初中数学竞赛模拟试题(1)概要
初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)
初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）第一套试题1. 某数与它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.2. 有一个矩形，长是宽的3倍，如果长再加上宽再加上1的和等于50，求矩形的长和宽各是多少？解：设矩形的宽为x，则长为3x，根据题意可得方程 3x + x + 1 = 50，化简得 4x + 1 = 50，解得 x = 12，所以长为3 * 12 = 36，宽为12.3. 某个数的三次方减去它自身等于608，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x^3 - x = 608，化简得 x^3 - x - 608 = 0，因此需求解该方程的解x.4. 甲数和乙数之和是300，甲数比乙数大30，求甲数和乙数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 x + y = 300，x - y = 30，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.5. 家长购买某品牌的饮料，每瓶售价为5元，如果购买10瓶，优惠50%，那么需要支付的价格是多少？解：购买10瓶优惠50%，相当于购买5瓶的价格，所以需要支付 5 * 10 * (1 - 50%) = 25元.第二套试题1. 学校图书馆购买300本新书，若图书馆中已有书籍500本，现将这些书按每排放10本的方式摆放，共需要多少排？解：新书300本加上原有书籍500本，共计800本书，每排放10本，所以需要 800 / 10 = 80排.2. 小明每天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，求他一天中运动的总时长是多少分钟？解：小明一天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，总时长为 30 + 25 + 40 = 95分钟.3. 甲、乙两人开始一起钓鱼，甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，如果他们一起钓了45分钟，那么他们一共钓到了多少条鱼？解：甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，他们一起钓了45分钟，所以甲和乙一共钓到了 2 * 45 + 1 * 45 = 135 条鱼.4. 某商品原价100元，现在打8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这个商品的售价是多少？解：原价100元，打8折后为 100 * (1 - 80%) = 80元，再降到原价的85%为 80 * 85% = 68元.5. 某人的年收入为12000元，每月生活费占月收入的1/5，那么这个人每月的生活费用是多少元？解：年收入12000元，月收入为 12000 / 12 = 1000元，生活费占收入的1/5，所以生活费用为 1000 * 1/5 = 200元.第三套试题1. 甲、乙两个人合作修一个房子，甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，问他们一起修需要多少天？解：甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8天.2. 甲购买一本书花费了原价的3/4，折后价格为60元，问这本书的原价是多少？解：折后价格为60元，花费原价的3/4，所以原价为 60 / (3/4) = 80元.3. 甲、乙两人比赛，甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，问谁的平均速度更快？解：甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒，平均速度为 (60 + 50 + 40) / 3 = 50 秒/轮；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，平均速度为 (55 + 45 + 35) / 3 = 45 秒/轮；所以甲的平均速度更快.4. 一只小狗每小时能跑5公里，一只小猫每小时能跑8公里，如果它们从同一地点同时出发并分别向东和西跑，4小时后它们相距了多少公里？解：小狗每小时能跑5公里，4小时后跑了5 * 4 = 20公里，小猫每小时能跑8公里，4小时后跑了8 * 4 = 32公里，所以它们相距了 32 -20 = 12 公里.5. 三个连续的偶数相加的和是60，求这三个数分别是多少？解：设第一个偶数为x，那么第二个偶数为x + 2，第三个偶数为x+ 4，根据题意可得方程 x + (x + 2) + (x + 4) = 60，求解该方程可得x及其对应的三个连续偶数.第四套试题1. 一个数的2倍加上5等于13，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 2x + 5 = 13，解得 x = 4.2. 甲乙两数相差22，乙数的2倍与甲数的3倍之和等于70，求甲、乙两数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 y - x = 22，2y + 3x= 70，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.3. 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶，行驶了1小时20分钟后停下来休息，求这段时间内汽车行驶的路程？解：汽车以每小时80千米的速度行驶，1小时20分钟共1.33 小时，所以汽车行驶的路程为 80 * 1.33 = 106.4 千米.4. 甲、乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/4 + 1/6) = 2.4小时.5. 一个数加上它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.第五套试题1. 一条宽10米的路，两边分别种植了向阳向每排7棵树或9棵树，每棵树之间距离相等，而且与路两边相邻树之间距离也相等，问道路中间最宽的地方有多宽？解：分别种植7棵树和9棵树，每棵树之间距离相等，所以道路中间最宽的地方为两排树之间的距离.2. 一个数与4的乘积减去2等于18，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 4x - 2 = 18，解得 x = 5.3. 甲、乙、丙三人合作种田，甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，问他们三个人一起种地需要多少天？解：甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，他们一起种地需要的时间为 1/(1/10 + 1/12 + 1/15) =4.8天.4. 某人共有100元，买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱还能买另一本原价为80元的书吗？解：100元买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱为 100 * (1 - 3/5) = 40元，剩下的钱不足以购买另一本80元的书.5. 一团面粉重800克，其中水分为15%，求这团面粉中水分的重量是多少克？解：面粉重800克，其中水分为15%，所以水分的重量为800 * 15% = 120克.第六套试题1. 一个数与它的五分之一之和的和是40，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/5)x + x = 40，化简得7/5x = 40，解得 x = 28.57.2. 甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，如果他们一起完成这项工作需要3小时，求乙单独完成这项工作需要多少时间？解：甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，设甲单独完成需要的时间为x，乙单独完成需要的时间为y，根据题意可得方程 2x + 5x = 3，解得 y = 7.5.3. 有两个相交的圆，圆心之间的距离为8，两圆的半径分别为5和3，求两圆相交的弦的长度是多少？解：两个圆的半径分别为5和3，圆心之间的距离为8，利用勾股定理可以求得两圆相交的弦的长度.4. 甲乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/10 + 1/15) = 6小时.5. 甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，这三个人一共交易了多少元？解：甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，所以一共交易了20 + 30 + 10 = 60元.第七套试题1. 某数比它的2/3小12，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x - (2/3)x = 12，化简得 1/3x = 12，解得 x = 36.2. 甲、乙两个人一起修一条路，甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，也有可能甲的速度是乙的倍数，问他们一起修需要多少小时？解：甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8小时.3. 某品牌的衣服原价为200元，现在打折8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这件衣服的售价是多少？解：原价200元，打8折后为 200 * (1 - 80%) = 160元，再降到原价的85%为 160 * 85% = 136元.4. 甲、乙两个人一起做工，甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，问他们一起做一份工作需要多少时间？解：甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，他们一起做一份工作需要的时间为 1/(1/3 + 1/4) = 12/7小时.5. 某人的年收入为12000元，每月花销占收入的1/4，那么这个人每月的花销是多少元？解：年收入12000元，。
九年级数学竞赛模拟试题(1)附答案
九年级数学竞赛模拟试题（1）一、选择题（每小题4分，共七道题）1、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A 、42条 B 、54条 C 、66条 D 、78条2、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ， 若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）A 、30° B、45° C、60° D、75°3、设方程()()0=---x b x a x 的两根是c 、d ，则方程()()0=+--x d x c x 的根是（ ） A 、a ，b B 、a -，b - C 、c ，d D 、c -，d -4、若不等式a x x ≤-+-3312有解，则实数a 最小值是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、65、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ）A 、18B 、24C 、30D 、36 6、不定方程5222=-y x 的正整数解()y x ,的组数是（ ）A 、0组B 、2组C 、4组D 、无穷多组二、填空题（每小题7分，共四道题）1、二次函数22+-=ax x y 的图像关于1=x 对称，则y 的最小值是 .2、已知△ABC 中，AB=39；BC=6；CA=3.点M 是BC 中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是 .3、一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手，每位参赛者与其110-n 个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。
比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n 的所有可能值是 . 三、解答题1、已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()021322=+-+a x a x 的两个实数根，使得()()80332121-=--x x x x 成立，求其实数a 的可能值。
全国初中数学 联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算432241242++=（ ） （A 21- （B ）1 （C 2 （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ACB ∠的平分线交圆O 于点D ，若3CD =，则AB=（ ） （A ）2 （B 6 （C ）22（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ） （A 357 （B 5514 （C 9528 （D 115286.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)
初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。
当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。
则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初中数学竞赛模拟试题
初中数学竞赛模拟试题文／安振平苟春鹏第一试（共70分）一、选择题（每小题7分，共42分）1.ａ、ｂ、ｃ、ｄ都是实数．若｜ａ＋ｂ｜＝4，｜ｃ＋ｄ｜＝2，且｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），则ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值是（）．Ａ．6 Ｂ．2 Ｃ．－2 Ｄ．－62．若实数ｘ、ｙ满足ｘ２＋ｙ２－ｘｙ－ｙ＋ｘ＜0，则有（）．Ａ．ｘ２＋ｙ２＜1 Ｂ．ｘ２＋ｙ２＝1Ｃ．ｘ２＋ｙ２＞1 Ｄ．ｘ２＋ｙ２≥13．如图1，ＡＢＣＤＥ是正五边形，ＡＰ、ＡＱ和ＡＲ是由Ａ向ＣＤ、ＣＢ和ＤＥ（或延长线）所引的垂线．设Ｏ是正五边形的中心，ＯＰ＝1，则ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ等于（）．图1Ａ．3 Ｂ．1＋Ｃ．4 Ｄ．2＋4．已知△ＡＢＣ的两边长分别为2和4，且有一个内角等于30°，则这个三角形是（）．Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．直角三角形或钝角三角形5.正三角形ＡＢＣ的高等于⊙Ｏ的半径，⊙Ｏ在ＡＢ上滚动，切点为Ｔ，⊙Ｏ交ＡＣ、ＢＣ于Ｍ、Ｎ则（）．图1Ａ．在0°～30°变化Ｂ．在30°～60°变化Ｃ．在60°～90°变化Ｄ．保持60°不变6．已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ２＋ａｂ＋ａｃ＜0，则关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0（）． Ａ．有两个不同的实根Ｂ．有两个相等的实根Ｃ．无实数根Ｄ．以上都不对二、填空题（每小题7分，共28分）1．设ｘ、ｙ、ｚ为3个非零实数，则（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘｙ／｜ｘｙ｜）＋（｜ｙｚ｜／ｙｚ）＋（ｚｘ／｜ｚｘ｜）＋（｜ｘｙｚ｜／ｘｙｚ）＝_______．2．折叠矩形纸片ＡＢＣＤ，先折出折痕（对角线）ＢＤ，再折叠使ＡＤ边与对角线ＢＤ重合，得折痕ＤＧ（图3）．若ＡＢ＝2，ＢＣ＝1，则ＡＧ＝_________．图33．某种商品，当出售价格是15元时卖出500个，价格每上涨1元，卖出的个数就要减少20个，要使售货金额取得最大值，价格应定为__________元．4．在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝75°，Ｐ点是ＢＣ边上的一点，且ＰＣ＝2ＢＰ，∠ＡＰＣ＝60°，则∠ＡＢＣ＝_________．第二试（共70分）一、（本题满分20分）如，ＯＭ是⊙Ｏ的半径，ＡＢ切⊙Ｏ于Ｍ，连结ＯＡ、ＯＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｄ两点，且ＡＣ＝ＢＤ，求证：ＡＭ＝ＢＭ．图4二、（本题满分25分）解方程组＝10，①＝10．② 三、（本题满分25分）设ｘ、ｙ、ｚ为任意实数，求证：≥．参考答案第一试一、选择题1．选Ｃ．由｜ａ＋ｂ｜＝4，得ａ＋ｂ＝±4，由｜ｃ＋ｄ｜＝2，得ｃ＋ｄ＝±2．∴｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），即｜（ａ＋ｂ）－（ｃ＋ｄ）｜＝（ｃ＋ｄ）－（ａ＋ｂ），∴ｃ＋ｄ＞ａ＋ｂ，则ｃ＋ｄ必等于±2，ａ＋ｂ必等于－4，∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ等于－2或－6．故ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值为－2．2．选Ａ．对已知不等式两边乘以2，得0＞2ｘ２＋2ｙ２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋［ｘ２＋ｙ２＋1２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ］＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋（ｘ－ｙ＋1）２，即ｘ２＋ｙ２－1＜－（ｘ－ｙ＋1）２≤0．∴ｘ２＋ｙ２＜1．3．选Ｃ．∵Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ正五边形ＡＢＣＤＥ＝5Ｓ△ＣＯＤ，即（1／2）ＣＤ²ＡＰ＋（1／2）ＢＣ²ＡＱ＋（1／2）ＥＤ²ＡＲ＝5²（1／2）ＣＤ²ＯＰ．由ＣＤ＝ＢＣ＝ＤＥ，有ＡＰ＋ＡＱ＋ＡＲ＝5ＯＰ．又ＯＰ＝1，ＡＰ＝ＡＯ＋ＯＰ，∴ＡＯ＋1＋ＡＲ＋ＡＱ＝5，即ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ＝4．4．选Ｄ．不妨设ＡＣ＝2，ＢＣ＝4，此题没有明确哪一个内角等于30°，因此三个内角都有可能等于30°，所以分以下三种情况：（第4题）①如图（1），当∠Ａ＝30°时，由ＢＣ＞ＡＣ得∠Ｂ＜∠Ａ，∴∠Ｂ＜30°，而且∠Ｃ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形；②如图（2），当∠Ｂ＝30°时，过点Ｃ作ＣＡ⊥ＡＢ，垂足为Ａ′，在Ｒｔ△Ａ′ＢＣ中，∵∠Ｂ＝30°，∴ＢＣ＝2Ａ′Ｃ，∵ＢＣ＝4，ＡＣ＝2，即ＢＣ＝2ＡＣ，∴ＡＣ＝Ａ′Ｃ，即Ａ′与Ａ重合．故∠Ａ＝90°，∴△ＡＢＣ是直角三角形．③如图（3），当∠Ｃ＝30°时，∵ＡＢ＞ＢＣ－ＡＣ，ＢＣ－ＡＣ＝2＝ＡＣ，∴ＡＢ＞ＡＣ，∴∠Ｂ＜∠Ｃ，于是有∠Ｂ＜30°，∴∠Ａ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形． 综合①、②、③得这个三角形是直角三角形或钝角三角形．5．选Ｄ．延长ＢＣ交⊙Ｏ于Ｇ，过Ｃ、Ｏ作⊙Ｏ的直径ＥＦ交⊙Ｏ于Ｅ、Ｆ，设ＣＡ交⊙Ｏ于M，连ＭＧ交ＥＦ于Ｐ（参看右图）．（第5题）由已知得ＥＦ∥ＡＢ，∠ＥＣＭ＝∠Ａ＝60°，∠ＥＣＧ＝∠Ｂ＝60°，∴∠ＥＣＭ＝∠ＥＣＧ＝60°．由于ＥＦ是⊙Ｏ的直径，由轴对称性质得ＥＧ＝ＥＭ，ＧＭ⊥ＣＥ．从而∠ＢＧＭ＝30°，∴＝60°．6．选Ａ．Δ＝ｂ２－4ａｃ，当ｃ＝0时，Δ＞0显然成立．下设ｃ≠0，将已知变形为ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）＜0，即说明ａ与ａ＋ｂ＋ｃ异号．构造函数ｆ（ｘ）＝ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ．∵ｆ（0）＝ａ，ｆ（1）＝ａ＋ｂ＋ｃ，∴ｆ（ｘ）的图象（抛物线）与ｘ轴有两个交点，故判别式Δ＝ｂ２－4ａｃ＞0．综上知，ｂ２＞4ａｃ．二、填空题1．填－1或7．设所求代数式的值为Ｓ，则Ｓ＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｘ｜／ｘ）²（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＝（（ｘ／｜ｘ｜）＋1）（（ｙ／｜ｙ｜）＋1）（（ｚ／｜ｚ｜）＋1）－1 （∵（ａ／｜ａ｜）＝｜ａ｜／ａ）．因为对任意实数ａ≠0，有ａ／｜ａ｜1 （ａ＞0），－1 （ａ＜0），所以当ｘ、ｙ、ｚ中至少有一个为负数时，Ｓ的值是－1；当ｘ、ｙ、ｚ均为正数时，Ｓ的值是7． 2．填（＋1）／2．（第2题）如图，设折叠后点Ａ落在ＢＤ上Ａ′点的位置，并设ＡＧ＝ｘ，则Ａ′Ｇ＝ｘ，ＤＡ′＝ＤＡ＝ＢＣ＝1，ＧＢ＝2－ｘ，且ＧＡ′⊥ＢＤ．∵ＢＤ＝＝，∴Ａ′Ｂ＝－1．在Ｒｔ△ＢＧＡ′中，Ａ′Ｇ２＋Ａ′Ｂ２＝ＧＢ２．解得ＡＧ＝ｘ＝（＋1）／2．3．填8000．设每个提价ｘ元，总金额为ｙ，则有ｙ＝500（15＋ｘ）－20ｘ（15＋ｘ）＝－20ｘ２＋200ｘ＋7500＝－20（ｘ－5）２＋8000．显然当ｘ＝5时，ｙ有最大值8000．因此要使销售金额最大，售出价格应定为15＋5＝20元，此时最大金额为8000元．4．填45°．（第4题）如图，过点Ｃ作ＣＱ⊥ＡＰ，连结ＢＱ．由∠ＡＰＣ＝60°，∠ＡＣＢ＝75°，得∠ＣＡＱ＝45°．∵ＡＱ＝ＣＱ，又∠ＰＣＱ＝30°，∴ＰＱ＝（1／2）ＰＣ＝ＢＰ．则∠ＱＢＰ＝∠ＰＱＢ＝∠ＰＣＱ＝30°．∴ＢＱ＝ＡＱ＝ＣＱ，∠ＡＢＱ＝∠ＢＡＱ＝15°，则∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＱ＋∠ＱＢＰ＝15°＋30°＝45°．第二试一、如图，设ＡＭ＝ｘ，ＢＭ＝ｙ，ＯＭ＝ｒ，延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｅ，延长ＢＯ交⊙Ｏ于Ｆ．由切割线定理，得ＡＭ２＝ＡＣ²ＡＥ，ＢＭ２＝ＢＤ²ＢＦ，即（第一题）ｘ２＝ＡＣ（ＡＯ＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ｒ），①ｙ２＝ＢＤ（ＢＯ＋ＯＦ）＝ＢＤ（＋ＯＦ２）＝ＢＤ（＋ｒ）．② ∵ＡＣ＝ＢＤ，∴由①÷②，得ｘ２／ｙ２＝（＋ｒ）／（＋ｒ），即ｘ２－ｙ２＝（ｙ２－ｘ２）ｒ．两边平方，整理得ｘ２＋2ｒ２＋ｙ２＝2．将上式两边平方，整理得（ｘ２－ｙ２）２＝0．∴ｘ２－ｙ２＝0，ｘ＝ｙ，故ＡＭ＝ＢＭ．二、由①得－5＝－＋5，分子有理化，得16（ｘ－1）／（＋5）＝－9（ｙ－1）／（＋5）．③对①－②的变形式－＝－，作分子有理化，得（ｘ－1）／（＋）＝（ｙ－1）／（＋）．④ 由③³④，得16（ｘ－1）２／（＋5）（＋）＝－9（ｙ－1）２／（＋5）（＋）．⑤注意到⑤的左端非负，而右端非正，故有ｘ－1＝0，且ｙ－1＝0，∴ｘ＝ｙ＝1．三、在平面上建立坐标系ｘＯｙ，并取三个点Ａ（ｘ，0），Ｂ（－ｙ／2，－（／2）ｙ），Ｃ（－ｚ／2，（／2）ｚ），则｜ＡＢ｜＝＝，｜ＡＣ｜＝＝，｜ＢＣ｜＝＝．∵｜ＡＢ｜＋｜ＡＣ｜≥｜ＢＣ｜，∴≥．。
专题01 数轴中的数形结合初中数学素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题01 数轴中的数形结合一、利用数轴比较数的大小【学霸笔记】1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.【典例】已知a、b在数轴上的位置如图所示，试比较的大小，并用“＜”连接.【解答】由题意，在数轴上分别画出所对应的点，如图所示：由数轴可得.PS：此题也可以通过特殊值的进行比较大小.【巩固】已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①ab+ac＞0；②a+b﹣c＞0；③a|a|+b|b|+c|c|=1；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、数轴上的距离问题【学霸笔记】1.数轴上任意两点间的距离可以用绝对值表示，即两点所表示的数的差的绝对值，如图所示，A、B间的距离.2.数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图所示：若，则，反之亦成立.【典例】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d﹣2a＝9，那么数轴的原点应是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【解答】B【解析】根据题意，知d﹣a＝7，即d＝a+7，将d＝a+7代入d﹣2a＝9，得：a+7﹣2a＝9，解得：a＝﹣2，∴A点表示的数是﹣2，则B点表示原点．故选：B．【巩固】在数轴上，若N点与原点的距离是N点与30所对应点之间的4倍，则N点表示的数是.三、数轴上的动点问题【典例】如图所示，A是数轴上表示﹣30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度都是3个单位长度/秒，设三个点运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？（2）当t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点M，线段OC的中点为N，求2PM﹣PN＝2时t 的值．【解答】见解析【解析】（1）A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动，当点A运动到点C左侧时，∵线段AC＝6，∴6+6t＝30+18+3t，解得：t＝14；当点A运动到点C右侧时，则6t﹣6＝30+18+3t，解得：t＝18；故当t为14或18秒时，线段AC＝6；（2）当A ，B ，C 三个点在数轴上同时向数轴正方向运动t 秒时， A ，B ，C 三个点在数轴上表示的数分别为：6t ﹣30，10+3t ，18+3t ， ∵P ，M ，N 分别为OA ，OB ，OC 的中点， ∴P ，M ，N 三个点在数轴上表示的数分别为：6t−302，10+3t 2，18+3t 2，∴M 在N 左边．①若P 在M ，N 左边，则PM =10+3t 2−6t−302=20﹣1.5t ，PN =18+3t 2−6t−302=24﹣1.5t ．∵2PM ﹣PN ＝2，∴2（20﹣1.5t ）﹣（24﹣1.5t ）＝2， ∴t =283；②若P 在M ，N 之间，则PM =6t−302−10+3t 2=−20+1.5t ，PN =18+3t 2−6t−302=24﹣1.5t ．∵2PM ﹣PN ＝2，∴2（﹣20+1.5t ）﹣（24﹣1.5t ）＝2， ∴t =443；③若P 在M ，N 右边，则PM =6t−302−10+3t 2=−20+1.5t ，PN =6t−302−18+3t 2=−24+1.5t ．∵2PM ﹣PN ＝2，∴2（﹣20+1.5t ）﹣（﹣24+1.5t ）＝2， ∴t ＝12，但是此时PM ＝﹣20+1.5t ＜0，所以此种情况不成立， ∴t =283或443． 【巩固】如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足（a ﹣10）2+|b +6|＝0．动点P 从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）写出数轴上点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ，点P 表示的数是 （用含t 的式子表示）；（2）当点P 在点B 的左侧运动时，M 、N 分别是PA 、PB 的中点，求PM ﹣PN 的值；（3）动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动多少秒时P 、Q 两点相距4个单位长度？巩固练习1．如图，在数轴上有六个点，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）A．﹣1B．0C．1D．22．甲、乙两队举行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动0.5米，相持一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动0.9米，若规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，那么现在队赢了．3．张老师在看兰州拉面制作中受到了启发，设计了一个数学问题：如图5，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后使点B到点A重合（往左对折），再沿两端均匀地拉成1个单位长度的线段，这一段称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的0变成−14，12变成34，等）那么在线段AB上（除A、B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和为．4．已知数轴上的4个点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，且b比d小7，c比a大5，b比c小3，已知d＝5，请画出数轴，并标出点A、B、C、D所在的位置，并求出（a﹣b）﹣（c﹣d）的值．5．如图，数轴上有两点A，B，点A表示的数为2，点B在点A的左侧，且AB＝6．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：数轴上点B表示的数为，点P表示的数为（用含t的式子表示）；（2）经过多长时间，P、B两点之间相距8个单位长度？（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点P，R同时出发，经过多长时间，P，R之间的距离为2个单位长度？6．已知，直线l上线段AB＝8、线段CD＝4（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）（1）若线段BC＝2，则线段AD＝；（2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；（3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间．7．思考下列问题并在横线上填上答案．（1）数轴上表示﹣3的点与表示4的点相距个单位．（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是．（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是．（4）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（5）数轴上点A表示8，点B表示﹣8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过秒三个点聚于一点，这一点表示的数是，点C在整个运动过程中，移动了个单位．8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且（a+6）2+|b﹣8|＝0．（1）求线段AB的长；x+1的解，在线段AB上是否存在点D，使得AD+BD=（2）点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程x﹣1=677CD？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；8（3）在（2）的条件下，线段AD和BC分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，M为线段AD的中点，N为线段BC的中点，若MN＝12，求t的值．9．电子跳蚤在数轴上的A点出发，第一步向左跳一个单位到A[1]，第二步由A[1]向右跳2个单位到A[2]，第三步由A[2]向左跳3个单位到A[3]，第四步由A[3]向右跳4个单位A[4]…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点A[100]．（1）如图，当A在原点时求A[100]在数轴上的位置．（2）当A[100]的坐标为19.94时，求A在数轴上的位置．10．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．专题01 数轴中的数形结合一、利用数轴比较数的大小【学霸笔记】1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.【典例】已知a、b在数轴上的位置如图所示，试比较的大小，并用“＜”连接.【解答】由题意，在数轴上分别画出所对应的点，如图所示：由数轴可得.PS：此题也可以通过特殊值的进行比较大小.【巩固】已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①ab+ac＞0；②a+b﹣c＞0；③a|a|+b|b|+c|c|=1；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】C【解析】由题意得b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|，|b|＞|a|∴①ab+ac＞0；故原结论正确；②a+b﹣c＜0；故原结论错误；③a|a|+b|b|+c|c|=1﹣1+1＝1，故原结论正确；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝a﹣b﹣c﹣b﹣a+c＝﹣2b；故原结论正确；故正确结论有①③④，共3个．故选：C．二、数轴上的距离问题【学霸笔记】1.数轴上任意两点间的距离可以用绝对值表示，即两点所表示的数的差的绝对值，如图所示，A、B间的距离.2.数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图所示：若，则，反之亦成立.【典例】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d﹣2a＝9，那么数轴的原点应是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【解答】B【解析】根据题意，知d﹣a＝7，即d＝a+7，将d＝a+7代入d﹣2a＝9，得：a+7﹣2a＝9，解得：a＝﹣2，∴A点表示的数是﹣2，则B点表示原点．故选：B．【巩固】在数轴上，若N点与原点的距离是N点与30所对应点之间的4倍，则N点表示的数是.【解答】40或24【解析】设N点表示的数为x，，，即N点表示的数是40或24.三、数轴上的动点问题【典例】如图所示，A是数轴上表示﹣30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度都是3个单位长度/秒，设三个点运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？（2）当t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点M，线段OC的中点为N，求2PM ﹣PN＝2时t的值．【解答】见解析【解析】（1）A ，B ，C 三个点在数轴上同时向数轴正方向运动， 当点A 运动到点C 左侧时， ∵线段AC ＝6， ∴6+6t ＝30+18+3t ， 解得：t ＝14；当点A 运动到点C 右侧时， 则6t ﹣6＝30+18+3t ， 解得：t ＝18；故当t 为14或18秒时，线段AC ＝6；（2）当A ，B ，C 三个点在数轴上同时向数轴正方向运动t 秒时， A ，B ，C 三个点在数轴上表示的数分别为：6t ﹣30，10+3t ，18+3t ， ∵P ，M ，N 分别为OA ，OB ，OC 的中点， ∴P ，M ，N 三个点在数轴上表示的数分别为：6t−302，10+3t 2，18+3t 2，∴M 在N 左边．①若P 在M ，N 左边，则PM =10+3t 2−6t−302=20﹣1.5t ，PN =18+3t 2−6t−302=24﹣1.5t ．∵2PM ﹣PN ＝2，∴2（20﹣1.5t ）﹣（24﹣1.5t ）＝2， ∴t =283；②若P 在M ，N 之间，则PM =6t−302−10+3t 2=−20+1.5t ，PN =18+3t 2−6t−302=24﹣1.5t ．∵2PM ﹣PN ＝2，∴2（﹣20+1.5t ）﹣（24﹣1.5t ）＝2， ∴t =443；③若P 在M ，N 右边，则PM =6t−302−10+3t 2=−20+1.5t ，PN =6t−302−18+3t 2=−24+1.5t ．∵2PM ﹣PN ＝2，∴2（﹣20+1.5t ）﹣（﹣24+1.5t ）＝2， ∴t ＝12，但是此时PM ＝﹣20+1.5t ＜0，所以此种情况不成立， ∴t =283或443． 【巩固】如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足（a ﹣10）2+|b +6|＝0．动点P 从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点P表示的数是（用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值；（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？【解答】解：（1）∵（a﹣10）2+|b+6|＝0，∴a﹣10＝0，b+6＝0，∴a＝10，b＝﹣6，∴点A表示的数是10，点B表示的数是﹣6，点P表示的数是10﹣8t；故答案为：10，﹣6，10﹣8t；（2）∵点P在点B的左侧运动，M、N分别是PA、PB的中点，∴M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t，∴PM＝（10﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t，PN＝（2﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t﹣8，∴PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8；（3）∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴Q表示的数是﹣6﹣4t，又点P表示的数是10﹣8t；∵P、Q两点相距4个单位长度，∴|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4，∴4t﹣16＝4或4t﹣16＝﹣4，解得t＝5或t＝3，答：点P运动5秒或3秒时，P、Q两点相距4个单位长度．巩固练习1．如图，在数轴上有六个点，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【解答】解：由A 、F 两点所表示的数可知，AF ＝11+5＝16，∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，∴EF ＝16÷5＝3.2，∴E 点表示的数为：11﹣3.2＝7.8；点C 表示的数为：7.8﹣﹣3.2﹣3.2＝1.4；∴与点C 所表示的数最接近的整数是1．故选：C ．2．甲、乙两队举行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动0.5米，相持一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动0.9米，若规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，那么现在 队赢了．【解答】解：把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数＝﹣0.2+0.5﹣0.4+1.3+0.9＝2.1，即标志物向正方向移了2.1m ，而规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，所以甲获胜． 故答案为甲．3．张老师在看兰州拉面制作中受到了启发，设计了一个数学问题：如图5，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后使点B 到点A 重合（往左对折），再沿两端均匀地拉成1个单位长度的线段，这一段称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的0变成−14，12变成34，等）那么在线段AB 上（除A 、B ）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和为 ．【解答】解：∵第一次操作后，原线段AB 上的14，34，均变成12，∴第二次操作恰好被拉到与12重合的点所对应的数是14和34，∴恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和是：14+34=1．故答案为：1．4．已知数轴上的4个点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，且b比d小7，c比a 大5，b比c小3，已知d＝5，请画出数轴，并标出点A、B、C、D所在的位置，并求出（a ﹣b）﹣（c﹣d）的值．【解答】解：根据题意画出数轴，如图所示：则点A、B、C、D对应的数分别为a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1，d＝5，则（a﹣b）﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c+d＝﹣4+2﹣1+5＝2．5．如图，数轴上有两点A，B，点A表示的数为2，点B在点A的左侧，且AB＝6．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：数轴上点B表示的数为，点P表示的数为（用含t的式子表示）；（2）经过多长时间，P、B两点之间相距8个单位长度？（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点P，R同时出发，经过多长时间，P，R之间的距离为2个单位长度？【解答】解：（1）数轴上点B表示的数为2﹣6＝﹣4，点P表示的数为2+t（用含t的式子表示）；（2）依题意有2+t﹣（﹣4）＝8，解得t＝2．故经过2秒长时间，P、B两点之间相距8个单位长度；（3）①当点R追上P前，依题意有2+t﹣（﹣4+2t）＝2，解得t＝4；②当点R追上P后，依题意有﹣4+2t﹣（2+t）＝2，解得t＝8．故经过4秒或8秒长时间，P，R之间的距离为2个单位长度．故答案为：﹣4，2+t．6．已知，直线l上线段AB＝8、线段CD＝4（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）（1）若线段BC＝2，则线段AD＝；（2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；（3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间．【解答】解：（1）①当点C 在点B 的左侧时，∵AB ＝8，BC ＝2，CD ＝4，∴AC ＝6，∴AD ＝AC+CD ＝10，②当点C 在点B 的右侧时，∵AB ＝8，BC ＝2，CD ＝4，∴AD ＝AB+BC+CD ＝14，故线段AD ＝10或14；故答案为：10或14；（2）设BC ＝x ，则AD ＝AB+BC+CD ＝12+x ，∵点P 、Q 分别为AD 、BC 的中点，∴PD =12AD ＝6+12x ，CQ =12x ，∴PQ ＝PD ﹣CD ﹣CQ ＝6+12x ﹣4−12x ＝2； （3）线段CD 运动的时间为t ，则AM ＝2t ，BC ＝t ，∴BM ＝AB ﹣AM ＝8﹣2t ，或BM ＝AM ﹣AB ＝2t ﹣8，BD ＝BC+CD ＝t +4，∵点N 是线段BD 的中点，∴DN ＝BN =12BD =12t +2， ∵MN ＝2DN ，∴8﹣2t +12t +2＝2（12t +2）或（2t ﹣8）﹣（12t +2）＝2（12t +2）， 解得：t =125或t ＝28故线段CD 运动的时间为125或t ＝28s ．7．思考下列问题并在横线上填上答案．（1）数轴上表示﹣3的点与表示4的点相距 个单位．（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是 ．（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是．（4）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（5）数轴上点A表示8，点B表示﹣8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过秒三个点聚于一点，这一点表示的数是，点C在整个运动过程中，移动了个单位．【解答】解：（1）数轴上表示﹣3的点与表示4的点相距|﹣3﹣4|＝7个单位．（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是2+2﹣5＝﹣1．（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是2﹣3＝﹣1，或2+3＝5．（4）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a为5或1，b为﹣1或﹣3，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2．（5）设经过x秒，三个点聚于一点，由题意可得：0.5t+1.5t＝8﹣（﹣8），∴t＝8，经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位．故答案为：7；﹣1；﹣1或5；8，2；8，4，24．8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且（a+6）2+|b﹣8|＝0．（1）求线段AB的长；x+1的解，在线段AB上是否存在（2）点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程x﹣1=67CD？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明点D，使得AD+BD=78理由；（3）在（2）的条件下，线段AD和BC分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，M为线段AD的中点，N为线段BC的中点，若MN＝12，求t的值．【解答】解：（1）∵（a+6）2≥0，|b﹣8|≥0，又∵（a+6）2+|b﹣8|＝0∴（a+6）2＝0，|b﹣8|＝0∴a+6＝0，8﹣b＝0∴a＝﹣6，b＝8∴AB＝OA+OB＝6+8＝14．x+1（2）解方程x﹣1=67得：x＝14∴点C在数轴上所对应的数为14；CD，且点D在数轴上所对应的数为y，则：设在线段AB上存在点D，使得AD+BD=78AD＝y+6，BD＝8﹣y，CD＝14﹣y∴y+6+（8﹣y）=7（14﹣y）8解得：y＝﹣2CD，点D在数轴上所对应的数为﹣2．∴在线段AB上存在点D，使得AD+BD=78（3）由（2）得：A，D，B，C四点在数轴上所对应的数分别为：6，2，8，14.24．∴运动前M，N两点在数轴上所对应的数分别为﹣4，11则运动t秒后M，N两点在数轴上所对应的数分别为﹣4+6t，11+5t∵MN＝12∴①线段AD没有追上线段BC时有：（11+5t）﹣（﹣4+6t）＝12解得：t＝3②线段AD追上线段BC后有：（﹣4t+6）﹣（11+5t）＝12解得：t＝27∴综上所述：当t＝3秒或27秒时线段MN＝12．9．电子跳蚤在数轴上的A点出发，第一步向左跳一个单位到A[1]，第二步由A[1]向右跳2个单位到A[2]，第三步由A[2]向左跳3个单位到A[3]，第四步由A[3]向右跳4个单位A[4]…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点A[100]．（1）如图，当A在原点时求A[100]在数轴上的位置．（2）当A[100]的坐标为19.94时，求A在数轴上的位置．【解答】解：（1）由题意，可得A[100]在数轴上的位置为：0﹣1+2﹣3+4﹣…+100＝（2﹣1）+…+（100﹣99）＝50．即A[100]在数轴上表示的数是50；（2）设A在数轴上的位置为a，根据题意，得a﹣1+2﹣3+4﹣…+100＝19.94，a+（2﹣1）+…+（100﹣99）＝19.94，a+50＝19.94，a＝﹣30.06．即A在数轴上表示的数是﹣30.06．10．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵2×5＝10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4＝10，Q处于：1﹣2+3﹣4＝4﹣6＝﹣2；（2）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则n+1=20，2解得n＝39，∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+|﹣38|+39，＝1+2+3+ (39)=780，=(1+39)×392∴时间＝780÷2＝390秒（6.5分钟）；=20，②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则n2解得n＝40，∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+39+|﹣40|，＝1+2+3+ (40)=820，=(1+40)×402∴时间＝820÷2＝410秒（65分钟）．6。
初中七年级数学竞赛试题及参考答案1
七年级数学竞赛试题一．选择题（每小题4分，共32分） 1．x 是随意有理数，则2 的值( ).A ．大于零B ． 不大于零C ．小于零D ．不小于零 2．在－0.1428中用数字3交换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被交换的数字是（ ） A ．1 B ．4 C ．2 D ．83．如图，在数轴上1的对应点A 、B ， A 是线段的中点，则点C 所表示的数是( )A．2 B2 C1 D．14.桌上放着4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K 。
两人做嬉戏，嬉戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K ，则红方胜，否则蓝方胜。
则赢的时机大的一方是（ ）A ．红方B ．蓝方C ．两方时机一样D ．不知道 5．假如在正八边形硬纸板上剪下一个三角形（如图①中的阴影局部），那么图②，图③，图④中的阴影局部，均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到．要得到图②，图③，图④中的阴影局部，依次进展的变换不行行．．．的是（ ）Ａ．平移、对称、旋转 Ｂ．平移、旋转、对称 Ｃ．平移、旋转、旋转 Ｄ．旋转、对称、旋转6．计算：22221111(1)(1)(1)(1)2342007---⋅⋅⋅-等于（ ） A ．10042007 B ．10032007 C ．20082007D ．200620077．如图，三个天平的托盘中一样的物体质量相等。
图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）(3)(2)(1)A. 3个球B. 4个球C. 5个球D. 6个球8．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（ ） A ．15 B ．16 C ．18 D ．19 二．填空题（每题4分，共28分）x图①图②图③ 图④9．定义a*,若3*31，则x 的值是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛模拟试题(1)
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．方程1)
1(3
2
=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3
1
=AB AD ．若在边AC 上取一点E ，
使四边形DECB 的面积为
43，则EA
CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5
1
3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底 边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ）
（A ）等于4 （B ）等于5
（C ）等于6 （D ）不能确定 （第3题） 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。
设k 为整数，当直线
2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个
（A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分．
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分）
6．当x 分别等于
20051，20041，20031，20021，20011，2000
1
，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式
2
2
1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．
7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2
5
，则关于x 的不等式b ax +＜ 0的解为 ．
·
D
C
O
B
A
8．方程02
=++q px x 的两根都是非零整数， 且198=+q p ，则p ＝ ．
9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积 等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积
等于 ． （第9题）
10．设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的
一个，且++21x x …5-=+n x ，++2
221x x …192=+n x ，则++5251x x …5n x +的值是
．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．如图，凸五边形ABCDE 中，已知S △ABC ＝1，且EC ∥AB ，AD ∥BC ，BE ∥CD ， CA ∥DE ，DB ∥EA ．试求五边形ABCDE 的面积．
（第11题）
12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程
k x x kx x +=-++31
3
2的解，求 实数k 的取值范围．
13．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．
A
B
F
C
E
D
D
A B
C
E F
14．预计用1500元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．
（1）求x 、y 的关系式；
（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x 、y 的值．
参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题
6．6 7．8-<x 8．－202 9．116 10．－125 三、解答题
11．∵ BE ∥CD ，CA ∥DE ，DB ∥EA ，EC ∥AB ，AD ∥BC ，
∴ S △BCD ＝S △CDE ＝S △DEA ＝S △EAB ＝S △ACB ＝S △ACF ＝1． 设S △AEF ＝x ，则S △DEF ＝x -1，
又△AEF 的边AF 与△DEF 的边DF 上的高相等， 所以，
x
x
AF DE -=1，而△DEF ∽△ACF ，则有 x x x AF DF S S ACF DEF -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆1)1(2
22
． 整理解得 2
1
5-=
x ． 故S ABCDE ＝3S △ABC ＋S △AEF ＝
2
5
5+． 12．原方程可化为0)3(322
=+--k x x ，①
（1）当△＝0时，833-
=k ，4
3
21==x x 满足条件； （2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122
=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为
21，故原方程也只有一根2
1
=x ； （3）当方程①有异号实根时，02
3
21<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有
一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为2
3
=
x ，此时原方程也只有一个正实根。
综上所述，满足条件的k 的取值范围是8
33
-
=k 或4-=k 或3-≥k ． 13．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得
b x k =-，则OA ＝b k
-．
令0x =得y b =，则OA ＝b ．
222
1()21(32)214129
2124]212.
AOB b
S b k
k k
k k k
∆=
⨯-⨯-=⨯--+=⨯
-=⨯-+≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．
14．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，则原计划是
1500=+by ax ， ①
由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得
1529)1()10)(5.1(=++-+y b x a ．②
再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得
5.1563)1()5)(1(=++-+y b x a ， ③
由①、②、③得
⎩
⎨
⎧=-+=-+.5.685,
44105.1a y x a y x ④－⑤×2并化简，得
1862=+y x ．
（2）依题意，有205＜y x +2＜210及1862=+y x ，54＜y ＜3
255， 由y 是整数，得55=y ，从而得76=x ． 答：（1）x 、y 的关系1862=+y x ； （2）预计购买甲商品76个，乙商品55个．
④
⑤。