极坐标系公开课

极坐标系公开课精品PPT课件

（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体育馆
从这向北走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
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人教A版高中数学选修4-4极坐标系名师公开课市级获奖课件(29张)

，π ).
π π 解 (1)∵x＝ρcos θ ＝2cos 6 ＝ 3，y＝ρsin θ ＝2sin 6 π ＝1.∴点的极坐标2，化为直角坐标为( 3，1). 6 π π (2)∵x＝ρcos θ ＝3cos 2 ＝0，y＝ρsin θ ＝3sin 2 ＝3. π ∴点的极坐标3，化为直角坐标为(0，3). 2 (3)∵x＝ρcos θ ＝π cos π ＝－π ，y＝ρsin θ ＝π sin π ＝0.∴点的极坐标(π ，π )化为直角坐标为(－π ，0).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 表示为(
点 P 的直角坐标为( 2，－ 2)，那么它的极坐标可 )
3π B.2， 4 7π D.2， 4
2
π A.2， 4 5π C.2， 4

2
－ 2 解析 ∵ρ＝（－ 2）＋（ 2）＝2，tan θ＝＝ 2 7π 7π －1，点 P 在第四象限，θ＝ .∴极坐标为2， . 4 4
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自
极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个
角度单位(通常取弧度)及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ，这样就建立了一个极坐标系. (2) 极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) . 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ可取任意实数 .
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选修4-4极坐标市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件

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（一）直线极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 射线极坐标
方程。
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为方程。
4
直线极坐标
或 5
4
4
10/18
结论：直线极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。＝ ( R)表示极角为的一条直线。
11/18
（一）直线坐标方程
O
X
叫做点M极角,
有序数对（,）就叫做M极坐标。
3/18
二.极坐标系下点与极坐标对应情况
1.给定(,),就能够在极坐标平面内确定唯一一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
没有数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有没有数个。
4/18
假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内点和极坐标就能够一一对应了.
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42
求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线
sin(
)
2 化为直角坐标方
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－ 2－1 ＝
2
2
2
16/18
练习：4 6、确定极坐标方程 4 sin( )与
3
3 cos sin 8 0所表示的曲线
及位置关系。
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高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．

极坐标系课件

x
x=ρcos , y=ρsin
互化公式的三个前提条件： (限定ρ≥0,0≤θ＜2π)
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
数学运用
例1、把下列点的极坐标化成直角坐标：
（1）M（8，2 ）（2）（6，7 ）
3
4
练习：已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
D（0，-2）， E（-3，-3）总结：点的直角坐标化成极坐标的步骤，极角是如何确定的？
数学运用
例3 已知两点A(2,π/3),B(3,π/2)，求AB两
点间的距离.
B
A
o
x
A (3, )
6
B (2, ) 2
C (1, )
2
D ( 3 , ) E (2, 3 )
24
4
数学运用
例2. 把下列点的直角坐标化成极坐标：
(1)P( 6, 2) （2）Q( 6, 2);
(3)R( 2, 2) (限定ρ≥0,0≤θ＜2π)
练习2: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A（3,- 3），B（1， 3 ）, C（5，0），
极坐标系(2)
问题情境
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1: 极坐标系是怎样定义的?
问题2: 极坐标系与直角坐标系有何异同?
问题3: 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3)，
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位。

第一讲二、极坐标系 (1.极坐标系的概念)(优秀经典公开课比赛教案)

极坐标系的概念学科：数学年级：高二班级【学习目标】知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 【学习重难点】重点：理解极坐标的意义难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置【预习指导】情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处.（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．【合作探究】从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系.（其中O称为极点，射线OX称为极轴.）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标.特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ.M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或)(z k ∈4、数学应用例1: 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A （4，0）B （2 ）C （）D （）E （）F （）G （）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角.例2: 在极坐标系中，（1）已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；（2）已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置.例3: 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标.（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；（2） P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；（3） P 是点Q 关于极轴的对称点.【巩固练习】【课堂小结】本节课学习了以下内容：1．2．3．【当堂检测】1、在极坐标系里描出下列各点A （3，0） B （6，2π）C （3，2π）D （5，34π）E （3，65π）F （4，π）G （6，35π）2、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积.（O 为极点）3、在极坐标系中,与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标是 ( ))6,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A4、在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标.【教学反思】。

中学数学公开课优质课件精选曲线的极坐标方程

例如，对极坐标方程 =，点M（ , ）满足方程，
44
但M
也可以表示为（
4
，
4
+2）或（
4
，
4
2）等
多种形式，后者都不满足方程.
二、曲线的极坐标方程的表示： 1、一般情况下：F（, ) 0.
2、也可以是： ( ). 即为的一个函数.
三、曲线的极坐标方程的简单的对称性质：
1、若( )=(- ),则图形关于极轴对称； 2、若( )=( - ),则图形关于射线 =
l
解：在直线l上任取一点M (, )
在直角三角形OMA中，可得
A
cos( ) d, 即 d .
cos( )
d
M (,)
O
x
这就是直线l的极坐标方程.
注意：1、直线的极坐标方程形式比普通方程复杂，因此只在特殊情况下才用.
注意：2、在此例中，当ɑ=0时，l垂直于极轴，此时直
线L的极坐标方程变为 cos d
M
用表示从OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点
M的极角，有序数对（，）
就叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
2
2
解：描点作图.适当选取的某些值，按方程计算相应的值.列表：
0
2346
6432
0 1 2 32 3 21 0
作出相应各点，光滑地连成曲线.是以OD为直径的圆.
F
G
E

自控理论4-2极坐标图市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件

17) )
令 Im[G( jw )] 0 得 w1 0, w2 17 与实轴交点：Re[G( jw1 )] 100, Re[G( jw2 )] 8
令 Re[G( jw )] 0 得 w 1.2
与虚轴交点：
Im[G( jw )] w1.2 56.8
w 17 -8
Im
w=∞ w1.2 -j56.8
令 Re G(jw )H (jw ) 0 求得w代入Im G(jw )H (jw )中，即得与虚轴的交点
再取几个w点计算A(w )和j (w )，即可得
Nyquist图的大致形状。
第15页
例绘制开环系统极坐标图。
G(s)
1000
(s 1)(s 2)(s 5)
解此系统 ν= 0，n - m = 3, G(j 0)=100∠0 0 ； G(j∞)=0∠(n-m)(-900)= 0∠-270 0
wn
wr
第5页
Im
振荡步骤 G( jw )
G(s)
w
2 n
s2
2wn s
w
2 n
A: w r w n
1 2 2
1
B:
A(w n )
1
2
M r 2 1 2
j (w n ) 90o
0
1
Re
A
B
第6页
7. 二阶微分步骤
G( jw )
(1
w
2T
2
)2
(2wT
)2
tg
1
1
2wT w 2T
第18页
G( jw )H ( jw )
10
jw(1 j0.2w )(1 j0.05w )
中频段: