最新15有理数指数幂及其运算
4.1.1有理数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
1 −3
3
(3)
=
=
=
(4)
2
125 −3
64
(4)
(2)
−
−
=
−
=
−
=
=
−
−
=
( )
=
=
巩固练习
例三、用分数指数幂表示下列格式（a>0)
a2
3
(1)a ∙ a
4
a∙ 3 a
∙ a3
n
a<0
−8 = −2 ； 3 = −3 =
3
−3
新课讲授
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中
正的n次方根叫作算数根，记作 。
n
当a>0时，如x = a，则 = ± ; x 2 = 3
x=± 3
再规定 = 负数没有偶次方根。
n ∈ N, n ≥ 2 叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数。
(3)
3
−
−
= =
= −
3
课堂小结
[1]若一个实数x的n次方 n ∈ N, n ≥ 2 等于a，即 = ，则称x是a的n次方根。
(1)当n是奇数的时，数a的n次方根记作 .
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中正的n次方
有理数指数幂知识点
有理数指数幂知识点一、有理数指数幂的概念。
1. 正整数指数幂。
- 定义：对于a∈ R，n∈ N^*，a^n=⏟a× a×·s× a_n个a。
例如2^3 = 2×2×2 = 8。
2. 零指数幂。
- 规定：a^0 = 1(a≠0)。
这是因为当a≠0时，a^m÷ a^m=a^m - m=a^0，而a^m÷a^m = 1。
3. 负整数指数幂。
- 定义：a^-n=(1)/(a^n)(a≠0,n∈ N^*)。
例如2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。
4. 分数指数幂。
- 正分数指数幂：a^(m)/(n)=sqrt[n]{a^m}(a≥slant0,m,n∈ N^*,n > 1)。
例如4^(3)/(2)=√(4^3)=√(64) = 8。
- 负分数指数幂：a^-(m)/(n)=(1)/(a^frac{m){n}}=(1)/(sqrt[n]{a^m)}(a > 0,m,n∈N^*,n > 1)。
例如8^-(2)/(3)=(1)/(8^frac{2){3}}=(1)/(sqrt[3]{8^2)}=(1)/(4)。
二、有理数指数幂的运算性质。
1. 同底数幂相乘。
- a^m· a^n=a^m + n(a>0,m,n∈ Q)。
例如2^(1)/(2)×2^(1)/(3)=2^(1)/(2)+(1)/(3)=2^(3 + 2)/(6)=2^(5)/(6)。
2. 同底数幂相除。
- a^m÷ a^n=a^m - n(a>0,m,n∈ Q)。
例如3^(3)/(2)÷3^(1)/(2)=3^(3)/(2)-(1)/(2)=3^1 = 3。
3. 幂的乘方。
- (a^m)^n=a^mn(a>0,m,n∈ Q)。
例如(2^(2)/(3))^3=2^(2)/(3)×3=2^2 = 4。
掌握指数和幂的运算和规则
掌握指数和幂的运算和规则在数学中，指数和幂是一种重要的数学运算和规则。
它们在各个领域都有广泛的应用，如科学、工程、金融等。
掌握指数和幂的运算和规则对于解决各种数学问题和实际应用非常重要。
本文将介绍指数和幂的运算和规则，并通过实例进行说明。
1. 指数的定义和运算指数是数学中的一种表示方式，用于表示一个数被乘以自身多少次。
比如，2的3次方表示2乘以2乘以2，即2³=8。
指数通常用上标的形式表示，如2³。
指数的运算有以下几种规则：（1）指数相加：当两个数的底数相同时，指数相加。
比如，2² × 2³ = 2^(2+3)= 2^5 = 32。
（2）指数相减：当两个数的底数相同时，指数相减。
比如，2⁵ ÷ 2³ = 2^(5-3)= 2² = 4。
（3）指数乘法：当两个数的指数相同时，底数相乘。
比如，2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³。
（4）指数除法：当两个数的指数相同时，底数相除。
比如，2⁶ ÷ 3⁶ = (2 ÷3)⁶。
（5）指数的乘方：当一个数的指数是一个指数时，可以进行指数的乘方。
比如，(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶ = 64。
2. 幂的定义和运算幂是指数的一种特殊形式，它表示一个数被乘以自身多次。
幂通常用底数和指数的形式表示，如2³。
幂的运算也有一些规则：（1）幂的乘法：当两个数的底数相同时，指数相加。
比如，2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷。
（2）幂的除法：当两个数的底数相同时，指数相减。
比如，2⁵ ÷ 2³ = 2^(5-3) = 2²。
（3）幂的乘方：当一个数的指数是一个幂时，可以进行幂的乘方。
比如，(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶。
数学高一知识点有理数指幂
数学高一知识点有理数指幂在数学高中第一年的学习中，有理数指数幂是一个重要的知识点。
有理数指数幂的概念和性质在学习数学过程中起到了至关重要的作用。
下面将就有理数、指数和幂三者分别进行阐述，并进一步探讨有理数指数幂的性质和运算规律。
1. 有理数：有理数指的是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
有理数可以用分数或小数形式表示，并且符合加法、减法、乘法和除法等运算规律。
例如，2、-5、0.25和-3/4都属于有理数。
2. 指数：指数是用来表示重复乘法的运算符号。
当指数为正整数时，表示将底数重复相乘；当指数为负整数时，表示将底数的倒数重复相乘。
指数还可以为零，此时结果为1。
例如，2³表示将2重复相乘3次，即2³=2×2×2=8；4⁻²表示将4的倒数重复相乘2次，即4⁻²=(1/4)×(1/4)=1/16。
3. 幂：幂是由底数和指数两个部分构成的数学运算。
底数表示被乘方的数，指数表示乘方的次数。
当指数为正整数时，幂表示底数连乘的结果；当指数为负整数时，幂表示底数连除的结果。
例如，2²表示将2连乘2次，即2²=2×2=4；3⁻³表示将3连除3次，即3⁻³=1/(3×3×3)=1/27。
4. 有理数指数幂的性质：- 有理数的任何正整数次幂都是正数，任何负整数次幂都是它的倒数。
- 有理数的零次幂为1，除零外的任何有理数的零次幂都等于1。
- 有理数的指数幂满足幂的运算规律，即底数相同时，指数幂相加得到幂的乘积，指数幂相减得到幂的除法，不同底数的指数幂相乘得到幂的乘积。
5. 有理数指数幂的运算规律：- 相同底数的指数幂相乘时，可以将指数相加，即aⁿ × aᵐ =aⁿ⁺ᵐ。
- 相同底数的指数幂相除时，可以将指数相减，即aⁿ ÷ aᵐ =aⁿ⁻ᵐ。
有理数指数幂
13 6
a 5 a9
9 5
1
6
b13
3.用分数指数幂表示下列各式 （1） a 1 （2） 5 4
3 2
b
解： 2 3 a2 a 3 （1） 4 1 （2） 5 4 b 5
b
4.求值 1 （1） 492 1 （2）32 5 解： 1 （1） 492 （2） 32 1
n 次根试 二、
1、 次根式的概念
如果一个数的n次方等于a（n>1且n∈N*），那 么这个数叫做a的n次方根。即：若xn=a，则x叫 n 做a的n次方根，其中n>1且n∈N*。式子 a 叫 做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开放数。
n
2.根式的性质
1、当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数，负数的n次方根是一个负数，a的n 次方根用符号 n a 表示。 2、当n为偶数时，正数的n次方根有两个， 它们互为相反数，这时，正数的正的n次 n 方根用符号 a 表示，负的n次方根用符号 n a 表示。正负两个 n次方根可以合作为 （a>0 ）。 n a 4、负数没有偶次方根。 5、零的任何次方根都是零。
课堂练习
计算： （1） 0.013
3 2 ( ) （2） 2
（3）(3a )
2 2
解答
（1）
1 3 0.01 ( ) 100 3 10 6 1000000 100
3
（2） （3）
3 2 2 2 4 ( ) ( ) 2 3 9
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
有理数的乘方运算与幂函数计算
有理数的乘方运算与幂函数计算有理数的乘方运算是数学中常见的运算之一，它包括了正整数指数运算、负整数指数运算以及零指数运算。
在进行有理数的乘方运算时，我们可以通过幂函数的计算来简化问题，从而更方便地求解。
一、正整数指数运算正整数指数运算是最基本且最常用的乘方运算。
它表示将一个数自乘若干次的运算，其中指数表示自乘的次数。
对于有理数a和正整数n，我们可以将a的n次方表示为a^n。
例如，2的3次方可以写为2^3，表示为8。
在进行计算时，我们可以不断地将2与自身相乘，共计3次，即2×2×2=8。
同样地，对于有理数a和b，以及正整数n，我们可以进行如下的乘方运算：a^n = a × a × a × ... × a (共计n个a乘积)二、负整数指数运算与正整数指数运算类似，负整数指数运算也是对一个数进行自乘若干次的运算，只不过指数现在变成了负数。
对于有理数a和负整数n，我们可以将a的n次方表示为a^n。
例如，2的-2次方可以写为2^-2，表示为1/4。
在进行计算时，我们先将2的绝对值进行乘方运算，然后再取倒数，即(1/2)^2=1/4。
同样地，对于有理数a和b，以及负整数n，我们可以进行如下的乘方运算：a^n = 1 / (a × a × a × ... × a) (共计n个a乘积)三、零指数运算零指数运算是指以0作为指数的乘方运算。
对于任何非零实数a，我们有a^0 = 1，其中1表示数值上的单位元素。
例如，2的0次方可以写为2^0，表示为1。
在进行计算时，我们可以将2进行取消，得到结果为1。
四、幂函数计算幂函数是指以变量作为底数的函数，其中指数可以是有理数。
幂函数的一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
在幂函数的计算中，我们可以根据指数的正负以及零来判断函数的性质。
当指数为正数时，函数呈现递增趋势；当指数为负数时，函数呈现递减趋势；当指数为零时，函数的值为1。
指数幂运算课件(人教版)
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解：2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 6 × 3 ×
1
3 × 12
=2 6 × 3 × 3 × 2 × 3 × =6×2 + ×3++ = 6 × 20 × 3
= 18.
高中数学
总结：
用分数指数幂的情势来表示根式 ，往往会简化根式运算.
36
6
6
125
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解 ：提示 ，将根式化为幂ax 情势.
2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 2 × 3 × 3 ×
1
3 × 12 .
= 3 × 2 ，12 = ሺ3 × 22 = 3 × 2
公式：a = nξam ，aT ∙ aS = aT +S ， = aT −S .
能产生一列从
1 414，1 4142
于ξ 2的 方 向 1 4 1421， 1
ξ 的数x： 渐逼近 421 3，
高中数学
由此 ， 我们 就能产生一列从 于ξ 2的 方 向逐渐逼 近ξ 的数x
1 4 ， 1 41 ，1 414， 1 4142 1 4 1421， 1 414213，
： 而且 ，2 − 1.96 = 0.04 ，2 − 1.9881 = 0.0119，
T, S ∈ Q .
③ ሺab ሻT = aT ∙ bT ，
常见情势： = aT ∙ a−S = aT −S .
高中数学
例 1. 求值：
−1.5
（1） ቀ25 ቁ ；
36
解 ：提示 ，将−1.5化为分数 ，将25化为幂ax 情势.
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1.41 0.782048691… 0.78068635… 1.42
1.414 0.78150347…
0.781367224… 1.415
1.4142 0.781476219…
0.781462593… 1.4143
1.41421 0.781474856… 0.78147437064…
0.84α 的过剩近似 值…
的交点的横坐标。 2、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断， 并且在它的两个端点处的函数值异号，
即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间(a, b)上，
至少有一个零点。即存在一点x0∈(a, b)，使f(x0)=0。
小结二分法
❖ 定义：像这种每次取区间的中点，将区间一 分为二，再经比较，按需要留下其中一个小 区间的方法称为二分法。
某厂 2006 年产值是 30 万元，那么，要 使该厂从 2006 年到 2009 年这四年产值总和 达到 210 万元，该厂产值的年平均增长率应 为多少？（结果精确到小数点后一位）
该厂产值的年平均增长率应为0.4 。
▪数学知识和原理
1、若方程f(x)＝0有实数解，则函数f (x)的零点
就是方程f (x)=0的根，也是函数y = f (x)的图象与x轴
0.781473493… 1.41422 0.78147437064…
0.84α 的不足近似值…
你认为：扩充后的实数指数幂仍然满足有理 指数数幂的三个运算性质吗 ？为什么？
(1) a a a ；
(2) (a ) a ；
(3) (ab) a b ．
a>0，b>0，α，β，为任意实数
若 a＞0，α 是实数，则 a > 0．
多少？
三．无理数指数幂 0.84 2 ？
2 ＝1.41421 35623 73095 04880 16887 24210 …
2 1.4＜1.41＜1.414＜1.4142＜…＜
2 的不足近似值
＜…＜1.4143＜1.415＜1.42＜1.5，
2 的过剩近似值
a
0.84α
0.84α
α
1.4 0.783413409… 0.769876717… 1.5
现有一种新的放射性物质 M ，自然条件下每 经过一年，剩余 M 的量为一年前的量的 a 倍。假 设某时刻放射性物质 M 的量为 1，则在自然条件
下：
（1）经过 1 年，剩余放射性物质 M 的量为多少？ （2）经过 2 年，剩余放射性物质 M 的量为多少？ （3）经过 3 年，剩余放射性物质 M 的量为多少？ （4）经过 n 年，剩余放射性物质 M 的量为多少？ （4）经过任意时间，剩余放射性物质 M 的量为
a2
1
2
212
a 2 3
5
a6
6 a5
a2 a3
(2)( 3 25 125 ) 4 5
23
1
21
3
1
(53 52)54 53 54 52 54
21
53 4
31
52 4
5
512
5
54
1255
54
ห้องสมุดไป่ตู้
5.
例5．化简下列各式：
（1） m m 1 2
1
1
m 2 m2
(m1 2)22m 1 21m1 21(m1 2)2
正数的奇次方根仍是正数，负数的奇次方根仍是负数，记作 n a 。 正数 a 的正 n 次方根叫作 a 的 n 次算数根。n a 叫作根式，
n 叫作根指数。
例3．计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3) (3a6b6);
[2 ( 6 ) ( 3 )]a 2 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 6 5 4 a b 0 4 a
201115有理数指数幂及其运算
复习 （一）根式及根式的性质
如果存在实数 x 使得 xn a(a R, n 1, n N ) ，则 x 叫 作 a 的 n 次方根，把求 a 的 n 次方根的运算叫作把 a 开 n 次方，称作开方运算
正数 a 的偶次方根 有两个，互为相反数，记作 n a, n a 负数在实数范围内不存在偶次方根
新疆 王新敞
奎屯 新疆 王新敞 奎屯
13
(2)(m4n8 )8.
(m1 4)8(n8 3)3m3n3m n32
小结：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相 乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，等熟练后可简 化计算步骤
(1例) 4．a计2算下(列a 各 式0 )：;把然根后式计化算成分数指数幂的最简形式， a 3 a2
❖ 求函数零点（即方程的根）近似解的步骤：
❖ （1）确定初始区间
❖ （2）取中点缩小区间
❖ （3）求出满足精确度要求的近似解:
❖ 体现的数学思想：
❖
函数 无限逼近
二分法的算法思想 二分法求函数零点（方程实根） 近似解的思想是非常简明的，但是 为了提高根的精确度，用二分法求方 程实根的过程又是很长的，借助计算 机编程就比较容易实施。 利用二分法求方程解的过程可 以用右图表示出来。
A= m n n
阅读下述材料，回答问题 衰变是放射性元素放射出粒子后变成另一种元素的现象。不 稳定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，可变得 较为稳定，这个过程称为衰变。 放射性同位素衰变的快慢有一定的规律。 例如，氡-222 经过 α 衰变为钋-218，如果隔一段时间测量一 次氡的数量级就会发现，每过 3.8 天就有一半的氡发生衰变。也就 是说，经过第一个 3.8 天，剩下一半的氡，经过第二个 3.8 天，剩 有 1/4 的氡；再经过 3.8 天，剩有 1/8 的氡...... 因此，我们可以用半衰期来表示放射性元素衰变的快慢。放 射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间，叫做这种元素的 半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差别非常大。例 如，氡-222 衰变为钋-218 的时间为 3.8 天，镭-226 衰变为氡-222 的时间为 1620 年，铀-238 衰变为钍-234 的半衰期竟长达 4.5×109 年。
1
1
m2m2
（2）
m2m2
1
1
1
1
(x2 y2)(x4 y4)
1
1
x4 y4
例6．已知x+x-1=3,求下列各式的值：
1
1
3
3
(1)x2x2,(2)x2x2.
新疆 王新敞
奎屯
5
25
例 7、设 mn>0，x=
m n
n ，注重已知条件与所求之 m 间的内在联系，开方时
正负的取舍应引起注意
化简：A= 2 x2 4 . x x2 4