第39讲统计量和常用统计量
统计量及其分布
思考题
设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 ),
的一个样本，求 E( XS 2 ) ?
定理 2 设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，X 和S 分别为样本均值和样本均方差，则有
1) X ~ N(0, 1); / n
2) X ~ t(n 1).
nx 2 ];
③ s
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
;
④
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1, 2
;
⑤ bk
1 n
n
(xi x )k ,
i 1
k
1, 2
.
例1 设总体X 的期望为 E(X ) , 方差为 D(X ) 2 其样本为 X1, X2, , Xn , 求E(X ), D(X ), E(S 2) .
为t分布的上 分位点。
t1 (n) t (n)
若 0.5,直接查表;若 0.5, t (n) t1 (n).
当 n 45 , t (n) z .
(3) F-分布
设随机变量X与Y相互独立，且 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),
则随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
所服从的分布是自由度为 (n1, n2 )
~
F (2,
2)
作 业 17
P137: 4 P147: 4
1.6664.
解：因为
(n 1)
2
S
2
~ 2(n 1)
15S 2
2
~ 2(15)
P
S
2 2
1.6664
统计量公式
统计量公式统计量是一种用于描述和总结数据集的数值指标或函数。
它们可以对数据进行量化和比较，从而得到有关数据分布和关系的信息。
以下是一些常见的统计量和它们的公式：1.平均数（Mean）：平均数是一组数据的总和除以数据的个数。
公式为：μ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n，其中x₁，x₂，...，xₙ为数据集中的观测值，n为观测值的个数。
拓展：除了算术平均数，还有几种不同的平均数，如加权平均数、几何平均数和调和平均数。
2.中位数（Median）：中位数是将一组数据按升序或降序排列后，位于中间位置的观测值。
若数据个数n为奇数，则中位数为第(n+1)/2个观测值；若n为偶数，则中位数为第n/2和n/2+1个观测值的平均值。
拓展：除了中位数，还有四分位数、百分位数等分位数，从而可以描述数据的分布和位置。
3.方差（Variance）：方差衡量了数据集的离散程度，它表示每个观测值与平均值之间的差异的平方的平均值。
公式为：σ² = Σ (xᵢ- μ)² / n，其中xᵢ为观测值，μ为平均数，n为观测值的个数。
拓展：方差的开平方称为标准差，它将方差的测量单位换成了与原始观测值相同的单位，更易于解释和比较。
4.相关系数（Correlation coefficient）：相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强度和方向。
常用的是皮尔逊相关系数，其公式为：r = Σ (xᵢ - μₓ)(yᵢ - μᵧ) / (nσₓσᵧ)，其中xᵢ和yᵢ为两个变量的观测值，μₓ和μᵧ为两个变量的平均值，σₓ和σᵧ为两个变量的标准差。
拓展：除了皮尔逊相关系数，还有斯皮尔曼等级相关系数和判定系数等其他类型的相关系数。
这些统计量广泛用于统计学和数据分析中，可以帮助我们理解和解释数据的特征和关系。
同时，也有其他更多的统计量公式和概念，根据不同的数据类型和问题，可以选择适当的统计量来进行分析。
统计量
抽样分布
统计量充分性是数理统计的一个重要基本概念，它是R.A.费希尔在1925年引进的，费希尔提出，并由J.奈曼 和P.R.哈尔莫斯在1949年严格证明了一个判定统计量充分性的方法，叫因子分解定理。这个定理适用面广且应用 方便，利用它可以验证很多常见统计量的充分性。例如，若正态总体有已知方差，则样本均值塣是充分统计量。 若正态总体的均值、方差都未知，则样本均值和样本方差S合起来构成充分统计量（塣，S）。一个统计量是否充 分，与总体分布有密切关系。
U 样本矩
次序
秩
设x1,x2，…，xn是一个大小为n的样本，对自然数k，分别称为k阶样本原
统计量
点矩和k阶样本中心矩，统称为样本矩。许多最常用的统计量，都可由样本矩构造。例如，样本均值（即α1） 和样本方差是常用的两个统计量，前者反映总体中心位置的信息，后者反映总体分散情况。还有其他常用的统计 量，如样本标准差，样本变异系数S/塣，样本偏度，样本峰度等都是样本矩的函数。若(x1,Y1）， （x2,Y2），…，（xn,Yn）是从二维总体（x，Y）抽出的简单样本，则样本协方差·及样本相关系数也是常用的 统计量，r可用于推断x和Y的相关性。
定义
样本的已知函数；其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来；是数理统计学中一个重要的基本概念。统计 量依赖且只依赖于样本x1,x2,…xn；它不含总体分布的任何未知参数。
统计量
从样本推断总体（见统计推断）通常是通过统计量进行的。例如x1,x2，…，xn是从正态总体N(μ,1）（见 正态分布）中抽出的简单随机样本，其中均值（见数学期望）μ是未知的，为了对μ作出推断，计算样本均值。 可以证明，在一定意义下，塣包含样本中有关μ的全部信息，因而能对μ作出良好的推断。这里只依赖于样本 x1,x2，…，xn，是一个统计量。
统计量简介
n
X
1 n
Xi
i1
x
1 n
n
xi
i1
S 2 1 n n 1 i1
X X i
2
1 n n 1 i1
X i2 n X
2
s 2 1
n
2
xi x
1
n
x
2 i
n x 2
n 1 i1
n 1 i1
常用的统计量
3. 样本标准差
n
S
S2
1 n 1 i1
Xi X
0;
B2
n 1 S 2. n
2. 若总体X的k阶矩 E X k 存在，则由大数定律有 k
Ak P k
(k 1, 2,)， B P E X E ( X )k
k
k
(k 1, 2,)
这是下一章矩估计法的理论依据.
童鞋们，课 后记得复习
巩固哦！
统计量
统计量的概念
Def.
设 X1, X 2,, Xn为 总 体 X的 一 个 样 本 ，g是 n元 连 续 函 数 ,
若 g X 1 , X 2 , , X n 中 不 含 任 何 未 知 参 数 ， 则 称 样 本 函
数 g ( X 1 , X 2 , , X n )为 统 计 量 .
Note: 1. 统计量实质上是特殊地样本函数.
2
其观测值 为
4. 样本k 阶原点矩
Ak
1 n
n
X
k i
,
i1
其观测值为
k 1,2,
5.样本k阶中心矩 其观测值为
n
B k
1 n
i 1
X X k
i
,
1 n
统计量
.统计量
统计量是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。
宏观量是大量微观量的统计平均值，具有统计平均的意义，对于单个微观粒子，宏观量是没有意义的．相对于微观量的统计平均性质的宏观量也叫统计量．需要指出的是，描写宏观世界的物理量例如速度、动能等实际上也可以说是宏观量，但宏观量并不都具有统计平均的性质，因而宏观量并不都是统计量．
数理统计的基本概念。
指不含未知参数的样本函数。
如样本x 1，x 2，…，x n的算术平均数(样本均值)＝1n(x 1+x 2+…+x n)就是一个统计量。
从样本构造统计量，实际上是对样本所含总体的信息提炼加工；根据不同的推断要求，可以构造不同的统计量。
统计量有众数，平均数，中位数等等
2.抽样分布
统计量是样本的函数，它是一个随机变量。
统计量的分布称为抽样分布。
它可分为正态总体下与非正态总体下两种情况来讨论。
是由样本n个观察值计算的统计量的概率分布。
从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布。
简单随机抽样，系统抽样，分层抽样。
具体的去查高三数学最后一册吧，实在是太复杂了：）。
统计量的概念
4.统计量的概念样本是总体的代表和反映，也是统计推断的依据．为了对总体的分布或数字特征进行各种统计推断，还需要对样本作加工处理，把样本中应关心的事物和信息集中起来，针对不同的问题构造出样本的不同函数，这种样本的函数我们称其为统计量．统计量的定义.由样本（X1, X2,…, X n）所确定的函数f(X1, X2,…, X n)称为统计量．若(x1, x2,…, x n)是一个样本观测值，则称f(x1, x2,…, x n)是统计量f(X1, X2,…, X n)的一个观测值．显然，统计量不仅是一个随机变量，而且还不含有未知参数．例3.6.4设(X1，X2，X3)是由服从正态分布Ｎ(μ,σ2)的总体X中抽取的一个容量为3的样本，其中μ、σ是未知参数，因此(X1+X2+X3)/3-μ，(X1+X2+X3)/σ都不是统计量，而X1+X2+5，X12+X22都是统计量．设（X1, X2,…, X n）是总体X中的一个样本，下面是数理统计中常用的几个统计量及其观测值：(1)样本均值.;它的观测值为：.(2)样本方差.;它的观测值为.(3)样本标准差.;它的观测值为.例3.6.5 为了了解某一课程自学考试的情况, 现从全体考生中抽查120名学生，记录其成绩如下：试按下列要求进行简单的统计分析.(1)在区间[40,100]之间，将数据分成组距为5分的12组，在此条件下，求频数分布、频率分布、累计频率分布；(2)求样本均值与样本方差；(3)作图:修正后的频率直方图、累计频率直方图．解. (1)根据已知数据，把频数分布、频率分布、累计频率分布列成表如下（(除了最后一组外，每组不包括上限)． (2)样本均值和样本方差的观测值分别是,(3)根据取值区间及相应频率作修正后的频率直方图和累计频率直方图.有了统计量的概念以后，下面我们再介绍几个在应用中有重要作用的常用的分布．实验题：学习者可以随机抽取某科考试成绩进行如下统计推断.(1) 先把数据分组,在此条件下,求频数分布、频率分布、累计频率分布;(2) 求样本均值与样本方差;(3) 画出频率直方图和累计频率直方图.。
常用统计量及其应用课件
应用
在科学、工程、医学等领 域广泛使用，例如在产品 质量检测、医学诊断等方 面。
方差分析
定义
方差分析是一种统计方法，用于 比较两个或多个样本均值是否存
在显著差异。
方法
通过计算方差，将样本均值与总体 均值的差异分解为可解释部分和不 可解释部分，从而判断不同样本之 间是否存在显著差异。
应用
在工业、农业、社会科学等领域都 有广泛的应用，例如在生产过程控 制、市场调研等方面。
极差是描述一组数据离散程度 的另一个常用统计量，是最大 值与最小值的差。
优点：计算简单，直观易懂。
缺点：不能反映数据的整体分 布情况，容易受到极端值的影响。
03
推论性统计量
假设检验
01
02
03
定义
假设检验是统计推断的重 要组成部分，通过样本数 据对总体参数进行推断。
方法
根据样本数据做出假设， 然后利用适当的统计量进 行检验，根据检验结果判 断原假设是否合理。
缺点：不适用于所有数据分布，有些 数据分布可能没有标准差。
方差
方差是描述一组数据离散程度的另一个常用统计量，是 标准差的平方。
优点：能够反映数据的波动情况，计算简单。
计算方法：先求出每个数据与平均数的差值，然后平方 这些差值，最后求平均数。
缺点：不适用于所有数据分布，有些数据分布可能没有 方差。
极差
统计量的意义
统计量的意义在于它能够帮助我们更 好地理解数据，掌握数据的分布特征 和规律，为决策提供科学依据。
通过统计量，我们可以对数据样本进 行比较和分析，从而得出有关总体分 布的结论，为进一步研究和应用提供 支持。
统计量的分类
常用统计量包括平均数、中位数、众数、方差、标准差、四 分位数等。
常用统计量及其应用
第四章 常用统计量及其应用第一节 平均数与标准差的概念一、平均数反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量，其数学定义为nx 1=∑=ni ix1平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，体育工作中，常用这一概念来反映事物的某些特征。
例如，某中学的体育平均达标率，学生的平均身高，年龄某地区高考体育加试平均分数等等。
二、标准差样本平均数描述数据的集中趋势，反映样本数据的平均水平。
但是，平均数对整体的代表性是有条件的。
例如，吉斯莫先生经营一家工厂，规模不大，现欲招聘一名工人，汤姆先生参加面试，老板告诉他，本厂全体人员的工资入平均每人每周300元，汤姆一听，欣然接受，上班一天后，来找老板，声称受骗，老板算了一笔帐，汤姆听了无话可说。
平均工资 300元／周说明：该厂平均工资尽管较高，但由于各个工资相差太大，平均数对整体的代表性较差。
这就说明在实际应用中，仅有平均数是不够的，还要考虑到数据的离散程度。
在数据相对比较集中时，平均数才具有代表性。
反映样本离散程度的统计量，称之为标准差设样本观测值为21,x x …,n x 平均数为x ，看看如何来定量计算标准差？ 样本的离散程度自然是相对平均数x 而言的为此构造出)(1x x i ni -∑=但上式各项有正有负，正负抵消)(1x x i ni -∑=＝0所以要反映离散程度的大小可以让上式各项加以绝对值或求平方，但带绝对值后不便于处理，所以，选择后者从而有21)(x x i ni -∑=上式与样本含量的大小有关，所以，求平均的n121)(x x i ni -∑=在实际应用中，上式对总体离散程度的估计往往偏小若以自由度（1-n ）代替n ，则是无偏的因此，构造221ˆ)(11s x x n in i =--∑= 上式中2s 称为样本方差，还原成原来的量纲 则有21)(11x x n S i ni --=∑= S 称为标准差，反映样本的离散程度。
结束语：样本平均数反映样本数据的整体水平，但是要结合标准差，标准差反映样本数据的离散程度对于运动成绩，表现为成绩的稳定性。
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第39讲统计量与常用统计量
110,,X X 在上一讲例3中，为了估计指数分布的参数，进行抽样观测，得到样本和样本值6394,1105,4717,1399,7952,17424,3275,21639,2360,2896.
样本中包含了许多信息。
对于推断总体的参数或分布而言，有些是有用的，重要的信息，有些则并不重要。
上例的样本至少提供了两种信息：1）10个灯泡的平均寿命; 2）灯泡寿命的序号(如6394是第1个).—有用且重要的信息—不重要信息
从样本中提取有用的信息来研究总体的分布及各种特征数.——构造统计量.12,12,,...,,,...,).
(n n x x x g x x x 一旦有了样本观察值就可以算出统计量的具体值121212,,...,),,...,),,...,) (, (, (.
n n n X X X g X X X g X X X 设为样本若不含任何未知参数则称为统计量统计量：样本的不含任何未知参数的函数。
1210(...)10X X X +++10.6916.1.
比如个灯泡的平均寿命是统计量平均寿命的观测值是小时
常用统计量：
2
21
2
2.,1()1 n i i S X X n S S
==--=∑样本方差样本标准差1
.,11 n
i i X X n ==∑样本均值
常用统计量：
1
1
11(3.1,2,...)n
k k i i n k k i i A X n B X k k k X n ====-=∑∑
样本矩阶矩：
阶中心矩：2
2,,,11.
Excel X S B 根据样本数据，用计算见实验
1,(),,,n X E X X X X X μμ== 设为总体存在，是总体的简单随机样本则例1：，对吗？
()E X μ=是一个答：可能已知,可不对数,.
能未知；
X X ,依赖于样本值,
对于不是随机变量同的样本值,的取值可能不一样.
例2接上一讲例2，总体为88，75，70，63，总体均值为74，总体方差为83.5.计算全部16个样本的样本均值，样本方差和样本二阶中心矩.
样本编号样本样本均值
样本方差样本中心矩1(88,88)88002(88,75)81.584.542.253(88,70)79162814(88,63)75.5312.5156.255(75,88)81.584.542.256
(75,75)
75
1
1n
i i X X n ==∑2
211()1n
i i S X X n ==--∑221
1()n
i i B X X n ==-∑
样本编号样本样本均值样本方差样本中心矩
7(75,70)72.512.5 6.25
8(75,63)697236
9(70,88)7916281
10(70,75)72.512.5 6.25
11(70,70)7000
12(70,63)66.524.512.25
13(63,88)75.5312.5156.25
14(63,75)697236
15(63,70)66.524.512.25
16(63,63)6300
平均7483.541.75
与总体均值74相同与总体方差83.5相同比总体方差小
当总体数字特征未知时
()
X E X μ=∙用样本均值估计总体均值22
()
2S E X σμ=-∙用样本方差估计总体方差()k
k k A E X μ∙=用样本原点矩估计总体原点矩()
k
k k B E X νμ∙=-用样本中心矩估计总体中心矩这些非常直观的想法，有什么理论依据吗？这部分内容我们会在第44讲介绍。
∙统计量的分布被称为抽样分布.
X ∙当总体服从一般分布（如指数分布、均匀分布等），要得出统计量的分布是很困难的.
2
,X X S
∙当总体服从正态分布时，统计量是可以计算的，那么服从什么分布呢？2
.
t F χ∙下两讲我们将介绍数理统计中三个重要的抽样分布——分布，分布，分布。