第三章第三节FFT变换mm资料
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经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
信息与通信第3章离散傅里叶变换PPT课件
n
~x(n)
1
(b)
0123456 7
n
~x(n)
x(n rN ) x(n%N) x((n))N
r
x(n) ~x (n)RN (n) x((n))N RN (n)
x(n)为周期序列的主值序列
第4页/共46页
| X~(k)|
(c)
01 2 3 4 5 6 7
k
| X(k)|
(d)
01 2 3 4 5 6 7
四、用MATLAB计算序列的DFT
• Xk = fft(xn,N) • xn = ifft(Xk,N)
第12页/共46页
【例3.1.2】
(a)16点 DFT的 幅 频 特 性 图 4
3
(b)16点 DFT的 相 频 特 性 图 2
相位
幅度
2
0
1
0
0
0.5
1
1.5
2
/
(c)32点 DFT的 幅 频 特 性 图 4
W ( N 1)1 N
W 02 N
W 12 N
W ( N 1)2 N
W 0( N 1) N
W 1( N 1) N
x(0) x(1)
WN(
N
1)(
N
1)
x(N 1)
x(0) x(1)
1 N
W 00 N
W 10 N
x(N 1)
WN(N 1)0
W 01 N
W 11 N
1
n0
DFT的物理意义2：X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间[0, 2π] 上的N点等间隔采样。
第9页/共46页
三、DFT的隐含周期性
N 1
第三章 傅里叶变换
2 T
t0 T t0
f
(t) sin(nw1t)dt
令 An
an2 bn2
，n
arctan
bn an
，则：
An ：称为n次谐波分量的振幅，是n的偶函数。
n ：称为n次谐波分量的相位，是n的奇函数。
一、三角形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
f
(t)
a0 2
n1
An
cos(nw1t
n )
A0 2
1.5
1.5
1
1
1
1
1
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
0.2
0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
相位谱：
(a) n 45° n
45°
45° 45°
30°
30°
30°
20°
30°
20°
15° 10°
（2）时域非周期信号，造成频域连续的谱。
连续 非周期
3.2 非周期信号的傅里叶变换
二、典型非周期信号的频谱函数
（1） g (t)
Sa( w )
2
解： F(w)
g
(t
)e
jwt
dt
2
1
e
jwt
dt
2
e jwt 2
2
jw
jw
jw
e 2 e 2
jw
2sin( w )
2
w
sin( w )
性质中所对应的原函数都是乘以 (-jt)。
《离散傅里叶变换-第三章》
( ∑ X ()W ( k ∑ XX kk ) = ∑ xxnnW ) ==∑ eex ( n= W )e
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
[数学]数字信号处理3-离散傅里叶变换
![[数学]数字信号处理3-离散傅里叶变换](https://img.taocdn.com/s3/m/7234f45627284b73f242504d.png)
• 所以
5 sin k 10 k Xp sin k 10
4 argX p k k 10
湛江师范学院
(2)设
5 n 14
14 nk 10 2p n 5 p
X k x nW
(e
j 2 k 10 10
0.9 sin k 4 k tg 1 1 0.9 cos k 4
湛江师范学院
湛江师范学院
x(n) R4 (n)
频谱 抽样点N=8
抽样点N=16
湛江师范学院
3.3 离散傅里叶变换的性质
3.3.1 线性特性
yn ax1 n bx2 n
1 e
2 k 10
3.2 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列虽然是无限长序列，但是它只含有 N个独立信 息。因此，周期序列与有限长序列有着本质的联系，这正 是由离散傅里叶级数向离散傅里叶变换过渡的关键所在。
x ( n)
0
N 1
n
x p (n)
…
N 0 N
…
湛江师范学院
有限长序列的长度为 N, 周期序列的周期为N,
N 1 k 0 p1 p2
nk N
N 1 1 N 1 N 1 mk rk nk x p1mW N x p 2 r W N W N r 0 N k 0 m 0
湛江师范学院
1 N 1 k n mr x p1m x p 2r W N m 0 r 0 k 0 N
p N N N
x p n m R N n W N
n 0
N 1
nk
傅立叶变换(FFT)离散余弦变换(DCT)
一个M×N大小的二维函数f(x,y)，其离散傅立叶变换对为
M1N1
f(x,y)F(u,v)expj[2π(ux/Mvy/N)]
u0v0
x0,1,M1,y0,1N1
F(u,v)
1
M1N1
f(x,y)exp[j2π(ux/Mvy/N)]
MNu0v0
u0,1,M1,v0,1,N1
在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即 N×N，则其傅立叶变换及其逆变换为
f (x, y) g(x, y) φ
g(x,y) [f(x,y)]
线性系统
对于一般线性系统，往往是用时间作为参数来描述的，表 示为一维(t)系统。在图像处理中是用空间作为参数来描述 的，通常表示为二维(x,y)系统。输入函数f(x,y)表示原始 图像，输出函数g(x,y)表示经处理后的图像，线性系统可 看作是一种映射φ，它反映了各种线性的图像处理方法， 其输入和输出的关系表示为：
（1）具有有限个间断点 （2）具有有限个极值点 （3）绝对可积
则有下列式成立：
F (u) f ( x)e j 2 π ux dx (1)
f ( x) F (u)e j 2 π ux du (2)
x为时域变量，u 为频域变量
如果令w＝2πu，则有
F (w) f (x)e jwx dx
f
0
0
N
在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的f(x,y) 要乘上一个正的指数项 ej2π(u0xv0y)
fx ,y e x j2p u 0x v 0y F u u,v v
N
0
0
也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发 生相移，而傅立叶变换的幅值不变
|F (u ,v )e j2 π (u0 x v0 )y| |F (u ,v )|
离散傅里叶变换(DFT)63244ppt课件
令k=m
n0
精选ppt
ak
1
N1
j2kn
x(n)e N
Nn0
7
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
ak
1
N1
j2kn
x(n)e N
Nn0
令X(k) Nak
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
X
(k
N
)
N
1
x(n)e
j
2 N
n(k
N
)
N 1
j 2 nk
x(n)e N
X (k)
n0
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓
(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
精选ppt
10
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
FT
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱
精选ppt
3
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)离散非周期信号
X (e j ) x(e j )e jnd
2
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
连续非周期() FT
离散非周期 () FS
连续周期（ ） DTFT
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
精选ppt
5
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第三章第三节FFT变换mm
XXXX2222((((0123))))W WWWNNNN2130
-1 X(4) -1 X(5) -1 X(6)
X(7)
(2) N/2(4点)-->N/4(2点
由于)FNF=2TL ,所以 N/2仍为偶数,可以进一
步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分分 解为两个N/4的子序列。
X(0) N/4 X3(0) X(4) DFT X3(1)
计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为 例k=1则
要进行: N次复数乘法 + (N-1)次复数加法 所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：
N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法
数字信号处理
3.一次复数乘法换算成实数运算量
一个复数乘法包括4个实数乘法和2个实数相 法。
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
第三章第三节FFT变换 mm
2020年4月23日星期四
数字信号处理
2.2 利用DFT进行连续信号的频谱分析
• 1、混叠 • 2、泄漏 • 3、栏栅效应 • 4、DFT的分辨率 • 5、周期信号的谱分析
数字信号处理
数字信号处理
3.3 快速傅里叶变换
• 有限长序列通过离散傅里叶变换 (DFT)将其频 域离散化成有限长序列。但其计算量太大(与N 的平方成正比），很难 实时地处理问题，因 此 引 出 了 快 速傅 里 叶 变 换(FFT) 。
例 8点FFT的算法
首先可以分解为两个N/2=4点的DFT.具体方法如下:
（1）N=8点分解成2个4点的
DFT的信号流图
x(0) x(2)
X1(0)
N/2点 X1(1)
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所以所有X(k)就要4N2次实数乘法运算,2N2＋2N(N1)＝ N(4N-2)次实数加法运算.当N很大时,运算量 将是惊人的, 这样,难以做到实时处理。
数字信号处理例子
例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要： N2=220=1048576次，即一百多万次的复乘运算 这对实时性很强的信号处理(如雷达信号处理)来 讲，它对计算速度有十分苛刻的要求-->迫切需 要改进DFT的计算方法，以减少总的运算次数。 例2：石油勘探，24通道记录，每通道波形记录长度
N
4)特殊点：WN0＝1，WN2
1,WN(kN 2)
WNk
数字信号处理
例子
W49 W4(45) W45 W41
W825 W817 W89 W81
利用以上特性,得到改进DFT直接算法的方法.
数字信号处理
2、DFT的基本思想
快速傅里叶变换( FFT ) 就是在此特性基础上 发展起来的：
5秒，若每秒抽样500点/秒， 每通道道总抽样点数=500*5=2500点 24通道总抽样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次
数字信号处理
5、 FFT的计算工作量
FFT算法对于N点DFT,仅需(N/2)log2N 次复数乘法运算和Nlog2N 次复数加法。
数字信号处理
引言：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，更 便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十 年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离 散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换 长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换 算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的 强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处 理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊 人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许 多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离 散傅里叶变换及其快速算法。
（1）利用DFT系数的对称性和周期性,合并DFT 运算中的某些项；
（2）将长序列分解为短序列,从而减少其运算 量。
因合并与分解方法的不同产生了多种DFT的快 速算法。
数字信号处理
3.3.1 时域抽取法基2FFT基本原理
Decimation-in-Time(DIT)
1、时域抽取算法原理 设输入序列长度为N=2M(M为正整数， 将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来 越短的子序列，称为基2按时间抽取的 FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。 其中基数2----N=2M，M为整数.若不满 足这个条件，可以人为地加上若干零值 （加零补长）使其达到 N=2M
数字信号处理
例子
设一序列x(n)的长度为L=9,应加零补长为 N=24=16 应补7个零值。
x(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
数字信号处理
2.算法步骤
设序列点数 N = 2M，M为整数。若不满足， 则补零
x(n)DFT为：
3.其它方法： 线性调频Z变换(Chrip-z法)
数字信号处理
3.3.1 按时间抽取的DFT
1、WNnk的特性
WNnk
j 2 nk
e N
1)对称性：（WNnk）＝WN-nk＝WN(N n)k
2)周期性：WNnk＝W（NN n)k
W n(k N
N
)
3)可约性：WNnk＝WmmNnk ,WNnk
W nk / m N /m
2)用FFT计算需要时间为多少？
T
5106
N 2
log
N 2
106
N
log
N 2
35.84ms
6. F数F字T信算号法处分理 类：
1.按抽取方法分： 时间抽取法(DIT Decimation-In-Time); 频率抽取法(DIF Decimation-In-Frequency)
2.按“基数”分： 基-2FFT算法； 基-4FFT算法； 混合基FFT算法； 分裂基FFT算法
数字信号处理
2.2 利用DFT进行连续信号的频谱分析
1、混叠 2、泄漏 3、栏栅效应 4、DFT的分辨率 5、周期信号的谱分析
数字信号处理
数字信号处理
3.3 快速傅里叶变换
有限长序列通过离散傅里叶变换 (DFT)将其频 域离散化成有限长序列。但其计算量太大(与N 的平方成正比），很难 实时地处理问题，因 此 引 出 了 快 速傅 里 叶 变 换(FFT) 。 FFT并 不是 一 种 新 的 变 换 形 式，它 只 是 DFT 的一 种 快 速 算 法， 并 且 根 据 对 序列分解与选取方法的不同而产生 了 FFT 的 多 种 算 法 。 FFT 在 离 散 傅 里 叶 反 变 换、线 性 卷 积 和 线 性 相 关 等 方 面 也 有 重 要 应 用。
要进行: N次复数乘法 + (N-1)次复数加法 所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：
N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法
数字信号处理
3.一次复数乘法换算成实数运算量
一个复数乘法包括4个实数乘法和2个实数相 法。
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
2次实数加法
4次实数乘法
1 N
N 1 k 0
X (k)WNkn
其中x(n)为复数，WNkn
j 2 kn
eN
也为复数
所以DFT与IDFT二者计算量相同。
数字信号处理
2.以DFT为例复数运算量
计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为 例k=1则
X (1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
数字信号处理
直接计算DFT算法存在的问 题及改进途径
•问题提出： 设有限长序列x(n),非零值数字信号处理
1.比较DFT与IDFT的运算量
N 1
x(n) DFT X (k) x(n)WNkn n0
X (k)
IDFT x(n)
数字信号处理
例
如果计算机的速度为平均每次复数乘需要5×10-6 秒 ，每次复加需要1×10-6秒，用来计算
N=1024点DFT,
问1)直接计算需要多少时间？2）用FFT算法计算 需要多少时间？
1)直接计算所需时间为：
T 5106 N 2 106 N (N 1)
5106 10242 106 10241023 6.29s