六年级下册奥数试题数的整除特征(二)全国通用(含答案)
【机构秘籍】小学奥数题库《数论》整除-整除的基本概念-1星题(含解析)全国通用版
数论-整除-整除的基本概念-1星题课程目标学问提要整除的基本概念•定义假如整数a除以整数b（b≠ 0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b∣a．留意：假如除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a．•整除的性质性质1：假如a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：假如b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：假如b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：假如c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
精选例题整除的基本概念1. 再过12天就到2016年了，昊昊感慨地说：我到目前只经过2个闰年，并且我诞生的年份是9的倍数，那么2016年昊昊是岁．【答案】9【分析】依据题意“我到目前只经过2个闰年”可得我的诞生年份在2005 2008,这之间只有2007是9的倍数，则昊昊是2007年诞生，则2016年昊昊是2016−2007=9岁.2. 若六位数201ab7能被11和13整除，则两位数ab=．【答案】48【分析】由11的整除特征可知：(7+a+0)−(2+1+b)=a+4−b=0或11,若a+4−b=11,a−b=7,只有8−1=9−2=7,六位数201817、201927都不能被13整除．若a+4−b=0,则a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等状况，构成的六位数201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，则ab=48．3. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．假如2011年最终一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】20111221【分析】试除法得出答案：20111231÷101=199121⋯⋯10，31−10=21，所以ABCD=1221．4. 若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除？请说明理由．【答案】见解析．【分析】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd−(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被8整除．。
奥数数的整除讲义、练习含答案(推荐文档)
数的整除（1）性质、特征、奇偶性知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。
2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数a 必能被数c 整除。
3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3或9）整除。
4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。
5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2: 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4）数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？例5如杲41位数5亍-5口99…9能被7整除，那么中间方格内的数字是几? 【精英班】PT'【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是: 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数?【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371 能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
六年级数学整除的性质试题答案及解析
六年级数学整除的性质试题答案及解析1.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?【答案】320【解析】方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，有，，，的数字和分别为24+A，26+B，28+C，30+D，对应的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被23×32×5×7＝8×9×5×7＝2520整除．用1993000试除，1993000÷2520＝790……2200，余2200可以看成不足2520－2200＝320，所以在末三位的方格内填入320即可．2.用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少?【答案】768768【解析】因为168＝23×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由上题知形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数．至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解．当然验证的确满足．所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数了．3.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．【答案】(1)8、9 (2)60060【解析】(1)列出这14个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15．注意到如果这个数不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，显然超过两个自然数；类似这种情况的还有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；而不能被7整除，那么一定不能被14整除，而这两个自然数不连续；而不能被12整除，那么4和3中至少有一个不能整除1号所说的自然数，而12与3、4均不连续；类似这种情况的还有10(对应2和5)；14(对应2和7)；15(对应3和5)；这样只剩下8、9、11、13，而连续的只有8、9．所以说的不对的两位同学的编号为8、9这两个连续的自然数．(2) 由(1)知，这个五位数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．所以[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=22×3×5×7×11×13＝60060．所以1号写出的五位数为60060．4.试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．【答案】27720，55440，83160，110880，138600及166320．【解析】取六个数1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到15个和：1+2，1+3，…，5+6．这15个和的最小公倍数是：23×32×5×7×11＝27720．把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600及166320．这六个数就满足题目得要求．5.975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【答案】20【解析】975含有2个质因数5，935含有1个质因数5，972含有2个质因数2．而975×935×972×□的乘积最后4个数都是0．那么，至少需要4个质因数5，4个质因数2．所以，□至少含有1个质因数5，2个质因数2，即最小为5×2×2＝20．6.如图，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零?【答案】10【解析】如下图，我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数，除第一行外，每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数2、5个数的和．所以，最后一行的一个数含有10个质因数2，15个质因数5．而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾含有10个连续的0．7.由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【答案】875413【解析】根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22…等情况，根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是a-b不可能为22，所以a-b=0，解得a=b=14，则容易排列出最大数875413.8.从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【答案】14【解析】首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有个0．9. 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【答案】45【解析】因为，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．10.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少？【答案】1331【解析】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是11.如果能被6整除，那么也能被6整除．【答案】略【解析】∵∴2|∴2|e∴6|3e∵3|∴3|a+b+c+d+e∴6|2(a+b+c+d+e)∴6|2(a+b+c+d+e)-3e∴6|2（a+b+c+d）-e12.两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求和.【答案】4【解析】考虑到，而是奇数，所以必为8的倍数，因此可得；四位数2752各位数字之和为不是3的倍数也不是9的倍数，因此必须是9的倍数，其各位数字之和能被9整除，所以.13.一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(如，则就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和.【答案】999999【解析】方法一：显然，不小于4，原等式变形为化简得，当时，，于是为．同理．，6，7，8，9，可以得到为，，，，.所有的和是．方法二：显然，不小于4，若，为末尾数字，所以；为的末2位，所以；为的末3位，所以；为的末4位，所以；为的末5位，所以；于是为．同理．，6，7，8，9，可以得到为，，，，.所有的和是．14.一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【答案】9867【解析】设这个4位数是，则新的4位数是.两个数的和为,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867．15.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?【答案】1988,1889,8918,8819【解析】现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：偶位奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：，，能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．16.从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？【答案】108【解析】被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．17.某三位数和它的反序数的差被99除，商等于______与______的差；【答案】a-c【解析】本题属于基础型题型。
六年级下册奥数专题练习-数的整除性规律-全国通用
数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=243｜24，则3｜1248621。
又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=279｜27，则9｜372681。
【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。
43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜43586775。
【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。
例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。
214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7｜448，则7｜75523。
又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13｜221，则13｜1095874。
再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11｜99，则11｜868967。
六年级下册奥数试题数的整除特征(二)全国通用(含答案)
第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。
（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。
学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。
例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。
因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。
记忆要理论联系实际。
经典例题[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。
一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。
解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。
六年级奥数 数的整除
预备年级数学竞赛专题训练 数的整除一、整除的性质1、如果n m c a b a ,,,为整数，那么)(nc mb a ±；2、如果,|,|c b b a 那么c a |；3、如果bc a |，且a,b 互质，那么c a |；4、如果,|,|b c b a 且a,c 互质，那么b ac |；5、n 个连续整数的乘积，一定能被n ⨯⨯⨯⨯ 321整除；6、能被2（或5）整除的数的特征：个位数字能被2（或5）整除；7、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除；8、能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除；9、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除； 10、能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除； 11、能被7、13整除的数的特征：奇位千进位数段之和与偶位千进位数段之和的差能被7、13整除；例如：判别34425391能否被7、13整除，先从后往前分节，得34，425，391，奇位千进位数段之和为34+391=425，偶位千进位数段之和为425，两者之差425-425=0，因为0被7、13整除，所以34425391能被7、13整除。
二、练习1、一个五位数983ab 能被11和9整除，这个五位数是______________。
2、除以8和9都余1的所有三位数之和为_______________。
3、用一个两位数去除2003，余数为8，这样的两位数有__________个，其中最大的两位数为_________。
4、若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y,则y x -的值为______________。
5、求在1000以内，同时被2、4、6、8整除的正整数的个数。
6、一个六位数b a 1233被88整除，则_____________,==b a 。
7、被11与13同时整除的最大的四位数是______________；8、当______________,==y x 时，四位数xy 72同时被2、3、4、5、6、9。
六年级下册数学试题-奥数专练：数的整除之四大方法综合应用(含答案)全国通用
数的整除之四大方法综合应用知识要点一、整除的定义：当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为零时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b…a。
二、数的整除性质：⑴对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
记作：a|b，b|a，则a＝b。
⑵传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
记作：若a|b，b|c，则a|c。
⑶若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
记作：若a|b，a|c，则a|(bc)。
⑷几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
⑸若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。
记作：若a|b，c|b，(a，c)＝1，则ac|b。
⑹若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
记作：若ac|b，(a，c)＝1，则a|b，c|b。
⑸若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
⑹若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
⑺若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
⑻若a|b，m≠0，则am|bm。
⑼若am|bm，m≠0，则a|b。
⑽若c|a，c|b，则c|(ma＋nb)，其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)三、整除特征⑴1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1/a。
0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a/0。
⑵若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
⑶若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
⑷若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
⑸若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
⑹若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解整除的性质；2. 运用整除的性质解题；3. 整除性质的综合运用.一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质知识点拨教学目标5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯110000114199992100118199511171()()11000014999921001899511418275=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被11整除，只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除，因此结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则abcd ＋dcba 100010010100010010a b c d d c b a =+++++++()()10011101101001a b c d =+++1191101091a b c d =+++()，因为等式的右边能被11整除，所以abcd + dcba 能被11整除【例 3】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这个4位数是abcd ，则新的4位数是bcda .两个数的和为1001110011011abcd bcda a b c d +=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867．【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+ 14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+(14210000000018579999993141001)(8575314)=⨯+⨯+⨯+-+- 因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7-□□，7□是13的倍数，□是8的时候是13倍数，所以知道方格中填1。
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第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。
（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。
学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。
例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。
因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。
记忆要理论联系实际。
经典例题[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。
一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。
解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。
如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。
[例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几?思路剖析对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555也能被7整除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。
解答□=+55□99，上式等号右边的三个加数中，第一个和第三个加数都能被7整除，由此可推出55□99能被7整除，所以55□99能被7整除。
根据能被7整除的数的特征，□99－55=□44也能被7整除，可推理得□内应为6。
[例3]有一堆苹果，要装在46个箱子里，其中有45个大箱子和一个小箱子，而小箱子装的苹果只相当于大箱装的数量的一半，现有个苹果，如果规定按箱子大小平均分装苹果数是否能办到？思路剖析由于大小箱子装的苹果的数量不一致，不便于解题，所以我们可以统一成小箱子，则应有2×45+1=91个小箱子，那么是否恰好装完，并符合要求，关键是看总苹果数能否被91整除，由于91=7×13，所以由整除的性质，只需要考虑7、13是否能整除总苹果数。
由于13整除4979，而7整除497949794979，那么必定有91整除497949794979，因为99÷3=33，所以容易推出91整除，所以能把苹果按规定装入箱子中。
解答2×45+1=91（个），7×13=91，因为13整除4979，7整除497949794979，所以91整除497949794979，则91整除。
答：可以做到按箱子大小平均分装苹果。
[例4]求能被26整除的六位数。
思路剖析因为26=2×13，所以由整除的性质得能分别被2和13整除。
所以解此题可以从2整除入手。
解答因为2整除，所以y可能取0、2、4、6、8。
又因为13整除，所以13能整除与的差。
当y=0时，由于13整除910，而13又要整除与910之差，所以13整除。
又因为=100x+19=（7×13+9）x+19=7×13x+9x+13+6，所以根据数的整除性质得13整除9x+6，经试验可知，只有当x=8时，13整除9x+6，所以当y=0时，符合题意的六位数是819910。
当y=2时，因为13整除，所以13整除与912之差，而912=910+2，所以13整除与2之差；与前面的相仿，=7×13x+13+9x+6，所以13整除9x+6－2，即13整除9x+4。
经试验可得，只有当x=1时，13整除9x+4。
所以当y=2时，符合题意的六位数是119912。
同理，当y=4时，13整除9x+6－4，即13整除9x+2，经试验可知，当x=7时，13整除9x+2，所以当y=4时，符合题意的六位数是719914。
同理，当y=6时，13整除9x+6－6，即13整除9x。
经试验可知，x无解（因为x是的最高位数码，所以x≠0）。
所以当y=6时，找不到符合题意的六位数。
同理，当y=8时，13整除9x+6—8，即13整除9x—2。
经试验得，只有当x=6时，13整除9x—2。
所以当y=8时，符合题意的六位数是619918。
答：满足本题意条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。
[例5]从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13同时整除，这个数最大是多少？思路剖析这道题如果从10个数字中选出5个不同的数，组成一个五位数，再逐个判断每个五位数能否同时被3、5、7、13整除，那是非常麻烦的。
可以先从整体上考虑，因为3、5、7、13这四个数两两互质，且3×5×7×13=1365，那么我们要找的数就是在五位数中能被1365整除的最大的那个数。
那我们只需用一个自然数去与1365相乘，使积尽可能大且是一个五位数即可（注意，五位数中不能出现相同数字）。
解答设1365×a（a是自然数）的积是要求的五位数，可知：1365×a<100000，则a≤73。
当a=73时，这个五位数是1365×73=99645，数字重复了，舍去；当a=72时，这个五位数是1365×72=98280，数字重复；当a=71时，这个五位数是1365×71=96915，数字重复；当a=70时，这个五位数是95550，数字重复；当a=69时，这个五位数是94185，符合题目条件。
所以，这个数是94185。
点津这道题从整体入手，先用3、5、7、13相乘得1365，在五位数中通过找1365的最大倍数得到解答。
最后用枚举的方法时，虽然要计算1365与73、72、71、70、69的积，但比起漫无边际地去找这样的五位数要简便得多。
[例6]求能被26整除的六位数。
思路剖析由于26=2×13，所以原数能被26整除，转化为原数既能被2整除，又能被13整除。
解答因为要求的数能被2整除，所以个位数字只能是0、2、4、6、8。
（1）当B=0时，数能被13整除。
根据能被13整除的数的特征，必有（930－=□11）是13的倍数。
试算知13×47=611。
所以差数是611，逆推出A=3。
（2）当B=2时，数能被13整除，必有（932—A19=□13）是13的倍数。
试算知13×1=13，所以差数为13，逆推出A=9。
（3）当B=4时，数能被13整除，必有（934—A19=□15）是13的倍数。
试算知13×55=715，所以差为715，逆推出A=2。
（4）当B=6时，数能被13整除，必有（936—A19=□17）是13的倍数。
试算知117是13的倍数，逆推出A=8。
（5）当B=8时，数能被13整除，必有（938—A19=□19）是13的倍数，试算知819是13的倍数，从而推出A=1。
所以，所求的六位数共有五个，即：319930，919932，219934，819936，119938。
[例7]用数字6、7、8各两个组成一个六位数，使它被168整除。
这个六位数是多少？思路剖析168=3×56，3与56互质。
因为6+6+7+7+8+8=42，42是3的倍数，所以用6、7、8各两个组成的所有六位数都能被3整除。
问题转化为使组成的六位数能被56整除。
因为56=7×8，7与8互质，所以只要组成的数能被7整除，又能被8整除即可。
要能被8整除，只要看末三位数，如果能仅用6、7、8各一个数组成能被8整除的三位数，那么把它连写两遍得到的六位数就合乎要求。
而用6、7、8各一个数不难组成被8整除的三位数。
解答768能被8整除，768768也就能被8整除，它又能被7整除，而7与8互质，所以它能被7与8的积56整除。
7+6+8+7+6+8=42，3整除42，所以768768能被3整除，由于3与56也互质，因此，768768就能被3与56的积168整除。
点津本题初看无处下手，但是我们应用整除性质“一个数能被互质的两个自然数整除，就一定能被这两个互质数的积整除”，把问题逐步转化，实现了化难为易的目的。
[例8]甲、乙两人进行了下面的游戏。
两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字之一组成一个六位数的一位，数字可重复。
如果这个六位数能被N 整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜。
设N小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜？思路剖析我们列出乙不能获胜的N的取值情况。
N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就能使六位数不能被N整除，乙不能获胜。
N=5，甲可以在六位数的个位填一个不是0或5的数，甲就获胜。
解答如果N=1，很明显乙必获胜。
如果N=3或9，那么乙在填最后一全数时，总是把六位数字之和凑成3的整倍数或9的整倍数。
因此乙必获胜。
当N=7、11、13时是本题最困难的情况。
注意到1001=7×11×13，乙就有一种必胜的办法。
我们从左到右数这六位数，把第一位与第四位，第二位与第五位，第三位与第六位配对，甲在一对数位的一位上填上某一个数字后，乙就在这一对数位的另一位上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除，因为若按我们的方法得到的六位数是，由于。
这个六位数就能被7、11或13整除，所以乙就能获胜。
综合起来，使乙获胜的N是1、3、7、9、11、13。
[例9]四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数的最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，它们的得数分别是172536、568741、620708、845267，结果其中哪一个可能是正确的，为什么？思路剖析初看时，觉得困难，因为是任意写的六位数，不好找正确的一个结果。