高中数学余弦定理教案2 苏教版必修5
2019-2020年高中数学 《余弦定理(2)》教案2 苏教版必修5
2019-2020年高中数学 《余弦定理（2）》教案2 苏教版必修5【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材例6）在中，是边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材例5）在中，已知，试判断三角形的形状例3 在中，证明：例4 已知三角形一个内角为，周长为20，面积为，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在中，设,，且||,||,•，则2. 在中，已知，、、分别为角、、所对的边，则的值等于________3.已知边上的中线，,则4.已知圆内接四边形中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：2019-2020年高中数学《几何概型》教案1 新人教A版必修3教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．教学设计一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、解释应用［例题］1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．四、拓展延伸1. “概率为数‘0’的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3. 你能说说频率和概率的关系吗？点评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．。
苏教版必修五1.2《余弦定理》word教学设计
1.2 余弦定理南京师范大学附属中学 张跃红教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1. 创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A ，B 两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C ，然后量出AC ，BC 的长度，再测出∠ACB ．△ABC 是确定的，就可以计算出AB 的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A 作垂线交BC 于点D ，则｜AD ｜＝｜AC ｜sin C ，｜CD ｜＝｜AC ｜cos C ，｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜cos C ，所以， 22||||||BD AD AB += C BC AC BC AC cos ||||2||||22⋅⋅-+=．C法2：（向量方法）如图3，因为AB AC CB =+，所以，22()AB AC CB =+222cos(),AC CB AC CB C π=++⋅⋅- 即 C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．法3：（建立直角坐标系） 建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC ｜cos C , ｜AC ｜sin C ），B （｜BC ｜, 0），根据两点间的距离公式，可得22)0sin |(||)|cos |(|||-+-=C AC BC C AC AB ，所以，C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．活动评价：师生共同评价板演．3. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边长，则有C ab b a c cos 2222-+=成立．类似的还有其他等式， A cb b c a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点C间的距离公式来解决，等等．4. 探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 222c b a >+，222c b a <+；C ab b a c cos 2222-+=是边长a 、b 、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=． 5. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，求角C ．2．（1）在△ABC 中，若045,6,13==+=A c b ，解这个三角形．（2）在△ABC 中，1,60,30===c B b ，求a ．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式abc b a C 2cos 222-+=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．。
苏教版高中高三数学必修5《余弦定理》教案及教学反思
苏教版高中高三数学必修5《余弦定理》教案及教学反思一、教案1. 教学目标通过本节课的学习，让学生掌握余弦定理的含义和使用方法；培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
2. 教学重点掌握余弦定理的内容和应用场景。
3. 教学难点理解余弦定理的原理和证明方法。
4. 教学方法讲解、练习、归纳、探究。
5. 教学准备黑板、白板、彩色粉笔、板书设计、课件。
6. 教学过程6.1 引入老师出示三角形图形，并让学生用勾股定理求出斜边长度。
然后老师问学生怎么求另外两条边长度，学生可用勾股定理计算得出。
接下来老师提出问题：“如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以用什么公式求出第三边的长度呢？”6.2 讲解老师介绍余弦定理的概念、公式及证明方法。
展示余弦定理的公式$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos C$$让学生理解其中的符号含义。
6.3 练习1.请通过余弦定理计算以下三角形的斜边长度：–边长分别为12cm, 16cm，夹角为$120^{\\circ}$ 的三角形–边长分别为5cm, 7cm，夹角为$60^{\\circ}$ 的三角形2.如果知道三角形的三边长度，如何判断它们是否能构成三角形？6.4 探究让学生互相交换刚才的练习结果，并相互核对。
然后，由学生自己设计一个类似的问题，并分组讨论如何使用余弦定理解决该问题。
6.5 总结老师归纳余弦定理的公式及应用场景，并让学生总结本节课的内容。
二、教学反思1. 教学过程本节课的教学过程分为引入、讲解、练习、探究和总结五个部分，目标明确，内容详实，这样设计是比较合理的。
2. 教学方法在教学方法方面，本节课采用了讲解、练习、归纳和探究等多种方法，正确引导学生思考，从而使学生更加深入理解和掌握知识点。
3. 教学效果本节课的教学效果比较显著，学生对余弦定理的公式、应用场景等方面有了更全面的认识，掌握了正确的求解方法，另外学生们的讨论也很活跃，互相学习存才，教学效果比较好。
苏教版高中数学必修五余弦定理学案(2)
2012高一数学 余弦定理（2）学案一、学习目标： 1. 掌握余弦定理．2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，体会数学中的转化思想． 二、教学过程：1、复习回顾余弦定理的两种形式2、学生活动：探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．3、数学应用 例1B A ,两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C ，测得︒=∠==63,126,182ACB m CB m CA ，求B A ,两地之间的距离（精确到1m ）．例2 在长江某渡口处，江水以5h km /的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在h 1.0后到达江北岸B 码头．设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东︒15，并与A 码头相距km 2.1．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到︒1.0，速度精确到h km /1.0）？例3 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断该三角形的形状．例4 在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos =+，试判断ABC ∆的形状．例5 如图， AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+=． ,4．课堂练习．（1）在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ,那么C cos 等于（ ）A ．32 B ．32- C ．31- D ．41- （2）如图，长7m 的梯子BC 靠在斜壁上，梯脚与壁基相距m 5.1，梯顶在沿着壁向上6m 的地方，求壁面和地面所成的角α(精确到︒1.0)．（3）在ABC ∆中，已知︒===60,3,2C b a ，试判断此三角形的形状．（4）在ABC ∆中，设CB u u u r ＝a ，AC u u u r＝ｂ，且|a |＝2，|ｂ|，a ·，求AB 的长（精确到0.01）．ABCααMCBA5．课堂小结6．课后作业1．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为___________________.2．△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，5,4a b ==，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC 有___________________解3．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是___________________.4．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是___________________.5．在ABC ∆中,如果4sin 2cos 1,2sin 4cos 33A B B A +=+=,则C ∠的大小为__________. 6．已知AB P AC BC ACB ABC 是中,4,3,90,==︒=∠∆的动点，则点P 到BC AC ,距离的乘积的最大值_____________。
苏教版高中数学必修五第一学生教案第课时余弦定理
听课随笔1.2 余弦定理 第1课时知识网络三角形中的向量关系→余弦定理学习要求1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；3． 能初步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，______________________，______________________.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，___________________，___________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）_______________________________．【精典范例】【例1】在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ； （2）已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．【解】点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测182,CA m =126,CB m = 063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 【解】【例3】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．【证】点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．追踪训练一１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７， 求a ；（２）已知a ＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（ ） Ａ．能组成直角三角形 Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形听课随笔Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知222c ab b a =++，试求∠Ｃ的大小．４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？【选修延伸】【例4】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。
高中数学 1.2《余弦定理(2)》教案 苏教版必修5
第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a r ,=−→−AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r •b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则a c b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。
苏教版数学高二苏教版必修5学案 1.2 余弦定理(二)
明目标、知重点 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (2)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (3)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.探究点一 余弦定理在实际问题中的应用例1 在长江某渡口处，江水以5 km/h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1 h 后到达江北岸B 码头，设AN →为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东15°的方向上，并与A 码头相距1.2 km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少？(角度精确到0.1°，速度精确到0.1 km/h)解 如图，船按AD →方向开出，取AC →方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中AB ＝1.2(km)，AC ＝5×0.1＝0.5(km)，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝1.22＋0.52－2×1.2×0.5cos(90°－15°)≈1.38， 所以AD ＝BC ≈1.17(km)因此，船的航行速度为1.17÷0.1＝11.7(km/h)． 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝0.5sin 75°1.17≈0.412 8，所以∠ABC ≈24.4°.所以∠DAN ＝∠DAB －∠NAB ＝∠ABC －15°≈9.4°.答 渡船应按北偏西9.4°的方向，并以11.7 km/h 的速度航行．反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． 跟踪训练1 某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 解 如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9， ∠ACB ＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x )2＝92＋(10x )2－2×9×10x cos 120°，化简得32x 2－30x －27＝0，即x ＝32或x ＝－916(舍去)，所以巡逻艇需要1.5小时才追赶上该走私船． 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314.∴∠BAC ＝38°13′，或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′.答 巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船． 探究点二 利用余弦定理判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知sin A ＝2sin B cos C ，试判断该三角形的形状． 解 由正弦定理和余弦定理，得 sin A sin B ＝ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ， 所以a b ＝2·a 2＋b 2－c 22ab ，整理，得b 2＝c 2.因为b >0，c >0，所以b ＝c ， 因此△ABC 为等腰三角形．反思与感悟 题中边的大小没有明确给出，而是通过三个角的关系式来确定的，因此利用正、余弦定理将角的关系转化为边的关系来判断．跟踪训练2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )， 整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是________． 答案3和15解析 两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________三角形． 答案 等腰解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ， ∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.∴B ＝π6.4.如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，DA ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD 的面积．解 连结AC ，在△ACD 中， 由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°， 可得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D＝62＋42－2×6×4cos 60°＝28，在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28， 可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝22＋42－282×2×4＝－12.又0°<B <180°，故B ＝120°.所以四边形ABCD 的面积 S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12AD ·CD sin D ＋12AB ·BC sin B＝12×6×4sin 60°＋12×2×4sin 120° ＝8 3.[呈重点、现规律]1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． 2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．一、基础过关1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段能组成________三角形． 答案 锐角解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a ＝________.答案 1解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a＝14，得a ＝1.3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形． 答案 锐角解析 设直角三角形的三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，增加的长度为x ， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2 ＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角为锐角．4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C ＝________.答案 13解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.不妨设a ＝3，b ＝2，c ＝3，则cos C ＝32＋22－322×3×2＝13.5．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 答案 30°解析 由sin C ＝23sin B ， 根据正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边边长，那么a 的取值范围是________． 答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边长为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得0<a <8. 又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.7.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解 依题意得，CD ＝30 km ， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km. 二、能力提升8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．答案66解析 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66.9．已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为________． 答案 120°解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°. ∴△ABC 的最大内角为120°.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝______.答案 4解析 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 整理得15b －60＝0.∴b ＝4.11.如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ， 即142＝102＋x 2－20x cos 60°， ∴x 2－10x －96＝0，∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos C＝(2a－c)cos B.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．解(1)由已知及正弦定理，有sin B cos C＝(2sin A－sin C)cos B，即sin B cos C＋cos B sin C＝2sin A cos B.∴sin(B＋C)＝2sin A cos B.∵sin(B＋C)＝sin A≠0，∴2cos B＝1，即cos B＝12，∴B＝60°.(2)由题设，b2＝ac.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴ac＝a2＋c2－2ac cos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0.从而有a＝c.由(1)知B＝60°，∴A＝B＝C＝60°.∴△ABC为正三角形．三、探究与拓展13．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．。
数学必修五余弦定理教案(可编辑
数学必修五余弦定理教案(可编辑教案：数学必修五，余弦定理一、教学目标：1.理解余弦定理的概念及原理；2.学会运用余弦定理解决三角形中的实际问题；3.培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点：1.理解余弦定理的概念及原理；2.运用余弦定理解决三角形中的实际问题。
三、教学难点：1.运用余弦定理解决具体问题。
四、教学过程：Step 1 引入与导入（5分钟）1.利用平面上两点间距离公式引入余弦定理；2.通过几个具体实例让学生感触余弦定理的作用。
Step 2 定理说明与证明（10分钟）1.介绍余弦定理的概念和原理；2.利用几何图示证明余弦定理。
Step 3 理解与运用（20分钟）1.引导学生理解余弦定理；2.利用余弦定理计算未知角度的大小；3.利用余弦定理计算未知边长的长度。
Step 4 实际问题的应用（25分钟）1.给出一些实际生活中的问题，如解决航海、测距等问题；2.分组讨论，利用余弦定理解决问题；3.学生进行展示，互相评价讨论，找出最佳解决方案。
Step 5 拓展与应用（15分钟）1.将余弦定理与三角函数的其他定理进行对比；2.引导学生思考余弦定理在其他数学领域的应用。
五、教学辅助手段及教学资源1.平面图示，辅助教学；2.三角量角器，用于演示与实践；3.教学PPT，展示定理证明与解题方法；4.实际问题的示例。
六、教学评估及反馈1.课堂练习，检测学生对概念和原理的理解程度；2.实际问题的解答，评价学生的应用能力；3.学生互相评价讨论，提供解决方案改进的建议。
七、教学延伸1.学生通过解决实际问题，培养分析和解决问题的能力；2.鼓励学生进一步探索余弦定理在其他数学领域的应用。
八、教学反思通过本节课的教学，学生对余弦定理有了更深入的理解，尤其是在解决实际问题的过程中，学生能够灵活运用余弦定理解决问题。
同时，在教学中引入实例和思考问题的环节，激发了学生的学习兴趣和思辨能力，培养了他们的创新思维和问题解决能力。
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听课随笔
第2课时余弦定理
【学习导航】
知识网络
⎩
⎨
⎧判断三角形的形状航运问题中的应用
余弦定理 学习要求
1．能把一些简单的实际问题转化为数学问
题；
2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
3．初步利用定理判断三角形的形状。
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，
_____________________，_____________________ .
2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）______________________________． 【精典范例】 【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，
设AN
为正北方向，已知B 码头在A 码头
的北偏东0
15，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？ 【解】
【例2】在ABC ∆中，已知
sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状． 【解】
【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的
中线，求证：
AM =
【证明】
追踪训练一
1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（ ）． Ａ．
32 Ｂ．32- Ｃ．31- Ｄ．4
1
- 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，
梯顶在沿着壁向上
听课随笔６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精
确到０.１°）．
3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，
Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角
形．
【选修延伸】
【例4】在△ABC中，设
333
2
a b c
c
a b c
+-
=
+-
，
且
3
sin sin
4
A B=，请判断三角形的形状。
【解】。