猎狗追兔子问题

1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地
方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全
速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计
算机仿真法等多种方法完成下面的实验：
(1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
(2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？
(3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。

(4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于
害怕, 奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑的速度每秒增
加0.1倍，在这种情况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。

涉及Matlab 的知识：
If-and 循环，while-and 循环，绘图。

数学建模与求解的方法：
1．兔子的起始位置是O （0,0）,狗的初始位置是B （-1002，-1002）。

兔子沿OA 直线跑动，OA 的方程是y=-x ，兔子的速度是8米每秒，所以任意时刻t,兔子的位置是)~,~(k k y x =（-42，42）,狗以匀速追赶兔子，速度大小不变，方向时刻指向兔子。

设任意时刻t ，狗的位置是),(k k y x ,兔子的位置是)~,~(k k y x ，则有题意可知:cos α=)2)24(2)2424∧-+∧----y x x
,sin α=)2)24(2)2424∧-+∧---y x y ，设狗的速度大小为
v ，在t+dt 时，兔子的位置变为（-24（t+dt ）, 24*(t+dt)）,狗的位置的横坐标x ′=x+v*cos α*dt,纵坐标y ′=y+v*sin α*dt. 狗和兔子之间的距离211211)~()~
(++++-+-=k k k k k y y x x d ，,当k d =0时，狗追到兔子，但如果在k d =0之前，兔子到达A 点，即兔子跑进了洞穴，
则狗追不到兔子，兔子跑进洞穴所需时间为t=120/8=15秒，所以狗以最小速度追赶兔子时，在洞口初，恰好追到兔子。

在运算时，可以任意给狗一速度v,在此速度下，狗能否在洞口处恰好追到兔子，如果在到达洞口之前就追到了，则取比v 小的一速度，在进行运算。

如兔子进入洞穴时仍未追上，则在取一比v 大的速度进行运算，直到取到一速度使狗在洞口处追到了兔子。

2．当狗与兔子的距离大于30时，运算过程与1相同，当距离小于30时，兔子的速度每秒减半，而狗的速度每秒增加0.1倍，取间隔
dt，当二者距离小于30时，兔子的速度为v=8/(2^dt),狗的速度v=v*1.1^dt,由此可以写出任意时刻t，兔子和狗的位置坐标。

其他过程与1相同。

三．程序设计
根据以上，编写程序如下：
四．问题求解结果与结论
米时，才开始变速，所以两图的差别不十分明显。

在Matlab运行后，得结果，狗的最小速度为v=17.081,跑过的路程为s=256.1548;当狗和兔子的速度发生变化时，狗的最小速度v=15.5872,跑过路程s=253.2291.
五．实验总结与体会
实验过程比较繁琐，一开始并没有找到适合的运行程序方法，经过仔细的分析探讨研究，类比缉私艇追击走私船的三种解决方法，逐渐摸索出一套较为可行的方案。

通过亲身体验，体会到了数学实验在解决现实问题时的方便快捷，精确无误。