成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中数学试题(Word版含解析)

成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线10x +-=的倾斜角为（ ） A. 30o B. 60oC. 120oD. 150o【答案】D【详解】设直线﹣1=0的倾斜角为α．直线y ﹣1=0化为y x =+∵α∈[0°，180°），∴α=150°． 故选：D ．2.抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A. (0，1) B. (1，0) C. (116，0) D. (0，116) 【答案】D【详解】由题意可知211x 48y p =∴= ∴焦点坐标为(0，116) 故答案为：D3.双曲线2213y x -=的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）A. 1D. 2【答案】C【详解】由双曲线的标准方程2213y x -=可知，21a =，23b =，焦点在x 轴上，所以2224c a b =+=，2c =，焦点坐标为()2,0，()2,0-，所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，取焦点坐标()2,0，渐近线方程y =0y -=，焦点到渐近线的距离d ==C 。

4.下列说法正确的是（ ） A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“0R x ∃∈， 20010x x --<”的否定是“R x ∀∈， 210x x -->”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a b 、都是偶数，则+a b 是偶数”的逆否命题是假命题 【答案】C【详解】对于A ：“3能被2整除”显然不正确；对于B ：由于命题“0R x ∃∈，20010x x --<”的否定是2,10x R x x ∀∈--≥，故B 不正确；对于C ：47是7的倍数或49是7的倍数是复合命题p 或q 的形式，其中p ：47是7的倍数为假，q ：49是7的倍数为真，其中p 为真，故命题：47是7的倍数或49是7的倍数为真，故C 正确；对于D ：命题“若a ，b 都是偶数，则a b +是偶数”为真命题，由原命题与逆否命题的等价性得，其逆否命题也为真命题，故D 不正确；故选C.5.已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【详解】∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上） ∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题 又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点 ∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题； 故p 是q 的必要不充分条件 故选B6.直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则a 的值等于( ) A. -1或3 B. 1或3C. -3D. -1【答案】D【详解】：直线2:(2)320l a x y a -++=可化为2233a a y x -=--，斜率为22,3a k -=-在y 轴上截距22;3ab =-两直线平行，则直线1l 斜率存在，即0,a ≠直线1:60l x ay ++=可化为16,y x a a =--斜率为11,k a =-在y 轴上截距为16;b a =-则由12l l //得1212,k k b b =≠且即126233a a a a --=--≠-且，解得1.a =-故选D ．7.设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ） ①,m n α⊥若//α，则m n ⊥； ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则； ③//,//,//m n m n αα若则； ④//,//,,m m αββγαγ⊥⊥若则． A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④【答案】D【详解】②,αβ可以使任意角，③,m n 可以是任意角。

所以选D8.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A.C.D.【答案】C【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±3．故选：C．9.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 3C. 6D. 2【答案】D【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.∴四棱锥的体积是()12212232+⨯⨯⨯=. 故选D. 10.已知圆221:2410C x y x y++-+=，圆222:(3)(1)1C x y-++=，则这两个圆的公切线条数为（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y++-+=，即22+1+24x y-=（）（）其圆心为12-（，），半径12r=，圆222:(3)(1)1C x y-++=，其圆心为31-（，），半径21r=，则有221212435C C r r=+=>+，两圆外离，有4条公切线；故选：D．11.在平面直角坐标系中，,A B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线240x y+-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A.45π B. 34πC. (6π-D. 54π【答案】A【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为1122O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A.12.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F ，，点Q 为椭圆上一点. 12QF F V 的重心为G ，内心为I ，且12GI F F u u v u u u u vλ=，则该椭圆的离心率为（ ） A.12B.2C.13D.3【答案】A【详解】椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设Q （x 0，y 0），∵G 为△F 1QF 2的重心，∴G 点坐标为 G （03x ，03y），∵12GI F F λ=u u r u u u u r ，则GI u u r ∥12F F u u u u r ，∴I 的纵坐标为03y ， 又∵|QF 1|+|QF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， ∴12F QF S V =12•|F 1F 2|•|y 0|， 又∵I 为△F 1QF 2的内心，∴|3y |即为内切圆的半径， 内心I 把△F 1QF 2分为三个底分别为△F 1MF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴12F QF S V =12（|QF 1|+|F 1F 2|+|QF 2|）|03y |， 即12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，∴2c=a，∴椭圆C 的离心率为e=12， ∴该椭圆的离心率12，故选：A ．二、填空题（本大题共4小题）13.已知x、y满足不等式组2103260xx yx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则z=3x+y的最大值为______．【答案】9【详解】作出x、y满足不等式组2103260xx yx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中23A（，），设3z F x y x y==+（，），将直线3l z x y=+：进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，max239z F∴==（，）．故答案为：9．14.体积为3π的球的内接正方体的棱长为_____________。

【答案】2【解析】可知球半径3334VRπ==而球内接正方体的体对角线长等于球直径23设正方体的棱长为x，323x=2x=15.椭圆26x+22y=1与双曲线23x-22yb=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=______ ．【答案】13【详解】由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，双曲线23x-22yb=1，即双曲线23x-y2=1．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF26，|PF1|-|PF23可得|PF 1|=6+3，|PF 2|=6-3，且|F 1F 2|=4．再由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-⋅ 即()()222(63)(63)426363++--+⋅-=13，故答案为：13．16.抛物线22(0)x py p =>上一点(3,)(1)A m m >到抛物线准线的距离为134，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点E ，点F 为内切圆上任意一点，则•OE OF u u u r u u u r的取值范围为__________． 【答案】[333+3]，-【解析】因为点(3)A m ，在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p =．当6p =时，114m =<，故6p =舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴(33)(33)A B ，，，-，所以OAB V 是正三角形，边长为23，其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如图所示，∴3322E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+（θ为参数），则33π·cos 3sin 33sin 26OE OF u u u r u u u r θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴·[3333]OE OF ∈-+u u u r u u u r ，．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根； q ：方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围 【答案】（1）3m <-.；（2）21m -<<-或3m <-.试题解析：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，所以30{120m m +<->，解得3m <-，即:3q m <-.（2）若方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根，则()24420{2020m m m m ∆=-+>->+>解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又p 且q 为假，所以p q 、至少有一个为假.因此，p q 、两命题应一真一假，当p 为真，q 为假时，21{3m m -<<-≥-，解得21m -<<-；当p 为假，q 为真时，21{3m m m 或≤≥-<-，解得3m <-.综上，21m -<<-或3m <-.18.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C的对边，且2cos A·cos C(tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小； (2)若33a c +=，3b =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1) 3B π=.(2)5316. 详解：(1)由已知得2cos Acos C＝1，所以2(sin Asin C －cos Acos C )＝1，即cos (A ＋C )＝－， 所以cos B ＝，又0<B <π，所以B ＝. (2)由余弦定理，得cos B ＝＝，即＝，又因为a ＋c ＝，b ＝，所以－2ac －3＝ac ，即ac ＝，所以S △ABC ＝acsin B ＝××＝.19.已知在等比数列{a n }中，a 1=2，且a 1，a 2，a 3-2成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足：2121n n nb log a a =+-，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【答案】（1）a n =2n，n ∈N *（2）1-12n+n 2【详解】（1）等比数列{a n }的公比设为q ，a 1=2，a 1，a 2，a 3-2成等差数列，可得2a 2=a 1+a 3-2， 即为4q =2+2q 2-2，解得q =2， 则a n =a 1q n -1=2n ，n ∈N *；（2）2121n n n b log a a =+-=12n +2log 22n -1=12n+2n -1，则数列{b n }的前n 项和S n =（12+14+…+12n ）+（1+3+…+2n -1） =11122112n ⎛⎫-⎪⎝⎭-+12n （1+2n -1）=1-12n+n 2．20.如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，四边形BDEF 是正方形且DE ⊥平面ABCD .（1）求证：//CF 平面ADE ； （2）若2AE =ABCDEF 的体积V .【答案】（1）证明详见解析；（2）33. 【详解】（1）证明：ABCD Q 是菱形，//BC AD ∴.又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，//BC ∴平面ADE .又BDEF 是正方形，//BF DE ∴. BF ⊄Q 平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，//BF ∴平面ADE .BC Q ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF BC BF B ⋂= ∴平面//BCF 平面AED ，//CF ∴平面AED .（2）解：连接AC ，记AC BD O ⋂=.ABCD Q 是菱形，AC BD ⊥，且AO BO =.由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥.DE ⊂Q 平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D ⋂=， AC ∴⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高.由ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，则ABD ∆为等边三角形，由2AE = 1AD DE ==，3AO =1BDEF S =，13A BDEF BDEF V S AO -=⋅ 3=32A BDEF V V -==21.已知动点(,)M x y 2222(1)(1)22x y x y ++-+=（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）22+12x y =（2）见解析试题解析：（1）由已知，动点M 到点()1,0P -，()1,0Q 的距离之和为22且PQ <M的轨迹为椭圆，而a =1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：()1y k x =+由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+， 直线BC 的方程为：()212221y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---， 令0y =，则()()()()12121212122121121222222kx x k x x x x x x x y x y x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点()2,0D -.22.已知椭圆C: 22221,(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，且过点（1，3）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设与圆2234O x y +=：相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=；（2）OAB ∆面积的1y x =±． 试题解析：（1）由题意可得：221213{3a b c a +==22223,1,13x a b y ==∴+=（2）①当k 不存在时，x y =∴= 1324OAB S ∆∴== ②当k 不存在时，设直线为y kx m =+，()11,A x y ,()22,B x y ,221{3x y y kx m+==+,()222136330k x km m +++-= 2121222633,1313km m x x x x k k --+==++()22431d r m k =⇒=+242222424611094133113169169km k k k AB kk k k k k -++⎛⎫=+=⋅=⋅+ ⎪+++++⎝⎭224312196k k=⨯+≤++当且仅当2219k k =，即3k =±时等号成立 1133222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯⨯=， OAB ∴∆面积的最大值为3，此时直线方程31y x =±±.。