【高考数学专题复习】专题7.3 复数的三角表示(原卷版)
人教版高中数学必修第二册7.3 复数的三角形式 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册7.3复数的三角形式同步精练【考点梳理】考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x 轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi 的辐角。
(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi 的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。
非零复数与它的模和辐角主值一一对应。
(3)常用的有关辐角主值的结论当a R +时arg a=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。
2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
3.复数的三角形式复数z=a+bi 可以用复数的模r 和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中22b a r +=，r a =θcos ，r b=θsin 。
r(cosθ+isinθ)叫作复数z 的三角形式，而a+bi 叫作复数z 的代数形式。
考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。
则。
这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n 个复数相乘：=。
因此，如果就有[。
这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍。
2.复数的除法设则z ₁除以z ₂的商：)]。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.A ．2cos isi 66πn π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2cos isi 66πn π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2sin i co 66πs π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2cos i sin 66ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2．（2021·全国·高一课时练习）复数[)()1cos i sin 0,2πθθθ--∈的三角形式是（）A ．ππ2sincos i sin 222θθθ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．ππ2sincos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．ππ2sin cos i sin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．ππ2cos cos i sin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2021·上海市延安中学高一期末）13i --的三角形式是（）A ．ππ2cos i sin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7π7π2cos i sin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭题型二：复数的辅角4．（2021·全国·高二课时练习）复数sin 40i cos 40︒-︒的辐角主值是（）A ．－40°B ．310°C ．50°D ．130°5．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.6．（2021·全国·高二单元测试）当实数k 取什么值时，复数()()2223232i k k k k --++-的辐角主值是54π？题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z -=+，则z 的辐角为（）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π48．（2022·全国·高三专题练习）设1z ，2z ，3z 复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，()313i 2z =+．若11z =，21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为______．9．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)ππππ3cos isin 2cos i sin 6666⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(3)13ππi cos isin 2266⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()ππ1i cos isin 66⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题10．（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数()cos s i in z r θθ=+（0r >，R θ∈），则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数31i 22z =+的三角形式正确的是（）A ．cos 66isin ππ+B ．sin cos 66i ππ+C ．cos33isinππ+D ．sin33icosππ+11．（2021·全国·高一课时练习）已知()i ,a b a b +∈R 的三角形式为()cos isin r θθ+，则i a b -+的三角形式是（）.A ．()cos isin r θθ+B ．()()()cos isin r πθπθ-+-C ．()()()cos isin r πθπθ+++D ．()()()cos 2isin 2r ππθ-∞+-12．（2021·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（i cos isin e θθθ=+，自然对数的底数 2.71828e ≈，虚数单位i ）．若复数z 满足i 202142i z e π=-，则z 的虚部为（）A ．()21i-B ．21-C ．()21i--D ．12-13．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数i z a b =+（a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以写成()cos s i in z r θθ=+的形式，其中()2202r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数31i 22z =+，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【高分突破】一：单选题14．（2021·广东惠州·高一期中）已知()ππ13i cos i sin 66z ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，则arg z =（）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π615．（2021·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数i z a b =+(其中,i ∈a b R,为虚数单位)都可以表示成：(cos si )i n z r θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()[(cos isin )](cos isin )n n n z r r n n n Nθθθθ+=+=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）22||z z =（2）当1,3r πθ==时，31z =（3）当1,3r πθ==时，13i22z =-（4）当1,4r πθ==时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数A ．1B ．2C ．3D ．416．（2022·全国·高三专题练习（文））设sin15i sin 75z =+(其中i 为虚数单位)，则2z 的共轭复数是（）A ．13i22-B ．13i22+C ．31i 22--D ．31i 22-+17．（2021·广东惠州·高一期末）棣莫弗公式()()()cos i sin cos i sin nx x nx nx +⋅=+⋅（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数4ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．（2021·全国·高一课时练习）已知复数i z a b =+可以写成()cos isin z z θθ=+，这种形式称为复数的三角式，其中θ叫复数z 的辐角，[)0,2θπ∈．若复数13=+z i ，其共扼复数为z ，则下列说法①复数z 的虚部为3i ；②222z z z ==；③z 与z 在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z 的辐角为3π；其中正确的命题个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2020·河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数111cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，则()()121212cos i sin z z θθθθ⋅=+++，已知31i 22a =+，2021b a =，则a b +的值为（）A ．i -B ．iC ．3-D ．320．（2021·全国·高三专题练习（理））大数学家欧拉发现了一个公式：e cos sin ix x i x =+，i 是虚数单位，e 为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，2022ππcos sin 44i ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A ．1B ．1-C ．iD ．i-21．（2021·全国·高一课时练习）复数sin 30cos30i --的三角形式为（）A ．sin 30sin 30i +B ．cos 240sin 240i +C ．cos30sin 30i +D ．sin 240cos 240i +22．（2020·江苏省郑梁梅高级中学高三期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：i e cos isin θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π=（）A ．1B ．0C ．1-D ．1i+23．（2021·上海·高一课时练习）复数3cos sin 55z i ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的三角形式为（）A ．3cos sin 55i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦B ．3cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．443cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．663cos sin 55i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭24．（2021·上海·高一课时练习）如果非零复数有一个辐角为74π-，那么该复数的（）A ．辐角唯一B ．辐角主值唯一C ．辐角主值为74π-D ．辐角主值为74π25．（2020·河北冀州中学高三阶段练习）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中()220r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数213iz i=-，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π26．（2022·山西·临县第一中学高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z z C ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z 27．（2021·全国·高一课时练习）i cos i sin x x x e =+是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若1(,1)z θ=，2(,sin )z m α=，()121,4z z ⋅∈-恒成立且()224222cos 21sin 1sin sin 12sin 2cos sin 222cos cos 1cos 2m αααααααααα+=-+++++-++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则i 3e πθ表示的复数不可能位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限28．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式i cos isin e θθθ=+（其中i 是虚数单位，R θ∈）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数3ie 对应的点位于第一象限B ．复数i 1i x e +的模长等于22C ．i e π为纯虚数D ．42i i 3310e e ππ++=29．（2021·湖南·高二期末）著名的欧拉公式为：iπe 10+=，其中2i 1=-，e 为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是()i e cos isin 02πθθθθ=+≤<，该复数在复平面内对应的向量坐标为()cos ,sin θθ，则下列说法正确的是（）A ．13πln i i 223⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．若复数z 满足13i 22z =+，则2021z z =C ．若复数i e α与复数i e β在复平面内表示的向量相互垂直，则π2αβ-=D ．复数i e α与复数i ie α在复平面内表示的向量相互垂直30．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式cos sin xi e x i x =+(其中i 为虚数单位，x ∈R )，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（）A ．复数2i e 对应的点位于第三象限B ．2ie π为纯虚数C ．3i e π的共轭复数为1322i -；D ．复数3xi e i+的模长等于1231．（2021·全国·高一课时练习）复数13i 22+的三角形式是______．32．（2021·全国·高一单元测试）设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22sin icos 266z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z ⋅的三角形式为___________.33．（2021·全国·高二课时练习）若复数1z +的辐角为π6，1z -的辐角为2π3，则z =______．34．（2021·湖南·高一阶段练习）欧拉公式i cos i sin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1i z +表示成三角形式为________．四、解答题35．（2021·全国·高一课时练习）已知11cos isin z αα=++，21cos sin z i ββ=-+，其中02απβπ<<<<，且1213arg arg 6z z π+=，1231z z =-，求()tan αβ+的值．36．（2021·全国·高一课时练习）（1）计算：101032i213i 1i 22132i ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；（2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)32z z z --+的三角形式.（3）利用复数证明余弦定理.37．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)ππππ3cos i sin 2cos i sin 3366⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5π5πππ6cos isin 3cos isin 4444⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)2π2πππ10cos isin 2cos isin 3333⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(4)7π7πππ10cos isin 2cos isin 101055⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦38．（2021·全国·高一课时练习）已知()cos sin 2i cos sin z θθθθ=-+++（1）当θ为何值时，z 取得最大值，并求此最大值；（2）若(),2θ∈ππ，求arg z （用θ表示）.注：arg z 是辐角主值.【答案详解】1．B 【解析】【分析】复数的三角表示为()cos isin z r αα=+，对比选项得到答案.【详解】复数的三角表示为：()cos isin z r αα=+，其中0r ≥，B 选项满足.故选：B.2．C 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.【详解】21cos i sin 2sin 2i sincos222θθθθθ--=-2sin sin i cos 222θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cos i sin 222θθθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cosisin 222θθθ⎡--⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2sincos i sin 222θθθ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C.3．B 【解析】【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 2i 2cos isin 2233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．故选：B ．4．B 【解析】【分析】将复数写成cos isin θθ+（0360θ≤<）即可求出所求复数的辐角.【详解】复数sin 40i cos 40cos310i sin 310︒-︒=+，所以该复数的辐角主值是310.故选：B 5．9113【解析】【分析】分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入1121221121221111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.【详解】因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，所以()()()()()111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++-()1212121222223cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣⎦=+()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦1122112211z z z z z z z z --=++由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-，当12π3θθ-=时，12ππ3333cos isin i 3322z z ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，11221122133i 22533i 2212717914413132527144z z z z z z z z -+-=====+++++，当12π3θθ-=-时，12ππ3333cos isin i 3322z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11221122133i 22533i 2212717914413132527144z z z z z z z z -+-=====+-+-+，综上所述：12129113z z z z -=+，故答案为：9113.6．0k =【解析】【分析】根据复数的三角形式和辐角主值的概念即可求解.【详解】因为()()2223232i k k k k --++-的辐角主值是54π，所以22222320*********k k k k k k k k ⎧⎪--<⎪⎪+-<⎨⎪+-⎪=⎪--⎩，所以12221304k k k k ⎧-<<⎪⎪⎪-<<⎨⎪==-⎪⎪⎩或.所以当0k =时，所给复数的辐角主值是54π.7．C 【解析】【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i--===--++，故22551i 2i 2cos πisin π2244z ⎛⎫⎛⎫=--=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π4θ=.故选C ．8．1532【解析】【分析】根据题意，将复数z 改写成三角形式，结合已知条件分别算出OB 、AOB ∠、OC 、和BOC ∠，即可求解.【详解】由11z =，得1OA =，由()313i 2z =+，得3cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因21z z z =，所以213cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即3OB =，且3AOB π∠=，又因32z z z =，所以323cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即9OC =，且3BOC π∠=,因此11153sin sin 23232OABC AOB BOCS S SOA OB OB OC ππ=+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=.故答案为：1532.9．(1)6(2)2i (3)i (4)3131i 22-+-【解析】【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)ππππππππ3cos isin 2cos isin 6cos isin cos +isin 66666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ6cos isin 66666⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππππ2cos isincos isin 2cos isin 2i 336262⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)13ππ2π2πππi cos isin cos isin cos +isin 22663366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcosi sin i 22=+=(4)()ππππππ1i cosisin 2cos sin cos isin 664466⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+=-+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ2cos sin 4646⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2321232131312i i 2222222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯-⨯+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.10．A 【解析】【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.【详解】复数31i 22z =+的模为1，辐角为6π，所以复数31i 22z =+的三角形式为cos 66isin ππ+.故选：A 11．B 【解析】【分析】根据三角形式的表达式知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，根据诱导公式判断选项符合的即可.【详解】由题知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，结合诱导公式知，()()cos cos ,sin sin πθθπθθ-=--=，故选：B 12．D 【解析】【分析】根据欧拉公式求得i 4e π，再根据复数的乘方求得2021i ，即可得复数z ，再根据共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.【详解】解：∵i cos isin e θθθ=+，∴i 422cosisin i 4422eπππ=+=+．又∵2021i i =，∴复数()221i z =+-，∴()221i z =--，则z 的虚部为12-.故选：D ．13．A 【解析】【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数31i cos i sin 2266z ππ=+=+，因此，复数31i 22z =+的辐角主值为6π.故选：A.14．B 【解析】【分析】先对()ππ13i cos i sin 66z ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，然后再化为复数的三角形式可得答案【详解】()()2ππ13i cos isin 663113i i 223133i 3i i 22222i=2cos isin 22z ππ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭=-++⨯-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以arg z =π2，故选：B 15．B 【解析】【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为(cos si )i n z r θθ=+，所以22(cos 2isin 2)z r θθ=+，所以2222,z r z r ==，所以22||z z =，所以（1）正确，对于（2），当1,3r πθ==时，cos sin 33z i ππ=+，则3cos i sin 1z ππ=+=-，所以（2）错误，对于（3），当1,3r πθ==时，13cos isin i 3322z ππ=+=+，则13i 22z =-，所以（3）正确，对于（4），当1,4r πθ==时，cosi sin44z ππ=+，则当4n =时，4cos i sin 1z ππ=+=-，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B 16．C 【解析】【分析】首先利用诱导公式将复数z 化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数2z ，即可求出其共轭复数；【详解】解：因为sin15i sin 75sin15i cos15z =+=+所以()22222sin15i cos15sin 15i cos 152sin15cos15iz =+=++22sin 15cos 152sin15cos15i =-+cos30sin 30i =-+31i 22=-+所以2z 的共轭复数是31i 22--，故选：C 17．C 【解析】【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案【详解】由己知得4ππ4π4π13cos i sin cos i sin i 333322⎛⎫+⋅=+⋅=-- ⎪⎝⎭，∴复数4ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第三象限．故选：C ．18．B 【解析】【分析】对于①，13=+z i 的实部为1，虚部为3；对于②，直接计算判断即可；对于③，由点的对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可【详解】解：对于①，复数13=+z i 的虚部为3，所以①错误；对于②，因为13=+z i ，所以13i z =-，所以222z z ==，222(13i)123i (3i)223i z =+=++=-+，所以222z z z =≠，所以②错误；对于③，13=+z i 和13i z =-在复平面对应的点分别为(1,3),(1,3)-，两点关于实轴对称，所以③正确；对于④，13=+z i 132(i)22=+2(cos i sin )33ππ=+，所以复数z 的辐角为3π，所以④正确，故选：B 19．B 【解析】【分析】推导出()111cos isin nz n n n Nθθ*=+∈，求出b 的值，即可得出a b +的值.【详解】由已知条件可得2111cos 2isin 2z θθ=+，()()32111111111cos 2i sin 2cos 3i sin 3z z z θθθθθθ==+++=+，L ，以此类推可知，对任意的n *∈N ，111cos isin nz n n θθ=+，31i cos isin 2266a ππ=+=+Q ，所以，202120212021cosisin cos 337isin 3376666b a ππππππ⎛⎫⎛⎫==+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cosisin i 6622ππ=-+=-+，因此，i a b +=.故选：B.20．D 【解析】【分析】先根据公式将原式变为20224i e π⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据注释将原式变为10111011cossin 22i ππ+，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.【详解】因为20222022101142ππ10111011cos sin cossin 4422i i i e ei ππππ⎛⎫⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20223333cos 504sin 504cos sin 2ππcos sin 42224i i i i ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，故选：D.21．B 【解析】【分析】利用诱导公式可得结果.【详解】由诱导公式可知()()sin 30sin 9060cos 60cos 18060cos 240-=--=-=+=，()()cos 30cos 9060sin 60sin 18060sin 240-=--=-=+=，因此，sin 30cos30cos 240sin 240i i --=+.故选：B.22．C 【解析】【分析】根据欧拉公式直接求出i e π.【详解】根据i e cos isin θθθ=+，可知i e cos =1isin πππ=+-.故选：C 23．C 【解析】【分析】结合复数的三角形式的概念可以直接求解.【详解】因为3z =，辐角主值为45π，所以443cos sin 3cos sin 5555z i i ππππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.24．B 【解析】【分析】由给出的非0复数有一个辐角为74π-，结合辐角主值的概念得答案．【详解】解：辐角主值的范围是[0，2)π，任何一个复数都有唯一的辐角主值，∴非0复数有一个辐角为74π-，则该复数有唯一的一个辐角主值4π．故选：B ．25．D 【解析】【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】22(13)2323155cos sin 4226613(13)(13)i i i i z i i ii i ππ+-+====-+=+--+，所以辐角主值为56π．故选：D ．26．ABC 【解析】【分析】若i z a b =+，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A ：若120z z +=，则12z z =-，故122z z z =-=，所以A 正确；对于B ：若21z z =，则12=z z ，所以B 正确；对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++，故312z z z =，所以C 正确；对于D ：如下图所示，若11OA z =+，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠，所以D 错误.故选：ABC 27．BCD 【解析】【分析】利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得2m =，再根据复数的乘法运算及()121,4z z ⋅∈-，可求得θ的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：()224222cos 21sin 1sin sin 12sin 2cos sin 222cos cos 1cos 2m αααααααααα+=-+++++-++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()224222cos 21sin 1sin sin 2sin 2cos 2sin cos cos 1cos cos 1ααααααααααα+-+++++-++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()2222222sin 12cos 2cos sin sin 2sin 2cos sin cos ααααααααα-++⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦()222sin 12cos 2cos sin sin 2ααααα-++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()2sin 12cos sin 1ααα-++=+2=，由1(,1)z θ=，2(,sin )z m α=，则1i z θ=+，2i sin 2i sin z m αα=+=+，所以()122sin 2sin i z z θαθα⋅=-++，又因为()121,4z z ⋅∈-恒成立，所以()2sin 02sin 1,4θαθα+=⎧⎪⎨-∈-⎪⎩，所以30,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据i cos i sin x x x e =+，则i3cosisin33e πθπθπθ=+，因为30,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0,32πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 033πθπθ>>，所以i 3e πθ表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：BCD.28．BD 【解析】【分析】根据欧拉公式的定义，有3i cos3isin 3e =+、i cos isin 1i 2(cos isin )44x e x xππ+=++、i cos isin e πππ=+、42i i 3344221cosisin cos isin 13333eeππππππ++=++++，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.【详解】A ：3i cos3isin 3e =+，而32ππ<<，则cos 30<、sin 30>，故3i e 位于第二象限，错误；B ：i cos isin 2[cos()isin()]1i 2442(cos isin )44x e x x x x ππππ+==-+-++，则其模长为22，正确；C ：i cos isin 1e πππ=+=-，则i e π为实数，错误；D ：42i i 334422111cosisin cos isin 110333322eeππππππ++=++++=--+=，正确；故选：BD 29．ABD 【解析】【分析】对于A ：根据已知得πi 313i e 22+=，再由对数运算可判断；对于B ：由已知计算得2021πi 2021313ei 22zz ==-=，由此可判断；对于C ：由已知得i e α对应的向量坐标为()cos ,sin αα，i e β对应的向量坐标为()cos ,sin ββ，根据垂直的坐标表示可判断；对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．【详解】∵πi 313ππi cos isin e 2233+=+=，∴πi 313πln i ln e i 223⎛⎫+==⎪⎝⎭，故A 正确；∵πi 313ππi cos isin e 2233+=+=，∴2021πi 202132021π2021π13e cosisin i 3322z z ==+=-=．故B 正确；∵i e α对应的向量坐标为()cos ,sin αα，i e β对应的向量坐标为()cos ,sin ββ，∴cos cos sin sin 0αββα+=，即()cos 0αβ-=，又0α≤，2πβ<，∴π2αβ-=，或3π2．故C 不正确；∵i e cos isin ααα=+，复数i ie sin i i cos ααα=-+，两者对应向量坐标为()cos ,sin αα、()sin ,cos αα-，∴两向量垂直．故D 正确，故选：ABD.30．BCD 【解析】【分析】对于A ，2cos 2sin 2i e i =+，根据2(2π∈，)π，即可判断出；对于BCD ，根据欧拉公式cos sin xi e x i x =+逐项计算，然后判断正误即可．【详解】解：对于A ，由于2cos 2sin 2i e i =+，2(2π∈，)π，cos 2(1,0)∴∈-，sin 2(0,1)∈，2i e ∴表示的复数在复平面中位于第二象限，故A 错误；对于B ，2cossin 22i ei i πππ=+=，可得2i e π为纯虚数，故B 正确；对于C ，313cossin 3322πππ=+=+i e i i ，3i e π∴的共轭复数为1322i -，故C 正确．对于D ，cos sin (cos sin )(3)3cos sin 3sin cos 4433(3)(3)xi e x i x x i x i x x x xi i i i i ++-+-===++++-，可得其模的长为223cos sin 3sin cos ()()44x x x x +-+22223cos 23sin cos sin 3sin 23sin cos cos 116162x x x x x x x x ++-+=+=，故D 正确；故选：BCD ．31．cosi 33πsin π+【解析】【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】13i cos i sin 2233ππ+=+.故答案为：cosi 33πsin π+.32．222cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将12,z z 化简，然后计算12z z ⋅，再转化为三角形式即可【详解】因为12cos isin 13i 33z ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2221326sin i cos i i 26622244z ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1226(13i)i 44z z ⎛⎫⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭226632i i i 4444=+++26i 22=-+132i 22⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭222cos isin 33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故答案为：222cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭33．13i22+【解析】【分析】设i z a b =+，可得()11i z a b +=++，()11i z a b -=-+，由已知条件可得π3tan 613b a ==+，2πtan331b a ==--，解得a 和b 的值即可求解.【详解】设i z a b =+，(),R a b ∈，则()11i z a b +=++，()11i z a b -=-+，因为复数1z +的辐角为π6，所以π3tan 613b a ==+，①因为复数1z -的辐角为2π3，所以2πtan331ba ==--，②由①②可得：12a =，32b =，所以13i 22z =+，故答案为：13i 22+.34．23π3πcos sin 244i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据欧拉公式i cos i sin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【详解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以123π3πcos sin 1+1244z i i i -⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭.故答案为：23π3πcos sin 244i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭35．3【解析】【分析】结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.【详解】因为211cos isin 2cos2isincos2coscos isin 222222z αααααααα⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，221cos isin 2sin 2isincos 2sincos isin 22222222z ββββπβπβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又02απβπ<<<<，则022απ<<，22πβπ<<，得0222ππβ-<-<，所以1arg 2z α=，25arg 22z πβ=-．由1213arg arg 6z z π+=，1231z z =-，得223βαπ-=，31cos sin 224αβ-=．又1cossinsin sin 22222αβαβαβ+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1sin 22αβ+=-．又由02απβπ<<<<，得2232αβππ+<<，所以726αβπ+=．所以()7tana 33t n αβπ+==36．（1）13i 22+；（2）336cos i sin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2(1i)cos i sin 244ππ+=+，13i cos isin 2266ππ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得11(cos i sin )233z z ππ-=+，进而得到z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.（3）在复平面内建立直角坐标系，利用坐标法证明.【详解】解：（1）因为2(1i)cos i sin 244ππ+=+，13i cos isin 2266ππ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1010101032i213213i i (1i)i 1i 22222132i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()10101010213i 1i i i cos isin cos isin 2224466ππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+=-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭555513i cos i sin cos i sin i 223322ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）由题意知：11(cos i sin )233z z ππ-=+，所以31i 3z =+，31i 3z =-，∴()333233i 36cos i sin 244z z z ππ⎛⎫--+=-=+ ⎪⎝⎭（3）如图，已知ABC 是复平面内的任意三角形，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .证明：2222cos a b c bc A =+-.证明：如图，以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立复平面内的直角坐标系，则点,,A B C 对应的复数分别为120,,z z ，则复数1z 的模1z c =，复数2z 的模2z b =，幅角为A ，因为21z z BC a -==，()12,cos isin z c z b A A ==+，所以()21cos isin cos i sin z z b A A c b A c b A -=+-=-+，所以()()2222222221cos sin cos 2cos sin z z b A c b A b A c bc A b A -=-+=+-+()2222cos sin 2cos b A A c bc A =++-2222cos b c bc A a =+-=，所以2222cos a b c bc A =+-，证毕.37．(1)6i (2)32i -(3)553+i 22(4)5i 【解析】【分析】利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.(1)原式32cos isin 9cos isin 6i363622ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)原式553363cos()i sin()32(cosi sin )32i 444422ππππππ⎡⎤=⨯⨯+++=+=-⎢⎥⎣⎦(3)原式102213553cos i sin 5cos i sin 5+i +i 23333332222ππππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭(4)原式1077cos isin -5cos isin 5i105105222ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦38．（1）()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值22；（2）当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，9arg 28z θπ=+；当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，7arg 28z θπ=-.【解析】【分析】（1）求出21cos 4z πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即得解；（2）设arg z α=，tan tan 28θπα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再对θ分7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭两种情况讨论得解.【详解】（1）()()()22cos sin 2cos sin 422cos sin 21cos 4z πθθθθθθθ⎛⎫=-+++=+-=++ ⎪⎝⎭所以，当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值22.（2）要求arg z ，可以把z 写成三角形式，但较为困难，故可先求出arg z 的正切值.设arg z α=，则由于()z cos sin 2i cos sin 21sinisin 44ππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++=+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以2sin sin 44tan tan 281cos 21sin 44ππθθθπαππθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为(),2θ∈ππ，所以z 的实部21sin 04πθ⎡⎤⎛⎫=+-+> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，z 的虚部2sin 4πθ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin 04πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，z 所对应的点位于第四象限.由于5828πθππ<+<，所以9arg 2828z θπθπαπ⎛⎫==++=+ ⎪⎝⎭.当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，z 所对应的点位于第一象限（或x 轴正半轴）.由于9288θπππ<+<，所以7arg 2828z θπθπαπ⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭.。
高中数学《复数的三角表示》复习教案与课后作业
《7.3 复数的三角表示》复习教案7.3.1 复数的三角表示式【基础知识拓展】1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2k π或k ·360°(k ∈Z )．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－1＝cosπ＋isinπ.( ) (2)2i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2.( ) (3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做(1)将复数z 1＝－1＋3i 表示成三角形式为________． (2)已知|z |＝23，arg z ＝5π3，求复数z ＝________. (3)若a <0，则a 的三角形式是________． 答案 (1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 (2)3－3i (3)－a (cosπ＋isinπ)【核心素养形成】题型一 复数的代数形式化为三角形式 例1 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ；(2)1－i. [解] (1)r ＝3＋1＝2，∵3＋i 对应的点在第一象限， ∴tan θ＝13＝33，即θ＝π6，∴3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝1＋1＝ 2.∵1－i 对应的点在第四象限， 且tan θ＝－11＝－1，∴θ＝7π4， ∴1－i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4. 【解题技巧】复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)． (4)求出复数三角形式． 【跟踪训练】把下列复数表示成三角形式． (1)－2＋2i ；(2)2⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4. 解 (1)原式＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4. (2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4. 题型二 判断复数三角形式的条件例2 判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．(1)12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4；(2)－12⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3；⎝⎭55(4)sinπ5＋icos π5. [解] 根据复数的三角形式的结构，z ＝r (cos θ＋isin θ)，可依次作出判断． (1)不是.12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos7π4＋isin 7π4. (2)不是．－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3.(3)不是.2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos4π5＋isin 4π5. (4)不是．sin π5＋icos π5＝cos 3π10＋isin 3π10.【解题技巧】判断复数的三角形式的条件 (1)r ≥0； (2)加号连接；(3)cos 在前，sin 在后； (4)θ前后一致，可任意值．即“模非负，角相同，余正弦，加号连”． 【跟踪训练】求复数z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－icos π3的辐角主值．解 ∵z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6， ∴辐角主值arg z ＝11π6. 题型三 复数三角形式化为代数形式 例3 把下列复数表示成代数形式．⎝⎭33(2)6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6. [解] 根据a ＋b i ＝r (cos θ＋isin θ)，可得a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，故可解．(1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝4×12＋4×32i ＝2＋23i.(2)6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6＝6×32＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12i ＝33－3i. 【解题技巧】将复数的三角形式化为代数形式：由z ＝r (cos θ＋isin θ)＝r cos θ＋i r sin θ， 可得a ＝r cos θ，b ＝r sin θ. 【跟踪训练】将下列复数的三角形式化成代数形式． (1)z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；(2)z 2＝6(cos60°＋isin60°)． 解 (1)z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝3＋i.(2)z 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝3＋33i.【课堂达标训练】1．－6的辐角主值为( ) A ．0 B.π2 C ．π D．－π2答案 C解析 －6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C. 2．下列说法正确的是( )A ．已知复数z ＝cos7π5＋isin 7π5，则z 的辐角主值为3π5B ．复数z ＝2i ＋3的虚部为2iC ．(3＋i)6＝－64D ．复数z ＝2i 的三角形式为z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2 答案 C解析 A 项，z 的辐角主值arg z ＝7π5，错误；B 项，虚部为实数2，错误；C 项，(3＋i)6＝[(3＋i)2]3＝(2＋23i)3＝8＋3×2×(23i)2＋3×22×(23i)＋(23i)3＝－64，正确；D 项，z ＝2(0＋i)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2，错误．故C正确．3．复数12－32i 的三角形式是________．答案 cos 5π3＋isin 5π3解析 12－32i ＝cos 5π3＋isin 5π3，故复数12－32i 的三角形式是cos 5π3＋isin 5π3.4．设复数z ，z ＋2的辐角主值为π3，z －2的辐角主值为5π6，则z ＝________.答案 －1＋3i解析 设z ＋2＝r 1⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝r 12＋3r 12i ，z －2＝r 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝－3r 22＋r 22i.∴r 12－2＋3r 12i ＝2－3r 22＋r 22i ，易得⎩⎪⎨⎪⎧r 12－2＝2－3r 22， ①3r 12＝r 22， ②∴r 2＝3r 1，代入①得r 1＝2，∴z ＝1＋3i －2＝－1＋3i.5．设复数z 满足z －3z －的辐角主值为5π4，z ＋1的模为10，求复数z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．由|z ＋1|＝10，得|(x ＋1)＋y i|＝10， ∴(x ＋1)2＋y 2＝10.①又z －3z －＝(x ＋y i)－3(x －y i)＝－2x ＋4y i ，所以 arg(z －3z －)＝5π4⇔⎩⎨⎧－2x <0，4y <0，－2x ＝4y ，②解①②，可得x ＝2，y ＝－1. 所以z ＝2－i.《7.3 复数的三角表示》课后作业7.3.1 复数的三角表示式基础巩固训练一、选择题1．如果非零复数有一个辐角为－7π4，那么该复数的( ) A ．辐角唯一 B ．辐角主值唯一 C ．辐角主值为－7π4D ．辐角主值为7π4答案 B解析 ∵辐角主值范围是[0,2π]，任何一个非零复数都有唯一的辐角主值，∴有一辐角为－7π4，则该复数有唯一的一个辐角主值，为π4.故选B.2．复数z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π3－icos 4π3的辐角主值是( ) A.4π3 B.5π3 C.11π6 D.π6答案 C解析 z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＋icos π3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－icos π3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6，∴arg z ＝11π6. 3．复数z ＝11＋i的辐角主值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4答案 D解析 z ＝11＋i ＝12－12i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4，所以辐角主值是7π4，故选D.4．复数1＋3i 的三角形式是( ) A ．cos π3＋isin π3 B ．2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3C ．cosπ6＋isin π6 D ．2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6答案 B解析 1＋3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3.故选B.5．已知复数z ＝－1＋3i ，则它的共轭复数z －的三角形式为( ) A ．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3－isin 4π3 B ．z ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 C ．z ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3D ．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π3＋isin 5π3 答案 C解析 ∵z －＝－1－3i ，∴|z －|＝2，z －＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3. 6．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：e i x ＝cos x ＋isin x (其中i 为虚数单位，i 2＝－1)，根据这个公式，e 3i 表示的复数在复平面中所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 ∵e i x ＝cos x ＋isin x ，e 3i ＝cos3＋isin3,3弧度的角终边在第二象限．选B.二、填空题7．复数－2i 的实部是________，虚部是________，三角形式是________． 答案 0 －2 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2 解析 复数－2i ＝0－2i ，所以实部是0，虚部是－2，三角形式为2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2.8．复数1＋i 的模是________，辐角主值是________，三角形式是________． 答案2 π42⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4解析 复数1＋i 的模是12＋12＝2，∵1＋i 对应的点在第一象限，且辐角的正切tan θ＝1，∴arg(1＋i)＝π4. ∴三角形式为2⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.9．复数2＋i 和－3－i 的辐角主值分别为α，β，则tan(α＋β)等于________．答案 1解析 ∵复数2＋i 和－3－i 的辐角主值分别为α，β. ∴tan α＝12，tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.三、解答题10．已知复数z ＝12＋32i ，w ＝22＋22i ，求复数zw ＋zw 3的模及辐角主值．解 ∵zw ＋zw 3＝zw (1＋w 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22i (1＋i)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6. ∴复数zw ＋zw 3的模为2，辐角主值为5π6. 能力提升训练1．已知复数z ＝1－sin θ＋icos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，求z 的共轭复数z －的辐角主值．解 z ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2cos 2π2＋θ2＋2isin π2＋θ2cos π2＋θ2＝2cos π2＋θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋θ2＋isinπ2＋θ2， 当π2<θ<π时，π4<3π4－θ2<π2，π2<π4＋θ2<3π4， ∴z －＝－2cos π2＋θ2⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋θ2＋isin π2＋θ2＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ2， ∴辐角主值为3π4－θ2. 2．已知复数z ＝1＋i ，求复数z 2－3z ＋6z ＋1的模和辐角主值．解 z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋61＋i ＋1＝3－i 2＋i＝1－i ，|1－i|＝12＋(－1)2＝2，因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tan θ＝－1，所以辐角的主值θ＝7π4.《7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》复习教案【基础知识拓展】1．复数三角形式的乘法公式推广z 1z 2z 3…z n ＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)·…·r n (cos θn ＋isin θn )＝r 1r 2…r n [cos(θ1＋θ2＋…＋θn )＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn )]．2．复数的乘方运算(棣莫佛定理)[r (cos θ＋isin θ)]n ＝r n (cos nθ＋isin nθ)．即复数的n (n ∈N *)次幂的模等于模的n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的n 倍，这个定理称为棣莫佛定理．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复数范围内，1的立方根是1.( ) (2)z z －＝|z |2.( )(3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3·3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝6i.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)把z ＝2－i 对应的向量OZ →，按顺时针方向旋转π2，所得向量对应的复数的代数形式为________．(2)(1＋3i)2019＝________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝________.答案 (1)－1－2i (2)－22019 (3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6【核心素养形成】题型一 复数三角形式的乘法运算 例1 计算下列各式：(1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋isin π12·3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5π6＋isin 5π6； (2)3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋isin π6·7⎝ ⎛⎭⎪⎫cos3π4＋isin 3π4； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3－4.[解] (1)原式＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋5π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋5π6 ＝6⎝⎛⎭⎪⎫cos 11π12＋isin 11π12. (2)原式＝21⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4 ＝21⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π12＋isin 11π12. (3)原式＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π34＝116⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝－12＋32i 16＝－132＋332i.【解题技巧】(1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和． (2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向．(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式．【跟踪训练】(1)如果向量OZ →对应复数4i ，OZ →逆时针旋转45°后再把模变为原来的2倍，得到向量OZ 1→，那么与OZ 1→对应的复数是________；(2)计算(1＋3i)6.答案 (1)－4＋4i (2)见解析 解析 (1)OZ →＝4i ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2，OZ 1→＝42⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝42⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22i ＝－4＋4i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π36＝26⎝ ⎛⎭⎪⎫cos6π3＋isin 6π3＝26. 题型二 复数三角形式的除法运算例2 计算(1＋i)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4. [解] 因为1＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4，所以原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π43⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝63(0－i) ＝－63i.【解题技巧】(1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角．(2)结果一般保留代数形式．(3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，arg z 1z 2与arg z 1，arg z 2的关系是：arg z 1z 2＝arg z 1－arg z 2＋2k π(k ∈Z )．【跟踪训练】计算：(1)[6(cos70°＋isin70°)]÷[3(cos40°＋isin40°)]； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6. 解 (1)原式＝2()cos30°＋isin30°＝3＋i. (2)原式＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝4i. 题型三 复数乘、除运算几何意义的应用例 3 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π4.[证明] 如图，建立平面直角坐标系(复平面)．∠1＝arg(3＋i)， ∠2＝arg(5＋i)， ∠3＝arg(7＋i)， ∠4＝arg(8＋i)．所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角．而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)，所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝π4， 又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角， 于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π4. 【解题技巧】复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件．【跟踪训练】设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，O 为坐标原点，且z 1＝－1＋3i ，若把OZ 1→绕原点逆时针旋转4π3，把OZ 2→绕原点顺时针旋转3π4，所得两向量恰好重合，求复数z 2.解 依题意(－1＋3i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3 ＝z 2cos 3π4＋isin3π4.∴z 2＝(－1＋3i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋4π3＋3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋4π3＋3π4 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 11π4＋isin 11π4＝－2＋2i.【课堂达标训练】1.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π410＝( )A ．iB ．－i C.22＋22i D.22－22i 答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π410＝cos 10π4＋isin 10π4＝cos 5π2＋isin 5π2＝cosπ2＋isin π2＝i.故选A.2．若复数z ＝i1＋i ，则它的三角形式为( )A.12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4B.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4C.22⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4D.22⎝⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4答案 C解析 ∵z ＝i 1＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝22，复数z 对应的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，位于第一象限，所以arg z ＝π4.故选C.3.⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1答案 A解析 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π2＋isin π2＝i.4．计算2÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝________. 答案2－2i解析 解法一：原式＝222＋22i ＝2·(1－i )22(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝2－2i.解法二：原式＝2(cos0＋isin0)⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2×22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22i＝2－2i.5．求复数z ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋i 27的模． 解 因为32＋i 2＝cos π6＋isin π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋i 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π67＝cos 7π6＋isin 7π6＝－32－12i ， 故z ＝1－32－12i ， |z |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 2－3＝4－232＝ (3－1)22＝3－12＝6－22.《7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》课后作业基础巩固训练一、选择题1．复数sin40°－icos40°的辐角主值是( ) A ．40° B ．140° C ．220° D ．310°答案 D解析 ∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°.故复数的辐角主值为310°.选D.2.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4(1＋i)的值是( ) A ．－2i B.2i C ．2i D ．－2i 答案 B解析 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22i (1＋i)＝22(1＋i)2＝22×(2i)＝2i.解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4·2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝2i.故选B.3．计算icos120°＋isin120°的辐角主值为( )A.5π6 B.7π6 C.11π6D.5π3 答案 C解析 解法一：原式＝i －12＋32i ＝32－12i ＝cos 11π6＋isin 11π6.故选C. 解法二：原式＝cos90°＋isin90°cos120°＋isin120°＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因为330°＝11π6.故选C.4．计算()cos36°＋isin36°－5的结果为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D.12答案 A 解析 原式＝1(cos36°＋isin36°)5＝1cos180°＋isin180°＝－1.选A.5．复数z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－isin π5(i 是虚数单位)的三角形式是( )A ．3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5B ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋isin π5C ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π5＋isin 4π5D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 6π5－isin 6π5答案 C解析 z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos4π5＋isin 4π5.故选C. 6．计算(1＋3i)2020＝( ) A ．22019＋220193i B ．－22019＋220193i C ．22019－220193i D ．－22019－220193i答案 D解析 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π32020＝22020⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2020π3＋isin 2020π3＝22020⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3＝22020⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝－22019－220193i.选D. 二、填空题7．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角是3π2，则实数a 的值是________．答案 －1解析 z ＝a 2－1＋2a i ，辐角为3π2，则a 2－1＝0且2a <0，故可得a ＝－1满足题意．8．在复平面内，点A 对应的复数为1，点B 对应的复数为3＋i ，将向量A B →绕A 按逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量A C →，则C 点对应的复数为________．答案 －1＋4i解析 AB →对应的复数为3＋i －1＝2＋i ，逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，即可得A C →对应的复数为(2＋i)×2(cos90°＋isin90°)＝(2＋i)×2i＝－2＋4i.设C 点对应的复数为z ，则z －1＝－2＋4i ，故z ＝－1＋4i.9．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________. 答案 16i解析 原式＝16(cos240°＋isin240°)×(cos210°＋isin210°) ＝16(cos90°＋isin90°)＝16i. 三、解答题10．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的三角形式是r (cos θ＋isin θ)，试写出下列各复数的三角形式．(1)z 1＝－a ＋b i ；(2)z 2＝－a －b i ；(3)z 3＝a －b i.解 (1)z 1＝r (－cos θ＋isin θ)＝r [cos(π－θ)＋isin(π－θ)]． (2)z 2＝r (－cos θ－isin θ)＝r [cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]． (3)z 3＝r (cos θ－isin θ)＝r [cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]．能力提升训练1．已知|z |＝1，z 5＋z ＝1，求复数z .解 由|z |＝1，可设z ＝cos θ＋isin θ且0≤θ<2π.代入方程z 5＋z ＝1，得(cos θ＋isin θ)5＋(cos θ＋isin θ)＝1， 即(cos5θ＋cos θ－1)＋(sin5θ＋sin θ)i ＝0，所以⎩⎨⎧cos5θ＋cos θ－1＝0，sin5θ＋sin θ＝0，即⎩⎨⎧cos5θ＝1－cos θ， ①sin5θ＝－sin θ， ②两式平方后，相加得(1－cos θ)2＋(－sin θ)2＝1. 解得cos θ＝12，从而sin θ＝±32.经验证知，z ＝12±32i 都是原方程的解．故z ＝12＋32i 或z ＝12－32i.2．设z ＝r (cos θ＋isin θ)，求证1z m ＝1rm ()cos mθ－isin mθ(m ∈N *)．证明 1zm＝1r m(cos θ＋isin θ)m ＝1r m ·1cos mθ＋isin mθ＝1rm ·cos mθ－isin mθ(cos mθ＋isin mθ)(cos mθ－isin mθ)＝1rm (cos mθ－isin mθ)．得证．。
7.3.1 复数的三角表示式(原卷版)
7.3.1复数的三角表示式导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.知道复数的模和辐角的定义2.会求复数的模和辐角主值3.能求出复数的三角形式【自主学习】知识点1 复数的三角形式1．定义：r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．为了与三角形式区分开来，a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2．非零复数z 辐角θ的多值性以x 轴正半轴为始边，向量OZ →所在的射线为终边的角θ叫复数z ＝a ＋b i 的辐角，因此复数z 的辐角是θ＋2k π(k ∈Z ) (k ∈Z )．3．辐角主值(1)表示法：用arg z 表示复数z 的辐角主值． (2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．(3)唯一性：复数z 的辐角主值是 的、 的．知识点2 复数的代数形式与三角形式的互化复数z ＝a ＋b i ＝r (cos θ＋isin θ)的两种表示式之间的关系为⎩⎨⎧a＝ ，b ＝ ，r ＝a 2＋b 2.【合作探究】探究一代数形式与三角形式的转换【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ.归纳总结：【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z3＝－sinθ＋icosθ；(2)z4＝－sinθ－icosθ；(3)z5＝cos60°＋isin30°.探究二将复数的三角形式化为代数形式【例2】将复数⎪⎭⎫⎝⎛+32sin32cos23ππi化为代数形式为________．归纳总结：【练习2】复数⎪⎭⎫⎝⎛34sin-34cos6ππi的代数形式是.探究三复数的模与辐角主值【例3】求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．归纳总结：【练习3】将z ＝1＋itan θ1－itan θ(114π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．探究四 复数辐角的应用【例4】复数z 满足arg(z ＋3)＝56π，求|z ＋6|＋|z －3i|最小值．归纳总结：【练习4】已知|z －2i|≤1，求arg(z －4i)最大值．课后作业A 组 基础题一、选择题1．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角主值是3π2，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－32．设π<θ<5π4，则复数cos2θ＋isin2θcos θ－isin θ的辐角主值为( )A ．2π－3θB ．3θ－2πC ．3θD ．3θ－π3．设复数2－i 和3－i 的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于( )A ．135°B ．315°C ．675°D ．585°4．复数z 满足1|1|=-ZZ ，复数z 的辐角为30°，复数z 的模为( ) A ．1B ．－1C ．－2D ．－35．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )A ．150°B ．40°C ．－40°D ．320°6．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )7．(多选)复数z ＝3＋3i 化为三角形式正确的是( )A ．z ＝23(cos π6＋isin π6)B ．z ＝23(cos π6－isin π6)C ．z ＝23(cos 76π＋isin 7π6)D ．z ＝23(cos 136π＋isin 13π6)二、填空题8．复数1cos π3＋isin π3的代数形式是 .9．已知复数z 满足z z －2i z ＝3－2a i(a ∈R )，且π2<arg z <π，则a 的取值范围为 .10．已知z ＝cos 2π3＋isin 2π3，则arg z 2＝________.三、解答题11．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)⎪⎭⎫⎝⎛+54sin54cos 2-ππi ； (2)sin 3π5＋icos 3π5.12．已知复数z 满足等式|1|ZZ -＝12，且arg z ＝π6，求z .B 组 能力提升一、选择题1．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角的主值是3π2，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2D ．－32．设π＜θ＜5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角的主值为( ) A ．2π－3θB ．3θ－2πC ．3θD ．3θ－π二、填空题3．已知复数z 的模为2，实部为3，则复数z 的代数形式和三角形式为 ．三、解答题4．把下列复数转化为三角形式．(1)－1；(2)2i.5．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A 、B 所对应的复数分别为z 1、z 2，z 1、z 2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB 的重心G 对应的复数为13＋115i ，求tan(α＋β)．6．已知复数z 1＝3cos θ－isin θ，z 2＝sin θ－3icos θ，当θ∈[0,2π)，求arg(z 1－z 2)的值．。
高中数学人教A版必修第二册7.3 复数的三角表示
解:(1)原式=
2
cos
4
5
π π
3 -6
+isin
4 5
π- π
3 6
=3
π
π
cos + isin
2
2
=3i.
(2)原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]=9(cos 360°+isin 360°)=9.
反思感悟 进行两个复数的三角情势除法运算时,将模对应相除
当模,用被除数辐角减去除数的辐角当做商的辐角,即可得两个复
π
2
解:(1)模长 r=5,辐角主值 arg(5i)= .
π
2
所以 5i=5 cos + isin
π
2
ห้องสมุดไป่ตู้
.
(2)模长 r=8,辐角主值 arg 8=0,
所以 8=8(cos 0+isin 0).
(3)模长 r= (-3)2 + (-3)2 =3 2,设辐角为 θ,tan θ=1 且(-3,-3)在第三
π
∴arg z∈ 0, 6 ∪
11π
6
6
,2π .
说明:本题在求解|z|的最大、最小值时,也可用代数情势,如下:设
复数z=x+yi(x,y∈R),
则由|z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴x2+y2≤4x-3.
∴|z|= 2 + 2 ≤ 4-3.
∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,
数的除法结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练3计算下列各式
7.3复数的三角表示-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义(机构专用)
a2 b2
求出模来，再根据其对应的点是 3,
3 在第四象限，求出 arg 3
3i
11 ， 6
（2）分别求出 cos 5 , sin 5 再整理为 a bi 的形式. 44
【详解】
（1） r
32
2
3 2
3.
因为与 3 3i 对应的点在第四象限，
所以 arg 3 3i 11 ， 6
根据复数的三角形式运算求解即可.
【详解】
复数1 i 的三角形式是
2
cos
4
i sin
4
,向量 OM 1
对应的复数
2
cos
4
sin 4
cos
4
isin 4
2
cos
2
i
sin
2
2i
故选：B
2、复数
z
cos
i sin
的辐角主值是（
）
4
4
3
A．
4
B．
4
C． 3 4
2
cos
3
isin
3
1 2
cos
3
3
i sin
3
3
1 3i. 44
故答案为： 1 3 i . 44
题型三 辐角主值
例3
复数
z
1
1 1
i i
2021
的辐角主值为________.
3
【答案】
4
【分析】
先化简
z
1
1 1
i i
2021
再根据辐角主值的定义求解即可.
sin
5 6
故答案为：
2 cos
高考数学专题：复数的三角表示(二)
4
4
22
③ z cos 7 i sin 7 。
6
6
7 7 是第三象限角 sin 7 0 ， cos 7 0 sin 7 1 ， cos 7 3
6
66
6
6
62
62
z cos 7 i sin 7 3 i ( 1 ) 3 1 i 。
6
62
2 22
【跟踪训练一】：把下列复数的三角形式转化为复数的标准形式。
第三象限角
2 减去特殊角 11 ， 7 ， 5
6 43
第四象限角
备注：三角函数的正负。 三角函数
正弦 sin 余弦 cos 正切 tan
第一象限 正 正 正
第二象限 正 负 负
第三象限 负 负 正
第四象限 负 正 负
备注：①
n
的三角函数值的绝对值都等于
同名三角函数值，正负由角的象限决定；
6
6
②
n
的三角函数值的绝对值都等于
同名三角函数值，正负由角的象限决定；
4
4
③
n
的三角函数值的绝对值都等于
同名三角函数值，正负由角的象限决定。
3
3
4
2
注意：上面提到的角必须为最简分数（例如： 应该按照 进行计算）。
6
3
本题解答：①
z
2(cos
i sin
)。
3
3
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cos
1 ， sin
3
z
2(cos
i sin
)
2(1
3 i) 1
3i 。
32
32
3
3
22
② z 2(cos 3 i sin 3 ) 。
7.3 复数的三角表示(六大题型)(讲义)-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精
7．3 复数的三角表示【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】 1、复数的辐角以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角，叫做复数z a bi =+的辐角． 适合于02θπ≤<的辐角θ的值，叫辐角的主值．记作：arg z ，即0arg 2z π≤<． 2、复数的三角表达式一般地，任何一个复数z a bi =+都可以表示成(cos sin )r i θθ+的形式．其中，r 是复数的模；θ是复数z a bi =+的辐角．(cos sin )r i θθ+叫做复数z a bi =+的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a bi +叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法及其几何意义设1z 、2z 的三角形式分别是：()1111z r cos isin θθ=+，()2222z r cos isin θθ=+． 则()()12121212z z r r cos isin θθθθ=+++⋅⎡⎤⎣⎦． 简记为：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数z 对应的向量OZ 绕原点逆时针旋转0z 的一个辐角，长度乘以0z 的模，所得向量对应的复数就是0z z ⋅．5、复数三角形式的除法及其几何意义设1z 、2z 的三角形式分别是：()1111z r cos isin θθ=+，()2222z r cos isin θθ=+． 则()()11212122r z z cos isin r θθθθ÷=-+-⎡⎤⎣⎦． 简记为：模数相除，幅角相减几何意义：把复数z 对应的向量OZ 绕原点顺时针旋转0z 的一个辐角，长度除以0z 的模，所得向量对应的复数就是z z ． 【典型例题】题型一：复数的三角形式【典例1-1】（2024·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）. Acos isi 66πn π⎫-⎪⎭Bcos isi 66πn π⎫+⎪⎭Csin i co 66πs π⎫+⎪⎭D．cos isin 66ππ⎫+⎪⎭【典例1-2】（2024·全国·高一专题练习）复数()()cos 25isin 25cos50isin50z =++的三角形式是（ ）A ．()()cos 25isin 25-+-B ．sin 75icos75+C ．cos15isin15+D ．cos75isin 75+【变式1-1】（2024·高一课时练习）若a<0，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+ D ．()cos isin a ππ--【方法技巧与总结】解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤）（1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）变形步骤：首先确定复数z 对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”．题型二：复数的代数形式表示成三角形式【典例2-1】（2024·高一课时练习）把复数1i --（i 为虚数单位）改写成三角形式为 ．【典例2-2】（2024·高一课时练习）复数3-的三角形式为 ．【变式2-1】（2024·高一课时练习）i a （a ∈R ）改写成三角形式为 ．【变式2-2】（2024·高一课时练习）1i --改写成三角形式为 ．【方法技巧与总结】解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 题型三：把复数表示成代数形式【典例3-1】（2024·高一课时练习）若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z = .【典例3-2】（2024·高一课时练习）设复数2cos isin 66z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么z 的共轭复数z 的代数形式是 ．【变式3-1】（2024·高一课时练习）复数1cossin33i ππ+的代数形式是 .【变式3-2】（2024·高一课时练习）()()2cos210isin 2105sin30isin60︒+︒⨯-︒+︒= （用代数形式表示）.【方法技巧与总结】解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 题型四：复数的三角形式乘法运算【典例4-1】（2024·高一课时练习）已知复数1ππ2cos isin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对应的向量绕原点逆时针旋转6π后得到的向量对应的复数为2z ，且12z z z =⋅，则z =（ ）A ．2+B ．1C ．2--D ．1-【典例4-2】（2024·高一课时练习）计算()112cos 75isin 75i 22⎛⎫︒+︒⋅- ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．2B 2C D +【变式4-1】（2024·高一课时练习）已知i 为虚数单位，)1cos60isin 60z =︒+︒，)2sin30icos30z =︒-︒，则12z z ⋅等于（ ）A ．()4cos90isin90︒+︒B ．()4cos90isin90︒+︒C ．()4cos30isin30︒-︒D ．()4cos0isin0︒+︒【变式4-2】（2024·高一课时练习）已知复数z 1cos 1212isin ππ⎫+⎪⎭，z 2cos 66isin ππ⎫+⎪⎭，则z 1z 2的代数形式是（ ）A cos 44isin ππ⎫+⎪⎭B cos 1212isin ππ⎫+⎪⎭CD【方法技巧与总结】解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项）两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加．题型五：复数的三角形式除法运算【典例5-1】（2024·高一课前预习）计算(cos π＋isin π)÷(cosisin )33ππ+＝ ．【典例5-2】（2024·全国·高一专题练习）计算：553cos isin 2cosisin 3366ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(用代数形式表示)【变式5-1】（2024·高一课时练习）2012⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭÷(3i )= .【方法技巧与总结】解题总结：（复数的三角形式除法运算的注意事项）两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减．题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义【典例6-1】（2024·北京·高考真题）设复数12sin cos 42z i ππθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在复平面上对应向量1OZ ，将向量1OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转34π后得到向量2OZ ，2OZ 对应复数()2cos isin z r ϕϕ=+，则tan ϕ=（ ）A ．2tan 12tan 1θθ+-B ．2tan 12tan 1θθ-+C ．12tan 1θ+D ．12tan 1θ-【典例6-2】（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）在复平面内，把与复数3对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60︒，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）．【变式6-1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1Z ，2Z ，3Z ，O (其中O 是原点)，已知1Z 对应复数11z =.则1Z 和3Z 对应的复数的乘积13z z = .【变式6-2】（2024·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期末）如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是 .【方法技巧与总结】解题总结（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项）复数乘法几何意义是解题关键．把复数z 对应的向量OZ 绕原点逆时针旋转0z 的一个辐角，长度乘以0z 的模，所得向量对应的复数就是0z z ⋅．复数除法几何意义是解题关键．把复数z 对应的向量OZ 绕原点顺时针旋转0z 的一个辐角，长度除以0z 的模，所得向量对应的复数就是0zz ．。
7.3 复数的三角表示-高一数学考点讲解练(人教A版2019必修第二册)
7.3 复数的三角表示考点讲解考点1：复数的代数形式与三角形式的互化角度一 代数形式化为三角形式【例1】 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i. 【解析】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，所以cos θ＝32，即θ＝π6， 所以3＋i ＝2⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6. (2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22， 又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4. 所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎫cos 7π4＋isin 7π4. 【方法技巧】复数的代数形式化为三角形式的步骤1先求复数的模. 2决定辐角所在的象限. 3根据象限求出辐角.4求出复数的三角形式.角度二 三角形式化为代数形式【例2】 分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6； (2)32(cos 60°＋isin 60°)； (3)2⎝⎛⎭⎫cos π3－isin π3. 【解析】 (1)复数4⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6. 4⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝34＋34i. (3)2⎝⎛⎭⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫2π－π3 ＝2⎝⎛⎭⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝⎛⎭⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝⎛⎭⎫－32i. ＝1－3i.【方法技巧】 复数的三角形式z ＝r cos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例3.【针对训练】1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12⎝⎛⎭⎫cos π4－isin π4； (2)－12⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3； (3)12⎝⎛⎭⎫sin 3π4＋icos 3π4； (4)cos 7π5＋isin 7π5； (5)12⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π6. 【解析】 根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式． (1)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋isin ⎝⎛⎭⎫－π4. (2)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝12⎝⎛⎭⎫cos 4π3＋isin 4π3. (3)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2－3π4＋isin ⎝⎛⎭⎫π2－3π4 ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋isin ⎝⎛⎭⎫－π4.(5)原式＝14⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2. 考点2：复数三角形式的乘、除运算【例3】 计算：(1)8⎝⎛⎭⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝⎛⎭⎫cos 56π＋isin 56π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4. 【解析】 (1)8⎝⎛⎭⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝⎛⎭⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫43π＋56π＋isin ⎝⎛⎭⎫43π＋56π ＝32⎝⎛⎭⎫cos 136π＋isin 136π＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝32⎝⎛⎭⎫32＋12i ＝163＋16i. (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i. (3)4÷⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋isin ⎝⎛⎭⎫－π4 ＝22－22i.【方法技巧】1．乘法法则：模相乘，辐角相加．2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．【针对训练】2．计算：(1)⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π32； (2)2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎫12－12i ；(3)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ÷⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3. 【解析】 (1)⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π32＝(2)2⎝⎛⎭⎫cos 23π＋isin 23π＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)12－12i ＝22⎝⎛⎭⎫22－22i ＝22⎝⎛⎭⎫cos 74π＋isin 74π， 所以2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎫12－12i＝2⎝⎛⎭⎫cos 512π＋isin 512π×⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫cos 74π＋isin 74π ＝2×22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫512π＋74π＋isin ⎝⎛⎭⎫512π＋74π＝cos 2612π＋isin 2612π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i. (3)因为－12＋32i ＝cos 23π＋isin 23π， 所以⎝⎛⎭⎫－12＋32i ÷⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝⎝⎛⎭⎫cos 23π＋isin 23π÷⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫23π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫23π－π3 ＝12⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i. 考点3：复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】 在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解析】 因为3－3i ＝23⎝⎛⎭⎫32－12i ＝23⎝⎛⎭⎫cos 116π＋isin 116π， 所以23⎝⎛⎭⎫cos 116π＋isin 116π×⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫116π＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫116π＋π3 ＝23⎝⎛⎭⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ，23⎝⎛⎭⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝23⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫116π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫116π－π3＝23⎝⎛⎭⎫cos 32π＋isin 32π＝－23i. 故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.【针对训练】3．在复平面内，把与复数334＋34i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)【解析】334＋34i ＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6， 由题意得32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6×⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝32×2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3 ＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝3i ， 即与所得向量对应的复数为3i.考点过关一、选择题1．设复数z ＝a ＋b i ＝r (cos θ＋isin θ)，其中a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝r ，arg z ＝θ，下列说法正确的是() A ．r >0，θ∈[0,2π) B ．r ≥0，θ∈(0,2π)C ．r ∈R ，θ∈(－π，π)D ．r ≥0，θ∈[0,2π)【解析】 由复数三角形式的特征知，r ≥0,0≤θ<2π.故选D ．2．复数－2⎝⎛⎭⎫cos π5＋isin π5辐角的主值是( )A ．π5B ．4π5C ．6π5D ．9π5【解析】解法1：∈－2⎝⎛⎭⎫cos π5＋isin π5＝2⎝⎛⎭⎫cos 6π5＋isin 6π5， ∈辐角的主值为6π5，故选C ． 解法2：复数对应点在第三象限，∈辐角主值是第三象限角.3．将代数形式的复数z ＝2i 改写成三角形式为( )A ．2＋cos π2＋isin π2B ．2⎝⎛⎭⎫cos π2－isin π2C ．2⎝⎛⎭⎫sin π2＋icos π2D ．2⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2 【解析】 因为2i 在复平面内所对应的点在y 轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝π2， 从而可知2i ＝2⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2. 4．复数3－i 的辐角主值为( )A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6 【解析】∈3－i ＝2⎝⎛⎭⎫32－12i ＝2⎝⎛⎭⎫cos 11π6＋isin 11π6， 又∈11π6∈[0,2π)，故3－i 辐角的主值为11π6. 5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是( )A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°【解析】令z ＝sin 10°＋icos 10°，其三角形式为z ＝cos 80°＋isin 80°，所以z ·z ＝(cos 80°＋isin 80°)2＝cos160°＋isin 160°，故选B ．二、填空题6．设z ＝3－i ，对应的向量为OZ →，将OZ →绕点O 按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为____.【解析】 根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(3－i)(cos 30°＋isin 30°)＝(3－i)⎝⎛⎭⎫32＋12i ＝2． 7．计算下列式子，写出其结果的代数形式： 5⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6·2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4＝ __. 【解析】 5⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6·2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4＝10⎝⎛⎭⎫cos 5π12＋isin 5π12 ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝56－522＋56＋522i. 8．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝2＋12i__. 【解析】(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝32＋12i. 三、解答题9．把下列复数表示成三角形式.(1)5； (2)i ； (3)12＋32i ； (4)－1－3i ； (5)33－3i ； (6)－4＋3i.【解析】(1)5＝5(cos 0＋isin 0)；(2)i ＝cos π2＋isin π2； (3)12＋32i ＝cos π3＋isin π3；(4)－1－3i ＝2⎝⎛⎭⎫－12－32i ＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π3＋isin 4π3； (5)33－3i ＝6⎝⎛⎭⎫32－12i ＝6⎝⎛⎭⎫cos 11π6＋isin 11π6； (6)－4＋3i ＝5⎝⎛⎭⎫－45＋35i ＝5(cos θ＋isin θ)(其中tan θ＝－34). 10．已知z ＝1＋i ，求复数ω＝z 2－3z ＋6z ＋1的模和辐角主值，并写出复数的三角形式. 【解析】∈z ＝1＋i ，∈ω＝z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋61＋i ＋1＝3－i 2＋i＝1－i ，∈|ω|＝2，1－i 对应的点在第四象限且tan θ＝－1，∈ω辐角的主值为7π4，∈复数ω的三角形式为ω＝2⎝⎛⎭⎫cos 7π4＋isin 7π4.。
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专题7.3 复数的三角表示
运用一 代数式转为三角形式
12=-3i,z =1i 【例1】把复数z 表示成三角形式
【举一反三】
1.化下列复数为三角形式：
（1）2（sin π5 +icos π5 ）； （2）－２（－sin π5 ＋icos π5 ）； （3）－２（sin π5 －icos π
5 ）
运用二 三角式转代数式
【例2】把下列复数化成三角形式： （1）6（2）-5（3）2i （4）-i （5）-2+2i
【举一反三】
1.下面复数化为三角形式：（1）);5sin 5(cos 2ππ
i -（2）).5
sin 5cos (2π
πi +-
（3）)5sin 5(cos
2ππ
i +-；（4）)5
cos 5(sin 2π
πi +.
运用三 辅角主值
【例3】复数5
2sin
52cos 1π
πi ++-的辐角主值是多少.
【举一反三】
1、已知复数z 满足(z ＋1)(z ＋1)=|z|2
，且1
1
+-z z 是纯虚数. (1)求z ；(2)求z 的辐角主值.
2、满足z z 5+是实数,且z+3的辐角主值是4
3π的虚数z 是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由.
3、设虚数z1,z2满足2
1
z = z2.
(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.
(2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为θ,求θ的取值范围.
1．（2019·湖南高三（理））若θ为第二象限角．则复数cos sin
z i
θθ
=+（i为虚数单位）对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若cos sin
z i
θθ
=+(R i
θ∈，是虚数单位),则22
z i
--的最小值是（）
A. C.1 D.1
3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若,0
2
π
θ⎛⎫
∈-
⎪
⎝⎭
，则复数cos sin
z i
θθ
=+（i为虚数单位）对应的点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）
A. B. C. D.
5、已知复数z满足等式
z
z1
-
＝
2
1
，且
6
arg
π
=
z，求z 。
6．（2019·上海格致中学高三）已知复数i
1i x y z +=
+（,x y ∈R ，i 是虚数单位）的对应点z 在第四象限，
且||z ≤
，那么点(,)P x y 在平面上形成的区域面积等于____
7．（2019·上海市建平中学高二期中）设复数12133z i z i =--=+，，若
)
2z i
R θθθ=++∈，，则12z z z z -+-的最小值为_________.
8．（2019·上海中学高三）已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ=+∈，2z 的虚部
为2．
（1）求复数z ；
（2）设22z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ⋅uu u r uuu r
的值．
9．（2019·上海市建平中学高三）已知复数12sin z θ=，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，
[,]32
ππ
θ∈. （1）若12z z ⋅为实数，求θ的值；
（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a r 、b r ，存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=r r r r
成立，求实数λ的取值范围.
10．（2018·上海交大附中高二期末）设1z +为关于x 的方程()2
0,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.
（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；
（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.
11、将下列复数代数式化为三角式：
（1）5
sin
5
cos
π
π
i +-； （2）θθcos sin i +.
（3）75cos 75sin π
πi -； （4）ααsin cos 1i ++ )2,0[πα∈.
12、把复数z 1与z 2对应的向量OA ,OB 分别按逆时针方向旋转4
π和35π
后,重合于向量OM 且模相等,已知
z 2=－1－3i,求复数z 1的代数式和它的辐角主值.。