立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16

3

r =

，所

以米堆的体积为211163()5433????=320

9

，故堆放的米约为

320

9

÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为

r ，圆柱的高为

2r ，其表面积为

221

42222

r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；

（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，

分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r

为单位长度，建立空间直角坐标

系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不

妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，

又∵AE ⊥EC ，∴，EG ⊥AC ，

在Rt △EBG 中，可得，故

在Rt △FDG 中，可得FG=

2

在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2

可得EF=2，

∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG ?面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||

GB u u u r

为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，－3，0），E

（2，F （－1,02，C （030），∴AE u u u r =（132），CF uuu r =

（-1，32

2

）.…10分 故3

cos ,3||||

AE CF AE CF AE CF ?<>==u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r .

所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为

3

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

4、（2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A ．81

B ．71

C ．61

D ．5

1

【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则111

33111326

A A

B D V a a -=?=，故剩余几何体体积为

3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5

1

，故选D ．

考点：三视图．

C

A

D

D 1C 1

B 1

A 1

B

O

A

C

5、（2015年2卷9题）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B．64π C．144π D．256π

【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311

13632

6

O ABC C AOB V V R R R --==??==，故

6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．

考点：外接球表面积和椎体的体积．

6、（2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，

=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的

平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为

D D C

A E

F

A

B

C B

正方形，所以10EH EF BC ===

．于是6MH ==，所以10AH =．以

D 为坐标原点，DA u u u r

的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r

，

(0,6,8)HE =-u u u r ．设(,,)n x y z =r 是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ??=???=??r u u u r

r u u u r 即100,680,

x y z =??

-+=?所以可取(0,4,3)n =r ．又(10,4,8)AF =-u u u r

，故cos ,n AF n AF n AF

?<>==

?r u u u r r u u u r r u u u r ．所以直线AF 与平面α

所成角的正弦值为．

A 1

A

B 1B

D 1D

C 1

C

F E H G

M

考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

7、（2016年1卷6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

283

π

,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【解析】

试题分析： 该几何体直观图如图所示：

是一个球被切掉左上角的18

,设球的半径为R ,则37428V R 833

π

π=?=

,解得R 2=,所以它的表面积是78

的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=178

4

S πππ????故选A ．

考点：三视图及球的表面积与体积

8、（2016年1卷11题）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为

(A)

32 (B )22 (C)33 (D)13

试题分析：如图,设平面11CB D I 平面ABCD ='m ,平面11CB D I 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长

AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而

111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故,m n 所成

角的正弦值为

3

2

,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.

【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.

9、（2016年1卷18题）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=o ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．

试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．

（II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．

以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r

为单位长度,建立如图所示的空

间直角坐标系G xyz -．

由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -

,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．

又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．

由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,

C F 60∠E =o

．从而可得(C -．

所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r

,(C 3,A =--u u u r

,()4,0,0AB =-u u u r ．

设(),,n x y z =r

是平面C B E 的法向量,则

C 00n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r ,

即0

40x y ?+=??

=??,

所以可取(3,0,n =r

．

设m r 是平面CD AB 的法向量,则C 0

m m ??A =???AB =??u u u r r u u u r

r ,

同理可取()

4m =r

．则cos ,n m n m n m ?==r r r r r r

故二面角C E -B -A

的余弦值为． 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.

10、（2016年2卷6题）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()

2

2223

4l =

+=，

21

π2

S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，

故选C ．

11、（2016年2卷14题）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：

①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α?，那么m β∥．

④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 【解析】②③④

12（2016年2卷19题）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F

分别在AD ，

CD 上，5

4

AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=.

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴

AE CF

AD CD

=

，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，

∴EF DH

'⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =，∴1AE OH OD AO

=

?=，∴3DH D H '==，∴222

'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．

⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r

，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r

，

由1100

n AB n AD ??=??'?=??u u r u u u r u u r u u u u r 得430330x y x y z +=??-++=?，取345x y z =??=-??=?

， ∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，

， ∴

12129575

cos 5210

n n n n θ?+==?u r u u r

u r u u r ，∴295sin θ．

13、（2016年3卷9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

（A ）185+（B ）545+（C ）90 （D ）81 【答案】B

考点：空间几何体的三视图及表面积．

【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．

14、（2016年3卷10题）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）

（A ）4π （B ）92π

（C ）6π （D ）

323π

【答案】B

试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱

柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值3

2，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．

考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．

【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．

15、（2016年3卷19题）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC P ，3AB AD AC ===，

4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN P 平面PAB ；

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．

试题解析：（Ⅰ）由已知得

232

==

AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为

PC 中点知BC TN //，

221

==

BC TN .

又BC AD //，故

TN AM

P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.

因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .

设(,,)n x y z =r 为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PN n PM n ，即?????=-+=-02250

42z y x z x ，可取

(0,2,1)n =r

，

于是

|||cos ,|||||n AN n AN n AN ?<>==r u u u r

r u u u r r u u u

r . 考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．

16、（2017年1卷7题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

【答案】B

【解析】由三视图可画出立体图

【解析】该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 【解析】()24226S =+?÷=梯 【解析】6212S =?=全梯

故选B

17、（2017年1卷16题）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______．

【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥ 【解析】3

OG =

，即OG 的长度与BC 的长度或成正比 【解析】设OG x =，则23BC x =，5DG x =-

【解析】三棱锥的高22225102510h DG OG x x x x =--+-=-

【解析】2

1233332

ABC S x x =?=△

【解析】则2

1325103

ABC V S h x x =?-△45=32510x x -

【解析】令()452510f x x x =-，5(0,)2

x ∈，()34

10050f x x x '=-

【解析】令()0f x '>，即4320x x -<，2x < 【解析】则()()280f x f =≤

【解析】则

38045V ?=≤ 【解析】∴体积最大值为3415cm

【解析】

18、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=?．

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=? 【解析】∴PA AB ⊥，PD CD ⊥ 【解析】又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥

【解析】又∵PD PA P =I ，PD 、PA ?平面PAD 【解析】∴AB ⊥平面PAD ，又AB ?平面PAB 【解析】∴平面PAB ⊥平面PAD

【解析】（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE 【解析】∵AB CD

【解析】∴四边形ABCD 为平行四边形 【解析】∴OE

AB

【解析】由（1）知，AB ⊥平面PAD

【解析】∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ?平面PAD 【解析】∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 【解析】又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ 【解析】∴PO 、OE 、AD 两两垂直

【解析】∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -

【解析】设2PA =，∴()

002D -，

，、()220B ，，、()002P ，，、()

202C -，，， 【解析】

∴()022PD =--u u u r ，，、()222PB =-u u u r ，，、()

2200BC =-u u u r ，， 【解析】设()n x y z =r

,,为平面PBC 的法向量

【解析】由00n PB n BC ??=???=??r u u u r

r u u u r ，得2220

220

x y z x ?+-=??-=?? 【解析】令

1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量()

012n =r ,,

【解析】∵90APD ∠=?，∴PD PA ⊥

【解析】又知AB ⊥平面PAD ，PD ?平面PAD 【解析】∴PD AB ⊥，又PA AB A =I 【解析】∴PD ⊥平面PAB

【解析】即PD u u u r

是平面PAB

的一个法向量，(0PD =u u u r ,,

【解析】

∴cos PD n PD n PD n ?==?u u u r r

u u u r r u u u r r , 【解析】由图知二面角A PB C --

为钝角，所以它的余弦值为 19、(2017年2卷4题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

【解析】 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 【解析】

【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间

想象能力为主目的.

【解析】 【解析】解法一：常规解法

【解析】

从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如

下：

【解析】

从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部

分图如下：

20、(2017年2卷10题)已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，

1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）

A ．

2 B ． C ．

D ．

【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力

【解析】解法一：常规解法

21、(2017年2卷19题) 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值

【命题意图】线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解

【标准答案】（1）证明略；（2）105

【基本解法1】

（1）证明：取PA 中点为F ，连接EF 、AF

因为90BAD ABC ∠=∠=?，12BC AD =

所以BC 1

2AD 因为E 是PD 的中点，所以EF 1

2

AD ，所以EF BC

所以四边形EFBC 为平行四边形，所以//EC BF 因为BF ?平面PAB ，EC ?平面PAB 所以直线//CE 平面PAB

（2）取AD 中点为O ，连接OC OP 、

因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD

因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ?平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD

因为AO BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC 所以OC AD ⊥

以,,OC OD OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图

设1BC =，则3),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --，所以(1,0,3)PC =u u u r

设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =-u u u u r ，(1,0,0)AB =u u u r

因为点M 在棱PC 上，所以(01)PM PC λλ=≤≤u u u r u u u r

，即(,,3)(1,0,3)x y z λ=

所以(33)M λλ，所以(33)BM λλ=-u u u u r

平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =r

因为直线BM 与底面ABCD 所成角为45?，

所以222||332

|sin 45||cos ,|2

||||(1)1(33)1BM n BM n BM n λλλ??=<>===-++-?u u u u r r

u u u u r r u u u u r r

解得2

1λ=-26(BM =u u u u r

设平面MAB 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0

26

022

AB m x BM m x y z ??==?

??=-

+-=??u u u r u r

u u u u r u r 令1z =，则6(0,,1)m =u r

所以22

10

cos ,5||||6()12

m n m n <>==

?+u r r

u r r u r u u r 所以求二面角M AB D --的余弦值10

5

22、（2017年3卷8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

A ．π

B ．3π4

C ．π２

D ．π

4

【答案】B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2

2

1312r ??

=-= ???

，

则圆柱体体积2

3ππ4

V r h ==，故选B.

23、（2017年3卷16题）为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直

线与

，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与成60?角时，AB 与成30?角； ②当直线AB 与成60?角时，AB 与成60?角； ③直线AB 与所成角的最小值为45?； ④直线AB 与所成角的最大值为60?．

其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③

【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，

斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．

以C 为坐标原点，以CD u u u r 为轴正方向，CB u u u r

为轴正方向， CA u u u r

为轴正方向建立空间直角坐标系．

则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，

直线的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r

．

B 点起始坐标为(0,1,0)，

直线的方向单位向量(1,0,0)b =r

，||1b =r ．

设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，

其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．

那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r

，||AB '=u u u r

． 设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2

α∈，

则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--?==∈'r u u u r ． 故ππ

[,]42α∈，所以③正确，④错误．

设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2

β∈，

cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB b

b AB b AB βθθθ'?='

-?='=

u u u r r r u u u r

r u u u r .

当AB 'u u u r 与夹角为60?时，即π3α=，

sin 3πθα===

． ∵22cos sin 1θθ+=，

∴|cos |θ．

∴1

cos |cos |2βθ=．

∵π

[0,]2

β∈．

∴π

=3

β，此时AB 'u u u r 与夹角为60?．

∴②正确，①错误．

24、（2017年3卷19题）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角

形．ABD CBD ∠=∠，AB BD =．

（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；

（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．

【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ?Q 为等边三角形

∴BO AC ⊥∴AB BC =

AB BC

BD BD

ABD DBC =??

=??∠=∠?

ABD CBD ∴???. ∴AD CD =,即ACD ?为等腰直角三角形，ADC ∠

D

A

B

C E

D

A

B

C

E

O

为直角又O 为底边AC 中点

∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====

易得：OD

，OB =∴

2

2

2

OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2

DOB π

∠=

即OD OB ⊥

又∵OD ADC ?平面

由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等

即E 为BD 中点

以O 为原点，OA u u u r 为轴正方向，OB u u u r 为轴正方向，OD u u u r

为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，

则()0,0,0O ，,0,02a A ?? ???，0,0,2a D ?

? ???

，,0B ?? ? ???

，,4a E ?? ? ???

易得：,24a a AE ??=- ? ???

u u u r ，,0,22a a AD ??=- ???u u u r ，,0,02a OA ??

= ???u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r

，

则1100AE n AD n ??=???=??u u u r u u r u u u r u u r

，解得1n =u u r 220

0AE n OA n ??=???=??u u u r u u r u u u

r u u r

，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为，易知为锐角，

则

1212

cos n n n n θ?==?u u r u u r u u r u u r 主要考点：

1、 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识 别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图 .

2、 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 .

3、 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题

4、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

5、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

6、 理解直线的方向向量与平面的法向量.

7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解

向量方法在研究立体几何问题中的应用.