山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题(文科)A卷

山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题（文科）A 卷考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．复数z 满足i i i z +=-2)((i 为虚数单位)，则 z =A ．i --1B ．i -1C ．i 31+-D ．i 21-2．已知全集{}6,54321，，，，=I ,集合{}543，，=M ，{}4,321，，=N ，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{}21，B ．{}6,21， C ．{}543,21，，，D ．{}643,21，，， 3．命题“R x ∈∃0,使得01020<++x x ”的否定是 A ．“R x ∈∃0使得01020≥++x x ” B ．“R x ∈∃0使得01020>++x x ” C ．“R x ∈∀,使得012≥++x x ” D ．“R x ∈∀,使得12++x x >0” 4．设公比12q =的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则43S a = A ．152 B ．154C ．72D ．745．某一个班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是A ．70B ．75C ．66D ．68频率x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上6．将函数平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为A.1)42sin(+-=πx yB.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -=7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中应填入的条件是A ．5<i ？B ．6<i ？C ．5≥i ？D ．6≥i ？8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A ．648π+B ．16083π+ C ．6416π+ D ．160163π+9．函数22()22x xx xf x --+=-的图像大致为ｘ（第7题图）俯视图侧视图10.已知双曲线12222=-by a x (0,0)a b >>以及双曲线22221y x a b -=(0,0)a b >>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线12222=-by a x 的离心率为A ． 2BC D ． 211．已知函数()f x 满足)2()2(-=+x f x f ，(2)y f x =-关于y 轴对称， 当)2,0(∈x 时，22()log f x x =，则下列结论中正确的是A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<B ．(7)(4.5)(6.5)f f f << C．(7)(6.5)(4.5)f f f << D ．(4.5)(6.5)(7)f f f << 12．已知曲线y =与x 轴的交点为,A B ，分别由,A B 两点向直线y x =作垂线，垂足为,C D ，沿直线y x =将平面ACD 折起，使ACD BCD ⊥平面平面，则四面体ABCD 的外接球的表面积为A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数122log ,0,()2,0,x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪--≤⎩ 则不等式()0f x <的解集为 ．14．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-301205x y x y x ，则22(1)z x y =++的最小值是 ．15．在ABC ∆中, AB →+AC →=2AM →，|AM →|=1,点P 在AM 上且满足AP →=2PM →, 则PA →•(PB →+PC →)= ．16．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，0>n a ，211()n n n n a S S S ++-=⋅且21=a ，则=n a ．三、解答题（本大题共70分）17．(本小题满分12分) 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且满足22cos 22sin ()2cos ()12sin sin 2A B C B C ππ++++-=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若5,4==c b ，求B sin ．18．(本小题满分12分) 太原市启动重污染天气Ⅱ级应急响应，大力发展公共交通.为了调查市民乘公交车的候车情况，交通部门从在某站台等车的60名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）为了线路合理设置，估计这60名乘客中候车时间不少于12分钟的人数． （Ⅱ）若从上表第三、四组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率.19．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDE 中，2,,CA CB CA CB CD ABC ==⊥⊥平面,F 为线段AB 的中点，//,EF CD EF CD ==（Ⅰ）求证：ABE ADE ⊥平面平面. (II)求几何体ABCDE 的体积.20．（本小题满分12分）设点)0,1(F ，动圆P 经过点F 且和直线1-=x 相切．记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W ．（Ⅰ）求曲线W 的方程；(II) 过点(0,2)M 的直线l 与曲线W 交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C ,设MA AC α=，MB BC β=，求证：αβ+为定值. 21．（本小题满分12分）已知函数x x a x x f ln )1( 21)(2---=，其中R a ∈． （Ⅰ）若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值；(II) 若0>∀x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点C B ,,APC ∠的平分线分别交AC AB ,于点E D ,， （Ⅰ）证明：;AED ADE ∠=∠ （Ⅱ）若AP AC =，求PAPC的值． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是，为参数)(242222t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；P（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．2013-2014学年四校四联数学(文科)参考答案A一、选择题（本大题共60分）1-5 BACAD 5-10 CBBBD 11-12 AC 二、填空题（本大题共20分）13{|2x x <-或1}x > 14．54 15. 94- 16. 221642n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩三、解答题（本大题共70分） 17．（Ⅰ）解：∵cos2A+2sin 2(π+B)+2cos 2(π2+C)-1=2sinBsinC∴sin 2B+sin 2C-sin 2A=sinBsinC …………2分由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc,由余弦定理得cosA=12 …………4分∵0<A<π, A=π3 …………6分（Ⅱ）∵a 2= b 2+c 2-2bccosA=16+25-2×4×5×12=21,∵a=21由a sinA =b sinB ，得sinB=277…………12分 18．解：（Ⅰ）从60名候车乘客中随机抽取15人，每人被抽到的概率为41， 则60名乘客中候车时间不少于12分钟的人数为3÷41=12人。

……………4分。

（Ⅱ）记第三组的3个人为C B A ,,,第四组的2个人为b a ,，则从这五个人中随机抽取2人的基本事件）（B A ,，）（C A ,，）（a A ,，）（b A ,，）（C B ,，）（a B ,，）（b B ,，）（a C ,）（b C ,）（b a , 共10种， ……7分 设事件”从五个人中随机抽取2人,这两个人恰好来自不同组”为事件E ,包含六个基本事件：）（a A ,，）（b A ,，）（a B ,，）（b B ,，）（a C ,）（b C ,……10分 则抽到的2人恰好来自不同组的概率53106==）（M P ……12分19．解：（Ⅰ）,.CA CB F AB CF AB =∴⊥为中点,//,,,,,.CD ABC CD EF EF ABC CF ABC EF CF EF AB F EF AB ABE CF ABE ⊥∴⊥⊂∴⊥⋂=⊂∴⊥又平面平面平面平面平面…………3分//,.EF CD EF CD EFCD =∴四边形为平行四边形 …………4分//DE CF DE ABE ∴∴⊥平面 .DE ADE ADE ABE ⊂∴⊥又平面平面平面 …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,.CF AB EF ABC ⊥⊥平面,,,.EF AB EF CF F EF CF EFCD AB CD ⊥⋂=⊂∴⊥又平面平面EF ……8分1133ABCDE A EFCD B EFCD EFCD V V V S AB --∴=+=⨯⨯==……12分20．（Ｉ）解：设动圆圆心),(y x P ，由抛物线定义得：P 点轨迹W 是以)0,1(F 为焦点以1-=x 为准线的抛物线，方程为24y x = 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：2y kx =+(0)k ≠，联立方程可得224y kx y x =+⎧⎨=⎩得:22(44)40k x k x +-+= ① 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(,0)C k-， 则12244k x x k -+=-，1224x x k ⋅= ② …………8分由MA AC α=，MB BC β=得，11112(,2)(,)x y x y k α-=---，22222(,2)(,)x y x y k β-=--- ………10分即得：112kx kx α-=+，222kx kx β-=+，则212122121222()2()4k x x k x x k x x k x x αβ--++=+++代入得1αβ+=-，故αβ+为定值且定值为1- ……12分21．解：（Ｉ）x x a x f 1)1( 1)(/---= ……2分， 因为2=x 是)(x f 的极值点，所以0)2(/=f ……3分，解021)12( 1=---a 得21=a ……4分，（Ⅱ）依题意1ln )1( 212≥---x x a x ，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤- 0>x ……5分1=x 时，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-恒成立 ……6分 0>x 且1≠x 时，由)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-得)ln 1()1(22x x x a ---≤ ……7分 设x x x g ln 1)(--=，0>x ，xx g 11)(/-= ……8分，当10<<x 时0)(/<x g ，当1>x 时0)(/>x g所以0>∀x ，0)1()(=≥g x g ……10分所以，当0>x 且1≠x 时，0)ln 1()1(22>---x x x ，从而0≤a ……11分， 综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞ ……12分．22．解：（Ｉ）∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.∴∠ADE=∠AED ……………5分 （Ⅱ）由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴∆APC ∽∆BPA,PC PA =AC AB ,∵AC=AP , ∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180º, ∵BC 是圆O 的直径,∴∠BA C=90º,∴∠C+∠APC+∠BAP =90º, ∴∠C=∠APC=∠BAP =30º,在Rt ∆ABC 中, AC AB =3,∴PCPA= 3 ……………10分23．解：（Ｉ）∵ρ=2cos(θ+π4)∴ρ=2 cos θ-2sin θ,∴ρ2=2ρcos θ-2ρsin θ …………(2分) ∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x+2y=0 …………(3分) ∴圆心C 的直角坐标为(22,- 22) …………(5分) （Ⅱ）法一： 由直线l 上的点向圆C 引切线长为(22t-22)2+(22t+ 22+42)2-1=t 2+8t+40=(t+4)2+24≥26, ∴直线l 上的点向圆C 引切线长的最小值为26 …………（10分） 法二：直线l 的普通方程为x-y+42=0, …………(6分)圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++， …………(8分)∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分） 24．解：（Ｉ）∵a 2+b 2≥2ab, c 2+d 2≥2cd∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=22时取“=” …………（2分） 又∵a 2+b 2=1, c 2+d 2=1∴2(ab+cd)≤2 …………（4分） ∴ab+cd ≤1 …………（5分） （Ⅱ）设m →=(a,b),n →=(1,3),∵|m →⋅n →|≤|m →|⋅|n →|, …………（8分） ∴|a+3b|≤2a 2+b 2=2 ∴-2≤a+3b ≤2∴a+3b 的取值范围为-2，2 …………（10分）。