中心极限定理解读

则 Xk 服从指数分布，E(Xk)=100， D(Xk)=10000 设 Z= X1+X2+……+X16 则所求概率为：
16
P{Z > 1920 } P{ x k > 1920 }
k 1
P{
x
k 1
16
k
n >
19 20 n n
n
}
由于：E(xk)=100,
P{Z > 1920 } P { k 1
是在概率意义下的接近. 通俗地讲, 在定理的条件下, n个随
机变量的算术平均,当n无限增大时将几乎变成一个常数。 设Y1 , Y2 , … , Yn是一个随机变量序列，a是一个 常数，若对于任意>0有
lim P{| Yn a | } 1,
n
则称序列Y1 , Y2 , … , Yn依概率收敛于a,记为
1 n lim P{| X k | } 1. n n k 1
E(Xk)=
(1.3)
证略。易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况
二 中心极限定理
有些随机变量,它们是由大量相互独立的随机因素综 合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起 作用都是很微小的。这种随机变量往往近似服从正态分
n
1 n Yn X k n k 1
lim P{| Yn | }
1 n lim P{| X n | } 1. n n k 1
(1.1)
定理的意义：当n很大时X1,X2 ,…, Xn的算术平均值
1 n X k 接近于E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X k ) . 这种接近 n k 1
E(Xk)=p , D(Xk ) = p(1-p), k=1, 2, · · ·, n , · · · .
由定理一有
1 lim P{| ( X 1 X 2 X n ) p | } 1, n n
即
nA lim P{| p | } 1. n n
贝努利定理表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件 的概率p，且以严格的数学形式表达了频率的稳定性。n
很大时，事件发生的频率与概率的偏差很小, 故可用频率
代替概率。 定理一中要求X1 ,X2 · · · · 的方差存在。 但服从相同分 布的场合，并不需要这一要求，故有以下定理。
定理三(辛钦定理) 设随机变量 X1,X2 ,…, Xn,…相互 独立, 服从同一分布,且具有相同的数学期望 (k=1,2,· · · ),则对于任意正数，有
16
x
16
D(xk)=1002
k
则
> 1920 n n }
n
n
k
P { k 1
16
x x
n >
n
k
1920 16 100 } 16 100
n > 0.8}
P { k 1
n
16
1 P{ k 1
xk n n
0.8}
1 (0.8) 1 0.7881
有相同的数学期望和方差: E(Xk) =, D(Xk)=2 (k=1,2,…) 1 n 则序列 Yn X k 依概率收敛于. n k 1 定理二 (贝努利定理)设nA是n次独立重复试验中事
事件A发生的次数 , p是事件A在每次试验中发生ห้องสมุดไป่ตู้概率，
则对于任意正数 >0,有 nA lim P{| p | } 1 n n 或 nA lim P{| p | } 0.
0.2119
定理五(李雅普诺夫Liapunov定理) 设随机变量X1,X2 , …, Xn,…相互独立, 且它们具有数学期望和方差：
E(Xk ) k , 记
2 n
D(Xk )
n k 1
2 k
k 1,2,...,
2 B k .
若存在正数d,使得当n时，
1
2d Bn 2d E {| X | } 0, k k k 1 n
及 中心极限定理
一 大数定律
频率具有稳定性，大量测量值的算术平均值也具有 稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景。 定理一 设随机变量X1 , X2 ,…, Xn , …相互独立,且 具有相同的数学期望和方差: E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)
作前 n 个随机变量的算术平均
则对于任意正数ε有
P Yn a
依概率收敛的序列还有以下的性质
P P 设X n a, Yn b, 又设函数 g ( x, y)在点(a, b)连续, 则
P g ( X n , Yn ) g (a, b).
故上述定理一又可叙述为：
定理一 设随机变量 X1,X2 ,…, Xn,…相互独立,且具
定理四(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1, X2 ,…, Xn,…相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望和
方差：E(Xk), D(Xk)20(k1, 2,…),则随机变量
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n

X
k 1
n
k
n
D ( X k )
n
n
(1.2)
证 引入随机变量
0, 若在第k次试验中A不发生， Xk k 1,2,. 若在第k次试验中A发生 ， 1，
显然
nA=X1+X2+· · · · +Xn .
由于Xk只依赖于第k次试验，而各次试验是独立的.于是
X1 , X2 ,· · · 是相互独立的;又由于Xk服从(0--1)分布，故有
k 1
n
的分布函数Fn(x)对于任意x满足
lim Fn ( x) lim P{
n n
X
k 1
n
k
n
n
n
x}
k
x
1 2

e
t2 2
dt
证略。 Fn ( x) P{Yn x} P{ k 1
X
n
(2.1)
n
x}
例1：据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布，现随机的取16只，设它们的寿命是 相互独立的，求这16 只元件的寿命的总和大于1920小时 的概率? 解：设 Xk 表示第k只元件的寿命 （k=1,2,3,…….16)