第二章插值法
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第二章 插值法--课堂
考察函数
右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式
，所以
，即
惟一性得证。
定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为
其中 定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证 明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式, 即 n=1的情况
表示互为逆运算。
至于如何实现这些基本运算之
间的联系和转化，途径是多种 多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无群无尽的
§4 埃尔米特插值
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都相等的插值
多项式即为Taylor多项式 其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
二、分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
§6 三次样条插值
一、样条插值的概念
2. 第二章_数值插值方法
显然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件 L2(xj)=yj (j=0,1,2) 将l0(x), l1(x), l2(x)代入得
( x x0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x 2 x0 )( x 2 x1 )
( 7 2.6458 )
二、Lagrange插值多项式
设有n+1个互异节点x0 <x1<…<xn，且 yi=f(xi) (i=0,1,2…,n) 构造Ln (x)，使 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)
定义 若n次多项式lj(x) (j = 0,1,…,n)在n+1个节 点x0 <x1<…<xn上满足条件
求出a0,a1,a2，即可得到5、6月份的日照时 间的变化规律。
定义 已知函数y=f(x)在[a,b]有定义，且已知它在 n+1个互异节点 a ≤ x0 <x1<…<xn≤b
上的函数值
y0=f(x0)，y1=f(x1) ,…,yn=f(xn)，
若存在一个次数不超过n次的多项式
Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n) 满足条件 则称Pn (x)为f(x)的n次插值多项式。
三、插值余项与误差估计
定义 若在[a,b]上用Ln (x)近似f(x)，则其截断误 差 Rn (x)＝f(x)- Ln (x) 称插值多项式的余项。 定理 设 f(x)在[a,b]上具有n阶连续导数, 且 f (n+1)(x) 存在,节点a ≤ x0 <x1<…<xn≤b， Ln (x)是满足条件Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)的插 值多项式，则对任何x[a,b]，插值余项
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
2 第二章 插值法
（7） l k ( x), l k 及x k 1上满足条件：
l k ( x) 1.l k ( x k 1 ) 0, l k 1 ( x k ) 0, l k 1 ( x k 1 ) 1. 我们称函数l k ( x)及l k 1 ( x)为线性插值基函数。见 下图：
设 y f ( x)在区间 [a, b] 上连续，且在n 1 个不同的点
a x0 x1 xn b
上的值分别为y0 , y1 ,, yn .
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的 函数类 中，求一简单函数 P( x), 使 P( xi ) yi (i 0,1, , n) (I ) 而在其它点 x xi 上，P( x)作为 f ( x) 的近似。
y L1 ( x)的几何意义就是通过两 点（xk , y k )与（xk 1 , y k 1 )的直线， 如上图所示， （x）的表达式可由几何意 L1 义直接给出： y y L ( x)
1
y f (x)
yk
y k 1
0
xk
x k 1
x
y k 1 y k L1 ( x) y k ( x xk ) xk 1 xk xk 1 x x xk L1 ( x) yk y k 1 xk 1 xk xk 1 xk
k 0
n1 ( x) 从而公式（ ）可改写成： n ( x) y k 13 L ( x xk ) n1 ( xk ) k 0
n
(15)
注：n次插值多项式 n ( x)一般应为次数为 的多项式。特殊情况下 L n 次数 可能小于n。如过三个共线点（ 0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )的二次插值多项 x 式L（x)就是一条直线而不是抛 物线。 2
第2章_插值法
56
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
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12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
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2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
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2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
第二章插值法多项式插值的存在性
第二章 插值法⏹ 多项式插值的存在性 ⏹ Lagrange 插值 ⏹ Newton 插值 ⏹ Hermit 插值 ⏹ 分段低次插值 ⏹ 三次样条插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系)(x f y =在某个区间[]b a ,是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a ，b]上一些离散点上的函数值、导数值等,因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一.在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值. 2.1 插值多项式的存在唯一性 2.1.1 插值问题设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知函数在区间],[b a 上n+1个互异点n x x x ,,,10 处的函数值)(i i x f y = i=0,1,…,n ，若存在一个简单函数)(x p y =，使其经过)(x f y =上的这n+1个已知点),(,),,(),,(1100n n y x y x y x （图5-1），即n i y x p i i ,,1,0 ,)( == （2.1.1）那么，函数)(x p 称为插值函数，点n x x x ,,,10 称为插值节点，],[b a 称为插值区间,求)(x p 的方法称为插值法,)(x f 称为被插函数。
若)(x p 是次数不超过n 的多项式,记为)(x p n ，即n n n x a x a a x p +++= 10)(则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若)(x p 为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
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f ( xi ) f [ x0 , x1 , xk ] i 0 ( xi x0 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi x k )
k
性质2：差商与其所含节点的排列次序无关。
性质3：f(x) 在包含互异节点 x0 , x1 , xn 的闭区间 [a, b] 上有n阶导数，则 n 阶导数与n 阶差商之间有如下 f ( n ) ( ) , ( a, b) 关系成立： f [ x0 , x1 , xn ]
7 3 5 T ( 方程组解为： 3 , 2 , 6 )
插值多项式为
7 3 5 2 P2 ( x) x x 3 2 6
2.1.3 插值余项 在插值区间 [a, b] 上用插值多项式 Pn (x) 近似 代替 f (x) ，除了在插值节点 x i 上没有误差外，在 其它非插值节点上一般要存在误差。 插值函数Pn (x) 与 f (x) 之间的误差，叫做插 值余项或截断误差。记作： Rn ( x) f ( x) Pn ( x) （2-3） 插值余项的大小可以来衡量插值函数 Pn (x)与 f (x) 之间准确程度。
L 用二次函数 L2 ( x) 近似函数 f (x) ，2 ( x) 为过三点的 一条抛物线，所以也称其为抛物线插值。如图22所示。
例： 已知函数 y x 的一组数据为
i
xi
yi
0 100 10
1 121 11
2 144 12
选择合适节点，试分别用线性插值和二次插值 求出 115 的近似值。
插值法与拟合法是研究函数近似问题的两种常 见方法。
插值主要内容
2.1 插值问题 2.2 拉格朗日插值多项式 2.3 牛顿插值多项式 2.4 埃米插值 2.5 三次样条插值
2.1 插值问题
2.1.1 插值问题的基本概念
设函数 y f (x) 在区间 [a, b] 上有定义，它在该区间上的 n 1各互异节点 a x0 x1 xn b上的函数值 y0 , y1 y n已 知 ，记为 y f (x) i 0,1n 。 如果选取简单函数 P(x)作为函数 f ( xi ) yi 的近似表达式，并要 满足以下条件： Pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn （2-1） 这样的函数近似问题被称为插值问题。（2-1）式被称为插 值条件，满足插值条件的近似函数 P(x)被称为函数 f (x) 的插 值函数，f (x) 称为被插值函数，互异节点 x0 , x1 , xn 被称为 插值节点，区间[a, b] 称为插值区间。
第二章 插值
问题背景
离散数据去进行理论分析和工程设计都是极不 方便甚至是不可能的. 因此需要设法寻找与己知函数值相符或基本相 符，而又方便计算、形式简单的函数去近似代 替原来的函数。
yi f ( xi ) ( i 0,1,, n)
求简单P ( x )，满足
P ( xi ) f ( xi ) (i 0,1,, n)
2.2.2 拉格朗日插值多项式 利用插值基函数，我们可以直接写出拉格朗 日插值多项式，在 n 1 个互异节点 x i (i 0,1n) 上，满足插值条件（2-1）式的拉格朗日插值多 项式记为 Ln (x) 。 n 即 Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) yn ln ( x) = y k l k ( x) k 0 （2-7） 其中 l k (x) 为（2-6）式。
解：线性插值，表中给出3个互异节点，而线性 插值只需要2个互异节点即可，这时为使截断误 差的绝对值较小，只能选取节点 x0 100, x1 121， 相应的有 y0 10, y1 11 。
x x0 x x1 L1 ( x) y0l0 ( x) y1 l1 ( x) = y0 y1 x0 x1 x1 x0
n!
2.3.2 牛顿插值公式
N n ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 ,xn ](x x0 )(x x1 )( x xn1 )
当节点个数不同时，拉格朗日插值多项式的 表达形式也不同。下面分别写出 n 1,2 时拉格 朗日插值插值多项式的表达形式。 当 n 1 时的一次插值多项式 x x0 L1 ( x) y0l0 ( x) y1 l1 ( x) = y 0 x x1 y1
x0 x1
x1 x0
2.1.2 插值多项式存在的唯一性 在 n 1各互异节点上满足差值条件（2-1） 的次数不高于 n次的插值多项式 2 n （2-2） Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x 称为插值多项式。 定理1 在 n 1各互异节点上满足差值条件（2-1） 的次数不高于n 次的插值多项式 Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n 存在且唯一。
n
(n 1)!
n 1
其中 wn1 ( x) ( x xi ), (a, b)，且依赖于 x 。
i 0
n
2.2 拉格朗日插值多项式
通过求解线性方程组的方法，我们可以求出插 值多项式，但是当节点的个数很多，在利用克莱 姆法则求解时，行列式的维数很高，造成了计算
量很大，这种方法在实际的计算中很少应用。这
为 f (x) 关于节点 xi , xi 1 ,x i k 的K阶差商。 k 0 时称为 f ( xi )关于节点 x i 的零阶差商， 记为 f [ xi ] 。
差商表 2-1
差商的性质： 性质1：函数 f (x)的k阶差商 f [ x0 , x1 ,xk ] 可由函数值 f ( x 0 ), f ( x1 ), f ( xm ) 的线性组合表示，且
其中 Ak 为待定系数。由条件 lk ( xk ) 1
Ak
得：
1 ( xk x 0 )(xk x1 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
故
( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn ) l k ( x) （2-6） ( xk x0 )(xk x1 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn )
f [ xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 2 xi
称为 f (x) 关于节点 xi , xi 1 , x i 2 的二阶差商。
一般的，称
f [ xi 1 , xi k ] f [ xi , xi k 1 ] f [ xi , xi 1 , xi k ] xi k xi
L1 (115) 10.714
=
10
x 121 x 100 11 100 121 121 100
二次插值需要三个互异节点，本题节点不必选择
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
=
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y0 y1 y2 ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 ) ( x 插值多项式的存在唯一性的意义: 用任何 方法求出的插值多项式，只要满足同一个插值 条件，其实都是同一个插值多项式。 注2: 此定理本身提供了一种求插值多项式的具 体方法，即通过求解线性方程组确定插值多项 式。但由于这种解法计算量很大，不便于实际 应用，所以以后还要研究其它的简便方法。
例： 当 x 1,1,2 时相应的函数值分别为0，-3， 4。试求该函数的二次插值多项式。 解： 设插值多项式为 P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 ， 插值多项式必须满足插值条件P( xi ) yi (i 0,1,2)， 构成非齐次线性方程组：
a 0 a1 a 2 0 a 0 a1 a 2 3 a 2 a 4 a 4 1 2 0
一节中介绍一种简便方法。
2.2.1 插值基函数 在 n 1个互异节点 x i (i 0,1n) 上插值基函 数 lk ( xi ) 的特点：
1 i k l k ( xi ) 0 i k
（2-5）
根据插值基函数的特点，可以确定插值基函数的 具体表达形式。
设
lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
L2 (115) 10.7228
例：估计上例中二次插值求 115时的截断误差。 解：已知 f ( x) x ， f (3) ( x) 3 x 5 / 2
M max | f
x[100 ,144 ] ( 3)
3 5 / 2 3 ( x) | max | x | 10 5 x[100 ,144 ] 8 8
( x 121 x 144) )( ( x 100)(x 144) ( x 100)(x 121 ) 11 12 (100 121 100 144) )( (121 100)(121 144) (144 100)(144 121 )
= 10
2.3.1 差商的定义与性质 定义 已知函数 f (x) 在 n 1 个互异节点xi (i 0,1,2n) 上函数值分别为 f ( x0 ), f ( x1 ), f ( xn ) 。
f ( xi 1 ) f ( xi ) f [ xi , xi 1 ] xi 1 xi 称为 f (x)关于节点 xi , xi 1 的一阶差商，
8
得：
M | R2 (115 ) | (115 100 )(115 121)(115 144 ) 1.63 10 3 3!
k
性质2：差商与其所含节点的排列次序无关。
性质3：f(x) 在包含互异节点 x0 , x1 , xn 的闭区间 [a, b] 上有n阶导数，则 n 阶导数与n 阶差商之间有如下 f ( n ) ( ) , ( a, b) 关系成立： f [ x0 , x1 , xn ]
7 3 5 T ( 方程组解为： 3 , 2 , 6 )
插值多项式为
7 3 5 2 P2 ( x) x x 3 2 6
2.1.3 插值余项 在插值区间 [a, b] 上用插值多项式 Pn (x) 近似 代替 f (x) ，除了在插值节点 x i 上没有误差外，在 其它非插值节点上一般要存在误差。 插值函数Pn (x) 与 f (x) 之间的误差，叫做插 值余项或截断误差。记作： Rn ( x) f ( x) Pn ( x) （2-3） 插值余项的大小可以来衡量插值函数 Pn (x)与 f (x) 之间准确程度。
L 用二次函数 L2 ( x) 近似函数 f (x) ，2 ( x) 为过三点的 一条抛物线，所以也称其为抛物线插值。如图22所示。
例： 已知函数 y x 的一组数据为
i
xi
yi
0 100 10
1 121 11
2 144 12
选择合适节点，试分别用线性插值和二次插值 求出 115 的近似值。
插值法与拟合法是研究函数近似问题的两种常 见方法。
插值主要内容
2.1 插值问题 2.2 拉格朗日插值多项式 2.3 牛顿插值多项式 2.4 埃米插值 2.5 三次样条插值
2.1 插值问题
2.1.1 插值问题的基本概念
设函数 y f (x) 在区间 [a, b] 上有定义，它在该区间上的 n 1各互异节点 a x0 x1 xn b上的函数值 y0 , y1 y n已 知 ，记为 y f (x) i 0,1n 。 如果选取简单函数 P(x)作为函数 f ( xi ) yi 的近似表达式，并要 满足以下条件： Pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn （2-1） 这样的函数近似问题被称为插值问题。（2-1）式被称为插 值条件，满足插值条件的近似函数 P(x)被称为函数 f (x) 的插 值函数，f (x) 称为被插值函数，互异节点 x0 , x1 , xn 被称为 插值节点，区间[a, b] 称为插值区间。
第二章 插值
问题背景
离散数据去进行理论分析和工程设计都是极不 方便甚至是不可能的. 因此需要设法寻找与己知函数值相符或基本相 符，而又方便计算、形式简单的函数去近似代 替原来的函数。
yi f ( xi ) ( i 0,1,, n)
求简单P ( x )，满足
P ( xi ) f ( xi ) (i 0,1,, n)
2.2.2 拉格朗日插值多项式 利用插值基函数，我们可以直接写出拉格朗 日插值多项式，在 n 1 个互异节点 x i (i 0,1n) 上，满足插值条件（2-1）式的拉格朗日插值多 项式记为 Ln (x) 。 n 即 Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) yn ln ( x) = y k l k ( x) k 0 （2-7） 其中 l k (x) 为（2-6）式。
解：线性插值，表中给出3个互异节点，而线性 插值只需要2个互异节点即可，这时为使截断误 差的绝对值较小，只能选取节点 x0 100, x1 121， 相应的有 y0 10, y1 11 。
x x0 x x1 L1 ( x) y0l0 ( x) y1 l1 ( x) = y0 y1 x0 x1 x1 x0
n!
2.3.2 牛顿插值公式
N n ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 ,xn ](x x0 )(x x1 )( x xn1 )
当节点个数不同时，拉格朗日插值多项式的 表达形式也不同。下面分别写出 n 1,2 时拉格 朗日插值插值多项式的表达形式。 当 n 1 时的一次插值多项式 x x0 L1 ( x) y0l0 ( x) y1 l1 ( x) = y 0 x x1 y1
x0 x1
x1 x0
2.1.2 插值多项式存在的唯一性 在 n 1各互异节点上满足差值条件（2-1） 的次数不高于 n次的插值多项式 2 n （2-2） Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x 称为插值多项式。 定理1 在 n 1各互异节点上满足差值条件（2-1） 的次数不高于n 次的插值多项式 Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n 存在且唯一。
n
(n 1)!
n 1
其中 wn1 ( x) ( x xi ), (a, b)，且依赖于 x 。
i 0
n
2.2 拉格朗日插值多项式
通过求解线性方程组的方法，我们可以求出插 值多项式，但是当节点的个数很多，在利用克莱 姆法则求解时，行列式的维数很高，造成了计算
量很大，这种方法在实际的计算中很少应用。这
为 f (x) 关于节点 xi , xi 1 ,x i k 的K阶差商。 k 0 时称为 f ( xi )关于节点 x i 的零阶差商， 记为 f [ xi ] 。
差商表 2-1
差商的性质： 性质1：函数 f (x)的k阶差商 f [ x0 , x1 ,xk ] 可由函数值 f ( x 0 ), f ( x1 ), f ( xm ) 的线性组合表示，且
其中 Ak 为待定系数。由条件 lk ( xk ) 1
Ak
得：
1 ( xk x 0 )(xk x1 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
故
( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn ) l k ( x) （2-6） ( xk x0 )(xk x1 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn )
f [ xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 2 xi
称为 f (x) 关于节点 xi , xi 1 , x i 2 的二阶差商。
一般的，称
f [ xi 1 , xi k ] f [ xi , xi k 1 ] f [ xi , xi 1 , xi k ] xi k xi
L1 (115) 10.714
=
10
x 121 x 100 11 100 121 121 100
二次插值需要三个互异节点，本题节点不必选择
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
=
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y0 y1 y2 ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 ) ( x 插值多项式的存在唯一性的意义: 用任何 方法求出的插值多项式，只要满足同一个插值 条件，其实都是同一个插值多项式。 注2: 此定理本身提供了一种求插值多项式的具 体方法，即通过求解线性方程组确定插值多项 式。但由于这种解法计算量很大，不便于实际 应用，所以以后还要研究其它的简便方法。
例： 当 x 1,1,2 时相应的函数值分别为0，-3， 4。试求该函数的二次插值多项式。 解： 设插值多项式为 P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 ， 插值多项式必须满足插值条件P( xi ) yi (i 0,1,2)， 构成非齐次线性方程组：
a 0 a1 a 2 0 a 0 a1 a 2 3 a 2 a 4 a 4 1 2 0
一节中介绍一种简便方法。
2.2.1 插值基函数 在 n 1个互异节点 x i (i 0,1n) 上插值基函 数 lk ( xi ) 的特点：
1 i k l k ( xi ) 0 i k
（2-5）
根据插值基函数的特点，可以确定插值基函数的 具体表达形式。
设
lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
L2 (115) 10.7228
例：估计上例中二次插值求 115时的截断误差。 解：已知 f ( x) x ， f (3) ( x) 3 x 5 / 2
M max | f
x[100 ,144 ] ( 3)
3 5 / 2 3 ( x) | max | x | 10 5 x[100 ,144 ] 8 8
( x 121 x 144) )( ( x 100)(x 144) ( x 100)(x 121 ) 11 12 (100 121 100 144) )( (121 100)(121 144) (144 100)(144 121 )
= 10
2.3.1 差商的定义与性质 定义 已知函数 f (x) 在 n 1 个互异节点xi (i 0,1,2n) 上函数值分别为 f ( x0 ), f ( x1 ), f ( xn ) 。
f ( xi 1 ) f ( xi ) f [ xi , xi 1 ] xi 1 xi 称为 f (x)关于节点 xi , xi 1 的一阶差商，
8
得：
M | R2 (115 ) | (115 100 )(115 121)(115 144 ) 1.63 10 3 3!