北师大版九学年数学下册课程教案解直角三角形

2014.12
知识技能
1.在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，根据下列条件求出直 角三角形的其他几个元素 （1）a=19，c=19 2 （2）a=6 2， b=6 6 2.在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，根据下列条件求出直 角三角形的其他几个元素 （1）c=20，∠A=45° （2）a=36，∠B=30°
∴梯子与地面所在的角大约是 66°
由 α 要满足 50°≤a≤75°可知，这时梯子是安全的。
2014.12
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
想
∵sinB=
b c
,b=30∴c
=
b sinB
=
30 sin25°
≈71
∵tanB=
b a
,b=30∴a =
b tanB
=
30 tan25°
≈64
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一 条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来。
2014.12
随堂练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形 的其他几个元素（角精确到1°） （1）已知a=4，b=8 （2）已知b=10， ∠B=60° （1）已知c=20， ∠A=60°
问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的
B
墙（精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地
面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人
是否能够安全使用这个梯子？
解：如图，在Rt △ABC中，∠C=90°
α
A
C
(1)由题可知，当∠A＝75°，对边BC的长度就攀上
的最高高度。
∵sinA=
=
10 19.2
≈0.5208
∴∠ACD≈27.5° ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5° =55°. ∴V 型角的大小约 55°.
2014.12
问题解决4
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与
地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，
度为（ D ）
A. 40 3m B. 80 3m C. 120 3m D. 160 3m
解：过 A 作 AD⊥BC 于 D，
则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，
AD＝120m。
D
∴BC＝BD＋CD
＝120·tan30°＋120·tan60°
＝160 3m
2014.12
中考链接
4.（2014•扬州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，AB⊥BC，
AD⊥CD，∠BAD=60°，点 M、N 分别在 AB、AD 边上，若 AM：
MB=AN：ND=1：2，则 tan∠MCN=（ A ）
33
25
A. 13
B. 11
23 C. 9
D. 5－2
O
E
2014.12
2014.12
2014.12
问题解决
3.如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19. 2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).
解：由题意知，AB=20mm,CD=19.2mm ∵AC=BC,CD⊥AB ∴AD=10mm ∵在 Rt△ ACD 中，∠ADC=90°
∴tan∠ACD=
AD CD
.
cos A
2014.12
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
1
3
3
2
2
3
2
2
450
1
2
2
600
31
3
2
2
2014.12
在直角△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三 角形的其他元素吗？
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A、∠B、∠C
所对的边分别为 a、b、c，且 a= 15，b= 5，求这个
在三角形的其他元素。
A
解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
做
则 c= a2+b2= 15+5=2 5
一
c
做
b
b 51 sinB= c = 2 5 = 2
∴∠B=30°, ∠A=60°
C
a
B
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元
素的过程，叫做解直角三角形。
2014.12
在直角△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个 三角形的其他元素吗？
例 2：在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A、∠B、∠C
所对的边分别为 a、b、c，且 b=30，∠B=25°,求这个
在三角形的其他元素。
解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°,∠B=25°，
想 一
∴∠A=65°
A
b
c
Ca
B
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
2014.12
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1.直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
2.直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900.
3.边角之间的关系
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
Байду номын сангаас
A
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos B
B的邻边 斜边
a c
b
c
tan A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
C
a
B
4.互余两角之间的三角函数关系:
sinA=cosB. tanA﹒tanB=1
5.同角之间的三角函数关系: sin A
sin2A+cos2A=1. tan A
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系 第四节 解直角三角形
B
c
a
┌
A
b
C
2014.12
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直 角外，如果再知道两个元素（其中至少有一 个是边），这个三角形就可以确定下来，这 样就可以由已知的两个元素求出其余的三个 元素．
解：由题可知，BE=2.7 米 在 Rt△DEB 中，∠DEB=90° ∴DE=BE•tan45°=2.7 米， 在 Rt△CEB 中，∠CEB=90° ∴CE=BE•tan30°=0.9 3米， 则 CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9 3≈1.2 米． 故塑像 CD 的高度大约为 1.2 米．
2014.12
∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，
∵AM=180 海里，
∴MD=AM•cos45°=90 2（海里），
D
答：渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M
B
之间的最小距离是 90 2海里。
2014.12
中考链接
2.（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45°方向、距
离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，
到达位于小岛南偏东 60°方向的 B 处．
（2）若渔船以 20 海里/小时的速度从 B 沿 BM 方向行驶，求渔船
从 B 到达小岛 M 的航行时间（结果精确到 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45）
0.1
小时）．（参考数据：
A
解：（2）在 Rt△DMB 中，∠ADM=90°
∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，
解：如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°
CB
∵sinA=
BC AB
=
5.2 54.5
≈0.0954
∴∠A≈5°28′
A
2014.12
中考链接 1.（2014•四川自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小 林站在距离雕塑 2.7 米的 A 处自 B 点看雕塑头顶 D 的仰角为 45°，看雕塑底部 C 的仰角为 30°，求塑像 CD 的高度．（最后结 果精确到 0.1 米，参考数据： 3≈1.7）
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的 墙（精确到0.1m） （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地 面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人 是否能够安全使用这个梯子？
解：
B
α
A
C
(2)由题可知，当 AC＝2.4m，AB=6m。
∵cosA=
AC AB
=
2.4 6
=4
∴由计算器可得 α≈66°
中考链接
2.（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45°方向、距
离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，
到达位于小岛南偏东 60°方向的 B 处．
（1）求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离（结
果用根号表示）；
A
解：（1）过点 M 作 MD⊥AB 于点 D，
∵MD=90
2海里，∴MB=
MD cos30°
=60
6，
D
∴渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间为
B
60 6÷20=3 6=3×2.45=7.35≈7.4（小时），
答：渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间约为 7.4