2017年高考理科数学分类汇编_导数

导数

1.【2017课标II ,理11】若2x =-是函数2

1

()(1)x f x x ax e

-=+-的极值点,则()f x 的极小值为( )

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 【答案】A

【解析】()()21

21e x f x x a x a -'??=+++-???

, 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????,

则()()211e x f x x x -=--?,()()212e x f x x x -'=+-?, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-. 【考点】 函数的极值;函数的单调性

【名师点睛】(1)可导函数y =f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。

(2)若f (x )在(a ,b )内有极值,那么f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值。

2.【2017课标3,理11】已知函数2

1

1()2()x x f x x x a e

e --+=-++有唯一零点,则a =

A .1

2

-

B .

13

C .

1

2

D .1

【答案】C

【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得:

221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )

4442(e e )

2(e e )

x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++

∴(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 的对称轴, 由题意,()f x 有唯一零点, ∴()f x 的零点只能为1x =, 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=,

解得1

2

a =.

【考点】 函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想

【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的

范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.

3.【2017浙江,7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示,则函数y=f (x )的图像可能是

2017年高考理科数学分类汇编_导数

2017年高考理科数学分类汇编_导数

【答案】D 【解析】

试题分析:原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D . 【考点】 导函数的图象

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与x 轴的交点为0x ,且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方,则0x 为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数)('x f 的正负,得出原函数)(x f 的单调区间. 4.【2017课标1,理21】已知函数2()(2)x

x f x ae a e x =+--.

(1)讨论()f x 的单调性;

(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【解析】

试题分析:(1)讨论()f x 单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,在对a 按0a ≤,0a >进行讨论,

写出单调区间;(2)根据第(1)题,若0a ≤,()f x 至多有一个零点.若0a >,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,求出最小值1

(ln )1ln f a a a

-=-

+,根据1a =,(1,)a ∈+∞,(0,1)a ∈进行讨论,可知当(0,1)a ∈有2个零点,设正整数0n 满足03

ln(1)n a

>-,则

00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3

ln(1)ln a a

->-,因此()f x 在(ln ,)

a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).

21.解:(1)由于()()2e 2e x x f x a a x =+-- 故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+

①当0a ≤时,e 10x a -<,2e 10x +>.从而()0f x '<恒成立.()f x 在R 上单调递减 ②当0a >时,令()0f x '=,从而e 10x a -=,得ln x a =-.

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综上,当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减;

当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减,在(ln ,)a -+∞上单调递增 (2)由(1)知,

当0a ≤时,()f x 在R 上单调减,故()f x 在R 上至多一个零点,不满足条件. 当0a >时,()min 1

ln 1ln f f a a a

=-=-+. 令()1

1ln g a a a

=-+. 令()()11ln 0g a a a a =-

+>,则()211

'0g a a a

=+>.从而()g a 在()0+∞,

上单调增, 而()10g =.故当01a <<时,()0g a <.当1a =时()0g a =.当1a >时()0g a > 若1a >,则()min 1

1ln 0f a g a a

=-

+=>,故()0f x >恒成立, 从而()f x 无零点,不满足条件. 若1a =,则min 1

1ln 0f a a

=-

+=,故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=,不满足条件. 若01a <<,则min 11ln 0f a a =-+<,注意到ln 0a ->.()22

110e e e

a a f -=++->. 故()f x 在()1ln a --,

上有一个实根,而又31ln 1ln ln a a a ??

->=- ???

. 且

33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ????

-- ? ???????????

-=?+--- ? ? ?

???????

()3333132ln 11ln 10a a a a a a ????????

=-?-+---=---> ? ? ? ?????????

. 故()f x 在3ln ln 1a a ??

??-- ? ????

?,上有一个实根.

又()f x 在()ln a -∞-,

上单调减,在()

ln a -+∞,单调增,故()f x 在R 上至多两个实根.

又()f x 在()1ln a --,及3ln ln 1a a ????-- ? ????

?,上均至少有一个实数根,故()f x 在R 上恰有两个实根.

综上,01a <<.

【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数取值范围.

【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断y a =与其交点的个数,从而求出a 的范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若()f x 有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.

5.【2017课标II ,理】已知函数()2

ln f x ax ax x x =--,且()0f x ≥。

(1)求a ;

(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且()2

202e

f x --<<。

【解析】21.解:⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥,0x >,所以ln 0ax a x --≥. 令()ln g x ax a x =--,则()10g =,()11

ax g x a x x

-'=-

=

, 当0a ≤时,()0g x '<,()g x 单调递减,但()10g =,1x >时,()0g x <; 当0a >时,令()0g x '=,得1

x a

=. 当10x a <<

时,()0g x '<,()g x 单调减;当1

x a

>时,()0g x '>,()g x 单调增. 若01a <<,则()g x 在11a ?? ???,上单调减,()110g g a ??

<= ???;

若1a >,则()g x 在11a ?? ???,上单调增,()110g g a ??

<= ???;

若1a =,则()()min 110g x g g a ??

=== ???

,()0g x ≥.

综上,1a =.

⑵ ()2ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--,0x >.

令()22ln h x x x =--,则()121

2x h x x x

-'=-=

,0x >. 令()0h x '=得1

2

x =, 当102x <<

时,()0h x '<,()h x 单调递减;当1

2

x >时,()0h x '>,()h x 单调递增. 所以,()min 112ln 202h x h ??

==-+< ???

因为()22e 2e 0h --=>,()22ln 20h =->,21e 02-??∈ ???,,122??

∈+∞ ???

,,

所以在102?? ???,和12??

+∞ ???

,上,()h x 即()f x '各有一个零点.

设()f x '在102?? ???,和12??

+∞ ???,上的零点分别为02x x ,,因为()f x '在102?? ???

,上单调减,

所以当00x x <<时,()0f x '>,()f x 单调增;当01

2

x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减.因此,0x 是()f x 的极大值点.

因为,()f x '在12??

+∞ ???

,上单调增,所以当212x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减,2x x >时,()f x 单调

增,因此2x 是()f x 的极小值点. 所以,()f x 有唯一的极大值点0x .

由前面的证明可知,201e 2x -?

?∈ ??

?,,则()()

24220e e e e f x f ---->=+>.

因为()00022ln 0f x x x '=--=,所以00ln 22x x =-,则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-,因为0102x <<,所以()01

4

f x <. 因此,()201

e 4

f x -<<

. 【考点】 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值

【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。 6.【2017课标3,理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . (1)若()0f x ≥ ,求a 的值;

(2)设m 为整数,且对于任意正整数n 2111111222n m ????

?

?+++< ??? ???????

L ,求m 的最小值. 【答案】(1)1a = ; (2)3 【解析】

试题分析:(1)由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0,+x ∈∞的唯一最小值点,列方程解得

1a = ;

(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩,求得2111111222n e ?

???

??+

++< ??? ???????

L ,结合231111112222???

???+++> ???????????

可知实数m 的最小值为3 21.解:(1) ()1ln f x x a x =--,0x >

则()1a x a

f x x x

-'=-=,且(1)0f =

当0a ≤时,()0f x '>,()f x 在()0+∞,上单调增,所以01x <<时,()0f x <,不满足题意;

当0a >时,

当0x a <<时,()0f x '<,则()f x 在(0,)a 上单调递减; 当x a >时,()0f x '>,则()f x 在(,)a +∞上单调递增.

①若1a <,()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >,()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾

③若1a =,()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =.

(2)当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤

则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立

∴11

ln(1)22

k k +<,*k ∈N

一方面:221111111

ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)

n n n ++++++<+++=-<,

即2111

(1)(1)...(1)e 222

n +++<.

另一方面:223111111135

(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>

当3n ≥时,2111

(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈

∵*m ∈N ,2111

(1)(1)...(1)222

n m +++<,

∴m 的最小值为3.

【考点】 导数研究函数的单调性;导数研究函数的最值;利用导数证明不等式

【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,

所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用

7.【2017山东,理20】已知函数()22cos f x x x =+,()()cos sin 22x g x e x x x =-+-,其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.

(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程;

(Ⅱ)令()()()()h x g x af x a R =-∈,讨论()h x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

(20)解:(Ⅰ)由题意()22f π=π-

又()22sin f x x x '=-, 所以()2f 'π=π,

因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为

()()222y x -π-=π-π, 即222y x =π-π-.

(Ⅱ)由题意得()()()

22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+--+,

因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--

()()2sin 2sin x e x x a x x =---()

()2sin x e a x x =--,

令()sin m x x x =- 则()1cos 0m x x '=-≥

所以()m x 在R 上单调递增. 所以当0x >时,()m x 单调递减,

当0x >时,()0m x <

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(2)当0a >时,()()()ln 2sin x a

h x e e x x '=--

由 ()0h x '=得 1ln x a =,2=0x

①当01a <<时,ln 0a <,

当(),ln x a ∈-∞时,()ln 0,0x a e e h x '-<>,()h x 单调递增;

当()ln ,0x a ∈时,()ln 0,0x a e e h x '-><,()h x 单调递减;

当()0,x ∈+∞时,()ln 0,0x a e e h x '->>,()h x 单调递增.

所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.

极大值为()()()2

ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??,

当0x =时()h x 取到极小值,极小值是 ()021h a =--;

②当1a =时,ln 0a =,

所以 当(),x ∈-∞+∞时,()0h x '≥,函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增,无极值; 【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.

【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y ?y 0=f ′(x 0)(x ?x 0).注意:求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过点P

的切线的不同.

2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导数是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.

8.【2017北京,理19】已知函数()e cos x f x x x =-. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数()f x 在区间π[0,]2

上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)1y =;(Ⅱ)最大值1;最小值2

π-

. 【解析】(19)解:(Ⅰ)f (x )=e x

·cos x -x ∴f (0)=1, ∴f ′(x )=e x

(cos x -sin x )-1,f ′(0)=0,

∴y =f (x )在(0,f (0))处切线过点(0,1),k =0,∴切线方程为y =1. (Ⅱ)f ′(x )=e x

(cos x -sin x )-1,设f ′(x )=g (x ),

∴g ′(x )=-2sin x ·e x

≤0 ∴g (x )在[0,

]上单调递减, ∴g (x )≤g (0)=0,∴f ′(x )≤0∴f (x )在[0,2π]上单调递减,f (x )max =f (0)=1, ∴f (x )min =f (2π)=-2

π

.

【考点】1.导数的几何意义;2.利用导数求函数的最值.

【名师点睛】这道导数题并不难,比一般意义上的压轴题要简单很多,第二问比较有特点是需要求二阶导数,因为()f x '不能判断函数的单调性,所以需要再求一次导数,设()()h x f x '= ,再求()h x ',一般这时就可求得函数()h x '的零点,或是()h x '恒成立,这样就能知道函数()h x 的单调性,根据单调性求最值,从而判断()y f x =的单调性,求得最值.

9.【2017天津,理20】设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数4

3

2

()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ,()g x 为()f x 的导函数. (Ⅰ)求()g x 的单调区间;

(Ⅱ)设00[1,)(,2]m x x ∈U ,函数0()()()()h x g x m x f m =--,求证:0()()0h m h x <; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,p q ,且

00[1,)(,2],p

x x q

∈U 满足

04

1|

|p x q Aq -≥. 【答案】 (1)增区间是(,1)-∞-,1

(,)4

+∞,减区间是1(1,)4

-.(2)(3)证明见解析 解:(Ⅰ)由4

3

2

()2336f x x x x x a =+--+,可得3

2

()()8966g x f x x x x '==+--, 进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=,解得1x =-,或1

4

x =. 当x 变化时,(),()g x g x '的变化情况如下表:

x

(,1)-∞-

1(1,)4

-

1

(,)4

+∞ ()g x ' + - + ()g x

所以,()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-,(,)4+∞,单调递减区间是(1,)4

-. (Ⅱ)证明:由0()()()()h x g x m x f m =--,得0()()()()h m g m m x f m =--,

000()()()()h x g x m x f m =--.

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(III )证明:对于任意的正整数

p ,q ,且

00[1)(,],2p

x x q

∈U , 令p

m q

=

,函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由(II )知,当0[1),m x ∈时,()h x 在区间0(,)m x 内有零点;

当0(,2]m x ∈时,()h x 在区间0(),x m 内有零点.

所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为1x ,则110()()()()0p p

h g x f q x q

x =--=. 由(I )知()g x 在[1,2]上单调递增,故10()()12()g x g g <<<,

于是43223404

1()|()|

|2336|||||()()(2)2p p

f f p p p q p q pq aq q q

x q g x g g q

+--+-=≥=. 因为当[12],x ∈时,()0g x >,故()f x 在[1,2]上单调递增, 所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点,而

0p x q

≠,故()0p

f q ≠.

又因为p ,q ,a 均为整数,所以4

3

2

2

3

4

|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数, 从而4

3

2

2

3

4

|2336|1p p q p q pq aq +--+≥. 所以041|

2|()p x q g q -≥.所以,只要取()2A g =,就有04

1

||p x q Aq -≥. 【考点】导数的应用

【名师点睛】判断()g x 的单调性,只需对函数求导,根据()g x '的导数的符号判断函数的单调性,求出单调区间,有关函数的零点问题,先利用函数的导数判断函数的单调性,了解函数的图象的增减情况,再对极值点作出相应的要求,可控制零点的个数.

10.【2017浙江,20】(本题满分15分)已知函数f (x )=(x

e x -(1

2

x ≥

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). (Ⅰ)求f (x )的导函数;

(Ⅱ)求f (x )在区间1[+)2

∞,上的取值范围.

【答案】(Ⅰ)x

e x x x

f ----=)1

221)(1()(';(Ⅱ)[0, 121

2e -].

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(Ⅱ)令g (x )= x -21x -,则g '(x )=1-

21

x -,当1

2≤x <1时,g '(x )<0,当x >1时,g '(x )>0,

则g (x )在x =1处取得最小值,既最小值为0,又x e ->0,则f (x )在区间[1

2

,+∞)上的最小值为0. 当x 变化时,f (x ),f '(x )的变化如下表:

x (

1

2

,1) 1 (1,

52) 52

5

2

,+∞) f '(x ) - 0 + 0 - f (x )

又f (12)=121

2e -,f (1)=0,f (52)=125

2

e -,

则f (x )在区间[12,+∞)上的最大值为12

1

2

e -. 综上,

f (x )在区间[12,+∞)上的取值范围是[0, 12

1

2e -

].

【考点】导数的应用

【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用:(一)函数单调性的讨论:运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出)('x f ,有)('x f 的正负,得出函数)(x f 的单调区间;(二)函数的最值(极值)的求法:由确认的单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出函数)(x f 极值或最值.

11.【2017江苏,20】 已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()

f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:23b a >;

(3)若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7

2

-,求a 的取值范围.

【答案】(1)3a >(2)见解析(3)36a <≤

20. 解:(1)因为2

()32f x x ax b '=++,所以()620f x x a ''=+=,所以3

a

x =-

, 所以()03

a f -=,所以323

9a b a =+,因为24120Δa b =->,所以3a >. (2)法一:2

6345-39813b a a a =-+,2345

9(27)813

y t t t a =-+=> 因为135

278

t =

<,所以min (27)0y y >=,所以b 2>3a . 法二:由(1)知,2=9a a a a a

+. 设23

()=9t g t t +,则222

23227()=99t g t t t -'-=. 当36(

,)2t ∈+∞时,()0g t '>,从而()g t 在36

(,)2

+∞上单调递增. 因为3a >,所以33a a >,故()>(33)=3g a a g ,即>3a

. 因此2>3b a .

2017年高考理科数学分类汇编_导数

【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点

【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

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