历年全国初中数学联赛试题总汇47321
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.
设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是
两两不同的实数,则2
22
23y
xy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )3
5
.
答( )
2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( ) 3. 方程012=--x x 的解是
(A )
25
1±; (B )251±-;
(C )
2
5
1±或251±-; (D )251±-±.
答( ) 4.
已知:)19911991(2
11
1
n n
x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是
(A)11991-; (B)11991--; (C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n . 答( ) 5.
若M n 1210099321=?????Λ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自
然数,则M
(A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.
答( )
6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) 7.
如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,
32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是
(A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( )
8.
在锐角ΔABC 中,1=AC ,c AB =,ο60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则
(A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤2
1
;
答( )
(C )c > 2; (D )c = 2. 答( ) 二、填空题
1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 .
2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+a c
b 32 .
3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,q p
n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( .
4.四边形ABCD 中,∠ ABC ο135=,∠BCD ο120=,AB 6=,BC 35-=,
CD = 6,则AD = .
11=S
3S =1
32=S
ο
120ο
135
第二试
x
x + y,x -y,x y,
y
四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y).
二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且
BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).
求证:BF=AF+CF
三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.
1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是
(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.
2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=?与平方式
20)2(b ax M +=的关系是
(A)?>M (B)?=M (C)?>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是
(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为
(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )
5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=
k x
k
y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ?和COD ?的面积分别为S 1和S 2,则S 1
与S 2的关系是
(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定
答( )
6.在一个由88?个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则
2
1
S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )
7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ?=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .
则AE :EB 等于
(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )
8.设9321,,,,x x x x ???均为正整数,且
921x x x ??<<,220921=+???++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小
值是
(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若0≠x ,则x
x x x 4
4211+-++的最大值是__________.
3.在ABC ?中,B A C ∠∠=∠和,90ο的平分线相交于P 点,又AB PE ⊥于E 点,若
3,2==AC BC ,则=?EB AE .
4.若b a ,都是正实数,且
0111=+--b a b a ,则=+33)()(b
a a
b . 第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根,当这样的三角形只有一个时,求a 的取值范围.
二、如图,在ABC ?中,D AC AB ,=是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点,且
A CED BED ∠=∠=∠2.
求证:CD BD 2=.
三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:
A :320651
B :105263
C :612305
D :316250
已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求:M 和N.
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是
(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;
Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;
Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.
其中正确的是
(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组
?????
????=++=++=++=++=++.
;
;;;52154
154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解
(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于5 6.在ABC ?中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是
(A)22-
(B)2
2 (C)
23 (D)2
1-. 答( )
7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,
p ,那么m :n :p 等于
(A)c
b a 1
:1:1; (B)c b a ::
(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )
8.1
333
3)9
19294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )
二.填空题
1.当x 变化时,分式1
5
632212++++x x x x 的最小值是___________.
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.
4.锐角三角形ABC 中,?=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们
的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.
第二试
一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ???的值变小,变大,还是不变?证明你的结
论.
二.ABC ?中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ?分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.
三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021
>''x x . (1)求证:;0,0,0,021
21<'<'< 1994年全国初中数学联赛试题 第一试 (4月3日上午8:30—9:30) 考生注意:本试共两道大题,满分80分. 一、选择题(本题满分48分,每小题6分) 本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分; 不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分. 〔答〕( ) 2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A.都不小于0B.都不大于0 C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0〔答〕( ) 3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长 A.等于4B.等于5 C.等于6D.不能确定 〔答〕( ) A.1 B.-1 C.22001D.-22001〔答〕 ( ) 5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD 相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角 A.4对B.8对 C.12对D.16对 〔答〕( ) 〔答〕( ) 7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是 〔答〕( ) A.1001B.1001,3989 C.1001,1996D.1001,1996,3989 〔答〕( ) 二、填空题(本题满分32分,每小题8分) 各小题只要求在所给横线上直接填写结果. 3.在△ABC中,设AD是高,BE是角平分线,若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=______. 4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试 (4月3日上午10:00—11:30) 考生注意:本试共三道大题,满分60分. 一、(本题满分20分) 如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.求证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。 思路一:△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.) 思路二:△PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.) 连接OB、OA。 ∠OBA=∠OAB=∠OAC ∴∠PAO=∠QBO PA=QB AO=BO ∴△PAO≌△QBO ∠OPA=∠AQO 所以O与A,P,Q,四点同园