铅垂法求三角形面积
三角形水平宽铅垂高面积公式
三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。
今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。
想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。
水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。
”咱们来看个具体的例子。
假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。
首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。
B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。
接下来找铅垂高。
咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。
A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。
这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。
也就是 2×2÷2 = 2。
再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。
同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。
再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。
那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。
同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。
有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。
在实际生活中，这个公式也有大用处。
二次函数之“铅垂法”求三角形面积
二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。
在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。
图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。
计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。
②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。
特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。
我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。
运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。
解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。
设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。
∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
数学类铅高乘以水宽
数学类铅高乘以水宽
铅垂线定理公式是三角形面积=铅锤高×水平宽的一半三角形面积。
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线（用圆锥形铅垂测得）。
多用于建筑测量。
用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线。
铅垂线地球重力场中的重力方向线。
它与水准面正交，是野外观测的基准线。
悬挂重物而自由下垂时的方向，即为此线方向，包含它的平面则称铅垂面。
判断物体是否与地面垂直，可用铅垂线法，即一根线加上一个重物。
此重物称为铅锤，铅锤受重力作用，即受万有引力的一个分力作用，让线与地面垂直，成90度角度。
水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面积GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.A 的旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（a，因此2y x=（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y，当x=－1时，y=，因此点C的坐标为（－1）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=－12时，△PAB，此时1,2P⎛-⎝⎭.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
用铅垂高法计算三角形的面积
证明如下 ：
ｈ 。 Ｓ ￣Ｂ ｃ ＝ Ｓ △ ｃ ｓ 。－ １ － 一
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｝ ｎ ２
＝
） ＝
利 用 茎 三 嘉 角 形 面 积 等 于 水 平 宽 与 铅 垂 Ｌ 函
稠
高乘积的一半的方法去求三角形 的面积会有三种方法 ， 这三种方 法中的铅垂高有一种是在三角形的里面 ， 有两种是在三角形的外
样ｓ “ １
。
此 时 ， 点 Ｅ 坐 标 为（ 一 孚， 孚）
【 小结 】 对 于不规则 四边形 面积的求法 ， 我们常规 的方法是
把它化成规则 的图形去解决。但 是在平面直角坐标系 中求图形 的面积 ， 涉及 到坐标 与线段的转化 ， 是很麻烦的 。如果把四边形 分 割成一个斜三角形和一个 固定 的三角形 ， 斜三角形用“ 铅垂 高 法” 就会很 方便 。 三、 体 会
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ｆ ｓ 。 ＼
｛
Ｐ Ｅ＝ 一 ａ ２ — ２ 。 ＋ ３ 一 （ 口 ＋ ３＝ － ａ ２ — ３ ａ
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手 一 ９ 叶 ９ ３ ） ＋ 譬（ 一 ３ ＜ 。 ＜ ０ ）
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直线之间的距离 叫做 ＡＡ Ｂ Ｃ的“ 水平宽（ ｎ ） ， 过点 Ｂ的直线与 鲋
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当 一 孚 时 ， Ｓ 踟最 大 ， 且 最 大 值 为 ６ ３ ．
与 的延长线之间线段 的长度 叫 ＡＡ Ｂ Ｃ的“ 铅垂 高 Ｂ Ｄ（ Ａ ） ， 同
１
初二铅垂法求面积练习题
初二铅垂法求面积练习题面积是几何学中重要的概念之一，对于数学学习来说，求解各种形状的面积是必不可少的基本技能之一。
初二学生通常学习到了铅垂法求解面积的方法，本文将提供一些铅垂法求解面积的练习题，帮助学生巩固和提升他们的数学能力。
1. 三角形面积求解第一个练习题是求解一个给定三角形的面积，通过铅垂法可以简化计算。
题目：已知三角形ABC，其中AB = 5cm，BC = 7cm，CA = 4cm。
请计算三角形ABC的面积。
解答：首先，我们需要标记出三角形ABC的三边，并使用垂直线段将其中一个角分成两个直角。
[插入三角形ABC的图示]接下来，连接垂直线段的顶点与原三角形的另外两个顶点，形成三个小三角形ADC、CBE和EBA。
[插入三个小三角形的图示]根据垂直线段的性质，可以得出ADC和EBA两个小三角形的面积相等。
因此，只需计算一个小三角形的面积即可。
小三角形ADC的底边AD等于原三角形的高，即4cm，而ADC的高AC等于原三角形的底边BC，即7cm。
根据三角形的面积公式S = 底边 ×高 ÷ 2，我们可以得出小三角形ADC的面积为：S = 4cm × 7cm ÷ 2 = 14cm²因为ADC和EBA两个小三角形面积相等，所以三角形ABC的面积为14cm²。
2. 梯形面积求解第二个练习题是求解一个给定梯形的面积，同样地，我们可以利用铅垂法来简化计算过程。
题目：设有一个梯形ABCD，其中AB || CD，AB = 8cm，CD = 12cm，高EF = 5cm。
请计算梯形ABCD的面积。
解答：首先，我们将梯形ABCD及其高EF画出来。
[插入梯形ABCD的图示]接下来，我们通过连接高EF的两个端点与梯形的非平行边BC、AD，将梯形分解为三个小三角形ADE、BCF和矩形BEFC。
[插入分解后的三个小图示]根据铅垂法和矩形的性质，可以得出矩形BEFC的面积等于梯形ABCD的面积。
铅垂法求三角形面积讲课教案
铅垂法求三角形面积二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC 的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M 使得12ACM ABC S S ∆∆=，求此时点M 的坐标.3.如图，已知直线12y x =与抛物线2(0)y ax b a =+≠交于A （-4，-2），B （6，3）两点，抛物线与y 轴的交点为C ．在抛物线上存在点P 使得△PAC 的面积是△ABC 面积的34，求时点P 的坐标.。
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二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:
问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
问题4：铅垂法的具体做法是什么？
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？
以下是问题及答案，请对比参考:
问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？
答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？
答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？
答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)
的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.
解：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形内部）
例2：如图，一次函数122y x =+与y 轴、x 轴分别交于点A ，B ，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点．Q 为直线AB 下方的抛物线上一点，设点Q 的横坐标为n ，△QAB 的面积为S ，求出S 与n 之间的函数关系式并求出S 的最大值.
解：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）
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总结反思篇：
决胜中考：
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222
y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC 的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.
2. 如图，已知抛物线213222
y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M 使得12
ACM ABC S S ∆∆=，求此时点M 的坐标.
3.如图，已知直线12
y x =与抛物线2(0)y ax b a =+≠交于A （-4，-2），B （6，3）两点，抛物线与y 轴的交点为C ．在抛物线上存在点P 使得△PAC 的面积是△ABC 面积的34
，求时点P 的坐标.。