大学物理 波的能量能流密度
大学物理波动部分公式
• 弹簧振子作简谐运动的总能量（守恒）、动能、势能：
1
1
1
1
1
1
1
1
= 2 2 + 2 2 = 2 2 2 = 2 2 ； = 2 2 = 2 2 2 2 ( + )； = 2 2 = 2 2 2 ( + )
• 两个同方向同频率简谐振动的合成
•
=
= 2； =
• ⑤简谐振动的速度： =
2
• ⑥简谐运动的加速度： =
= 2
；=
2
=⥂
1
2
；=
1
= − ( + )
2
2
=
= −2 ( + )
• 单摆作简谐运动：
•
2
运动方程： 2 = −
• 机械振动
• 弹簧振子作简谐运动：
• ①加速度: = = − = −2
•
2
②微分方程: 2
= −2
• ③运动方程: = ( + )
• 或 = ( + ′ ) 其中 ′ = + 2
• ④弹簧振子的角频率、频率、周期、劲度系数之间的关系：
10
0
• 电磁波波速： =
• 声强级： =
电磁震荡与电磁波
2
2
1
+ = 0无阻尼自由震荡（有电容C和电感L组成的电路）
= 0 ( + )
=
1
波的能流密度强度公式
波的能流密度强度公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：波的能流密度强度公式是描述波动能量传播和传递速率的重要公式。
能流密度强度是指单位面积上通过的波动能量流量，可以用来衡量波在介质中传播的强度和速率。
在物理学和工程学中，波动现象是非常常见的，因此研究波的能流密度强度公式对于理解和控制波动现象非常重要。
波的能流密度强度公式可以根据不同类型的波以及波动现象的特性而有所不同，但一般情况下，波的能流密度强度与波的振幅和频率有关。
在传统的经典力学中，波的能流密度强度可以通过以下公式来表示：\[ P = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{\rho}} v^2 \]P表示能流密度强度，u表示波的线密度或者表面密度，ρ表示介质的密度，ν表示波的速度。
在这个公式中，波的振幅对于能流密度强度的影响体现在速度的平方项上。
速度越大，波的振幅对应的能流密度强度就越大。
介质的密度和波的线密度或者表面密度也对能流密度强度起到重要作用。
需要特别说明的是，对于不同类型的波，能流密度强度公式可能需要做适当的修正。
比如对于声波，由于声波是在气体、液体或固体介质中传播的，因此介质密度对于声波的传播会产生不同的影响。
而对于电磁波，介质的电磁性质对于能流密度强度也可能会有所影响。
因此在具体应用中，需要根据波的特性和介质性质做出相应的修正和调整。
在工程学和实际应用中，波的能流密度强度公式可以用来优化波动传输系统的设计，提高能量传播效率，加速数据传输速率，改善声音等波动现象的传播质量。
比如在声学领域中，通过调节声波的振幅和频率，可以控制声音的传播距离和声音质量，进而提高音响设备的性能。
在无线通信领域中，通过优化电磁波的能流密度强度，可以提高无线通信网络的覆盖范围和传输速率。
波的能流密度强度公式是描述波动能量传播和传递速率的重要工具，对于理解和应用波动现象具有重要意义。
在实际应用中，根据波的特性和介质性质，可以对能流密度强度公式进行适当的调整和修正，从而实现对波动现象的优化和控制。
第三节 波动过程的能量和波强度
A1 A2
平面波在媒质不吸收的情况下, 各处振幅相同。
8
2. 球面波 一个周期内通过两个球面的能量分别为
W1 I1S1T A122u 4π r12 T / 2
W2 I2S2T A222u 4π r22 T / 2
介质不吸收能量
S2
S1
W1 W2
A1r1 A2r2
• r1 r2
dx
Ox
x
说明
(1) 为介质吸收系数，与介质的性质及
波的频率有关。
(2) 波的强度随传播距离按指数衰减。
11
u
I wuTS wu TS
I 1 A2 2u
2
udt
S
写成矢量形式为
I wu
7
三、平面波和球面波的振幅（介质不吸收能量）
1. 平面波
一个周期内通过两个面的能量分别为
W1 I1S1T A122uST / 2
u
W2 I2S2T A222uST / 2
介质不吸收能量 W1 W2
S1 S2
v
y t
A
sin[
(t
x u
)
0 ]
l T1
y
y
T2
(1) 线元的动能
O
x x
Wk
1 2
mv2
1 2
x A2 2
sin
2[(t
x u
)
0
]
在波的传播过程中，由原长△x 变成△l，
形变为△l -△x ，线两端受张力T=T1=T2。 张力做的功等于线元的势能
Wp T (l x)
2
l (x)2 (y)2 x[1 ( y )2 ]1/2 x
5
2. 能量密度w 单位体积介质中波的能量。
16-3 波的能量 能流密度
讨论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 ）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随x, 作周期性变化 且变化是同 作周期性变化， 势能、总机械能均随 t作周期性变化，且变化是同 相位的 相位的. 体积元在平衡位置时，动能、 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 均最大 体积元的位移最大时，三者均为零. 体积元的位移最大时，三者均为零
第十六章 机械波动理论 弹性势能
16-3 波的能量 能流密度 16O O
1 2 dW P = k (dy ) 2 dy F 胡克定律 =Y S dx
x
F
dx
SY k= F = YS dx dx 2 1 1 Y dy 2 dW P = k (d y ) = YS d x u= 2 2 ρ dx ∂y ω 1 dy 2 x 2 = ρu dV ( ) = A sin ω (t − ) 2 dx ∂x u u 1 x 2 2 2 = ρdVA ω sin ω (t − ) 2 u
16-3 波的能量 能流密度 16-
s2
s1
r1
r2
即
w 1 uS1 = w 2 uS2 1 1 2 2 2 ρ A1 ω u 4π r1 = ρ A22ω 2 u 4π r22 2 2 A0 r0 r A1 r2 y= cos ω (t − ) = r u A2 r1
处的振幅。 式中r为离开波源的距离， 式中 为离开波源的距离，A0为r=r0处的振幅。 为离开波源的距离
O O
x
dx
x
y + dy
y
x
第十六章 机械波动理论
16-3 波的能量 能流密度 16-
O O
x
13-3 波的能量能流密度
系统与外界无能量交换。 系统与外界无能量交换。 波动质元： 波动质元：
∆Ek = ∆Ep ，∆Ek +∆Ep ≠ const.
每个质元都与周围媒质交换能量。 每个质元都与周围媒质交换能量。 特征） （特征）
第十三章 波动
9
物理学
1313-3 波的能量 能流密度
下册
能量密度： 能量密度：单位体积介质中的波动能量 dW x 2 2 2 w= = ρA ω sin ω (t − ) ∝ ω 2 A 2 dV u 平均能量密度 能量密度： 平均能量密度：能量密度在一个周 期内的平均值 1 T 1 2 2 w = ∫ wdt = ρω A T 0 2
ρdV 2 2 2 u 2 ρSdx ∂y x = A ω sin ωt − ω + ϕ = 2 ∂x 2 u
第十三章 波动
4
物理学
下册
1313-3 波的能量 能流密度 x ρdV 2 ρdV 2 2 2 dEk = v = A ω sin ωt − ω + ϕ 2 2 u
A
2
第十三章 波动
14
物理学
1313-3 波的能量 能流密度
下册
例 证明球面波的振幅与离开其波源的 距离成反比，并求球面简谐波的波函数. 距离成反比，并求球面简谐波的波函数 介质无吸收， 证 介质无吸收，通过两个球面的平均 能流相等. 能流相等 w1uS1 = w2uS 2 1 2 2 1 2 2 2 2 即 ρA1 ω u 4π r1 = ρA2 ω u 4π r2 2 2 A1 r2 s1 r s2 = 2 A2 r1
2 2 2
讨 论
(1)在波动传播的介质中，任一体积元的 )在波动传播的介质中， 动能、势能、 动能、势能、总机械能均随 x, t 作周期性变 同相位的 且变化是同相位 化，且变化是同相位的.
大学物理机械波知识点及试题带答案
机械波一、基本要求1、掌握描述平面简谐波的各物理量及各量之间的关系。
2、理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波动方程的方法及波动方程的物理意义。
理解波形图，了解波的能量、能流、能量密度。
3、理解惠更斯原理，波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
4、了解驻波及其形成条件，了解半波损失。
5、了解多普勒效应及其产生的原因。
二、主要内容1、波长、频率与波速的关系 /u T λ= u λν=2、平面简谐波的波动方程])(2cos[ϕλπ+-=xT t A y 或 ])(cos[ϕω+-=ux t A y 当0ϕ=时上式变为)(2cos λπx T t A y -= 或 )(cos uxt A y -=ω3、波的能量、能量密度，波的吸收（1）平均能量密度：2212A ϖρω= （2）平均能流密度：2212I A u u ρωϖ==（3）波的吸收：0x I I e α-=4、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。
5、波的叠加原理（1）几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变, 并按照原来的方向继续前进, 好象没有遇到过其他波一样.（独立性） （2）在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.（叠加性）6、波的干涉121220,1,221)0,1,2k k A A A k k A A A ϕπϕπ∆=±==+⎧⎪⎨∆=±+==-⎪⎩，… （干涉相长）（，… （干涉相消） 12120,1,2(21)0,1,22k k A A A k k A A A δλλδ=±==+⎧⎪⎨=±+==-⎪⎩，… （干涉相长），… （干涉相消） 7、驻波两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波，其表达式为22coscos xY A t πωλ=8、多普勒效应（1）波源静止，观测者运动 00(1)V u υυ=+ （2）观测者静止，波源运动 0'suuu V υυλ==- （3）观测者和波源都运动 000'xu V u V u V υυλ++==- 三、习题与解答1、振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程)(cos ux t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．2、波动方程0cos x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中的xu表示什么？如果改写为0cos x y A t u ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x u ω又是什么意思？如果t 和x 均增加，但相应的0x t u ωϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值不变，由此能从波动方程说明什么？解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为)cos(0ϕωω+-=ux t A y t 则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0ϕωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x 均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0ϕωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．3、在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？解: 取驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为x A λπ2cos2．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．4、已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y ＝A cos (Bt －Cx )，其中A ，B ，C 为正值恒量.求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差. 解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较，可知： 波振幅为A ，频率πυ2B =， 波长C πλ2=，波速CB u ==λυ， 波动周期BT πυ21==．(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=∆λπϕ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得 Cd =∆ϕ．5、图示为一平面简谐波在t ＝0时的波形图，求：（1）该波的波函数；（2）P 处质点的振动方程。
10-3 波的能量能流密度
平均能量密度
一个周期内能量密度的平均值。 一个周期内能量密度的平均值。
第十章 波动
5
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度
1 T 1 T x 2 2 2 w = ∫ wdt = ∫0 ρA ω sin ω( t − u )dt T 0 T T 1 x 2 2 2π ρA ω ∫0 sin ( t − )dt = T =π ω T T u T 1 1 x π 2 2 2 2 2π w = ρA ω = ρA ω ∫0 sin ( t − )d( t ) π T u T 2
1 A2ω2 x 2 = YSdx sin [ω(t − )] 2 2 u u
1 x 2 2 2 Wp = ρ A ω sin [ω(t − )]∆V = W k 2 u
第十章 波动
3
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度 体积中质点的总能量： 考虑 ∆V 体积中质点的总能量：
2 2 2
x W = Wk +Wp= ρA ω sin ω( t − )∆V u 说明： 说明：
∫
π
0
sin 2 θ ⋅ dθ = π 2
第十章 波动
6
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度 二、波的能流和能流密度 波的能流和能流密度
u
∆S
能流: 能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。 截面的能量。 p = wu∆S 平均能流：在一个周期内能流的平均值。 平均能流：在一个周期内能流的平均值。
物理学
第五版
一、波的能量 波的能量
1010-3 波的能量 能流密度
波动是振动状态的传播过程， 波动是振动状态的传播过程，伴随着振动能量 的传播。 的传播。 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 以纵波为例: 以纵波为例:
大学物理20波动学
2019/7/23
5
5.3 驻波和多普勒效应
一、驻波
1.驻波的形成
两列振幅相 同的相干波, 在同一直线 上沿相反方 向传播时, 叠加后形成 的波。
2019/7/23
t 0
x
t
T
4
tT 2
t 3T 4
t T
6
2019/7/23
7
y
特征
(1) 波节:
o
某些点始 终静止不 动(A=0), 如点
xx
y入 0 .0c4o 1s 0 (t[ 0u1)3]
x 5
2019/7/2 3 0 .0c4o 1s0 ([t0 ) ]
16
100 6
x 5
y入 0 .0c4o 1s 0([t 010 )0 6]
（2）反射波的波动方程
3.
105 y入 p0 .0c4o 1s 0 (t[ 0 1) 0 6 0]
u
v p '
s
P
u'uv 观察者 P感觉到波的传播速度
p
单位时间内P可接受到的完整波形数目为
u
uv p
uv
p
u/
u
靠近：v 0 p
'
远离： v 0 p
'
2019/7/23
22
2. 观察者P 静止，波源S 以 vs 的速度运动
· · S vST
2019/7/23
17
(3) (4)
驻波方程
波y节: y|入 cosy(x反 0 .)0 |c 08o x xs 2 ()c (2o 1 ks 1 0 )t( 0 3)
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单位体积内的能量 w dE dV
w
dE dV
A2 2 sin2[(t
x u
)
0
]
5、一个周期内的平均能量密度
w 1 T
T wdt 1
0
T
T 0
A2
2
s
in
2[(t
x u
)
0
]dt
1 2 A2
2
sin2 1 1 cos2
2
这说明：w 2、A2
dE
(dV
) A2
2
sin 2[(t
x) u
0 ]
对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中吸收能
量，又不断地向后面的介质传递能量。这说明波动是传递能
量的一种方式，且能量传播的速度就是波速。
孤立的谐振子系统总能量守恒。
第十章 波动
4
物理学
第4五、版 能量密度
10-3 波的能量 能流密度
dEk
1 2
dV 2 A2
s
in2[(t x
u 第十章 波动
)
0
]
1
物第理五2版、学 dv 内的波动势能
10-3 波的能量 能流密度
体积元因形变而具有弹性势能
在横ห้องสมุดไป่ตู้中，产生切变
y
y
o
x
x
y
x
x
h
lim tg x
h
x0
y y x x
u
A s in
物理学
第五版
10-3 波的能量 能流密度
因空气波为疏密波，故声压可正、可负，其单位为“帕斯 卡”。
可以证明：声压的振幅 Pm uA zA
(z u
称为波阻）P 正比于波动频率。 m
2、超声波对物质的作用
波动频率超过20000Hz的机械波，谓之超声波。
1） 机械作用 2）B超，理疗。
第十章 波动
3
物理学
第五版
10-3 波的能量 能流密度
相反地，当体积元处在位移为零处(即平衡位置)时，振速、
相对形变均最大，所以弹性势能和动能都同时达到最大值。
这与孤立的谐振子系统不相同，孤立的谐振子系统振动过程中 系统的动能和势能相互转换,且总能保持不变。
② 体元dV内的机械能不守恒，且作周期性变化。
第十章 波动
5
物理学
第五1版0.3.2
波的能流和能流密1度0-3 波的能量 能流密度
1、能流
u
单位时间内沿波传播的方向通过 介质中某一截面积的能量称为该面 积的能流。
V udt s
P E 瓦
t
udt
S
如右图所示 P wSudt wSu dt
2、平均能流
P 1
T
wSudt
wSu
1
2 A2 u s
T0
2
第十章 波动
6
物理学
10-3 波的能量 能流密度
第五3版、平均能流密度 （又叫波强）I
通过垂直于波传播方向的单位面积的平 均能流.
I P wu s
可见波强
I 1 2 A2 u （瓦/米2）
2
I 2、A 2
c
ln A 0
ln A x ln ex
A0
A A0ex
第十章 波动
I I 0e 2x
8
物理学
第*五1版 0.3.4
声压、声强和声强1级0-3 波的能量 能流密度
1、声波：
波动频率在20Hz─20000Hz之间，能引起人的听觉的机械波。
次声波：
频率低于20Hz的机械波（如地震、火山爆发、陨石落地、
t
x u
0
u
G
E p
dV
1 2
G
y x
2
1 2
dV2 A2
s in 2
(t
x u
)
0
第十章 波动
2
物理学
第五版３、dV内的总波动能量
10-3 波的能量 能流密度
dE dEk dEp
以上讨论说明：
(dV ) A2 2
物理学
第五版
10-3 波的能量 能流密度
10.3.1 波的能量和能量密度
1、dV
设： y A
内的波动动能
c
os
[
(t
x u
)
0
]
y
y
o
x
x
在介质内任取一体元dv
dm dV dV S dx
dEk
1 2
(dm)v2
v
y t
A s in[ (t
x u
)
0
]
第十章 波动
7
物理1学0.3.3 波的吸收 第五版
10-3 波的能量 能流密度
波动中一部分机械能因克服内摩擦做功转换成介质内能，
设介质中某处振幅为A，经厚度为dx的介质后，振幅的衰减
量为dA，实验表明
dA Adx
dA
dA dx
A
A0
A
dx
ln A x c
设
x=0 时， A=A0
s in 2 [ (t
x) u
0 ]
① 在同一体元dV 内， dEk 、 dEp 是同步的。
y y 0
x
y
o
x
x
以横波为例，当体积元的位移最大时（即波峰、波谷处）， 它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等的位移，使该体积 元发生的相对形变为零，即此时有y/x=0，所以此时体积元的 弹性势能为零，而此时体积元的振速也为零，所以动能也为零；
第五版 正常的呼吸、草木的窸窣（xishu)声，约为10分贝；高声
谈话为60－70分贝；摇滚乐可达90－120分贝；街道上从身边
驶过的车辆是80－100分贝；喷汽机起飞时达140分贝；宇宙
火箭发射时达175分贝。
人类感到舒适的音量在15－35分贝之间；达到130分贝
时即会引起病态的感觉；如果达到150分贝，人就难以忍受；
达到180分贝时，金属也会遭到破坏。
(3)声功率: 单位时间里通过某一面积的声波的能量,亦即声波的能流。
(4)响度:
人耳对声音强弱的主观感觉.其既与声强有关也与频率有关。
(5)声压:
在声波传播的空间里，某一点在某一瞬时的压强P与没有 声波时的静压强P0之差dP=第P十-章P0，波叫动 做该点该瞬时的声压。 10
雷暴等发出…）
(1)声强：
指声波的波强，即声波的平均能流密度 (2) 声强级：
I 1 2 A2 u
2
以人耳刚能听到的声强
I 0 1012 w m2为标准，
则声强级
IL lg I ( 贝 尔 ) 10 lg I ( 分 贝 dB)
I0
I0
第十章 波动
9
物理学
10-3 波的能量 能流密度
第十章 波动
11
物理学
第五版
10-3 波的能量 能流密度
例5.4 空气中声波的吸收系数为a1 21011 2m1钢中的 吸收系数为 a2 4 107 m，1 式中ν代表声波的频率.问 频率为5 MHz的超声波透过多厚的空气或钢后其声强