数学必修一北师大版 3.2 指数概念的扩充 (共21张PPT)
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高中数学指数概念的扩充课件1 北师大版 必修1
这一节的内容与初中的内容十分相似，故重点应为让学生 多练，熟练有理数幂的运算性质与一般步骤。
(4)a b (2ab )
3
3 2
1 3
a b (3a b ) (5) 2 3 9a b
3
3 2
2 1
( a b) ( a b) (6) (a b 0, a b 0). 2 0 ( a b) ( a b)
4
分数指数幂(1) 解方程（其中b>0）：
n m
1 把b叫作a的 次幂，记作： b a n
1 m n 1 m n m n
1 n
a
n
则b＝？
解：b (a ) a
m n
a a
n
m
那么b a 叫作正分数指数幂， m、n N
分数指数幂(3)
正分数指数幂于根式的 比较P76
负分数指数幂规定： a
m n
1 a
m n
, m、n N
把b写成正分数指数幂的形式
(1)b 32
5
(2)b 3
4
5
(3)b
5n
3m
把b写成负分数指数幂的形式
(1)b 32 (2)b 3
4
x y
5
5
(3)b
5 n
3m
若b a , (a、b 0, x、y Q ) 则b a
y x
课后反思
3 3
3
2
3 27 3 2 3 9
3
3
3 ( 2 )
3
3 3
1
2 3 （－2 ）
可得： 3 3 ＝3
正整数指数运算性质可以推广为全体整数
(4)a b (2ab )
3
3 2
1 3
a b (3a b ) (5) 2 3 9a b
3
3 2
2 1
( a b) ( a b) (6) (a b 0, a b 0). 2 0 ( a b) ( a b)
4
分数指数幂(1) 解方程（其中b>0）：
n m
1 把b叫作a的 次幂，记作： b a n
1 m n 1 m n m n
1 n
a
n
则b＝？
解：b (a ) a
m n
a a
n
m
那么b a 叫作正分数指数幂， m、n N
分数指数幂(3)
正分数指数幂于根式的 比较P76
负分数指数幂规定： a
m n
1 a
m n
, m、n N
把b写成正分数指数幂的形式
(1)b 32
5
(2)b 3
4
5
(3)b
5n
3m
把b写成负分数指数幂的形式
(1)b 32 (2)b 3
4
x y
5
5
(3)b
5 n
3m
若b a , (a、b 0, x、y Q ) 则b a
y x
课后反思
3 3
3
2
3 27 3 2 3 9
3
3
3 ( 2 )
3
3 3
1
2 3 （－2 ）
可得： 3 3 ＝3
正整数指数运算性质可以推广为全体整数
数学必修一北师大版 3.2 指数概念的扩充 (共21张PPT)
（3）（ ab）n a nb n 其 a 中 0 ,b0 ,m ,n Q
练习
1计 . 算:
1
83;
213 0;
3
252;
4
3 3 22 .
2.化简（式中字母均为正数）
115
（1）a2a4a4
（ 2）
x
1 2
y
1
6
1
（
3）
8a3 27 b 6
3
例4 计算下列根式
(1)( 2 3 2 ) 4 ;
说一说
b2 4b3 17 x5 25
问题2：在bn= am中，已知正实数
a和正整数m,n，如何求b？
一般地，给定正实数a,对于任意给
定的整数m,n（ m,n互素）,存在 唯一的正实数b,使得bn=am,我们把 b叫
作a的 次幂，记作
说一说
b3 52 x5 254
43 82
例题讲解 例1 把下列各式中的b写成正分数指数 幂的形式.
数学组 王路
复习
整数指数幂
a n a • a • • anN
n个 a
a0 1(a0)
an
1 an
a0,nN
整数指数幂的运算性质
其a 中 0 ,b ， 0 ,m ,n Z
想一想
在§1的问题2,
Q=0.9975t,t∈N+
关于臭氧含量Q与时间t的函数关系,只讨
论了自变量是正整数的情况,如果时间t是
(1)b5 32;
(2)b4 35;
（ 3） b5n3（ mm ,nN ）
例题讲解
例2 计算
1
127 3 ;
3
2 4 2.
有时我们把正分数指数幂写成根式形式
练习
1计 . 算:
1
83;
213 0;
3
252;
4
3 3 22 .
2.化简（式中字母均为正数）
115
（1）a2a4a4
（ 2）
x
1 2
y
1
6
1
（
3）
8a3 27 b 6
3
例4 计算下列根式
(1)( 2 3 2 ) 4 ;
说一说
b2 4b3 17 x5 25
问题2：在bn= am中，已知正实数
a和正整数m,n，如何求b？
一般地，给定正实数a,对于任意给
定的整数m,n（ m,n互素）,存在 唯一的正实数b,使得bn=am,我们把 b叫
作a的 次幂，记作
说一说
b3 52 x5 254
43 82
例题讲解 例1 把下列各式中的b写成正分数指数 幂的形式.
数学组 王路
复习
整数指数幂
a n a • a • • anN
n个 a
a0 1(a0)
an
1 an
a0,nN
整数指数幂的运算性质
其a 中 0 ,b ， 0 ,m ,n Z
想一想
在§1的问题2,
Q=0.9975t,t∈N+
关于臭氧含量Q与时间t的函数关系,只讨
论了自变量是正整数的情况,如果时间t是
(1)b5 32;
(2)b4 35;
（ 3） b5n3（ mm ,nN ）
例题讲解
例2 计算
1
127 3 ;
3
2 4 2.
有时我们把正分数指数幂写成根式形式
北师大版高中数学必修一课件3-2指数扩充及其运算性质59张.pptx
(3)
9a－2b－3
[解析] (1)2－2×30×42＝212×1×16＝4. (2)(ab)－1·(ab)3＝a－1·b－1·(a·b－1)3＝1a×1b×a3×b13＝ab24＝a2b－ 4. (3)原式＝－39·a·a－－32＋b2－b3－2－1＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a.
分数指数幂的运算 [例 2] 求下列各式的值
1 4
的值是(
)
3
5
A.5
B.3
3
25
C.25
D. 9
[答案] B
[解析]
81 － (625)
1 4
＝(68215)
1 4
＝[(53)4]
1 4
＝53.
3．如果 x＞y＞0，那么xyyyyxxx＝(
)
y
A．(x－y) x
x
B．(x－y) y
C．(xy)y－x
D．(xy)－xy
[答案] C
[解析] ∵x＞y＞0，∴xyyyyxxx＝xy－x·yx－y＝xyyy－ －xx＝xyy－x，故选 C.
[解析]
解
法
一
：
原
式
＝
a2b2a2＋b2－a－2－b－2 a2b2a2b2－a－2b－2
＋
aba－a－1b－b－1 abab＋a－1b－1
＝a4b2＋aa42bb44－－1b2－a2＋a2－a21b2＋b21－1
＝a2b2a2＋a4bb24－－1a2＋b2＋a2b2－a2ba22－＋b12＋1
二、填空题 4．把根式化为幂的形式：4 a2b3＝__________.
13
[答案] a2 b4
[解析]
5. m－n2＝________.
新版高中数学北师大版必修1课件3.2.1指数概念的扩充
当堂检测
;
-9-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.分数指数幂是一个正实数,即b=
������
������ ������
⇔bn=am,其中a,b均为正实
数,且m,n∈Z,m,n互素.
2.将bk=d中的正实数b改写成分数指数幂的形式时,主要根据分数
行计算.注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值,这是快速、
准确进行幂值计算的关键.
-15-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
变式训练 3813+36-12的值等于
.
解析:813+36-12 = 3 8 + 136=2+16 = 163.
【例 3】
计算下列各式的值:(1)823;(2)125-13;(3)
36 25
-32.
2
解:(1)83
=
3
82
=
3
64=4;
(2)125-13
=
1
1
1253
=
3
1 125
=
15;
(3)
36 25
-32 =
1 3=
36 2
25
1=
36 3 25
1
6
3
=
122156.
5
当堂检测
求指数幂的值时,首先要将指数幂转化为根式的形式,然后再进
(1)解析:由分数指数幂的意义知,应有 2x+1>0,
【高中课件】高中数学北师大版必修一3.2.1指数概念的扩充课件ppt.ppt
m
于灵活应用 an
＝n am(a>0，m，n∈N＋)．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由
里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性
质进行化简．
下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式
的形式：
4
(1)5－3 ；(2) a· a(a≥0)．
[解析]
4
(1)5－3
_求__a_的__n_次__方__根__叫作把 a 开 n 次方，称作开方运算.
1
m
a－ n
＝__n_a_m__
一般地，当 a>0，α 为任意实数值时，实数指数幂 aα 都有
意义．
2．n次方根的性质
两个
相反数
n a
－n a
正数 n a
n 0＝0
负数 n a
3
1.将 52 写成根式，正确的是( )
中小学精编教育课件
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 指数函数和对数函数
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初，荷兰工 程师司蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号，以后又有 人将其扩展到负指数，直到18世纪，英国数学家牛顿 (Newton)开始用an表示任意实数指数幂．现代工程技 术的计算不再仅仅是乘法计算，它还需要进行乘方、
A.3 52
B. 3 5
53 C. 2
[答案] [解析]
D. 53
D 由分数指数幂与根式的互化可知D正确．
2．b4＝3(b>0)，则 b 等于( )
数学必修一北师大版 3.2 指数概念的扩充
（1）aman amn
（2）（am）n amn
（3）（ab）n anbn 其中a 0,b 0, m, n Q
练习
1.计算 :
1
1 0
83 ; 23 ;
3
252 ;
4
2
3 2
3
.
2.化简（式中字母均为正数）
115
（1）a 2 a 4 a 4
（2） x
1 2
y
1
6
1
（3）
8a3 27b6
（3）
3
42
（6） 3 m2
正数的负分数指数幂的意义与负整数指 数幂的意义相仿，即
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义.
扩充
整数指数幂
有理数指数幂
例3 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
（1）b5 32;
（2）b4 35;
（3）b2n
3（m m, n
N
）
整数指数幂的运算性质在有理数幂也适用
数学组 王路
复习
整数指数幂
a n a •a• •an N
n个a
a0 1(a 0)
an
1 an
a
0, n
N
整数指数幂的运算性质
其中，a 0,b 0, m, n Z
想一想
在§1的问题2,
Q=0.9975t,t∈N+
关于臭氧含量Q与时间t的函数关系,只讨
论了自变量是正整数的情况,如果时间t是
半年,或15年零3个月,此时自变量不是一
个整数,而是分数,那么此时情况又怎样呢?
扩充
把整数指数幂
分数指数幂
问题1：在正整数指数幂的运算 bn=a中，已知正实数a和正整数n， 如何求b？
（2）（am）n amn
（3）（ab）n anbn 其中a 0,b 0, m, n Q
练习
1.计算 :
1
1 0
83 ; 23 ;
3
252 ;
4
2
3 2
3
.
2.化简（式中字母均为正数）
115
（1）a 2 a 4 a 4
（2） x
1 2
y
1
6
1
（3）
8a3 27b6
（3）
3
42
（6） 3 m2
正数的负分数指数幂的意义与负整数指 数幂的意义相仿，即
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义.
扩充
整数指数幂
有理数指数幂
例3 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
（1）b5 32;
（2）b4 35;
（3）b2n
3（m m, n
N
）
整数指数幂的运算性质在有理数幂也适用
数学组 王路
复习
整数指数幂
a n a •a• •an N
n个a
a0 1(a 0)
an
1 an
a
0, n
N
整数指数幂的运算性质
其中，a 0,b 0, m, n Z
想一想
在§1的问题2,
Q=0.9975t,t∈N+
关于臭氧含量Q与时间t的函数关系,只讨
论了自变量是正整数的情况,如果时间t是
半年,或15年零3个月,此时自变量不是一
个整数,而是分数,那么此时情况又怎样呢?
扩充
把整数指数幂
分数指数幂
问题1：在正整数指数幂的运算 bn=a中，已知正实数a和正整数n， 如何求b？
2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)指数扩充及其运算性质ppt课件(24张)
1
3 32
=
1 3 3
=
3 ; 9
������ a-1 =
3
1 1 ������ 2 ������ 3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三指数幂 【例 3】
2 解 :(1)83 1 (2)125 3
������ ������ ������
5 B.������2 5 D.-������2 1 (33 )2 =
3 解析:(1)32
=
27=3 3,故选 D.
(2) a-2 =
5
(a-2 )5
1
= ������
-
2 5.
答案:(1)D (2)A
三、指数范围的扩充 1.无理数指数幂 当a>0,p是一个无理数时,ap的值可用指数p的不足近似值和过剩 近似值构成的有理数指数幂序列无限趋近得到,无理数指数幂ap是 一个实数. 1 2.对于任意的实数α,有1α=1,a-α= ������ (a>0). ������ α α 3.指数幂a 中,必有a>0,a >0. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)根式一定是无理式. ( × ) ������ (2)在分数指数幂 ������ ������ 中,m与n可以为任意整数. ( × ) (3)ap(p是无理数,a>0)是一个实数且是一个无理数. ( × )
am (a>0). n>1).
(3)0的分数指数幂:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没 有意义.
做一做 3 导学号
A. 2 B. 3 5 (2) ������-2 可化为( )
2 A.������ 5 2 C.������5
3 32
=
1 3 3
=
3 ; 9
������ a-1 =
3
1 1 ������ 2 ������ 3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三指数幂 【例 3】
2 解 :(1)83 1 (2)125 3
������ ������ ������
5 B.������2 5 D.-������2 1 (33 )2 =
3 解析:(1)32
=
27=3 3,故选 D.
(2) a-2 =
5
(a-2 )5
1
= ������
-
2 5.
答案:(1)D (2)A
三、指数范围的扩充 1.无理数指数幂 当a>0,p是一个无理数时,ap的值可用指数p的不足近似值和过剩 近似值构成的有理数指数幂序列无限趋近得到,无理数指数幂ap是 一个实数. 1 2.对于任意的实数α,有1α=1,a-α= ������ (a>0). ������ α α 3.指数幂a 中,必有a>0,a >0. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)根式一定是无理式. ( × ) ������ (2)在分数指数幂 ������ ������ 中,m与n可以为任意整数. ( × ) (3)ap(p是无理数,a>0)是一个实数且是一个无理数. ( × )
am (a>0). n>1).
(3)0的分数指数幂:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没 有意义.
做一做 3 导学号
A. 2 B. 3 5 (2) ������-2 可化为( )
2 A.������ 5 2 C.������5
数学：3.2.1《指数概念的扩充》课件(北师大版必修1)
练习
1.计算 :
5 3 1 ; 25 ; ; 2 2 . 4 ; 8 ; 81 ; 2 3 1 2 1 3 1 4 1 3 3 2 0 3 5 4 3
2.计算
1 2
1a
a a ;
扩充
有理数指数幂
例7 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
1b5 32;
解
2b4 35 ;
3b2n 3m m, n N .
1 5 5 4
1b 32 2b 3
;
3b
3m 2n
m, n N
例8 计算
18
3 1 3
1 4
5 4
1 2 x y 3
1 2 1 3
6
8a 3 27b 6 ;
5 1 2 3 3 . 42 x x 3 x 2
练习
3.计算 1 1 3 1216 341 ; 3 125 4 3 0 2 4.8 3 9 8
分数指数幂
想一想
在§1的问题2,关于臭氧含量Q与时间t的 函数关系,只讨论了自变量是正整数的情 况,如果时间t是半年,或15年零3个月,此 时自变量不是一个整数,而是分数,那么此 时平方根； x叫做a的立方根。 问题1：在正整数指数幂的运算bn=a中，已 知正实数a和正整数n，如何求b？
2
3 2 2
1 2 8
3
16 3 81
2 3
3 4 4
2 27 3
3
例10 计算下列各式(式中字母都是正数),并 把结果化为只含正有理数指数的形式
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（1）aman amn
（2）（am）n amn
（3）（ab）n anbn 其中a 0,b 0, m, n Q
练习
1.计算 :
1
1 0
83 ; 23 ;
3
252 ;
4
2
3 2
3
.
2.化简（式中字母均为正数）
115
（1）a 2 a 4 a 4
（2） x
1 2
y
1
6
1
（3）
8a3 27b6
数学组 王路
复习
整数指数幂
a n a •a• •an N
n个a
a0 1(a 0)
an
1 an
a
0, n
N
整数指数幂的运算性质
其中，a 0,b 0, m, n Z
想一想
在§1的问题2,
Q=0.9975t,t∈N+
关于臭氧含量Q与时间t的函数关系,只讨
论了自变量是正整数的情况,如果时间t是
说一说
b2 4 b3 17 x5 25
问题2：在bn= am中，已知正实数
a和正整数m,n，如何求b？
一般地，给定正实数a,对于任意给
定的整数m,n（ m,n互素）,存在 唯一的正实数b,使得bn=am,我们把 b叫
作a的 次幂，记作
说一说
b3 52 x5 254
43 82
例题讲解
半年,或15年零3个月,此时自变量不是一
个整数,而是分数,那么此时情况又怎样呢?
扩充
把整数指数幂
分数指数幂
问题1：在正整数指数幂的运算 bn=a中，已知正实数a和正整数n， 如何求b？
一般地，给定正实数a,对于任意给 定的正整数n,存在唯一的正实数b, 使得bn=a,我们把b叫作
a的 次幂，记作
（3）
3
42
（6） 3 m2
正数的负分数指数幂的意义与负整数指 数幂的意义相仿，即
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义.
整数指数幂
扩充
有理数指数幂
例3 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
（1）b5 32;
（2）b4 35;
（3）b2n
3（m m, n
N
）
整数指数幂的运算性质在有理数幂也适用
3
例4 计算下列根式
(1)( 2 3 2)4;
(2) 18 3 2
指数也可以扩充到实数
1
1和a
1 a
a
0
有理数指数幂的运算性质在实数幂也适用
1a a a
2 a a
3ab ab a 0,b 0, , R
不等性质
若a>0,α是实数,列各式中的b写成正分数指数 幂的形式.
(1)b5 32;
(2)b4 35;
（3）b5n
3（m m, n
N
）
例题讲解
例2 计算
1
127 3 ;
3
24 2.
有时我们把正分数指数幂写成根式形式
m
a n n am
写一写
1
（1） 8 2
2
（2） 27 3
5
（4） 27 3 （5） a5
（2）（am）n amn
（3）（ab）n anbn 其中a 0,b 0, m, n Q
练习
1.计算 :
1
1 0
83 ; 23 ;
3
252 ;
4
2
3 2
3
.
2.化简（式中字母均为正数）
115
（1）a 2 a 4 a 4
（2） x
1 2
y
1
6
1
（3）
8a3 27b6
数学组 王路
复习
整数指数幂
a n a •a• •an N
n个a
a0 1(a 0)
an
1 an
a
0, n
N
整数指数幂的运算性质
其中，a 0,b 0, m, n Z
想一想
在§1的问题2,
Q=0.9975t,t∈N+
关于臭氧含量Q与时间t的函数关系,只讨
论了自变量是正整数的情况,如果时间t是
说一说
b2 4 b3 17 x5 25
问题2：在bn= am中，已知正实数
a和正整数m,n，如何求b？
一般地，给定正实数a,对于任意给
定的整数m,n（ m,n互素）,存在 唯一的正实数b,使得bn=am,我们把 b叫
作a的 次幂，记作
说一说
b3 52 x5 254
43 82
例题讲解
半年,或15年零3个月,此时自变量不是一
个整数,而是分数,那么此时情况又怎样呢?
扩充
把整数指数幂
分数指数幂
问题1：在正整数指数幂的运算 bn=a中，已知正实数a和正整数n， 如何求b？
一般地，给定正实数a,对于任意给 定的正整数n,存在唯一的正实数b, 使得bn=a,我们把b叫作
a的 次幂，记作
（3）
3
42
（6） 3 m2
正数的负分数指数幂的意义与负整数指 数幂的意义相仿，即
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义.
整数指数幂
扩充
有理数指数幂
例3 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
（1）b5 32;
（2）b4 35;
（3）b2n
3（m m, n
N
）
整数指数幂的运算性质在有理数幂也适用
3
例4 计算下列根式
(1)( 2 3 2)4;
(2) 18 3 2
指数也可以扩充到实数
1
1和a
1 a
a
0
有理数指数幂的运算性质在实数幂也适用
1a a a
2 a a
3ab ab a 0,b 0, , R
不等性质
若a>0,α是实数,列各式中的b写成正分数指数 幂的形式.
(1)b5 32;
(2)b4 35;
（3）b5n
3（m m, n
N
）
例题讲解
例2 计算
1
127 3 ;
3
24 2.
有时我们把正分数指数幂写成根式形式
m
a n n am
写一写
1
（1） 8 2
2
（2） 27 3
5
（4） 27 3 （5） a5