概率论与数理统计A
《概率论与数理统计A》期末习题一答案
《概率论与数理统计A 》期末习题一答案一、简答题(本题满分30分，共含6小题，每小题5分)1、设A ，B 为随机事件，A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，求()P AB 。
解：32.04.08.0)()()(=⨯==B P A P B A P 。
（5分）2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他 010 )(x cx x f ，求常数c 的值。
解：121)(1===⎰⎰+∞∞-c dx cx dx x f ，因此2=c 。
（5分） 3、 已知随机变量)4,1(~N X ，求}21{<<X P 。
解：()021}21221211{}21{Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=-<-<-=<<X P X P （3分） 1915.05.06915.0=-=。
（2分）4、设随机变量X 和Y 相互独立，)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，求变量12+-=Y X Z 的数学期望和方差。
解：()()()()51261212=+-=+-=+-=Y E X E Y X E Z E ； （2分）()()()()25916412=+=+=+-=Y D X D Y X D Z D 。
（3分） 5、 已知10个产品中有3个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求所取的3个产品中恰有2个次品的概率。
解：设X ：所取得3个产品中次品的个数，则⎪⎭⎫⎝⎛103,3~B X （2分）1000189107103}2{223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P （3分） 6、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则Z(同时要写出分布的参数) ？~(1)t 。
（5分）二、(本题满分10分) 编号为1，2，3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9，0.8和0.4，从中任选一台。
（1） 求此台仪器正在工作的概率；（2） 已知选到的仪器正在工作，求它编号为2的概率。
概率论与数理统计A
概率论与数理统计AProbability & Statistics A课程编码：09A00210 学分：3.5 课程类别：专业基础课计划学时：56 其中讲课：56 实验或实践：0 上机：0适用专业：部分理工类、经济、管理类学院各专业，主要有信息学院、机械学院、电气自动化、土建学院、资环学院、商学院、物理学院等。
推荐教材：杨殿武苗丽安主编，《概率论与数理统计》，科学出版社，2014年;参考书目：浙江大学盛骤主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2009年;吴赣昌主编，《概率论与数理统计》，中国人民大学出版社，2006年。
课程的教学目的与任务本课程是大部分理工科、管理、经济类各专业的专业基础课程，课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在各领域中的具体应用。
课程的任务在于通过本课程的学习，要使学生获得：随机事件与概率、一元与多元随机变量及其分布、随机变量的数字特征；、数理统计的基本概念、参数估计与假设检验等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力以及运用数学知识分析问题和解决随机问题的能力，提高学生的数学素质和解决实际问题的能力。
课程的基本要求（一）概率论基础掌握古典概型、几何概型的计算；掌握全概率公式及贝叶斯公式的运用及独立性。
（二）随机变量及其分布掌握一维离散型和连续型随机变量的概率分布的计算及一维随机变量的函数的分布。
（三）多维随机变量及其分布1、掌握二维离散型随机变量的概率分布及二维连续型随机变量的概率密度的性质。
2、掌握二维离散和连续型随机变量的边缘分布和随机变量的独立性及二维随机变量的函数的分布。
（四）随机变量的数字特征1、掌握数学期望、方差的性质及运算;掌握六种常见分布的数学期望和方差。
2、掌握协方差及相关系数的性质及相关性。
（五）大数定律与中心极限定理了解切比雪夫不等式，了解独立同分布中心极限定理和棣莫佛--拉普拉斯定理。
《概率论与数理统计 (A)
山东建筑大学试卷共3页第1页2019至2020学年第1学期考试时间：120分钟课程名称：概率论与数理统计C （A ）卷考试形式：闭卷年级：2018级专业：全校开设本课程专业层次：本科一二三总分（说明：本考试不需要使用计算器）一、填空题（每题3分，共21分）1、设()( )P AB P A B =，且()0.2P A =，则()P B ＝.2、设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是.3、设随机变量Y X ,的期望方差为,5.0)(=X E ,5.0)(-=Y E )()(Y D X D =，75.0=,0)(=XY E 则Y X ,的相关系数=),(Y X R ．4、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计≤≥-)3|2(|X P .5、设随机变量),10(~2σN X ，已知,3.0)2010(=<<X P 则=<<)100(X P ．6、设1X ，2X ，3X ，4X 相互独立且服从相同分布2()n χ，则1234~3X X X X ++.7、由来自正态总体)4,(~μN X 容量为400的简单随机样本，计算得样本均值为45，则未知参数μ的置信度为95%的置信区间二、选择题（每题3分，共21分）1、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则（）.（A）B 是必然事件；（B）()1P B =；（C）()0P A B -=；（D）A B ⊂.2、设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（）.（A）()()() 1.P C P A P B ≤+-（B）()().P C P A B ≤ （C）()()() 1.P C P A P B ≥+-（D）()().P C P A B ≥ 3、设每次试验成功的概率为(01)p p <<，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为（）.（A）44610(1)C p p -；（B）3469(1)C p p -；（C）4459(1)C p p -；（D）3369(1).C p p -4、设两个独立的随机变量Y X ,分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则().（A）5.0}0{=≤+Y X P ；（B）5.0}1{=≤+Y X P ；（C）5.0}0{=≤-Y X P ；（D）5.0}1{=≤-Y X P .5、设随机变量Y X ,相互独立，且都服从)1,0(N ，则~12+-Y X （）.（A）)1,0(N ；（B）)1,1(N ；（C）)5,0(N ；（D）)5,1(N .6、设二维随机向量),(Y X 服从二维正态分布，则随机变量Y X +=ξ与Y X -=η不相关的充要条件为（）.（A）)()(Y E X E =；（B）2222)]([)()]([)(Y E Y E X E X E -=-；（C）2222)]([)()]([)(Y E Y E X E X E +=+；（D）)()(22Y E X E =.7、设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数()Y F y 为().（A）(53)X F y -.（B）5()3X F y -.（C）3()y F +.（D）31()yF --.考场班级姓名学号座号线装订线装订线山东建筑大学试卷共3页第2页三、计算应用题（共58分）1、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率.2、（12分）设随机变量X 的概率密度为)()(||+∞<<-∞=-x Aex f x ，求：（1）系数A ；（2）X 的分布函数；（3）)(X D .3、（8分）设),1,0(~N X 求||X Y =的概率密度.姓名学号线装订线装订线山东建筑大学试卷共3页第3页4、（10分）设二维随机变量），Y X (的联合概率密度为：⎩⎨⎧=0),(2Axy y x f 其他10 ,20<<<<y x 求：（1）参数A ；（2）X 和Y 的边缘概率密度并判断X 和Y 是否独立；（3）)5.0,1(≤≥Y X P .5、（12分）设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域G 上服从均匀分布，试求),(Y X Cov .6、（8分）设总体X 的概率密度为101,,(;).0,x x f x θθθ-<<⎧=⎨⎩其它(0).θ>12,,,n x x x 是X 的简单样本观测值，试求（1）参数θ的矩估计值；（2）参数θ的极大似然估计值.姓名学号线装订线装订线。
《概率论与数理统计》期末考试试卷(A)答案
2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (A)一、 填空题（每小题4分，共32分）.1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = _________.2．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 3} = ______________. 3．设随机变量 X的分布函数为,2,1 21 ,6.011 ,3.01 ,0 )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} =_________ .5．设随机变量 X 服从二项分布 b (50, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________.6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X - 2Y ) = _________.7．设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) =σ2, 则由切比雪夫不等式有P{|X -μ| < 3σ} ≥_________________.8．从正态总体N(μ, 0.12) 随机抽取的容量为16 的简单随机样本, 测得样本均值5=x，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示).二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）1．设A, B, C是三个随机变量，则事件“A, B, C不多于一个发生”的逆事件为( ).(A) A, B, C都发生(B) A, B, C至少有一个发生(C)A, B, C都不发生(D)A, B, C 至少有两个发生2．设随机变量X的概率密度为f (x), 且满足f (x) = f (-x), F(x) 为X 的分布函数, 则对任意实数a, 下列式子中成立的是( ).(A)(B)(C)(D)3．设随机变量 X , Y 相互独立, 与 分别是X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y } 分布函数 为 ( ).(A) max{,} (B)+ -(C)(D)或4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (0, 1) 和 N (1, 1), 则 ( ).21}0{ )A (=≤+Y X P 21}1{ )B (=≤+Y X P 21}0{ )C (=≤-Y X P21}1{ )D (=≤-Y X P 5．对任意两个随机变量 X 和 Y , 若 E (XY ) = E (X )E (Y ), 则 ( ).(A) X 和 Y 独立 (B) X 和 Y 不独立(C) D (XY ) = D (X )D (Y ) (D) D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )6．设 X 1, X 2, …, X n (n ≥ 3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 μ 的无偏估计量的是 ( ). (A)X(B) 0.1⨯ (6X 1 + 4X 2) (C)(D) X 1 + X 2 - X 3三、解答（本题 8 分）某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?四、解答（本题8分）设连续型随机变量 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<= ,0 0,sin )(πx x A x f求: (1) 常数 A 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F (x ); (3)}.23{ππ≤≤X P五、解答（本题10分）设二维随机变量 (X , Y ) 的联合概率密度为求: (1) 求 X , Y 的边缘概率密度 f X (x ), f Y (y ), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P { X + Y ≤ 1}.六、解答（本题8分）已知随机变量 X 分布律为X k -1 0 2 4 P k0.10.50.30.1求 E (X ), D (X ).七、（本题6分）设某供电区域中共有10000 盏电灯，夜晚每盏灯开着的概率均为 0.7，假设各灯开、关时间彼此独立，求夜晚同时开着的灯的数量在6800 至 7200 间的概率.(其中999999.0)36.4()2120(=≈ΦΦ).八、(10分) 设总体 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<+= ,010 ,)1()(x x x f θθ其中θ > -1 是未知参数， X 1,X 2, …, X n 为来自总体的一个简单随机样本，x 1, x 2, …, x n 为样本值, 求 θ 的矩估计量和极大似然估计量.参考答案： 一、填空题 1． 0.5 ；0.58 2． 2/5 3．4． 0.3 ；0.5 5． 10 ；8 6． 21 7． 8/9 8． )41.05,41.05(025.0025.0z z +-详解：4.因为0.5+0.2+a=1,所以 a=0.3 Y = 2X + 3所以P {Y > 5} =0.2+0.3=0.5二、选择题1. D2. A3. C4. B5. D6. C 详解：2. 因为⎰∞-=xtt f x F d )()( 故⎰-∞-=-att f a F d )()( 令u =-t⎰∞+--=-a u u f a F d )()(⎰+∞=au u f d )(⎰+∞=at t f d )(⎰-=at t f 0d )(21 (21d )(0=⎰+∞t t f ) 详解：4.因为X ~)1,0(N ,Y ~)1,1(N 所以 1)(=+Y X E ，2)(=+Y X D 故)()(Y X D Y X E Y X ++-+21-+=Y X ~)1,0(N 所以21}021{=≤-+Y X P 即 21}01{=≤-+Y X P 21}01{=≤-+Y X P三、解答题解：设A 事件表示“产品为次品”，B 1事件表示“是甲厂生产的产品”，B 2事件表示“是乙厂生产的产品”，B 3事件表示“是丙厂生产的产品”(1) 这件产品是次品的概率:)()()()()()()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++= 035.02.005.035.002.045.004.0=⨯+⨯+⨯=(2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:3518035.045.004.0)()()()(111=⨯==A PB P B A P A B P 四、解答题 解：(1) A x x A x x f 2d sin d )(10===⎰⎰∞∞-π21=∴A (2) ⎰∞-=xt t f x F d )()(0d 0d )()(0===≤⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F x 时，当)cos 1(21d sin 210d d )()(00x t t t t t f x F x xx-=+==<<⎰⎰⎰∞-∞-时，当π 10d d sin 210d d )()(0=++==≥⎰⎰⎰⎰∞-∞-x xt t t t t t f x F x πππ时，当 所以⎰∞-=xt t f x F d )()(=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤ππx x x x ,10),cos 1(210,0(3)414121)3()2(}23{=-=-=≤≤ππππF F X P 五、解答题 (1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞∞-其它，020),2(21d )2(d ),()(10x x y y x y y x f x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-==⎰⎰∞∞-其它，010,2d )2(d ),()(20y y x y x x y x f y f Y因为 ),()()(y x f y f x f Y X =⋅，所以X 与Y 是相互独立的.(2)247d )1)(2(21d )2(d }1{1021010=--=-=≤+⎰⎰⎰-x x x y y x x Y X P x六、解答题1.043.025.001.01)(⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =0.9 1.043.025.001.0)1()(22222⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =2.9 2229.09.2])([)()(-=-=X E X E X D =2.09七、解答题解：设X 为夜晚灯开着的只数，则X ~)7.0,10000(b}72006800{≤≤X P }3.07.0100007.010********.07.0100007.0100003.07.0100007.010*******{⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=X P}21203.07.0100007.010*******{≤⨯⨯⨯-≤-=X P 1)2120(2)]2120(1[)2120()2120()2120(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ≈999998.01999999.02=-⨯=八、解答题 解：(1) 矩估计法21d )1()(101++=+==⎰θθθμθx x x X E 11112μμθ--=∴∑===ni iX n X A 111 所以θ的矩估计量∧θXX --=112(2) 最大似然法似然函数θθi ni x L )1(1+∏==，10<<ixθθi ni x L )1(1+∏==θθi n i n x 1)1(=∏+=∑=++=ni ix n L 1ln )1ln(ln θθ∑=++=ni ix nL 1ln 1d ln d θθ 令0d ln d =θL得θ的最大似然估计值 ∧θ1ln 1--=∑=ni ixnθ的最大似然估计量 ∧θ1ln 1--=∑=ni iXn。
概率论与数理统计试卷(A)
贵州大学2010-2011学年第二学期考试试卷(A)概率论与数理统计注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。
2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分，考试时间为120分钟。
一、选择题（10个小题，每小题2分，共20分）1.已知(5,4)XN ,其均值与标准差分别为( ).①5，2 ②4，5 ③5，4④2，5 2．若假设检验为0H ,则下列说法正确的是（ ）.①0H 为真时拒绝0H 是犯第二类错误 ②0H 为假时接受0H 是犯第一类错误 ③0H 为真时拒绝0H 是犯第一类错误 ④以上说法都不对3．设随机变量X 与Y 独立且()(0),()4E X a a E XY =≠=，则()E Y =( ). ①4a ②4a③4a ④4a - 4．设两个相互独立随机变量ξ和η的方差分别为4和2，则32ξη-的方差为( ). ① 8 ② 16 ③ 28 ④ 44 5.已知1,2,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,其中μ已知，0σ>未知,则下列关于1,2,,n X X X 的函数中，( )不能作为统计量.①211n i i X n =∑②12max{,,}n X X X ③2211ni i X σ=∑④12min{,,}n X X X6．“事件发生的频率趋于事件发生的概率”的是( ).① 切比雪夫不等式②贝努利大数定律③中心极限定理④贝叶斯公式7．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,123,,X X X 为取自X 的容量为3的样本，则μ的三个估计量1123111333X X X μ=++, 2123255X X μ=+, 3123111236X X X μ=++ ①三个都不是μ的无偏估计②三个都是μ的无偏估计，1μ最有效③三个都是μ的无偏估计，2μ最有效④三个都是μ的无偏估计，3μ最有效 8．若A 与自身独立，则( ).①()0P A =②()1P A =③0()1P A <<④()0()1P A P A ==或 9．已知X 服从泊松分布，则()D X 与()E X 的关系为（ ）. ①()()D X E X >②()()D X E X <③()()D X E X =④以上都不是 10．下列说法错误的是 ( ).①,X Y 相互独立， 则,X Y 一定不相关 ②,X Y 不相关，则,X Y 不一定相互独立 ③对正态分布而言， 不相关和独立性是一致的 ④,X Y 不相关，则,X Y 一定相互独立二、填空题（10小题，每小题2分，共20分）1. 假设检验可分为两类，它们是（ ）和（）.2. 若检验的观察值落入拒绝域内，则应（）.3.出勤率和缺勤率之和等于(）. 4．随机变量主要分为（）和（）.5. 设随机变量ξ服从泊松分布，且(1)(2)P P ξξ===,则 (6)()P ξ==.6.某车床一天生产的零件中所含次品数ξ的概率分布如下表所示，则平均每天生产的次品数为（）.（题6表格）7．设ξ服从0-1分布，且(1)P ξ=是(0)P ξ=的三分之一，则(1)P ξ==（）． 8. 已知()0.3P A =，()0.5P B =，则当A 与B 互不相容时，则()P A B ⋃=()．9．已知()0.4P A =,()0.6P B A =,则()P AB =()． 10．设随机事件A 、B 满足关系B A ⊂,则()P A B ⋃=( )．三、简答题（5个小题，每小题4分，共20分）1.请写出贝努利大数定律的意义.2. 计算连续型随机变量的数学期望,它的密度函数为 (请写出详细过程),1,10()1,010x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它3．已知2,01()0.y y Yf y <<⎧=⎨⎩其它 ,求().F y4．随机事件的定义域与值域分别是什么？5．设总体X 的概率分布为X 1 2 3k P 2θ2(1)θθ-2(1)θ-其中θ为未知参数.现抽得一个样本1231,2,1X X X ===,求θ的极大似然估计量.四、计算题（3个小题，每小题10分，共30分）1.设随机变量X 满足22[(1)]10,[(2)]6E X E X -=-=。
概率论与数理统计A第6章
几个常见统计量
样本平均值
样本方差
它反映了总体 方差的信息
X
1 n
n i1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
S2n11in1(Xi X)2
n1 1i n1Xi2nX2
样本标准差 S n1 1i n1(Xi X)2
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i1
Xik
k=1,2,…
样本k阶中心矩
Mk
1 n n i1
(1)
(n1)S2
2
~2(n1)
(2) X与S2独立 .
n取不同值时 (n 1)S 2
2
的分布
推论1 (样本均值的分布)
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N(,2)
的样本, X和S2 分别为样本均值和样本方差,
则有
X ~t(n1)
Sn
证由定 1、 2理 t,分布的定义可得
X~N(0,1), n
X ~ N(,2) n
即 X~N(0,1) n
X ~ N(,2) X ~ N(0,1) n n
请注意 : 在已知总体，2时， 可用本定理计算样 本均值X.
n取不同值时样本
均值 X 的分布
定理 5 (样本方差的分布)
设X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N(,2)的样本,
X和S2分别为样本均值和样本方差, 则有
的 点 t ( n ) 为 t ( n ) 分 布 的 上 分 位 数 。 如 图 所 示 .
t ( n )
t分布的上分位点的性质： t1(n)t(n)
t分 布 的 左 侧 分 位 点 t(n)可 查 表 求 得 ， 例 t0.975(15)6.262.
当n45时，对于常 的 用值 的，可用正态近
概率论与数理统计(A)期末复习资料
《概率论与数理统计（A ）》期末复习资料一、选择题：1.设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B2.设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则( ).(A)A 和B 两事件互不相容(互斥)； (B)AB 是不可能事件； (C)AB 未必是不可能事件； (D)0)(=A P 或0)(=B P . 3.如果0)(=AB P ，则( ).(A))()(A P B A P =-； (B)A 与B 不相容； (C)A 与B 不相容； (D))()()(B P A P B A P -=-. 4.如果1)()(=+B P A P ，则( ).(A)1)(=⋃B A P ； (B)0)(=⋂B A P ； (C))()(B A P B A P ⋂=⋂； (D))()(B A P B A P ⋃=⋂. 5.设A 和B 相互独立，则下列结论错误的是( ).(A)B ,A 独立； (B)B ,A 独立； (C))()()(B P A P B A P =； (D)φ=AB .6.设B A ⊂且相互独立，则( ).(A)0)(=A P ； (B)1)(0)(==B P A P 或； (C)1)(=A P ； (D)上述都不对. 7.设随机变量~(2,)X B p ，若()159X P ≥=，则p =( ). (A)32； (B)21； (C)31； (D)2719.8.设随机变量X 概率分布为,,2,1)1()( =+==k k k ak X P ，则a 为( ).(A)0； (B)1； (C)2； (D)3.9.设随机变量X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ=( ). (A)2； (B)1； (C)4； (D)0.5.10.若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=b ax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()11.设随机变量),(~2σμN X ，且022=++X x x 无实根的概率为0.5，=μ( ). (A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.12.随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,20,),(y x cx y x f ，则c 为( ).(A)0.25； (B)1； (C)2； (D)4.13.设随机变量Y X ,相互独立，它们的密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=-000x ,;x ,e )x (f x X ，⎩⎨⎧≤>=-00022y ,;y ,e )y (f y Y ，则=>)Y X (P ( ).(A)31； (B)21； (C)32； (D)43.14.设X ～)4,2(N 且b aX +～)1,0(N ，则( ). (A)22-==b a ，； (B)12-=-=b a ，； (C)121==b a ，； (D)121-==b a ，.15.设)1(~P X ,)2(~P Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (1,2)b (B) (3)P (C) (1.5)P(D) (2,1)b16.设随机变量)6.0,20(~b X ,)6.0,10(~b Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (10,0.6)b (B) (20,0.6)b (C) b(30,0.6) (D) (18)P17.设),(~p n b X 且6 3.6EX DX ==，,则有()(A) 100.6n p ==， (B) 200.3n p ==，(C) 150.4n p ==， (D) 120.5n p ==， 18.设12,,n X X X 是取自正态总体X ～)1,0(N 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)X ～)1,0(N ； (B)X n ～)1,0(N ； (C)S X /～)1(-n t ； (D)∑=ni i X 12～)(2n χ.19.设n X X X 21,是取自正态总体X ～),(2σμN 的样本（2>n ）, 2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)1--n SX μ～)1(-n t ； (B)22)(S X n μ-～)1,1(-n F ； (C)22σS ～)1(2-n χ； (D)122X X -～),(2σμN .20.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211(())1ni i S X X n ==--∑ X 分别为样本方差和样本均值，则下面结论中不正确的是( ). (A)2~(,)X N n σμ ；(B)22()E S σ=； (C)22()1nE S n σ=-； (D)222(1)/~(1)n S n σχ--. 21.已知随机变量X 与Y 相互独立,且2~(40)X χ,2~(80)Y χ,则~/2Y X ().(A)2(40)χ (B) (20,40)F (C) (40,80)F (D) 2(80)χ22.设n X X X ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321X X X ++ (B) 321525252X X X ++ (C) 321515151X X X ++ (D) 321535151X X X ++23.对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,Z 检验解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值(C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差24.对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,,则下列各式中（ ）不是统计量．(A)1X (B) μ+X(C)221σX (D)1X μ25.设n X X X ,,,21 是正态总体),(~2σμN X （2σ已知）的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时,判断是否接受0H 与（ ）有关.(A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α 26.在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差 27.假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小二、填空题：1.设B A ,是两个事件，且=)(B A P 1，则=-)(A B P .2.设()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()AB P = ，()B A P = .3.设事件B A ,和B A ⋃的概率分别为0.2，0.3和0.4，则=)(A B P _______.4.设B A ,是两个随机事件，()0.4()0.3P A P B ==，，若B A ,相互独立，则()P A B ⋃= ，则()P B A = .5.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为 .6.设甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮3次，则有人投中的概率为 .7.从0,1,2,,9这10个数字中任意选出3个不同的数字，则3个数字中不含0或5的概率为 .8.某工厂一个班组共有男工9人，女工5人，现在要选出3个代表，则选的3 个代表中至少有1个女工的概率为 .9.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()2D X =，则(1)p X ==________. 10.设随机变量),(N ~X 42，则~X Y 22-=. 11.设随机变量Y 在]5,0[上服从均匀分布，则关于x 的一元二次方程02442=+++Y xY x 有实根的概率为 .12.设)(1x F 与)(2x F 分别是任意两个随机变量分布函数，令=)(x F)()(21x bF x aF +，则下列各组数中使)(x F 为某随机变量的分布函数的有 =a ， =b .13.已知连续随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ--≥=<⎧⎨⎩，0λ>，则其密度函数为 ，(2)P x ≤= ；已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 , 010,2)(x x x f 则:)5.15.0(<<X p = .14.设随机变量X 分布律为令,12+=X Y 则随机变量X 分布律为 ;=)(Y E _________.15.若二维随机变量(,)X Y 具有分布律：则(21)P Y X ===________. 16.设随机变量X 分布列如下表则E (X )=________，D (X )=________.17.两独立随机变量X Y 和都服从正态分布，且()()~3,4~2,9X N Y N ，，则()D X Y +=________;又两个相互独立的随机变量~(3),V ~P(2)U E ,则(22)D U V ++=________.18.设X 服从[-1，2]上的均匀分布，令⎩⎨⎧<-≥=,01,01X X Y ，，则=)(Y E ，=)(Y D .19.设相互独立的随机变量X ,Y 均服从参数为5的指数分布，则当0,0x y >>时，(,)X Y 的概率密度(,)f x y =________.20.设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本，则~X .21.设总体2~(0,)X N σ，921,X X X 为总体的一个样本，则)(9196521X X X X X X ++++++= 分布为 .22.设),(21n X X X 是取自参数为λ泊松分布的样本，则统计量i ni X Y ∑==1服从分布.23.设12n X X X ,,,为来自总体X 的样本，且~(0,1)X N ，则统计量21~nii X=∑ .24.设12,,,n X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，则21()ni i X X =-∑服从的分布为 .25.设n X X X 21,是来自正态总体X ～N (μ，2σ)的样本，即它们是独立同分布，则~X ，~)1(22σS n - .26.在单边假设检验中,原假设为0H ：μ≤0μ,则其备择假设为1H ：_______________.27.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中2σ未知,12,,n X X X 为其样本.若假设检验问题为0010:,:,H H μμμμ=≠则采用的检验统计量表达式应为_______________.三、计算题1.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.2.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： (1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.3.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： (1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.4.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.5.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.6.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？8.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.9.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率； (3)F (x ).10.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.11.由某机器生产的螺栓长度（cm ）~(10.05,0.062)X N ,规定长度在10.050.12±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率..12.设一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布),160(2δN ,若要求{}8.0200120≥≤<X P ,允许δ最大不超过多少？13.设X ~N （3，22），(1)求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; (2)确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }.14.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.（2）求（X ，Y ）的边缘分布律； （3）求W =X +Y 的分布律.16.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(,其他y x y x k y x f (1)确定常数k ；(2)求P {X ＜1，Y ＜3}； (3)求P {X <1.5}； (4)求P {X +Y ≤4}.17.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>--=--.,0,0,0),e 1)(e 1(,24其他y x y x F y x求(X ，Y )的联合分布密度.18.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=.,0,10 ,1,01 ,1其他x x x x x f求)()(X D X E ，.19.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,其他x x x x x f求)()(X D X E ，.20.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,,其他x y x k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E .21.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为()⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2其他x x x f X ()(5)e ,5,0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其他 求E (XY ).22.设总体X 服从二项分布b (n ，p )，n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩估计.23.设总体X 的密度函数()2(x )2,,f x e x R μμ--=∈X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数μ的矩估计. 24.设12,,,n x x x 为来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本的X1，X2， (X)观测值，试求总体未知参数2,μδ的极大似然估计.25.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-.,0,10,),(1其他x x x f θθθn X X X 21,为其样本，求θ 的极大似然估计.26.某车间生产的螺钉，其直径2~N(,)X μδ，由过去的经验知道2δ=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 求μ的置信概率为0.95的置信区间.27.来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本为X 1，X 2，…，X n ，并且2μδ未知，已知，求μ的置信概率为1α-的置信区间.28.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差2s =0.1(2g ).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.。
概率论与数理统计A、B教学大纲(新教材)
概率论与数理统计A、B教学大纲（自编教材）课程名称：概率论与数理统计A、B课程编码：A 112012，B112013学分：A (4), B（3）总学时：A (64), B（48）适用专业：相关专业本科先修课程：高等数学A选用教材：昆明理工大学自编教材，概率论与数理统计一、课程的性质、目的和任务概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是工科专业的基础课，通过本课程的学习，使学生掌握概率和数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，培养学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求（一）随机事件和概率1、机事件的概念，理解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。
2、概率的定义，掌握概率的基本性质与应用这些性质进行概率计算。
3、条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算。
4、事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。
（二）一维随机变量及其分布1、随机变量的概念。
2、随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。
3、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布。
4、简单随机变量函数的概率分布。
（三）二维随机向量1、二维随机变量的概念。
2、二维随机变量的联合分布函数及其性质、理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质和二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
3、二维随机变量的边缘分布。
4、随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。
5、两个独立随机变量的简单函数的分布。
（四）随机变量的数字特征1、数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。
2、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望和方差。
3、算随机变量函数的数学期望。
4、矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。
5、切比雪夫不等式。
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课程编号：0701110810PTMS
《概率论与数理统计A》（Probability and Statistics A）课程教学大纲
80学时 5学分
一、课程的性质、目的及任务
《概率论与数理统计》课程是研究随机现象数统计规律的一门数学课程，它是近代数学的重要分支，概率论与数理统计知识已广泛用于工农业生产和科学技术之中，并且与其它数学分支相互渗透与结合。
本课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的主要基础课之一，其目的在于使学生掌握处理随机现象的基本思想、基本理论和基本方法，提高学生的数学素质与科学思维能力，培养学生分析、提炼、解决实际问题的能力。
二、适用专业
数学与应用数学、信息与计算科学
三、先修课程
高等代数，数学分析
四、课程的基本要求
通过对本课程的学习学生应达到下列基本要求：
1.深刻理解随机性、随机事件、概率等基本概念；
2.理解随机变量及其分布，掌握离散型及连续型随机变量的特点，熟练掌握正态分布、
二项分布等几种常见分布，随机变量函数的分布；
3.理解多维随机变量及其分布，边际分布与随机变量的独立性，掌握条件分布与条件
期望，多维随机变量函数的分布；
4.理解随机变量的数字特征，掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等
数字特征的基本性质和计算；
5.认识随机序列的两种收敛及其相互关系，理解大数定律、中心极限定理；
6.理解样本、统计量等概念，掌握三大抽样分布，充分统计量；
7.掌握点估计、点估计的评选标准、区间估计、最小方差无偏估计、贝叶斯估计；
8.理解假设检验的基本概念、正态总体参数的假设检验、分布拟合检验；
9.理解方差分析与回归分析的基本原理与方法，掌握最小二乘法估计、预测与控制，
线性模型的假设检验。
五、课程的教学内容
1．课堂讲授的教学内容
（1）事件与概率
随机性与必然性，随机事件，事件间的关系及运算，频率与概率，概率的公理化定义；
古典概型、几何概率，概率的性质，概率空间。
（2）条件概率与统计独立性
条件概率，全概率公式与贝叶斯公式，事件的独立性，贝努利试验。
（3）随机变量及其分布
一维随机变量，分布函数，分布列，密度函数，常见分布；多维随机变量，联合分布、
边际分布，条件分布；随机变量的独立性，随机变量函数的分布。
（4）随机变量的数字特征
数学期望、方差、矩、协方差，相关系数，条件数学期望与预测，多元正态分布。
（5）极限定理
特征函数、随机变量序列的两种收敛性，贝努里大数定律、辛钦大数定律，中心极限定理。
（6）抽样分布
数理统计基本思想、总体、样本、统计量，三大抽样分布，充分统计量。
（7）估计理论
矩法、极大似然估计，估计量的优良性标准，区间估计，最小方差无偏估计，贝叶斯估计。
（8）假设检验
参数假设检验，正态总体参数的假设检验，分布拟合检验。
（9）方差分析与回归分析
方差分析、线性回归模型、最小二乘法估计、预测与控制，线性模型的假设检验。
2．研讨的教学内容
（1）趣味概率问题
运气问题、运动员的情绪问题、计划生育问题、求职问题；
（2）应用统计
保险方案设计、质量管理、抽样检验、可靠性估计。
六、学时分配表
七、主要参考书
1．峁诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计，高等教育出版社，2004。
2．陈希孺，概率论与数理统计，科学出版社，2002。
3．李贤平，概率论与数理统计，复旦大学出版社，2003。
4．何书元，概率引论，高等教育出版社，2011。
八、考核方式（包括作业、测验、考试等及其所占比例）
考试
九、说明(包括：与相关课程的关系、对自学内容的指导意见、其他专业运用此大纲的意见等。
)
1. 本课程是数学与应用数学，信息与计算科学专业的基础课，先选修课程为数学分析、高等代数。
2. 教师可根据教学实际情况选讲或不讲非基本教学内容，讲授次序与学时分配可根据实际情况灵活掌握
3. 注意与随机性数学其它分支的相互渗透与结合，为学生学习后读课程做准备，教学中应注重实际问题的具体数值解决。
制定者：李金玉
审定者：周圣武
批准者：江龙。