专题复习中考数学归纳与猜想(含答案)
含答案 数学中考专题：猜想与证明综合压轴题
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝ ，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝ CD，求CF+FG+GA的最小值．
3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点逆时针旋转°得到 ．
(2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
4．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且 ．
∵∠GDF=90°，
∴∠FDM=∠GDN．
∴ FDM≌ GDN．
∴DF与DG的数量关系是④．
(2)猜想论证：当∠B=30°时，如图2，试猜想DF与DG的数量关系并证明你的结论．
(3)拓展运用：若 ，BF=5，如图3，求BC的长．（直接写出结果不说明理由）
11．如图1，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ．
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题．
九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题
中考数学专题知识点45 规律猜想型问题2021
一、选择题16．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是．m2﹣m【解析】由题意得2100+2101+2102+…+2199＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299）＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100＝m2﹣m.10．(2021·济宁) 按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．{答案}D{解析}观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝．11．(2021·玉林)观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×24B {解析}由第1个图可知是Y1=1，第2个图可知Y2=1+2=3，第3个图Y3=1+2+22=7,第4个图Y4=1+2+22+23=15，可知Y n=2n-1.即Y9=29-1.因此Y9﹣Y4＝29-1-（24-1）=29-24=24（25-1）=31×24．10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形B【解析】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形．16．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为.（用含n的代数式表示）2n（n+1）【解析】∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，•，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）.6．（2021•云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+l B．n2a n﹣1C．n n a n+1D．（n+1）2a nA【解析】∵第1个单项式a2＝12•a1+1，第2个单项式4a3＝22•a2+1，第3个单项式9a4＝32•a3+1，第4个单项式16a5＝42•a4+1，……∴第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．14．（2021•临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年C【解析】由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的14=122，再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的18=123，...，∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的125=132，此时32×132=1mg．12．（2021•烟台）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°．若OA ＝16，则OG 的长为（ ）A ．274B ．14C ．9√32D ．27√3812．A ． 解析：由图可知，∠ABO ＝∠BCO ＝…＝∠LMO ＝90°，∵AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°，∴∠A ＝∠OBA ＝∠BCD ＝…＝∠OLM ＝60°，∴AB =12OA ，OB =√3AB =√32OA ，同理可得，OC =√32OB ＝（√32）2OA ，OD =√32OC ＝（√32）3OA ，…OG =√32OF ＝（√32）6OA ＝（√32）6×16=274．故选：A ．9．（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB 如图放置，点A 的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O 逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A 1OB 1，第二次旋转后得到△A 2OB 2，…，依次类推，则点A 2021的坐标为（ ）A ．（﹣22020，−√3×22020）B ．（22021，−√3×22021）C ．（22020，−√3×22020）D ．（﹣22021，−√3×22021）C 【解析】由已知可得：第一次旋转后，A 1在第一象限，OA 1＝2， 第二次旋转后，A 2在第二象限，OA 2＝22， 第三次旋转后，A 3在x 轴负半轴，OA 3＝23， 第四次旋转后，A 4在第三象限，OA 4＝24， 第五次旋转后，A 5在第四象限，OA 5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH=12OA2021＝22020，A2021H=√3OH=√3×22020，∴A2021（（22020，−√3×22020）.9．（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019B【解析】由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023．故选B．9．（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100 B．121 C．144 D．169B 【解析】通过观察可得规律：p ＝n 2，q ＝（n +1）2﹣1，∵q ＝143，∴（n +1）2﹣1＝143，解得：n ＝11， ∴p ＝n 2＝112＝121.6．(2021·鄂州) 已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23- B ．13 C ．12- D ．23D{解析}把13a =代入211121133a a =-=-=，把223a =代入321112a a =-=-，把312a =-代入43113a a =-=，把43a =代入得523a =，……，由此发现这几个结果是4个一循环，2021÷4=505……1， 2021a 的值与2a 的值相同，为23．二、填空题 22．(2021·绥化)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n 个图形中三角形个数是 ．22． n 2＋n －1解析：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律: 第①个图形: 12＋0， 第②个图形: 22＋1， 第③个图形: 32＋2， 第④个图形: 42＋3， . ……第n 个图形: n 2＋n －1. 故答案为: n 2＋n －1.16．（2021·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P 1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P 2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P 3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2021的坐标为 ．①第n个图形(-1011,-1011)【解析】先根据点坐标的平移变换规律求出点P 2(1,1),P 3(-2,-2),P 4(2,2),P 5(-3,-3)，归纳类推得：点P 2n -1(-n ,-n )，其中n 为正整数， ∵2021=2×1011-1，∴点P 2021的（-1011，-1011）.13．（2021•嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ． n 2﹣（n ﹣1）218．（2021•泰安）如图，点B 1在直线l ：y =12x 上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去，则第n 个正方形A n B n B n +1∁n 的边长为 （结果用含正整数n 的代数式表示）．√52×(32)n ﹣1【解析】设直线y =12x 与x 轴夹角为α，过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ，如图：∵点B 1的横坐标为2，点B 1在直线l ：y =12x 上，令x ＝2得y ＝1,∴OH ＝2，B 1H ＝1，OB 1=√OH 2+B 1H 2=√5，∴tanα=B 1H OH=12,Rt △A 1B 1O 中，A 1B 1＝OB 1•tanα=√52，即第1个正方形边长是√52，∴OB 2＝OB 1+B 1B 2=√5+√52=√52×3，Rt △A 2B 2O 中，A 2B 2＝OB 2•tanα=√52×3×12=√52×32， 即第2个正方形边长是√52×32， ∴OB 3＝OB 2+B 2B 3=√52×3+√52×32=√52×92， Rt △A 3B 3O 中，A 3B 3＝OB 3•tanα=√52×92×12=√52×94，P 1 P 3P 2P 4即第3个正方形边长是√52×94=√52×（32）2， ∴OB 4＝OB 3+B 3B 4=√52×92+√52×94=√52×274，Rt △A 4B 4O 中，A 4B 4＝OB 4•tanα==√52×274×12=√52×278， 即第4个正方形边长是√52×278=√52×(32)3，.....． 观察规律可知：第n 个正方形边长是√52×(32)n ﹣1． 18．（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 ．1275【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第②个图形中的黑色圆点的个数为：(1+2)×22=3， 第③个图形中的黑色圆点的个数为：(1+3)×32=6， 第④个图形中的黑色圆点的个数为：(1+4)×42=10，…第n 个图形中的黑色圆点的个数为n(n+1)2，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…， 其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2＝16…1，16×3+2＝50， 则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50×512=1275．16．(2021·铜仁)观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 12nn +{解析}此题属于数字类规律问题。
中考数学复习攻略 专题1 规律探索与归纳推理(含答案)
重点专题突破专题一 规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列 规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1； 第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)； 第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。
中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案)
中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案) 以下是查字典数学网为您推荐的中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。
中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案)23.(2019山东省滨州中考，23，9分)我们知道连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线，三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF 就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.【解析】连接AF并延长交BC于点G，证明△ADF≌△GCF，容易看出EF为△ABG的中位线，所以，EF= (AD+BC)。
解：结论为：EF∥AD∥BC，EF= (AD+BC).理由如下：连接AF并延长交BC于点G.∵AD∥BCDAF=G，在△ADF和△GCF中，△ADF≌△GCF，AF=FG，AD=CG.又∵AE=EB，即EF∥AD∥BC，EF= (AD+BC).【点评】本题考查梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理.正确的添加辅助线是解决此题的关键，梯形的问题常常转化为三角形的问题来解决.26.(2019黑龙江省绥化市，26，8分)已知，点E是矩形ABCD 的对角线BC上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为EC 上的一动点，且PQBC于点Q，PRBD于点R.⑴ 如图(甲)，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= ;⑵ 如图(乙)，当点P为线段EC上任意一点(不与点E、点C 重合)时，其它条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给与证明;若不成立，请说明理由;⑶ 如图(丙)，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.【解析】解：(2)图2中结论PR+PQ= 仍成立.证明：连接BP，过C点作CKBD于点K.∵四边形ABCD为矩形，BCD=90，又∵CD=AB=3，BC=4，BD=∵S△BCD= BCCD= BDCK，即34=5CK，CK=∵S△BCE= BECK，S△BEP= PRBE，S△BCP= PQBC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，BECK= PRBE+ PQBC又∵BE=BC，CK=PR+PQ，PR+PQ=(3)图3中的结论是PR-PQ= .【答案】⑵结论PR+PQ= 仍然成立，理由见解析;⑶图(丙)中的结论是PR-PQ= .【点评】本题主要考查了矩形的性质及直角三角形的重要定理：勾股定理，解决本题的关键是掌握好矩形的性质及以图形面积的和差为平台构造出的等式关系.难度中等.23. (2019山东省青岛市，23，10)(10分)问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m+n)个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形?问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形? 如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形.探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形? 在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图②;另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图③;显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形，并在图④画出一种分割示意图.探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m+3)个顶点可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形。
中考数学思想方法 【猜想归纳】数式规律中的猜想归纳思想(学生版+解析版)
数式规律中的猜想归纳思想知识方法精讲1.规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．2. 猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
考查学生的归纳、概括、类比能力。
有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。
归纳猜想类问题可以分成四大类：（1）数式归纳猜想题这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。
找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。
（2）图形归纳猜想题此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。
其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。
（3）结论归纳猜想题结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。
发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。
（4）类比归纳猜想题类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。
中考数学专题复习— 探索规律问题 完整版 后附真题剖析
解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案 为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等 腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右 上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只 要我们善于观察、勤于思考，就可以发现 它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已
2022年中考数学专题复习：猜想与证明解答题训练
2022年中考数学专题复习：猜想与证明解答题训练1．在学习完“图形的旋转”后，某数学兴趣小组做了如下探究ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合．将DEF绕点E作逆时针旋转，该过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CM相交于点Q．(1)问题提出：如图∠，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，BPE和CQE是否全等．如果全等，写出证明过程；若不赞同，请说明理由．(2)问题解决：如图∠，当点Q在线段CA的延长线上时，BPE和CQE是否有存在与第（1）问相同的关系，如果相同写出证明过程；如果不同，请说明它们的关系．当BP＝a，CQ92a时，求P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．2．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N 分别是BD，BC的中点，连接MN．(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．(2)当ADE ∆绕点A 旋转时，连接BE ，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．(3)当AC ＝5时，在ADE ∆绕点A 旋转过程中，以D ，E ，M ，N 为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD 的长．3．问题背景：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，将CAE 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBF ，AD 的延长线交边BF 于点P ．问题探究：(1)探究EP ，FP 之和与BP 之间的数量关系．∠先将问题特殊化，如图2，当CE AD ⊥时，直接写出EP ，FP 之和与BP 之间的数量关系；∠再探究一般情形，如图1，当CE 不垂直AD 时，证明∠中的结论仍然成立； (2)拓展探究：如图3，若AD 的延长线交BF 的延长线于点P 时，直接写出一个等式，表示EP ，FP ，BP 之间的数量关系．4．如图，已知CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，C 点在D 点上方，∠BAC ＝30°，P 是直线CD 上一动点，E 是射线AC 上除A 点外的一点，PB ＝PE ，连接BE ．(1)如图1，若点P 与点C 重合，求∠ABE 的度数；(2)如图2，若P 在C 点上方，试猜想线段PD ，AC ，CE 的数量关系并说明理由； (3)若AC ＝6，CE ＝2，则PD 的值为 ．（直接写出结果）5．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论 ．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ∠，上述结论是否仍然成立 【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．6．如图1，在平面直角坐标系中，()0,4A ，()2,2C --，且∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）求点B 的坐标；（2）如图2，若BC 交y 轴于点M ，AB 交x 轴与点N ，过点B 作BE y ⊥轴于点E ，作BF x⊥轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt∠BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．7．在Rt∠ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是∠ABC外一动点（点B，点E位于AC 异侧），连接CE，AE．(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当∠ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；(2)当∠AEC=135°时，∠如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；∠如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出∠CEF面积的最大值．8．在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：(1)如图∠，在ABCD中，BE AD⊥，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若EF BF=，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．(2)如图∠，若F是ABCD边CD上一点，连接BF，将CBF沿着边BF所在的直线折=，试判断DF与叠，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，若AG BGCF的数量关系，并加以证明．9．在∠ABC中，CD∠AB于点D．(1)如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．∠按要求补全图1；∠若AB＝AC EB的长．(2)如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．10．如图，在∠ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD∠AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ∠AB交AB于点Q，过点P作PM∠PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）（1）线段CD＝．（2）当点P在线段BC上时，PC＝．（用含t的代数式表示）（3）当点M落在∠BCD的内部时，求t的取值范围；（4）连结CM，当∠CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．11．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD∠BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，∠连结NG，求线段NG的长；∠连结ND，求∠DNG的大小．（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．12．如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，△DAE=△BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，∠求证：△BAD∠△CAE；∠若AC∠DE，求证：BD=DC；（2）当CE∠AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究△ADB的度数（直接写出结果）13．在ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图∠，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图∠，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）．14．如图，以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和等边三角形ADE，连接EB，FD相交于点G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图∠），EB和FD的数量关系是______．（不用证明）（2）当四边形ABCD为矩形时（如图∠），EB和FD具有怎样的数量关系？并加以证明．∠是否（3）四边形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四边形的变化过程中，EGD∠的度数．发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图∠中求出EGD15．如图，在平面直角坐标系中已知A（2，2），B（6，2），点C是x轴正半轴上一点，连接OA，AB，BC，得到梯形OABC．点P是x轴正半轴上一动点（与点O不重合），AD，AE分别平分∠OAP和∠P AB，且交x轴于点D，E．（1）若梯形OABC的面积为12，直接写出C点的坐标；（2）当点P运动时，∠OP A与∠OEA之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）若∠AOC=44°，当点P运动到使∠ODA=∠OAE时，∠OAD的度数是多少？=，点D为BC边所在直线上的一个动点（不与点B､16．如图，在ABC中，AB ACC 重合），在AD 的右侧作ADE ，使得,AE AD DAE BAC =∠=∠，连接CE ．（1）求证：ABD ACE ∠=∠；（2）当点D 为线段BC 的中点时，判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由； （3）探究DAE ∠与DCE ∠的数量关系，直接写出其结果_______．17．如图1，∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝45°，为了探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，现将∠AEC 绕A 顺时针旋转90°后成∠AFB 连接DF ，（1）填空：AFD ∆≅ (填一个三角形)； （2）试判断BD ，DE ，CE 之间的等量关系式；（3）如图2，在∠ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝60°，∠ADE ＝45°，试仿照上面的方法，利用图形的旋转变换，探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，并说明理由18．自主探究：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与直线CF 相交于点G ．（1）当点D在线段BC上时，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图（2），写出线段BC与线段CG的数量关系与位置关系，不必证明；（3）在（2）的基础上，随着点D位置的变化，当G为CF中点，AB正方形ADEF的边长．19．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是；（2）若将图1中的∠CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD 沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．（1）如图1，当AE＝时，A′D∠BE；（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)见详解．(2)见详解．2．(1)12MN BE =；MN BE ⊥ (2)成立；见解析3．(1)∠2EP FP BP +=(2)2EP FP PB -=4．(1)90°(2)PD 12+AC ＝CE ， (3)1或55．【问题背景】EF BE DF =+；【探索延伸】结论EF BE DF =+仍然成立；理由见解析；【学以致用】106．（1）()4,4-（2）MN ME NF =+（3）CH DH ⊥且CH DH =7．(1)∠AEC =135°；(2)∠BE +EA ，∠48．(1)DF CF =(2)DF CF =9．(1)∠见解析；∠(2)4CD 2+AB 2＝AE 2，10．（1）4；（2）()55t -；（3）33<<117t 或19<<211t ；（4）325<<1149t 或7319<<4911t ．11．（1）∠NG =∠120DNG ∠=︒；（2）DNM ∠的大小是定值 12．（2）100°或40°或20°13．（1）CF 与BD 位置关系是垂直（2）AB ＞AC 时，CF ∠BD 的结论成立，（3）24x x CP =-+或24x CP x =+ 14．（1）BE DF =；（2）BE DF =，；（3）（3）不变，60°15．（1）C （8，0）；（2）不变，∠OP A =2∠OEA ，（3）34°． 16．（1）见解析；（2）DE ∠AC ；（3）∠DAE +∠DCE =180°或∠DAE =∠DCE 17．（1）∠AED ；（2）BD 2+CE 2=DE 2，（3）CE 2=BD 2+DE 2，18．（1）BC CG =，BC CG ⊥；（2）BC CG =，BC CG ⊥；（319．（1）AP ；（2）成立；（320．（1）4；（2）725；（3）8-。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
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①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
例3下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；1a 1 a 2 a 3第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.2005个？为什么？ 解：由5n ＋1＝2005，得n ＝20045，∵n 不是整数，∴不可能。
优化训练1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3 S 2＝22 （3）2＋1＝4 S 3＝32⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值． 解：⑴（n ）2＋1＝n ＋1，S n ＝n 2； ⑵∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，∴OA 10＝10；A 6 … A 51 1 A 4 1 A 3A 2 1 A 111 O S 1 S2 S3 S4 S 5图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B OA 1 CB 1C 1⑶S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102＝14（1＋2＋3＋…＋10）＝554．2． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中的小黑点的个数为y .解答下列问题：＝ 57 ；⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；⑷下边给出一种研究方法。
请你根据上表中的数据，把n 作为横坐标，把y 作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n ，y ）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。
解：⑴观察y 这一行，后面的数比前一个数依次增大2，4，6，…，2（n －1），所以当n ＝5时，y ＝13＋2（5－1）＝21；⑵由⑴知，当n ＝8时，y ＝21＋10＋12＋14＝57； ⑶略；⑷根据点的排列情况，在一条曲线上，猜想是抛物线，图象略。
设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由（1，1）、（2，3）、（3，7）三点可得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝39a ＋3b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1c ＝1，故所求的函数关系式为y ＝x 2－x ＋1. 反思：问题通过从“特殊”到“一般”的归纳过程来探究规律结果，先在坐标系中描出各点的位置，再依据点的位置特征判断变量之间可能的关系，最后根据猜想求解，这正是“课标”倡导的思想。
3． 一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．若a ＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a 是一个完全平方数，并写出a 的平方根． 解：先从较小的数字探索：a 1＝12＋12×22＋22＝32＝（1×2＋1）2，a2＝22＋22×32＋32＝72＝（2×3＋1）2， a 3＝32＋32×42＋42＝132＝（3×4＋1）2，a 4＝42＋42×52＋52＝212＝（4×5＋1）2，…图1 图2 图3 图4 图5⑴ ⑵⑶⑷于是猜想：a ＝20022＋20022×20032＋20032＝（2002×2003＋1）2＝（4010007）2， 证明采用配方法（略）．推广到一般，若n 是正整数，则a ＝n 2＋n 2（n ＋1）2＋（n ＋1）2是一个完全平方数［n （n ＋1）＋1］2．解题策略：猜想是数学中重要的思想和方法之一。
较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。
在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题”。
你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝招”。
4． 下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形．仔细观察图形可知：图①有1块黑色的瓷砖，可表示为；21)11(1⨯+=图②有3块黑色的瓷砖，可表示为；22)21(21⨯+=+图③有6块黑色的瓷砖，可表示为；23)31(321⨯+=++ 实践与探索：⑴请在图④的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图） ⑵第10个图形有 块黑色的瓷砖；（直接填写结果） ⑶第n 个图形有 块黑色的瓷砖．（用含n 的代数式表示） 解：⑴如右图；⑵55，12n （n ＋1）（n 为正整数）；5． 【归纳猜想】观察下列图形，如图所示，若第1个图形中的空白面积为1，第2个图形中非阴影部分的面积为34，第3个图形中非阴影部分的面积为916，第4个图形中非阴影部分的面积为2764，……探究：第n 个图形中非阴影部分的面积为多少（用字母n表示）？图① 图② 图③ 图④解：当n ＝1时，S ＝1；当n ＝2时，S ＝34＝（34）2－1；当n ＝3时，S ＝916＝（34）3－1；当n ＝4时，S ＝2764＝（34）4－1；所以，第n 个图形中非阴影部分的面积为（34）n －1；点拨：认真分析n 、S 与34三者之间存在的内在关系探求其规律。
6． 随着信息技术的高速发展，电话进入了千家万户，据调查某校初三⑴班的同学家都装上了电话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数n 与通电话次数s 间的关系用下列模型来表示：⑴若把n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来； ⑵根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式； ⑶根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话． 解：⑴略；⑵根据图中各点的排列规律，猜想各点可能在一个二次函数的图象上，用待定系数法可求得s ＝21n 2－21n ； ⑶当n ＝56时，s ＝1540； 7． 在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计如图1所示的几何图形。
⑴请你利用这个几何图形， 求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值为 ； ⑵请你利用图2，再设计一个能求图1 图212212312412①②③……2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值的几何图形。
解：（1）112n -；（2）如图1或如图2或如图3或如图4等，图形正确。
8． 如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形．操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去． ⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图；⑵设正方形的边长为a ，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、⑶在条件⑵下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么关系？用数学表达式表示出来． 解：⑴现提供如下三种分割方案：⑵每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的41，所以当n ＝2时，S 2＝41×41a 2＝161a 2；当n ＝3时，S 3＝41S 2＝641a 2； ⑶当分割次数为n 时，S n ＝n 41a 2（n ≥1，且n 为正整数）．9． 下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的．12121212212212212212312312312312412412⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑴观察图形，填写下表：个图形中，正方形的个数为 5n ＋3 ，周长为 10n ＋8 （都用含n 的代数式表示）；⑶这些图形中，任意一个图形的周长y 与它所含正方形个数x 之间的关系式为 y ＝2x ＋2 ．10．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。