高等数学(微积分) 郑州大学网考资料及答案
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须与垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,； （2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,； （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→； （4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,； （6）()()2220,0,lim yx yx y x +→. 【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→xy y x . 【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→xy y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxyxyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim.（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()4220lim y x xy y x +=→000.lim 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '.【证明】 （一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xx x ∆∆=→∆0l i m不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=； （2）xy z ln =；（3）xy e z x sin =； （4）xyz arctan =；（5）()yxy z +=1； （6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x xz-=∂∂；x y x y z 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e xzx x cos sin +=∂∂； xy xe y z x cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； yx y x y xz'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切. 所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=； （2）42244y y x x z +-=； （3）xy z 2=； （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=. 【解】 （1）()y x xz32cos 2+=∂∂； ()y x y z 32cos 3+=∂∂；()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x xz-=∂∂； 3248y y x y z +-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yx y x y x z arctan arctan22-=. x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂； （2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z y x z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1.（2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223r z r z u --=∂∂ ④所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂.[]b bx be x T tab .sin 222-=∂∂-bx e b t ab sin 22--=. ② 所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】 （1）因为y xy x z 18+=∂∂，224yx x y z -=∂∂，所以 dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y x e xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+； 由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz y u =∂∂，xy zu=∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy y u ，y xy zuz ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zu dy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； yz y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值. （1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明： （1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在； （2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim000lim 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在.（2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ； （2）设()xyx z ln =，求xz∂∂，y z ∂∂； （3）设()xy y x yf x z ,222+=，求xz∂∂，y z ∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dx dz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】 （2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xy xy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xy ln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y +=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求xu∂∂，y u ∂∂. 6.求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2和22y z∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y xz'=∂∂，21f f x y z '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂；[]()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x xzy x '+'=∂∂+；32.sin f e f y y z y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f x xz ''+''=∂∂+3122.c o s()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++[][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s ()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得 ()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z∂∂，yz ∂∂，y x z ∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e x zz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e y z z --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④ 由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证： （1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂； 【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y y x f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y z y z y == （2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu. 【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u b u a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ....2222222 ()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1.【解】令()x y y x y x F arctan ln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数xz∂∂，y z ∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；y xz F y 12+-='；zxy x F z 122+-='.所以zxy x x yz z F F x z zx 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z .所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='.所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axy zaxy z ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dx dz yz x xy yz dx dy所以，由全导数公式得 dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F {}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切. 所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x zd F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz y u M ，()5||2,1,51==∂∂xy zuM . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=M4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y u M ，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z uM， 故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a du ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a d u6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y y u M ，()02||0,1,2==∂∂z xuM . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿l 方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==； 【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P（二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为 函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=； 【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=； 【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处， 因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ； 【解】（一）内部 解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆1323222=+z x ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为.23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}2023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须s 与n 垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,； （2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,； （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→； （4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()yx y x y x +-++→11lim220,0,； （6）()()2220,0,lim y x yx y x +→.【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→x y y x .【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→x y y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxy xyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim .（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim 220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()42200lim y x xy y x +=→000.l i m 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '. 【证明】 （一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xxx ∆∆=→∆0l i m 不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=； （2）xy z ln =； （3）xy e z x sin =； （4）xy z arctan=； （5）()yxy z +=1； （6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x x z -=∂∂；x y x yz 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e x z x x cos sin +=∂∂； xy xe yzx cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； y x y x y xz'⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切.所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=； （2）42244y y x x z +-=；（3）xy z 2=； （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=.【解】 （1）()y x x z 32cos 2+=∂∂； ()y x yz32cos 3+=∂∂； ()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz 32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x x z -=∂∂； 3248y y x yz+-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=.x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂； （2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z yx z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1. （2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223rz r z u --=∂∂ ④ 所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂. []b bx be x T t ab .sin 222-=∂∂-bx e b tab sin 22--=. ②所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】 （1）因为y xy x z 18+=∂∂，224y xx y z -=∂∂，所以 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y xe xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+； 由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz yu=∂∂，xy z u =∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy yu ，y xy z u z ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zudy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； y z y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值.（1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+ 8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明：（1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在； （2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0l i m000l i m 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在. （2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ； （2）设()xyx z ln =，求x z ∂∂，yz ∂∂； （3）设()xy y x yf x z ,222+=，求x z ∂∂，yz∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dxdz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】 （2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xyxy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xyln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y+=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求x u ∂∂，yu ∂∂. 6.求下列函数的22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2和22yz∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y x z '=∂∂，21f f x yz '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂； []()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x x z y x '+'=∂∂+；32.sin f e f y yz y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f xxz ''+''=∂∂+3122.c o s ()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++ [][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e xzz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e yzz --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证： （1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂； 【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11 ()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y yx f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y zy z y ==（2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu.【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ubu a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ②⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1. 【解】令()x y y x y x F arctanln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则 ()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数x z ∂∂，yz∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；yxz F y 12+-='；z xy x F z 122+-='. 所以z xy x x yz z F F x z z x 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z . 所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='. 所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axyzaxyz ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dxdz yzx xy yz dx dy所以，由全导数公式得dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F{}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切.所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x z d F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz yuM ，()5||2,1,51==∂∂xy z u M . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∂M h4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y uM，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z u M ， 故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a d u ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a du6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y yuM ，()02||0,1,2==∂∂z x u M . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==； 【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P （二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为 函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=； 【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=； 【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处， 因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ； 【解】（一）内部 解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。
郑州大学微积分（下）测验试题（2）答案
高等数学（下册）高等数学（下册）测验试题（二） 一、填空题（每小题4分，共20分）分）1设L 由o （0，0）沿y 轴到)2,0(A ，再沿2=y 到处)2,2(B ，再沿y x 22=回到)0,0(o ，则()()dy xy dx xy x xL223-+-ò.2-=2.设S 为柱面422=+yx 介于61££z 的部分，法向量指向内部，则.0222=++òòSdxdy z y x3.设L 为下半圆周(),0222£=+y R y x 则().422R ds y x L-=+ò4.设S 为平面222=++z y x 被三个坐标面相截在第一卦限的部分，则().322=++òòSdS z y x （注意：边界条件可以代入）（注意：边界条件可以代入）5．设L 为沿曲线x x y 22-=上从)0,2(A 到)0,0(o 的弧段，则.p =+-òL xdy ydx 二 计算题（每小题7分，共70分）分）1。
求,||||dy x dx y I L +=ò其中L 是以o （0，0），)1,0(A ，)1,1(-B ，为顶点的三角形边界，方向为逆时针方向。
角形边界，方向为逆时针方向。
2．计算,22ò++-L y x xdyydx L 为1||||=+y x 所围区域边界的正向。
所围区域边界的正向。
3．计算()ds x L y òúûùêëé-+51232，L 为()22332+=x y 从2-=x 到1=x 的一段。
4．计算()(),z d xd y d z d x z y d y d z z x I +-+-=òòS其中S 是由曲线()21,0,££îíì==z xy z 绕z 轴旋转一周生成的曲面的内侧。
郑州大学考试题及答案
郑州大学考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 郑州大学位于哪个省份？A. 河南省B. 河北省C. 山西省D. 陕西省答案：A2. 郑州大学成立于哪一年？A. 1956年B. 1958年C. 1960年D. 1962年答案：B3. 郑州大学的主要校区位于郑州市的哪个区？A. 中原区B. 二七区C. 金水区D. 管城回族区答案：C4. 郑州大学是下列哪个联盟的成员？A. 九校联盟B. 211工程C. 985工程D. 双一流5. 郑州大学图书馆的藏书量超过多少万册？A. 100万B. 200万C. 300万D. 400万答案：C6. 郑州大学有多少个学院？A. 30个B. 35个C. 40个D. 45个答案：B7. 郑州大学有多少个博士后科研流动站？A. 5个B. 10个C. 15个D. 20个答案：C8. 郑州大学的校训是什么？A. 厚德博学，求是创新B. 求实创新，厚德载物C. 厚德载物，自强不息D. 明德博学，求是创新答案：A9. 郑州大学有多少个国家级重点学科？B. 5个C. 7个D. 9个答案：B10. 郑州大学在哪个年份被批准为博士学位授予单位？A. 1981年B. 1984年C. 1987年D. 1990年答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 郑州大学是河南省唯一的一所国家“211工程”重点建设高校，也是国家“________”重点支持建设的高校。
答案：双一流2. 郑州大学现有全日制普通本科生________万余人，各类研究生________万余人。
答案：5；23. 郑州大学拥有________个一级学科博士点，________个一级学科硕士点。
答案：30；504. 郑州大学校园占地面积________余亩，建筑面积________余万平方米。
答案：5700；2205. 郑州大学图书馆藏书量超过________万册，电子图书________余万册。
答案：300；1006. 郑州大学现有教职工________余人，其中专任教师________余人。
郑州大学远程教育学院入学测试机考专升本高等数学模拟题
郑州大学远程教育学院入学测试机考专升本 高等数学 模拟题1.设函数2sin 2(1)1()21x x f x x -⎧⎪-⎪⎨⎪-⎪⎩111x x x <=> 则1lim ()x f x →等于( )A. 0B. 1C.2D.不存在 答案D2. 微分方程0=+'y y 的通解为（ ）A ． y=xe B. y= x e-C. y=C xe D. y=C xe-答案D3. 设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则 xx f x )(lim 0→ 等于（ ）A. )(x f 'B. )0(f 'C. )0(fD.)0(21f ' 答案B4.设()f x 为连续函数,则10()2xf dx '⎰等于( )A.(1)(0)f f -B.2[(1)(0)]f f -.2[(2)(0)]C f f -1D.2[()(0)]2f f -答案D5.设ln(z =则z zxy x y∂∂+∂∂等于( ) 1.2A B.2nC.1D.2 答案A6.设函数()f x 在点0x 处连续,则下列结论正确的是( ) A.000()()limx x f x f x x x →--必存在B.0lim ()0x x f x →=C.当0x x →时，0()()f x f x -不是无穷小量D.当0x x →时，0()()f x f x -必为无穷小量 答案D7.设()f x '在点0x 的邻域内存在,且0()f x 为极大值,则000(2)()limh f x h f x h→+-等于( ) A.0 B.-2 C.1 D.2 答案A8.设(),()u x x ν在0x =处可得,且(0)1,(0)1,(0)2,02u u νν='=='=（），则 0()()2limx u x x x ν→-等于( )A.-2B. 0C.2D.4答案.D9.设(ln )1,()f x x f x '=+则等于( )21A.ln ln 2x x C ++2B.2x x C ++C.x x e c ++答案.C10. 设平面,0342:,012:21=+++=+-+z y x z y x ππ 则平面1π与2π的关系为( )A. 平行但不重和B. 重和C. 垂直D. 既不平行，也不垂直答案C11．设函数2()=ln(1)f x x a +⎨⎪⎩00x x ≠= 在0x =处连续，则a 等于（ ）A. 0B 14C. 1D.2 答案B12.设函数()y f x =的导函数()f x '的图像如图3-1所示,下列结论肯定正确的是( )A 在(-2,+∞)内，曲线()f x 是凹的 B.在(-2,.+∞)内,曲线()f x 是凸的 C.在（-2，+∞）曲线()f x 是单调增加的 D.在(-2,+∞)曲线()f x 是单调下降的2D.+2x xe e C+答案C13.过曲线ln y x x =上0M 点的切线平行直线2y x =,则切点0M 的坐标是( ) A.(1.0) B.(e,0) C.(e,1) D.(e,e) 答案.D14.若()(),sin (cos )f x dx F x C xf x dx =+⎰⎰则等于( ) A .(sin )F x C + B.(sin )F x C -+C.(cos )F x C +D. (cos )F x C -+ 答案D 15．级数()∑∞=-121n nn k（k 为非零正常数）（ ） A. 绝对收剑 B. 条件收剑 C. 发散D. 收剑性与k 有关答案A16.2sin(2cos )lim sin()2x x x ππ→-=( )A.-2B.-1C.2D.1 答案A 17.设10(2)(2)()limxx f h f f x eh-→--=则=( )A.12e -121B.4e --C.1212e - D.1214e - 答案B 18.sin 0limxt x e dtx→⎰=( )A.12B.-1C.-12D.1 答案D19.设函数x y y ='=则( )B.C.1 D.2 答案B20.设函数223ln 2.xy =+⋅+则'y =( )A.322()3ln3x x --+B.3223ln3x x + C.322()3ln3x x ----D.322ln3x x-+答案A21.设()ln ,f x x =则(sin )()df x df x =（ ）A.cos sin xxB. sin cos xx C. cos sin x x xD.sin x x答案C 22.已知广义积分ln k edxx x+∞⎰是收敛函数，则k 的取值范围是（ ） A.1k < B.1k ≤ C.1k ≥ D.1k > 答案D 23.设arcsin ()xf x e -=则cos '(sin )xf x dx =⎰（ ）A.xe c + B.xe - C.x ec -+D.xe 答案C24.设函数arccotz =2z x y∂=∂∂（ ）答案B25.交换二次积分次序'21(,)x xdx f x y dy +=⎰⎰（ ）A.13110122(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰B.11220(,)y ydy f x y dx -⎰⎰C. 113122001(,)y ydy dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰D.31022(,)y ydy f x y dx -⎰⎰答案A26.下列关系正确的是（ ） A. )()(x f dx x f d=⎰B. )()(x df dx x f d =⎰C. dx x f dx x f d )()(=⎰D. C x f dx x f d +=⎰)()( 答案B27.设)(x f 为连续函数，则())('⎰dt t f xa等于（ ）A. )()(a f x f -B. )()(x f a f -C. )(x fD. )(a f 答案C28．设函数,3xy z =则yz∂∂等于（ ） A. y y xln 3 B. y y xln 33 C. x xy 33 D. 133-x xy答案D29．222sin lim x m xx ∞→等于（ ）A. 0 B .2mC. 22mD. ∞ 答案A30.)n n →∞=（ ）A.0B.12C.1D.不存在 答案B31. 0ln(1)limnx x x→+=（ ） A.n B.1nC.ne D.1ne 答案A 32.21lim()2xx x x →∞+=+（ ） A.2e B.12e C.1 D.2e - 答案D33.22356lim 43x x x x x →-+=-+（ ）A.12B.1C.54 D.∞答案A34.21sinlim32x x x x →∞=-（ ） A.0 B.1C.13 D.∞答案C35.22sin lim 23cos n n n xn n x→∞+=-（ ） A.不存在 B.12C.1D.2答案B36.要使函数()f x a bx =⎪-⎩00x x <≥在x =0处连续，则a ，b 的值分别为（ ） A.0，1B.11,22 C.1,2任意数 D.0，任意数 答案C37.22sin(4)lim2x x x →-=-（ ） A.12 B.8 C.10 D.4答案D38.1lim sinln(1)x x x→∞+ A.1 B.0 C.2 D.不存在 答案B39.设y =y '=（ ）A.2ln(1sin )x -B.22sin cos xxC.2sin cos x xD.sec x - 答案D40.0cos 2lim ln(12)x x e x x →+-=+（ ）A.1B.2C.12D.不存在 答案C 41.01cos limln(1)x xx x →-=-（ ）A.1B.2C.12 D. 12-答案D 42.10lim(31)xx x -→+=（ ）A.-3B.-2C.3e - D.2e -答案C 43.设22lim()lim sin x x x x k x x x-→∞→∞-=，则k =（ ）A.1B.2C.ln2D.1ln22答案D44. 设曲线x e x y -=在点（0，-1）处与直线l 相切，则直线l 的斜率为（ ） A. ∞ B. 1 C. 0 D. -1 答案C45. 0x =是函数12sin ()||1xxf x x e =++的（ ）间断点 A.跳跃 B. 可去 C.无穷 D. 振荡 答案B46.已知sin cos n y x nx =，则y '=（ ） A.1sincos(1)n n n x -+B.cos sin nn x nx - C.1sinsin cos n n nx x --D.2cos cos n nx x 答案A47.若y =y '=（ ）A.B.D.答案A48.已知2()cos3x x y e e x -=+，则dy =（ ） A.2222()cos33()sin3x x x x e e xdx e e xdx ----+ B.23()sin3x x e e xdx --+C.222()cos33()sin3x x x x e e xdx e e x ----+D.2()(2cos33sin3)x x e e x x dx -+- 答案A49. 设)(x f 在2=x 处可导，且2)2(='f ，则hf h f h 2)2()2(lim-+→等于（ ）A.21B . 1 C. 2 D. 4 答案B50.设函数()f x 的二阶导数存在，则(ln )y f x =的二阶导数为（ ）A.1(ln )f x x ' B.21[(ln )(ln )]f x f x x -'-''C.21(ln )[1(ln )]f x f x x '-' D.21[(ln )(ln )]f x f x x''+' 答案B51.设函数()y y x =是由方程cos sin()x y x y =+所确定，则dydx=（ ） A.cos cos()cos()sin y x y x y x y ++++B .cos cos()cos()sin y x y x y x y -+++C.cos cos()cos()sin y x y x y x y+++-D.cos cos()cos()sin y x y x y x y-++-答案B52.设函数()y y x =是由方程arctany x =所确定，则dydx=（ ） A.x yx y -+ B.y xx y -+ C.x yx y+- D.x yy x+- 答案C53.设函数()y y x =是由方程sin y e y x e -=所确定，则01x y dy dx===（ ）A.eB.-eC.1e D. 1e-答案C 54.极限30sin cos lim x x x xx→-=（ ） A.0B.12 C.13 D.∞答案C55.设函数1()sin sin 33f x a x x =+，如果()f x 在3x π=处取得极值，则a =（ ）A.0B.1C.2D.356.32399y x x x =--+的拐点坐标是（ ） A.（-1，14） B.（0，9） C.（1，-2） D.（3，-18） 答案C57.设函数()sin f x x x =+，在区间[0,2]π上函数()f x （ ） A.无极值 B.有一个极大值，但无极小值 C.有一个极小值，但无极大值 D.有一个极大值和极小值 答案A58.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，则至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-，其中ξ的取值范围为（ ）A. [,]a b ξ∈B. (,)a b ξ∈C. 2a bξ+= D. 2b aξ-=答案B59.在(,)-∞+∞内，若()0f x ''=，则函数()f x 是（ ） A.一次函数或常值函数 B.指数函数 C.二次函数 D.反比例函数 答案A60. 设则x x f +='1)(，则)(x f 等于( ) A. 1 B. C x x ++2C. C x x ++22D. C x x ++2261.函数5y =的单调区间是（ ） A.（0，1）为单增区间 B.（1，2）为单减区间C.（0，2）为单增区间D.（0，1）为单增区间，（1，2）为单减区间 答案D62.函数1()arctan 1xf x x-=+在[0,1]上的最值是（ ） A.最大值(0)4f π=B.最小值(1)0f =C.既无最大值，又无最小值D.最大值(0)4f π=最小值(1)0f =答案D63.曲线x y xe -=的拐点是（ ） A.（2，22e -） B.1(1,)e -C.2(2,2)e -，1(1,)e - D.无拐点 答案A64.a ，b 为（ ）时点（1，3）是曲线321y ax bx =++的拐点 A.12a b =⎧⎨=⎩B.13a b =-⎧⎨=⎩C. 23a b =⎧⎨=⎩D. 31a b =⎧⎨=-⎩答案B65.函数()f x x =+(0,4]上的最值是（ ）A.(0)0f =为最小值B.(4)8f =为最大值C.(2)2f =+D.(0)0f =为最小值，(4)8f =为最大值 答案B66.若()()F x f x '=，C 为任意常数，则下式成立的是（ ） A.()()F x dx F x C ='+⎰B. ()()F x dx f x C '=+⎰C. ()()f x dx F x C =+⎰D.()()f x dx F x C '=+⎰答案C 67.若()F x'=，则()F x =（ ）A.CB.2x C +C.ln x C +C答案A 68.若()F x '=(1)F π=，则()F x =（ ）A.arcsin x π+B.arccos x π+C.arcsin x π-D.arccos x π- 答案B 69.若()3x f x dx C =+⎰则()f x =（ ）A.xeB.3ln3xC.3ln3x D.13ln3x 答案B70.2sin xdx =⎰（ ）A.31sin 3x C + B..31sin cos 3x x C +C.1sin 224x x C -+ D.1sin 224x x C ++ 答案C71. 函数 x y sin = 在区间[]π,0上满足罗尔定理的ξ等于 A. 0B. 4πC. 2πD. π答案C72.22(1)(1)x dx x x +=+⎰（ ） A.ln x x C ++ B. ln x C +C. ln 2arctan x x C ++D.2ln1xC x ++ 答案C73.22sin cos dxx x =⎰（ ） A.tan cot x x C ++B.tan cot x x C -+C.2tan 2x C +D.2cot 2x C + 答案B74.22cos 2sin cos xdx x x =⎰（ ） A.2cot 22tan x x C -++B.4sin 2C x-+ C.2cot 2cot x x C ++ D.cot tan x x C --+答案D75.21xxe dx e=+⎰（ ） A.1ln(1)x x e e C --++ B.1ln(1)x x e e C +-++ C.1ln(1)x x e e C ++++ D.1ln(1)x x e e C -+++ 答案B76.cos x xdx =⎰（ ）A.2sin 2x x C + B.sin x x C +C.sin cos x x x C ++D.2cos sin 2x x x C ++ 答案C 77.=（ ）C B.C +C.12C x-+C答案D78.arctan x xdx ⎰A.211(1)arctan 22x x x C +-+ B. 211(1)arctan 22x x x C --+C. 211(1)arctan 22x x x C +++D. 211(1)arctan 22x x x C -+-+答案A 79.214dx x+∞=+⎰（ ） A.2πB.4πC.πD.8π 答案B 80.=（ ）arcsin 2xC +B. arcsin 2x C +C. arcsin 2x C +arcsin 2x C +答案C81.2229x x dx x+=+⎰（ ） A.2ln(9)3arctan3x x x C ++-+ B.2in(9)3arctan 3xx x C +--+C.2ln(9)3arctan 3x x x C -+++ D. 2in(9)3arctan 3xx x C ++++ 答案A 82. 将1)()(lim-=--→ax a f x f ax ，则函数)(x f 在a x =处 （ ）A.导数存在，且有1)(-='a fB.导数一定不存在C. )(a f 为极大值D. )(a f 为极小值 答案A83.4=⎰（ ）A.4arctan 22-B.5arc tan 22-C.5arctan 22+D.4arctan 22+ 答案B84.设()f x 在[,]a a -上连续，且()()f x f x -=-则()aaf x dx -=⎰（ ）A.2aB.0C.aD. D.02()af x dx ⎰答案B85.11x -⎰A.0B.2C.-2D.4答案A86.320cos sin x xdx π=⎰（ ）A.13 B.13-C.14-D.14答案D87.用定积分表示由抛物线2y x =和圆222x y +=所围成的面积是（ ）A. 1-⎰B.121)x dx -⎰C ．121x dx -⎰D.0dy答案B 88. ⎰ba xdx dx d arcsin 等于 （ ）A. a ar b cos arcsin -B. 211x -C. x arcsinD. 0答案D.89. 下列关系正确的是 （ ） A. ⎰-=11301dx xB. ⎰+∞∞-=03dx xC. ⎰-=1150sin dx xD. ⎰-=1140sin dx x答案C90.设(cot ,)xy z f x e -=且f 有一阶连续偏导数，则zx ∂=∂（）A.21sin xyf fye x u v -∂∂-+∂∂ B. 21sin xy ffye x u v -∂∂--∂∂ C.21sin xy ffye x u v -∂∂-∂∂ D. 21sin xyf fye x u v -∂∂+∂∂答案B91. .设 x y sin = ，则 0='x y 等于 （ ）A.1B. 0C.-1D. -2答案A92. 设 x y z 2= 则 x z∂∂ 等于A. 122-x xyB. x y 22C. y y x ln 2D. y y x ln 22 答案D93．设函数)(x f 在),(+∞-∞内有定义，下列函数中必为奇函数的是（）．A ．)(x f y -=B ．)(2x xf y =C ．)(x f y --=D ．)()(x f x f y -+=答案B94．下列命题正确的是 （ ）A ．∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n u 必定发散B. 若 ∑∞=1n n u 收剑，则∑∞=1n n u 必定收剑 C.若∑∞=1n n u 收剑，则 )1(1∑∞=+n n u 必定收剑D. 若∑∞=1n n u 收剑，则∑∞=1n n u 必定收剑答案D95.设()y y x =由方程221y x y xe ++=确定，则y '=（ ） A.22y y e xy xe -- B. 22y y e xy xe +-C. 22y y e xy xe ++ D. 22y y e xy xe -+答案A96．设x z xy y =+，则12x y zx ==∂∂，12x y z y ==∂∂分别为（ ） A 33,24 B. 53,24 C. 57,24 D. 51,24答案B97．函数1ln()z x y =+的定义域为（ ）．A ．0x y +≠B ．0x y +> 且 1x y +≠C ． 0x y +>D ． 1x y +≠答案B98．函数23()23x f x x x -=+-的间断点为（ ）．A ．1,2x x ==B ．3x =C ．1,3x x ==-D ．无间断点答案C99．设函数()(2)(3)(4)f x x x x =---，则方程()0f x '=有（）．A ．一个实根B ．两个实根C ．三个实根D ．无实根答案B100．已知2201dx a x+∞+⎰2π=，则a =（ ）． A ．0B ．2C ． πD ．1答案D。
高等数学微积分教材答案
高等数学微积分教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的定义1.1.1 极限的概念1.1.2 函数的极限1.1.3 导数的定义及计算方法1.2 导数的基本性质1.2.1 可导性与连续性的关系1.2.2 导数的四则运算法则1.2.3 导数的链式法则1.3 高阶导数与隐函数微分1.3.1 高阶导数的定义1.3.2 隐函数的导数计算方法1.4 微分的定义与微分公式1.4.1 微分的定义1.4.2 微分的性质1.4.3 微分公式第二章：微分学的应用2.1 函数的单调性与极值2.1.1 函数单调性的判定2.1.2 函数的极值与最值2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的凹凸性定义2.2.2 函数的拐点2.3 泰勒公式与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的定义2.3.2 泰勒公式的应用2.4 最值问题与优化问题2.4.1 最值问题的分析方法2.4.2 优化问题的数学建模第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.1.1 原函数的定义与性质3.1.2 不定积分的定义3.2 积分基本公式3.2.1 基本积分公式3.2.2 积分的线性性质3.3 第一类换元积分法3.3.1 第一类换元积分法的基本思想 3.3.2 第一类换元积分法的具体步骤3.4 分部积分法与第二类换元积分法 3.4.1 分部积分法的定义与应用3.4.2 第二类换元积分法的基本原理第四章：定积分与定积分的应用4.1 定积分的定义与性质4.1.1 定积分的几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本计算方法4.2.2 定积分的换元法4.3 定积分的应用4.3.1 曲线与曲面的长度4.3.2 曲线与曲面的面积4.3.3 物理应用中的定积分4.4 微积分基本定理与不定积分的计算方法 4.4.1 微积分基本定理4.4.2 不定积分的计算方法第五章：数项级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 数项级数的定义5.1.2 数项级数的性质5.2 收敛级数的判别法5.2.1 正项级数的判别法5.2.2 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的收敛半径5.3.2 幂级数的函数展开5.4 常数项级数的求和5.4.1 等比级数的求和5.4.2 绝对收敛级数的求和第六章：级数的应用6.1 函数展开与泰勒级数6.1.1 函数展开与泰勒级数的概念6.1.2 泰勒级数的求法6.2 常微分方程与级数解6.2.1 常微分方程的基本概念6.2.2 幂级数解的构造6.3 分析几何中的级数应用6.3.1 曲线与曲面的参数方程6.3.2 空间曲线与曲面的求交问题6.4 物理学中的级数应用6.4.1 物理学中的振动问题6.4.2 物理学中的波动问题总结高等数学微积分教材涵盖了导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、数项级数和级数的应用等内容。
郑州大学网络教育高等数学期末考试复习题及参考答案
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函数的极值点一定是函数的驻点。 收藏
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连续周期函数的原函数为周期函数。
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B.
仅有水平渐近线
C. 仅有铅直渐近线
D. 既有水平渐近线，又有铅直渐近线
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A. 充分必要条件
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整理大学微积分题目带答案
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微积分初步模拟试题答案及评分标
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第 2 页 共 2 页 微积分初步模拟试题答案及评分标准
（供参考）
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈(2,3)∪(3,+∞) ⒈0 ⒈27(1+ln3) ⒈e x 2+C ⒈4
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈D ⒈C ⒈B ⒈A ⒈ C
三、（本题共44分，每小题11分）
⒈解：lim x→2x 2−3x+2
x 2+x−6=lim x→2(x−1)(x−2)(x+3)(x−2)=15 11分 ⒉解：y ′=2xe 1x +x 2e 1x (−1x 2) 9分
=e 1x (2x −1) 11分 ⒋解：∫(2x −1)10dx =12∫(2x −1)10d(2x −1)=122(2x −1)11+C 11分
⒌解：∫xe x dx =xe x |01−∫e x dx =e −e x |01=1
11分
四、应用题（本题16分）
解：设矩形的边长分别为x,y （厘米），则有2x +2y =120
又旋转成的圆柱体的体积为
V =πx 2y =πx 2(60−x)
求导得
V ′=3πx(40−x)
令V ′=0得x =40,(x =0舍去）。
V ′′=3π(40−2x)|x=40<0，说明x =40是极大值点，故当x =40,y =20厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。
16分
整理丨尼克
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