象上的点，212k xy ∴==⨯= 所以，反比例函数的解析式是2y x=设一次函数的解析式为y kx b =+，因为(2,1)A 、(1,2)B --是一次函数图象上的点，21121k b k k b b +==⎧⎧∴⇒⎨⎨-+=-=-⎩⎩所以，一次函数的解析式是1y x =-⑵ 由一次函数1y x =-与x 轴相交于点C ，得0C y =，1C x ∴=，即(1,0)CAOC S ∆()11111222A A OC y =⋅=⨯⨯=点有纵坐标.22. 解：设甲工程队每天修x 米，那么乙工程队每天修（x -50）米，由题意得：90060050x x =-， 解得：150x =，经检验：150x =是原方程的根．50100x -=（米）．答：甲工程队每天修150米，乙工程队每天修100米.23．解：（1）由题意四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（8，6）可知： A 、C 两点坐标为A （8，0），C （0，6），设直线AC 的解析式y=kx+b ，将A （8，0），C （0，6）两点坐标代入y=kx+b ，解得，故直线AC 的解析式为 ；（2）由题意可知O （0，0），M （4，3），A （8，0），设经过点O 、M 、A 的抛物线的解析式为y=ax 2+bx ，将M （4，3），A （8，0），两点坐标代入y=ax 2+bx ，得 ，解得 ，故经过点O 、M 、A 的抛物线的解析式为；（3）∵△AOC ∽△APD ，∴ ，即，解得PD=2.4，AD=3.2，S △PAD ：=×PD×AD=，∵S △PAD ：S △QOA =8：25，∴S △QOA =12， S △QOA = ×OA×|y Q |= ×8×|y Q |=12，解得|y|Q =3，又∵点Q 在抛物线上，所以=3或 =-3，解方程得x 1=4，x 2=4+4 ，x 3=4-4，故Q 点的坐标为、、Q （4，3）．所以Q 的坐标为：(442,3)Q +-、(442,3)Q --、(4,3)Q21．（本小题6分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于(2,1)A 、(1,2)B --两点，与x 轴相交于点C .（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）； （2）连接OA ，求AOC ∆的面积.22．（本小题7分）甲乙两个工程队合修一条公路，甲工程队比乙工程队每天多修50米，甲工程队修900米所用时间和乙工程队修600米所用时间相等，问甲乙两个工程队每天分别修多少米？23.（本小题9分）如图，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为(8，6)，直线AC 和直线OB 相交于点M ，点P 是OA 的中点，PD ⊥AC ，垂足为D ． （1）求直线AC 的解析式；（2）求经过点O 、M 、A 的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得:8:25PAD QOA S S ∆∆=， 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校OMPB(8，CAxyD。
北京市2020〖人教版〗九年级下学期第一次月考数学试卷
创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31A B C O北京市2020年〖人教版〗九年级下学期第一次月考数学试卷创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分．) 1．3-的绝对值是（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．函数12y x =- 中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x <C ．2x ≠D ．2x ≠-3．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图 （ ） A ． B ． C ． D ． 4．下列计算正确的是（ ）A ．223a a a +=B ．235a a a ⋅=C ．33a a ÷=D ．33()a a -=5．成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为（ ）元A ．59.310⨯B ．9103.9⨯C ．49310⨯D ．60.9310⨯6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P(3-，5)关于y 轴的对称点的坐标为（ ） A ．( 3-，5-) B ．(3，5)C ．(3．5-) D ．(5，3-) 6题 7题 8题7．如图，AB ∥CD ，∠A+∠E=75°，则∠C 为（ ） A ．60° B ． 65° C ． 75° D ． 80° 8．如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（ ） A ．AB ∥DCB ．AC=BDC ．AC ⊥BDD ．OA=OC二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 9．分解因式：25x x - =________． 10．已知x ＝3是方程260x x k的一个根，则k ______．11．已知|2|30a b ，则ba ＝____________. 12题 12．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径做弧，两弧相交于点P 和Q ．②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若CE=4，则AE=． 13．商店某天销售了ll 件衬衫，其领口尺寸统计如下表：则这ll 件衬衫领口尺寸的众数是________cm ，中位数是________cm ．14．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB=23 ，0C=1，则半径OB 的长为______． 15．下列说法：①对顶角相等；②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件；③若某次摸奖活动中奖的概率是15，则摸5次一定会中奖； 14题图④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查； ⑤若甲组数据的方差s 2＝0.01，乙组数据的方差s 2＝0.05，则乙组数据比甲组数据 更稳定．其中正确的说法是________________．（写出所有正确说法的序号）16.一组按规律排列的式子：ａ２，43a ，65a ,87a ,….则第n 个式子是________.三、解答题(本大题共6个小题，共72分)17．（8分）计算：（1） 024cos 458(3)(1)π-+++-（2）先化简，再求值：（a+2）（a ﹣2）+4（a+1）﹣4a ，其中a=﹣1．18．（8分）解不等式组：202113x x -<⎧⎪+⎨≥⎪⎩19.(8分) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC 的平分线DN ；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN 与AM 交于点F ，判断△ADF 的形状．说明理由。
2020年4月6日东直门中学九年级数学月考试卷
图4
处（填
“C”“E”或“D”），理由是
________________________．
A
C E
D
l
B
15．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 n 个小球，其中有 5 个黑球，从袋中随机摸出一球， 记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后再继续摸出一球……，以下是利用计 算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
CC
AA B．
C．
D．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y -3x 1 的图象经过
A．第B一B 、二、三象限CC
BB
CC
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
3．若正多边形的一个外角是 120°，则该正多边形的边数是
A．6
B．5
C．4
D．3
4．如果
a
b
1
，那么代数式
(1
17．计算： (1)1 12 3 tan 30 | 3 2 | ． 3
5x 3 3 x 1,
18．解不等式组：
x
2
2
6
3x.
19．解分式方程： 3 x 1 x 2 2x 4 2
20．关于 x 的一元二次方程 mx2+(3m-2)x-6=0． （1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
21．已知：抛物线 y = x2+(2m－1)x + m2－1 经过坐标原点，且当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. (1)求抛物线的解析式； (2)写出 y < 0 时，对应的 x 的取值范围； .
北京东直门中学2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题(word无答案)
北京东直门中学2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题(word无答案)一、单选题(★) 1 . 用三角板作△ ABC的边 BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．(★) 2 . 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限(★) 3 . 若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）A．6B．5C．4D．3(★) 4 . 如果，那么代数式的值是A．2B．C．1D．(★) 5 . 已知正六边形 ABCDEF，如图图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．(★) 6 . 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论①a＜b；②|b|=|d|；③a+c=a；④ad＞0中，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个(★)7 . 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么OD的长是（）A．2B．C．1D．(★★★★) 8 . 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题(★) 9 . 若分式的值为正，则实数的取值范围是 __________________ .(★) 10 . 分解因式：_________．(★) 11 . 在平面直角坐标系中，点P到轴的距离为1，到轴的距离为2.写出一个符合条件的点P的坐标________________.(★) 12 . 用一组a，b的值说明命题“若a>b，则a 2>b 2”是错误的，这组值可以是（按顺序分别写出a、b的值）________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京东直门中学2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题
(word无答案)
一、单选题
(★) 1 . 用三角板作△ ABC的边 BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．
C．D．
(★) 2 . 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
(★) 3 . 若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）
A．6B．5C．4D．3
(★) 4 . 如果，那么代数式的值是
A．2B．C．1D．
(★) 5 . 已知正六边形 ABCDEF，如图图形中不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
(★) 6 . 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论①a＜b；②|b|=|d|；
③a+c=a；④ad＞0中，正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
(★)7 . 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么OD的长是（）
A．2B．C．1D．
(★★★★) 8 . 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1
的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙
述中正确的是（）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题
(★) 9 . 若分式的值为正，则实数的取值范围是 __________________ .
(★) 10 . 分解因式：_________．
(★) 11 . 在平面直角坐标系中，点P到轴的距离为1，到轴的距离为2.写出一个符合条件的点P的坐标________________.
(★) 12 . 用一组a，b的值说明命题“若a>b，则a 2>b 2”是错误的，这组值可以是（按顺序分别写出a、b的值）________。
(★) 13 . 自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5
时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米．已知丹江口水库来
水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求河北四库来水量．设河北四库来水量为 x亿
立方米，依题意，可列一元一次方程为 _____ ．
(★★) 14 . 如图所示，在一条笔直公路 l的两侧，分别有 A、 B两个小区，为了方便居民出行，现要在公路 l上建一个公共自行车存放点，使存放点到 A、 B小区的距离之和最小，你认为存
放点应该建在____处（填“ C”“ E”或“ D”），理由是
________________．
(★★) 15 . 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋
中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸
出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次
100100050001000050000100000
数
摸出黑球次
46487250650082499650007
数
根据列表，可以估计出n的值是．
(★) 16 . 小字计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为
了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐
的总费用最低可为 ___ 元.
菜品单价（含包装费）数量
水煮牛肉（小）30元1
醋溜土豆丝（小）12元1
豉汁排骨（小）30元1
手撕包菜（小）12元1
米饭3元2
三、解答题
(★★) 17 . 计算：．
(★★) 18 . 解不等式组：
(★) 19 . 解分式方程：
(★) 20 . 关于x的一元二次方程mx 2+(3m﹣2)x﹣6＝0．
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
(★★) 21 . 已知：抛物线经过坐标原点，且当时，随的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出时，对应的的取值范围；
(★★) 22 . 如图，在△ ABD中，∠ ABD = ∠ ADB，分别以点 B， D为圆心， AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点 C，连接 BC， DC和 AC， AC与 BD交于点 O．
（1）用尺规补全图形，并证明四边形 ABCD为菱形；
（2）如果 AB = 5，，求 BD的长．
(★★) 23 . 已知：点和是一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，点关于轴的对称点为，直线以及分别与轴交与点和点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若，求的取值范围。
(★★★★) 24 . 如图，AB是的直径，与相切于点
A．点D在上，且，连接交于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD 于点M，交于点B．
（1）求证：∠MED=∠MDE．
（2）连接，若，MB=2．求BE的长．
(★★) 25 . 数学活动课上，老师提出问题：如图1，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°， BC＝4 cm，AC＝3 cm，点D是AB的中点，点E是BC上一个动点，连接AE、DE．问CE的长是多少时，△ AED的周长等于 CE长的3倍．设 CE＝ xcm，△ AED的周长为 ycm（当点 E与点 B重合时，y的值为10）．
小牧根据学习函数的经验，对函数 y随自变量 x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小牧的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x与 y的几组值，如下表：
x/cm00.51 1.52 2.53 3.54
y/cm8.07.77.57.48.08.69.210
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图2；（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①当CE的长约为<u></u> cm时，△ AED的周长最小；
②当CE的长约为<u></u> cm时，△ AED的周长等于CE的长的3
倍．
(★★) 26 . 在平面直角坐标系 xOy中，将抛物线（ m≠0）向右平移个单
位长度后得到抛物线 G 2，点 A是抛物线 G 2的顶点．
（1）直接写出点 A的坐标；
（2）过点（0，）且平行于 x轴的直线 l与抛物线 G 2交于 B， C两点．
①当∠ BAC＝90°时．求抛物线 G 2的表达式；
②若60°＜∠ BAC＜120°，直接写出 m的取值范围．
(★★★★) 27 . 如图，已知，为射线上一定点，点关于射线的对称点为点为射线上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段逆时针旋转至线段，满足点在射线的反向延长线上．
(1)依题意补全图形；
(2)当点在运动过程中，旋转角是否发生变化?若不变化，请求出的值，若变化，请说明理由；
(3)从点向射线作垂线，与射线的反向延长线交于点，探究线段和的数量关系并证明．
(★★) 28 . 在平面直角坐标系中，对于图形，若存在一个正方形，这个正方形的某条边与轴垂直，且图形上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形为图形的一个正覆盖．很显然，如果图形存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形为三条线段和
一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形的正覆盖，其中正方形就是图形的紧覆盖．
（1）对于半径为2的，它的紧覆盖的边长为____.
（2）如图1，点为直线上一动点，若线段的紧覆盖的边长为，求点的坐标．
（3）如图2，直线与轴，轴分别交于
①以为圆心，为半径的与线段有公共点，且由与线段组成的图形的紧覆益的边长小于，直接写出的取值范围；
②若在抛物线上存在点，使得的紧覆益的边长为，直接写出
的取值范围．。