4概率加法公式
4讲加法法则 概率论 课件
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况
2013-7-10 26
(MBA试题)
若A B, A C , P( A) 0.9, P( B C ) 0.8, 则P( A BC ) (
(A)0.4 (B)0.6
)
(4) P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 0.7 0.3
2013-7-10 34
例9观察某地区未来5天的天气情况, 记Ai 为事件:“有i天不下雨”, i=0,1,2,3,4,5. 求下 列各事件的概率: (1) 5天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (3) 至多三天不下雨.
因此P( B) 0.9122 0.0855 0.9977
2013-7-10 4
例3 对光顾一个超市的顾客的购买情况进 行统计, 总共观察了1000名顾客, 其中花了 400元以上的有50名, 花的钱在100元到400 元的有500名, 试估计花钱超过100元的概 率.
2013-7-10
5
解 假设A={花钱超过100元}, B={花钱在100 元到400元之间}, C={花钱超过400元}, 利用 频率来估计概率, 则B,C互不相容, A=B+C
500 50 P( B) 0.5, P (C ) 0.05 1000 1000 P( A) P( B C ) P ( B ) P (C ) 550 500 50 0.55 1000 1000 1000
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
A1
S
A2
A3
A4
11
原创1：3.1.4概率的加法公式
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请
问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他
乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可
则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与
B的并(或和)
如下图中阴影部分所表示的就是A∪B.
A
B
A
B
例2.判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加
演讲比赛，其中
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.
即小明考试不及格的概率是0.07.
例5. 某战士射击一次，问：
（1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则A的概率为多少？
（2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7 ，那么事件C=“
中靶环数小于6”的概率为多少？
（3）事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因
此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为
易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验
是否满足它的前提条件“彼此互斥”.
例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“
出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和
，即
1 1 2
P(C)=P(A)+P(B)=
任取1张：
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
15事件和与事件积的概率【教师版】
事件和与事件积这节课我们学什么1.掌握事件和与事件积的概率的求法；2.理解事件独立的概念，并掌握独立事件积的概率的求法.知识框图知识梳理1.和事件（1）和事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事件A与事件B的和．（2）事件和的概率（概率加法公式）：()()()()P A B P A P B P AB=+-．（3）互斥事件：在同一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做互不相容事件．（4）互斥事件和的概率：如果事件A、B互斥，那么()()()P A B P A P B=+．2.积事件（1）积事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与事件B的积．（2）独立事件：如果事件A出现和事件B出现，互相之间没有影响，即其中一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，那么就称事件A和事件B互相独立．如果A与B是独立的，则A与B、A与B、A与B也是互相独立的．（3）独立事件积的概率：如果事件A、B互相独立，那么()()()P AB P A P B=⋅．（4）推广：如果事件nAAA、、、21相互独立，则)()()(2121nnAPAPAPAAAP=）（（5）“事件nAAA、、、21至少出现一个”这一事件的对立事件是“nAAA、、、21都不出现”，即12121'''n nP A A A P A A A+++=-（）（）)'()'()'(121nAPAPAP-=)](1[)](1)][(1[121nAPAPAP----=3.总结：典型例题分析1.事件和概率例1、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率)(B A P U 为多少？.【答案：)(B A P ＝11()+()=+=524P A P B 726】 例2、某校高二(1)班45名同学都订阅了不同的报刊，其中订阅中学生报有30名同学，订阅中学生外语报有25名同学，10名同学即订了中学生报又订阅了中学生外语报。
概率加法公式的简单推导
（ 二） 三个 事件的概率加法公式 设 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 为任 意三个 事件 ，则Ａ、 Ｂ、 Ｃ 的事 件概率
可作 如下推导 ：
Ｐ （ ＡＵＢＵＣ） ＝ Ｐ ［ （ ＡＵ（ Ｂ ） ＵＣ 】 （ ２ ）
（ Ａ Ｂ Ｃ ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｂ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｃ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ｂ ｃ Ｄ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ） ，（ ９ ） （ 四） 五个事件 的概率加法计算公式 设Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ 、 Ｅ 为任 意三个事件 ， 则Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ、 Ｅ 的 事件概率可作如下推导 ：
Ｐ （ ＡｕＢｕＣ ） ＝ Ｐ （ Ａ） ＋ Ｐ （ Ｂ ） ＋ Ｐ （ Ｃ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｃ ）
Ｐ （ Ｂ Ｃ） ＋ Ｐ （ ＡＢ Ｃ） 通过对具体 例题 的讲解 ， 对 加 法公 式在使用 过程 中的一些技 巧 给 出了详细 的说
Ｐ （ ＡＵＢＵＣＵＤＵＥ ） ＝ ｅ ｌ （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） ＵＥ １ ＝ Ｐ （ ＡｕＢ ｕＣ ｕＤ） ＋ Ｐ （ Ｅ） 一 Ｐ ［ （ ＡＵＢＵＣ ＵＤ ） Ｅ 】 （ １ ０ ） 又 因为Ｐ 『 （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） Ｅ ］ ＝ Ｐ （ Ａ Ｅ ＵＢ Ｅ ＵＣ ＥＵ Ｄ Ｅ ） ， 利用公式 （ ９ ） 得：
芜湖
２ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 基 于两个事件的概 率加法公式 ， 推 导 出了３ ￣ ５ 个事件 的概 率加 法计算公式。通过 总结 多个事件概率 加 法公式 的一般规律 ， 得到ｎ 个事件的概率加法公式。
关键词 ： 概率 ； 加法公式 ； 归 纳 法
中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４ １
明 。本 文将 利用简单 的两个事件概率 加法公式 ， 推 导 出３ ～ ５ 个事件 的概率加法计算 公式 ，通过总结 归纳 多个 事件概率 加法公式 的一般规律 ，给出ｎ 个事 件的
人教B版必修三3.1.4概率加法公式
3、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 30% ， 两人下成和棋的概率为50%，那么甲负于乙 的概率为( 20% ). 4、 从装有大小相同的2个红球，1个白球，2 个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的两 个球颜色相同的概率。 1/5 5、某小组由男生3名，女生3名，现从中选出2 人去校院开会，其中至少有1名女生的概率是 多少？ 4/5 对立事件：全为男生
例1.判断下列给出的每对事件，（1）是否 为互斥事件，（2）是否为对立事件，并 说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅 花，点数从1~10各4张）中，任取1张： （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽 出的牌点数大于9”。
三.范例
例3 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示：
年降水量 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) （单位:mm)
概率 0.12 0.25 0.16 0.14
1.求年降水量在［100,200）（㎜）范围内的概率； 2.求年降水量在［150,300）（mm)范围内的概率。 解:(1)记这个地区的年降水量在[100,150)，[150,200)，[200,250)， [250,300)(mm)范围内分别为事件为A、B、C、D。 这4个事件是彼此互斥的。根据互斥事件的概率加法公式，有 (1)年降水量在［100,200）(mm)范围内的概率是 答:…… P（A∪B）=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37 (2)年降水量在［150,300）(mm)内的概率是 答: … P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.
人教B版必修3高中数学3.1.4《概率的加减公式》ppt同步课件
§3.1 事件与概率
§3.1.4 概率的加法公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解事件的并(或和)的含义及记法． 2．理解互斥事件和对立事件的定义． 3．掌握判断两个事件互斥或对立的方法以及两者的区别 与联系． 4．会应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P( A )＝1－P(A)解 决实际问题.
规律技巧 利用概率加法公式求概率时，一定先判断所涉 及事件是否互斥.
变式训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概 率为0.16，在80～89分的概率为0.52，在70～79分的概率 0.12，在60～69分的概率为0.1，分别计算小明在数学考试中取 得80分以上的概率和小明及格的概率．
解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事 件是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成 绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试 成绩在60～69分”，根据互斥事件的概率加法公式，所求事件 的概率便可获解．
2．互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全 集)，即A＝∁UB或B＝∁UA； ③对互斥事件A与B的和A∪B，可理解为集合A∪B.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是 不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导 致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生， 故B与E还是对立事件．
概率
概率①必然事件；我们把在条件S下，下定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；②不可能事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件；③随机事件；在条件S下可能发生也可能不发生的事件.例1、从100个同类产品中（其中有2个次品），任取3个，其中；（1）三个正品；（2）两个正品，一个次品；（3）一个正品，两个次品；（4）三个次品；（5）至少一个次品；（6）至少一个正品。
以上六种事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是一般的随机事件？例2、盒中只装有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球。
（1）“取出的球是黄球？是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球“是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？概率的基本性质（1）事件的关系与运算①包含关系：如果事件A 发生，则事B 一定发生，这时我们就说事件B包含事件A，记作BA（或AB）。
②相等事件：如果BA，且AB，那么称事件A与事件B 相等，记作A=B。
③并（和）事件：若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B的并事件（或称A与B的和事件），记作AB（或A+B）。
④交（积）事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B 的交事件（或称积事件），记作AB（或AB）。
⑤互斥事件：若AB为不可能事件，即为AB=，那么称事件A与事件B互斥。
概率的几条基本性质①概率P（A）的取值范围： 0≤P（A）≤1。
②概率的加法公式：P（AB）=P（A）+P（B）。
③对立事件的概率公式；若事件A与B互为对立事件，则AB为必然事件，所以P（AB）=1，又P（AB）= P（A）+P（B），P（A）=1- P（B）。
例3、一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环。
概率论的加法公式
概率论的加法公式摘要：1.引言2.加法公式的定义3.加法公式的性质4.加法公式的证明5.加法公式的应用6.结论正文：1.引言概率论是研究随机现象的理论，它为我们提供了一种量化和描述不确定性的方法。
在概率论中，加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。
本文将介绍概率论的加法公式，包括其定义、性质、证明以及应用。
2.加法公式的定义加法公式是指，对于任意两个事件A 和B，它们的联合概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中，P(A) 表示事件A 的概率，P(B) 表示事件B 的概率，P(A∩B) 表示事件A 和B 的交集概率。
3.加法公式的性质加法公式具有以下几个性质：(1) 完备性：对于任意事件A，有P(A)=P(A∪Φ)，其中Φ表示全集。
(2) 可数性：对于任意可数个事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
(3) 分配律：对于任意事件A、B、C，有P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(A∪C)+P(B∪C)。
4.加法公式的证明为了证明加法公式，我们需要引入一个重要的概念——事件的和事件。
设A 和B 是两个事件，A∪B 表示事件A 和事件B 的和事件，即包含在事件A 中或者包含在事件B 中的所有可能结果的集合。
我们可以通过以下步骤证明加法公式：(1) 证明P(A∪B)A∪B(2) 证明P(A∪B)A∩B(3) 证明P(A∩B)A∪B(4) 得出P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)5.加法公式的应用加法公式在实际应用中有很多重要作用，例如在概率论的计算、风险管理、数据分析等领域都有广泛的应用。
通过加法公式，我们可以更方便地计算多个事件同时发生的概率，从而更好地描述和分析随机现象。
6.结论概率论的加法公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。
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例3 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P(AB) = P(A) − P(AB) = 0.7 −0.1= 0.6 (2) P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.8 (3) P(AB) = P(A∪B) = 0.2
例4 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？ 解
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB)
P(AB) = P(A) + P(B) − P(A∪B) ≥ P(A) + P(B) −1= 0.3 —— 最小值
加法公式的推广
(5) P(A∪ B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)
(6) 对任意 n 个事件 A1 ,
A2 , ⋯,
An , 有
n n P ∪ Ai = ∑ P( Ai ) − ∑ P (Ai A j ) + ∑ P (Ai A j Ak ) 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 − ⋯ + (− 1) P( A1 A2 ⋯ An )
⊛
式是“ 有去路,没回路 ⊛式是“羊肉包子打狗 ”——有去路 没回路 有去路 为什么呢？学了几何概型便会明白.
概率的基本性质： 概率的基本性质：
(1)对于任何事件的概率的范围是： (1)对于任何事件的概率的范围是： 0≤P(A)≤1 对于任何事件的概率的范围是 (2)如果事件A与事件B互斥， (2)如果事件A与事件B互斥，则 P(A∪B)=P(A)+P(B) 如果事件 (3)特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， (3)特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， 特别地 P(A)=1有 P(A)=1- P(B)
请判断那种正确? 请判断那种正确
第一章 概率论的基本概念
概率的加法公式
B， （4）设A，B是两个事件，若A ⊂ B，则有 是两个事件， P(B-A)=P(B)P(B-A)=P(B)-P(A) P(B)≥P(A) （5）P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)。
A
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B S
第一章 概率论的基本概念
概率的基本性质
事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质
概率的基本性质
（1）对于任何事件的概率的范围是：0≤P（A）≤1 对于任何事件的概率的范围是：0≤P（ 其中不可能事件的概率是P 其中不可能事件的概率是P（A）=0 必然事件的概率是P 必然事件的概率是P（A）=1 当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 （2）当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B) ∪ 由此得到概率的加法公式： 由此得到概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥， 如果事件A与事件B互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B） （ ） （ ） （ ） 特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， （3）特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， =1有 P（A）=1- P（B）
课后同学问： 课后同学问： 例3 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P(A A ) = P(A )P(A ) 1 2 1 2 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.8中将告诉我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A 相互独立. 1 2
朝上一面的数是奇数” 例2、抛掷色子，事件 、抛掷色子，事件A= “朝上一面的数是奇数”， 朝上一面的数是奇数 事件B 朝上一面的数不超过3”， 事件 = “朝上一面的数不超过 ， 朝上一面的数不超过 求P（A∪B） （ ∪ ）
解法一： 解法一： 因为P（ ） 因为 （A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2 ， （ ） 所以P（ ∪ ） 所以 （A∪B）= P（A）+ P（B）=1 （ ） （ ） 解法二： 解法二： A∪B这一事件包括 种结果，即出现 ，2，3和5 这一事件包括4种结果 ∪ 这一事件包括 种结果，即出现1， ， 和 所以P（ ∪ ） 所以 （A∪B）= 4/6=2/3
最小值在 P(A∪B) =1 时取得
Байду номын сангаас
P(AB) ≤ P(A) = 0.6
—— 最大值
最大值在 P(A∪B) = P(B) 时取得
课上有同学提问 例4 中回答当 A ∪B = Ω 时, P(A B) 取得 最小值是否正确？ 这相当于问如下命题是否成立
A ∪B = Ω ⇔ P(A ∪B) =1
答：不成立 ！
例１、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取 52 一张，那么取到红心（事件A 的概率是1/4 1/4， 一张，那么取到红心（事件A）的概率是1/4，取到方 事件B 的概率是1/4 1/4。 片（事件B）的概率是1/4。问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ 取到红色牌（事件C 的概率是多少？ 取到黑色牌（事件D 的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？