第3章动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
第三章 动量与角动量
在光滑桌面上运动，速度分别为
v1
10i ,
v2
3.0i
5.0
j
（SI制）碰撞后合为一体，求碰撞后的速度？
解：方法一，根据动量守恒定律
m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
解得：
v
7i
25
j
7
方法二，利用动量守恒分量式：
(m1 m2 )vx m1v1x m2v2x vx 7m / s
例 题 12
12、一子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t
3
（SI），子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离
开枪口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量； （3）子弹的质量 m ；
解：（1）根据题意，子弹离开枪口时合力为零，
f mg
f t(N)
30N L L L 0 t 4 30 ft 70 10tL 4 t 7
0
Ft ft f
t(s) 47
当 t 4s 时 Ftt mv4 mv0 v4 8m / s
(2)当 t 6s 时
6
4 Ftdt mv6 mv4 v6 v4 8m / s
人造卫星的角动量守恒。
A1 : L1 mv1(R l1)
l2
l1 m
A2 : L2 mv2 (R l2 )
A2
A1
mv1(R l1) mv2 (R l2 )
v2 6.30km/s
v2
v1
R l1 R l2
o
B
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
第3章 动量与角动量12
动量和力是矢量，使用动量定理可沿坐标轴分解用分量计算。
t1
质点所受合外力的冲 量在某一方向上的分量等 于质点动量在该方向上分 量的增量。
四、质点的动量定理的应用
例 1:质量为 m 的物体,原来向北运动,速率为vo,它突然受到外力的打击, 变为向东运动，速率为 3vo。求打击过程外力的冲量大小和方向。
第3章 动量与角动量
（momentum and angular momentum）
§3.1 冲量与动量定律
一、冲量 I : 描述力的时间累积作用的物理量。
1.定义:
t2 I Fdt
t1
单位:N•∙s
分量式：
注意：冲量是过程矢量，称为一段时 间 的冲量。其方向和大小取决于力的 大小和方向及其作用时间。
Fn
t n
t0
n n ( Fi ) d t mi vi mi vi 0
i 1
i 1
i 1
P
系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量 -------质点系动量定理。
§3.2 动量守恒定律
一、质点动量守恒定律:
t2
t1
Fdt P
当
F 0时
y
0
m
0
M x
V
问题延伸： 1.沙箱刚摆动时悬线受到 的拉力有多大？ 2.子弹射入沙箱过程中受 到的冲量有多大？
m 解得： V v0 mM
运用动量守恒定理解题步骤：
1. 选系统，确定研究对象，建立坐标系；
2. 找出研究过程，分析系统受力；
3. 合外力为零时，可用动量守恒定理列方程求解。（一般 在给定坐标系下用分量形式列方程。） 4.若合外力不为零，但某个方向上合外力为零，可运用该 方向上动量守恒列方程求解。 注意 列方程时各物理量均用字母表示，不要代数值， 所有表示未知量的字母前都取“正号”，当最终 解得结果大于0时，说明它的方向与选定的坐标轴 正方向相同，否则相反。
第三章动量和角动量.ppt
力在时间上的积累效应：
平动
冲量
动量的改变
转动
冲量矩
角动量的改变
力在空间上的积累效应 功
改变能量
本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推 导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应 用。下一章讨论能量。
2
§3.1 冲量与动量定理
一、冲量
dI Fdt 力的时间积累
t'
I F( t )dt t0
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使彗 星偏离其运行轨道进而撞击地球。
11
§3.2 动量守恒定律
一、质点系的动量定理
1、两个质点的系统 质点系（内力、外力）
内力： f f ' 外力：F1 , F2
m1 : f , F1
F1
f
dp1 dt
f
F1
m2 : f ', F2
第三章 动量与角动量
（Momentum and Angular Momentum）
1
牛顿定律是瞬时的规律。能量、动量和角动量是最基 本的物理量。它们的守恒定律是自然界中的基本规律， 适用范围远远超出了牛顿力学。
在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）， 我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间 的积累效应。
or
Pi
mi vi
常矢量
i
i
一个质点系所受的合外力为零时，这一质点 系的总动量就保持不变。
16
2、分量形式 当某个方向系统所受的合外力为零时，则 在该方向上系统的动量守恒，即有
当 Fx=0 时， m1v1x m2v2 x ... mnvnx px =常量 当 Fy=0 时， m1v1 y m2v2 y ... mnvny p y =常量 )
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
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由
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例1 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，速率为v, 垂直纸面向外，取悬挂点O为参考点。 求:摆球所受力矩和摆球角动量。 T
l
O
解：摆球受张力和重力
张力对O点力矩为零？
摆球所受重力矩大小
L
M m glsin
方向⊙ 方向如图
v
2
120 0 900
P1 P2 P3 0
m1 , v
水平方向： m1v m2 v cos600 m3v cos300 0 竖直方向： m v sin 600 m v sin 300 0 3 2
联立求解可得三块物体的质量比为：
m3 , v
无外力作用下，两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞 碰 撞 前
m1
01
m2
02
图中
1
= 2 = =
1
2
01 02
而且普遍满足：
（ 碰 撞 后
m1
1 ） (积总是大小相等 方向相反。 经典力学中，物体质量保 持恒定，上式可写成
1
02
2
2
（ 2 ） 1） 2 可见，质量与速度乘积的大小和方向 及其变化，是反映物质运动和相互作用普 遍规律的一个重要的物理量。
t2 t1
p x Fx dt p y F y dt
t1 t2
p2
pz Fz dt
t1
t2
随堂练习一
应用动量定理求解平均阻力
例3如图所示，在光滑的平面上，质量为 m 的质点以角 速度 沿半径为 R的圆周匀速运动. 试分别用积分法和 动量定理，求出 从 0 到 / 2的过程中合外力的冲量. v2 解 用积分法求解如下： 加速度a 0, an 2 R m R F (t ) t t 2 I F ( t ) dt mR ( cos i sin j )dt t t o R 2 d
取小于
的转向
大小
方向 垂直于
乘
所决定的
平面， 指向右螺旋
叉
的旋进方向。
角动量 又称 动量矩
例： 水平面上质点做匀速圆周运动 质点对圆心的角动量：
L O
v r a m
L r p r mv L = rmv 方向如图
动量不断改变， 但对圆心角动量大小和方向不变。
注意:
加速飞行中的火箭
火箭速度微分式
多级火箭与质量比
神七 使用了……
随堂练习二
续练习二
随堂练习三
例4 一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然列成了三块， 且以相同的速率沿三个方向在水平面上运动，各方向之间的 夹角如图所示.求三块物体的质量比. m ,v
解 设三块物体的速率均为 ，由于原来静止， 而且在列解过程中不受外力的作用，所以它们的 动量守恒. 于是有：
逆风行舟予备简例
动量定理简例
坚壁竖立在水平上。
逆风行舟动量分析
[例2]一装沙车以v =3m/s的速率从沙斗下面通过。每秒钟落入车厢 的沙为 m 500kg ，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵 引力？(车与轨道的摩擦不计) 解： 设m为t 时刻已落入车厢的沙的质量 以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv dm 0 mv
dm dx
m l
l dm o x m dx
x
质元受阻力矩：
m l 1 1 l 2 M阻 dM阻 0 gxdx gl mgl 2 2
细杆受的阻力矩
dM阻 dmgx
质点的角动量
惯性系中某 给定参考点
质点的动量
质点对参考点O 的角动量
生活中的动量与角动量
安全气囊 船行“八面风”
冲击摆
旋 转 的 星 云
跳马腾空
力学(Mechanics)
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与质点的动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定理
§3.4 质点的角动量定理
§3.5 角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理与守恒
质量与动量概念提出
冲量概念
力在时间上的积累，即冲量impulse ，用 I 表示。 恒力的冲量
(t1 → t2)： F (t t ) F t I 2 1 z
变力的冲量
t2 t
元冲量： dI F dt t (t → t )： I t Fdt
2
1 2
F
F (t ) o R
m v1
课前练习
四
1.质点动量定理的微分形式及其文字表述：
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 2.质点动量定理的积分形式及其文字表述：
t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力：
对各质点应用质点的动量定理
第 i 个质点 受系统外部作用的合力：
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
天上的立法者——开普勒 约翰．开普勒（1571-1630），德国近代著名的 天文学家、数学家、物理学家和哲学家。他以数学 的和谐性探索宇宙。继哥白尼之后第一个捍卫太阳 中心说，被后世的科学史家称为“天上的立法者”。 1571年12月27日，出生在德国一个贫民家庭。四 岁时患上了天花和猩红热，视力衰弱，一只手半残。 他用古希腊人已经发现的五个正多面体，跟当时巳知 的六颗行星的轨道套迭，从而解释了太阳系中包括地 球在内恰好有六颗行星以及它们的轨道大小的原因。 他把这些结论整理成书，名为《宇宙的秘密》。该设 想虽带有神秘色彩，但却也是一个大胆的探索。 对火星轨道的研究是开普勒重新研究天体运动的起点。用正圆编制火 星的运行表，发现火星老是出轨。在进行了无数次试验后，他找到了与事 实较符合的方案。可是，依照这个方法来预测卫星的位置，却跟第谷的数
mg
O
摆球角动量大小 选另一参考点
L mvl
O ???
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若 即
则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
F
v 2 gh 2 9.80 2 6.26m/s
2mv 2 0.58 6.26 2 F 3.82 10 N t 0.019
t2
平均冲力
F
F ( t )dt t 2 t1
直 角 坐 标 系 中
t1
p1
p
p2 p1 t 2 t1
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零
重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置 的一瞬 间，角动量的时间变化率为零外， 其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小
角动量的大小不随时间变化
质点角动量定理也可用积分形式表达
质点动量定理 的积分形式为 t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
平均冲力
F
t
t2
1
F dt
F
t 2 t1
p t
F
o
t
t
[例1]已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h=2.0m的高度下落，到 达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t = 0.019s。 求：篮球对地的平均冲力 解： 篮球到达地面的速率
2
2
1
1
dt I mR ( i j )
0
mR
( cos i sin j )dt
v2
用动量定理求解如下：
t1
t2 I F ( t ) dt P2 P1
m(v2 v1 ) mR ( i j )
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小
方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用 代数法求合力矩。
F1
F2
O x t 1
y
1
质点的动量定理 theorem of momentum of particle
differential form
由力的定义
得
根据力与作用时间的乘积 称为 力的 冲量
的定义
质点动量定理 的微分形式为
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 integral form
由质点系的动量定理
微分形式 积分形式
或
或
若
则
定律说明
火箭飞行原理 ―神州”号飞船升空
变质量系统、火箭飞行原理
低速:（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例1 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，速率为v, 垂直纸面向外，取悬挂点O为参考点。 求:摆球所受力矩和摆球角动量。 T
l
O
解：摆球受张力和重力
张力对O点力矩为零？
摆球所受重力矩大小
L
M m glsin
方向⊙ 方向如图
v
2
120 0 900
P1 P2 P3 0
m1 , v
水平方向： m1v m2 v cos600 m3v cos300 0 竖直方向： m v sin 600 m v sin 300 0 3 2
联立求解可得三块物体的质量比为：
m3 , v
无外力作用下，两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞 碰 撞 前
m1
01
m2
02
图中
1
= 2 = =
1
2
01 02
而且普遍满足：
（ 碰 撞 后
m1
1 ） (积总是大小相等 方向相反。 经典力学中，物体质量保 持恒定，上式可写成
1
02
2
2
（ 2 ） 1） 2 可见，质量与速度乘积的大小和方向 及其变化，是反映物质运动和相互作用普 遍规律的一个重要的物理量。
t2 t1
p x Fx dt p y F y dt
t1 t2
p2
pz Fz dt
t1
t2
随堂练习一
应用动量定理求解平均阻力
例3如图所示，在光滑的平面上，质量为 m 的质点以角 速度 沿半径为 R的圆周匀速运动. 试分别用积分法和 动量定理，求出 从 0 到 / 2的过程中合外力的冲量. v2 解 用积分法求解如下： 加速度a 0, an 2 R m R F (t ) t t 2 I F ( t ) dt mR ( cos i sin j )dt t t o R 2 d
取小于
的转向
大小
方向 垂直于
乘
所决定的
平面， 指向右螺旋
叉
的旋进方向。
角动量 又称 动量矩
例： 水平面上质点做匀速圆周运动 质点对圆心的角动量：
L O
v r a m
L r p r mv L = rmv 方向如图
动量不断改变， 但对圆心角动量大小和方向不变。
注意:
加速飞行中的火箭
火箭速度微分式
多级火箭与质量比
神七 使用了……
随堂练习二
续练习二
随堂练习三
例4 一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然列成了三块， 且以相同的速率沿三个方向在水平面上运动，各方向之间的 夹角如图所示.求三块物体的质量比. m ,v
解 设三块物体的速率均为 ，由于原来静止， 而且在列解过程中不受外力的作用，所以它们的 动量守恒. 于是有：
逆风行舟予备简例
动量定理简例
坚壁竖立在水平上。
逆风行舟动量分析
[例2]一装沙车以v =3m/s的速率从沙斗下面通过。每秒钟落入车厢 的沙为 m 500kg ，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵 引力？(车与轨道的摩擦不计) 解： 设m为t 时刻已落入车厢的沙的质量 以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv dm 0 mv
dm dx
m l
l dm o x m dx
x
质元受阻力矩：
m l 1 1 l 2 M阻 dM阻 0 gxdx gl mgl 2 2
细杆受的阻力矩
dM阻 dmgx
质点的角动量
惯性系中某 给定参考点
质点的动量
质点对参考点O 的角动量
生活中的动量与角动量
安全气囊 船行“八面风”
冲击摆
旋 转 的 星 云
跳马腾空
力学(Mechanics)
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与质点的动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定理
§3.4 质点的角动量定理
§3.5 角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理与守恒
质量与动量概念提出
冲量概念
力在时间上的积累，即冲量impulse ，用 I 表示。 恒力的冲量
(t1 → t2)： F (t t ) F t I 2 1 z
变力的冲量
t2 t
元冲量： dI F dt t (t → t )： I t Fdt
2
1 2
F
F (t ) o R
m v1
课前练习
四
1.质点动量定理的微分形式及其文字表述：
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 2.质点动量定理的积分形式及其文字表述：
t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力：
对各质点应用质点的动量定理
第 i 个质点 受系统外部作用的合力：
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
天上的立法者——开普勒 约翰．开普勒（1571-1630），德国近代著名的 天文学家、数学家、物理学家和哲学家。他以数学 的和谐性探索宇宙。继哥白尼之后第一个捍卫太阳 中心说，被后世的科学史家称为“天上的立法者”。 1571年12月27日，出生在德国一个贫民家庭。四 岁时患上了天花和猩红热，视力衰弱，一只手半残。 他用古希腊人已经发现的五个正多面体，跟当时巳知 的六颗行星的轨道套迭，从而解释了太阳系中包括地 球在内恰好有六颗行星以及它们的轨道大小的原因。 他把这些结论整理成书，名为《宇宙的秘密》。该设 想虽带有神秘色彩，但却也是一个大胆的探索。 对火星轨道的研究是开普勒重新研究天体运动的起点。用正圆编制火 星的运行表，发现火星老是出轨。在进行了无数次试验后，他找到了与事 实较符合的方案。可是，依照这个方法来预测卫星的位置，却跟第谷的数
mg
O
摆球角动量大小 选另一参考点
L mvl
O ???
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若 即
则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
F
v 2 gh 2 9.80 2 6.26m/s
2mv 2 0.58 6.26 2 F 3.82 10 N t 0.019
t2
平均冲力
F
F ( t )dt t 2 t1
直 角 坐 标 系 中
t1
p1
p
p2 p1 t 2 t1
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零
重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置 的一瞬 间，角动量的时间变化率为零外， 其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小
角动量的大小不随时间变化
质点角动量定理也可用积分形式表达
质点动量定理 的积分形式为 t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
平均冲力
F
t
t2
1
F dt
F
t 2 t1
p t
F
o
t
t
[例1]已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h=2.0m的高度下落，到 达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t = 0.019s。 求：篮球对地的平均冲力 解： 篮球到达地面的速率
2
2
1
1
dt I mR ( i j )
0
mR
( cos i sin j )dt
v2
用动量定理求解如下：
t1
t2 I F ( t ) dt P2 P1
m(v2 v1 ) mR ( i j )
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小
方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用 代数法求合力矩。
F1
F2
O x t 1
y
1
质点的动量定理 theorem of momentum of particle
differential form
由力的定义
得
根据力与作用时间的乘积 称为 力的 冲量
的定义
质点动量定理 的微分形式为
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 integral form
由质点系的动量定理
微分形式 积分形式
或
或
若
则
定律说明
火箭飞行原理 ―神州”号飞船升空
变质量系统、火箭飞行原理
低速:（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）