(一元二次方程的概念和解法)

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 4 课时 课题 一元二次方程的概念和解法 教学目标：

1、理解一元二次方程的概念，会识别一元二次方程中的二次项、一次项、常数项及其系数；

2、知道形如（px+q ）2

＝m （p ≠0，m ≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解； 3、会用因式分解法解特殊的一元二次方程； 4、会用配方法解一元二次方程。 教学重点及难点：

1、重点：一元二次方程的意义及一般形式、一元二次方程的各种解法

2、难点：配成完全平方的方法和技巧

一、一元二次方程的概念和一般形式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：2

0(0)ax bx c a ++=≠ 其中ax 2叫做二次项， a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数； c 叫做常数项．

例1：m 为何值时，关于x 的方程2

((3)4m m x m x x -+=是一元二次方程？并写出该方程中的二次项、一次项、常数项以及各项的系数。

例2：判断2、5、4-是不是一元二次方程x 2

+x=8-x 的根.

二、直接开平方法解一元二次方程

探讨可用开平方法解得一元二次方程的特点：一般来说，解形如2

()0a x b c -+= (其中

0a ≠)的一元二次方程可以用开平方法．当c a 、异号时，0>-

a

c

时，方程的根是b a c x b a c x +--=+-

=21,；当c a 、同号时，0<-a

c

方程没有实数根；当0=c 时，0=-

a

c

，方程的根是b x x ==21．

例3：用开平方法解方程：（1）2

2540x -= （2）2

2(4)54x -+=-

三、因式分解法解一元二次方程

通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的乘积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的的问题，像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

小结：当一个一元二次方程的一边是零，而另一边的两次式易于分解成两个一次因式时，可用因式分解法解。因式分解的方法，突出了化归的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

例4：利用因式分解法解方程：（1）(23)(1)(6)(1)x x x x +-=--

（2）2

2(1)3(1)9x x ---= （3）5(30x x -=

四、配方法解一元二次方程

利用配方法解方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤是：

（1） 通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为2

x px q +=（p 、q 是已知

数）的形式。

（2） 通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程2x px q +=的左边配成一

个关于x 的完全平方式，方程化为22()()22

p p

x q +

=+ （3） 当2()02p q +≥时，再利用开平方法解方程；当2

()02

p q +<时，原方程无实数解。

例5：用配方法解下列方程：

（1）2

320x x --= （2）2

2460x x +-=

（3）2

107x x --=- （4）2

0.10.92x x -+=

巩固练习

一、填空题：

1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。

2、关于x 的方程,02

=++c bx ax 满足条件 时，它是一元二次方程。 3、方程1322

+=-x x 的二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 4、方程3)1(2-=+x x x 的一次项系数是 。

5、x=1， （填“是”或“不是”）方程0322

=--x x 的根。 6、关于x 的方程，032

=--mx x 的一个根是2，则m=

7、一元二次方程,02=++c bx ax 如果一个根是0，那么c

a =

8、一元二次方程，,02=++c bx ax 的一个根是1，那么=++c b a 9、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

（1）将二次项系数化为 ，将常数项移到等号的右边。 （2）配方，方程两边同时加上 ；

（3）当等号右边为非负数时， ；当等号右边为负数时，方程 。

10、方程(0x +=的解为 。 11、已知0622

=-x 的解为 。 12、方程025)1(2

=-+x 的解为 。 13、方程18)2(22=+x 的解为 。 14、方程06)1(32=--x 的解为 。 15、方程032

=-x x 的解为 16、方程0)1)(3(=+-x x 的解为 17、方程0232=+-x x 的解为 二、选择题：

1、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、x

x 21232

-

= B 、01)1(2

=+--x x a C 、02

=x D 、0)1(2

=-x x

2、如果关于x 的一元二次方程，043)2(2

2

=-+--m x x m 有一个根为0，那么m 的值为（ ）

A 、±2

B 、2

C 、-2

D 、不等于2

3、方程2

360x +-=配方后得到的方程是（ ） A 、237()618x +

=- B 、237()618x +=

C 、222(38x +

= D 、2119()39

x += 4、方程2

41x x =+的解是（ ）

A 、x =

B 、2x =-±

C 、2x =±

D 、2x =±三、解方程：

1、用直接开平方法解下列方程

（1）01.025.02

=x （2）8)1(52

=+x

（3）4)2(2

=-x （4）2)23(25

4

+-=-

x

（5）0)2(42

2

=--b x （6）0122

2=-+-a x x