中考专题复习专题五 数学思想方法(一)

2019-2020年中考专题复习专题五数学思想方法（一）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （xx•吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可．解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．故答案是：1．点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．对应训练1．（xx•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．1．1000考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （xx•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．思路分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．解：如图：∵高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，∴A′D=0.5m ，BD=1.2m ，∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离，A′B =22220.5 1.2AD BD '+=+=1.3（m ）．故答案为：1.3．点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。

将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．对应训练2．（xx•宁德质检）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 是AB 上的任意一点，作PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥CB 于点E ，连结DE ，则DE 的最小值为 ．2．4.8解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，如图，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE=CP= =4.8，故答案为4.8．考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 （xx•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y 1=kx+b ，乙种收费的函数关系式是y 2=k 1x ，直接运用待定系数法就可以求出结论；（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y 1＞y 2时，当y 1=y 2时，当y 1＜y 2时分别求出x 的取值范围就可以得出选择方式．解：（1）设甲种收费的函数关系式y 1=kx+b ，乙种收费的函数关系式是y 2=k 1x ，由题意，得，12=100k 1，解得：，k 1=0.12，∴y 1=0.1x+6，y 2=0.12x ；（2）由题意，得当y 1＞y 2时，0.1x+6＞0.12x ，得x ＜300；当y 1=y 2时，0.1x+6=0.12x ，得x=300；当y 1＜y 2时，0.1x+6＜0.12x ，得x ＞300；∴当100≤x ＜300时，选择乙种方式合算；当x=100时，甲乙两种方式一样合算；当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算．故答案为：y 1=0.1x+6，y 2=0.12x ．点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．对应训练3．（xx•牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A 型电脑每台进价2500元，B 型电脑每台进价2800元，A 型每台售价3000元，B 型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A 型电脑购进x 台、商场的总利润为y （元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y （元）与购进A 型电脑x （台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A 型和B 型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A 型电脑、B 型电脑和帐篷的方案．3．解：（1）设A 型电脑购进x 台，则B 型电脑购进（40-x ）台，由题意，得25002800(40-)10570030003200(40-)123200x x x x +≤⎧⎨+≥⎩，解得：21≤x≤24，∵x为整数，∴x=21，22，23，24∴有4种购买方案：方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；（2）由题意，得y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x），=500x+16000-400x，=100x+16000．∵k=100＞0，∴y随x的增大而增大，∴x=24时，y最大=18400元．（3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得2500a+2800b+500c=18400，c=．∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c为整数，∴184-25a-28b＞0，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小．当a=2，b=2时，184-25a-28b=78，舍去；当a=2，b=3时，184-25a-28b=50，故c=10；当a=3，b=2时，184-25a-28b=53，舍去；当a=3，b=3时，184-25a-28b=25，故c=5；当a=3，b=4时，184-25a-28b=-2，舍去，当a=4，b=3时，184-25a-28b=0，舍去．∴有2种购买方案：方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶，方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．四、中考真题演练一、选择题1．（xx•杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．401．A2．（xx•黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π2．C3．（xx•达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC 为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．53．B4．（xx•齐齐哈尔）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8 B．2 C．2或8 D．3或74．C5．（xx•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2 cm B．4cm C．2 cm或4cm D．2cm或4cm5．C6．（xx•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°6．B7．（xx•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．187．B8．（xx•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π8．A二、填空题9．（xx•枣庄）若a2−b2＝，a−b＝，则a+b的值为．9．10．（xx•雅安）若（a-1）2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．10．511．（xx•宿迁）已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是．11．8或212．（xx•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．12．13．（xx•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．13．0或114．（xx•黄石）若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．14．0或-115．（xx•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（-，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．15．（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）16．（xx•绥化）直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是cm2．（结果保留π）16．24π，36π，π17．（xx•绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．17．2或-218．（xx•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．18．19．（xx•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A，B两点，若△ABM为等腰直角三角形，则点M的坐标为．19．（2，0）或（-2，0）20．（xx•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．20．（2，4）或（3，4）或（8，4）21．（xx•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为．21．（0，12）或（0，-12）22．（xx•泰州）如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是．22．d＞5cm或2cm≤d＜3cm23．（xx•温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF-FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是．23．18cm、31cm24．（xx•乐亭县一模）如图，已知直线y=x+4与两坐���轴分别交于A、B两点，⊙C 的圆心坐标为（2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是．24．8-2和8+225．（xx•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．25．526．（xx•天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是．26．15°或165°三、解答题27．（xx•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是元，小张应得的工资总额是元，此时，小李种植水果亩，小李应得的报酬是元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．27．：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，小张应得的工资总额是：140×20=2800元，此时，小李种植水果：30-20=10亩，小李应得的报酬是1500元；故答案为：140；2800；10；1500；（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），∴，解得，所以，z=120n+300（10＜n≤30）；（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，∵函数图象经过点（10，160），（30，120），∴，解得，∴y=-2m+180，∵m+n=30，∴n=30-m，∴①当10＜m≤20时，10＜n≤20，w=m（-2m+180）+120n+300，=m（-2m+180）+120（30-m）+300，=-2m2+60m+3900，②当20＜m≤30时，0＜n≤10，w=m（-2m+180）+150n，=m（-2m+180）+150（30-m），=-2m2+30m+4500，所以，w与m之间的函数关系式为w=-22603900(1020) -22304500(2030)m m mm m m++<≤⎧⎨++<≤⎩．28．（xx•杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O 两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．28．解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8．分类讨论：①n=8时，易得A（-6，0）如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB=16，且A（-6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==2，要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，∴x＞2；（2）n=-8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB=16，且A（6，0），∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==-2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜-2．29．（xx•随州）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．（1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少？（结果用根号表示）（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（参数数据：≈1.414，≈1.732，2.449．结果精确到0.1海里）29．解：（1）如图，过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P 的最近距离．由题意，得∠APC=90°-45°=45°，∠B=30°，AP=100海里．在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°，∴PC=AC=AP=50海里；（2）在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=50海里，BC=PC=50海里，∴AB=AC+BC=50+50=50（+）≈50（1.414+2.449）≈193.2（海里），答：轮船航行的距离AB约为193.2海里．30．（xx•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？30．解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=×60=30海里，∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BC=30×=60海里，60÷60=1（小时）．答：从B处到达C岛需要1小时．31．（xx•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．31．解：（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．∵OA是半圆C的直径，∴∠APO=90°，即OP⊥AD．又∵OA=OD，∴AP=PD；（2）如图①，连接PC、OD．∵OD是半圆C的切线，∴∠AOD=90°．由（1）知，AP=PD．又∵AC=OC，∴PC∥OD，∴∠ACP=∠AOD=90°，∴的长==π；（3）分两种情况：①当点E落在OA上（即0＜x≤2时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED．又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED，∴．∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y，∴，∴y=-x2+4（0＜x≤2）；②当点E落在线段OB上（即2＜x＜4）时，如图③，连接OP．同①可得，△APO∽△AED，∴．∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴，∴y=x2+4（2＜x＜4）．28717 702D 瀭Ymwp33098 814A 腊]22551 5817 堗39433 9A09 騉39518 9A5E 驞C123890 5D52 嵒30588 777C 睼33713 83B1 莱。