1.3 矢量微分元
光信息物理基础 第1章 数学基础 第3讲
旋度
Az Ay A A Ay Az R ex ( ) ey ( x z ) ez ( ) y z z x x y
梯度的方向就是标量场变化 率最大的方向，其模就是变 化率的最大值。 在给定点，梯度沿任意方向 的投影就是沿这个方向的标 量场的方向导数。
n lim
A dl S
L 0
lim S 0 S
为矢量场在点M 处沿方向 n的环量面密度。 特点：其值与点M 处的方向 n有关。
环量面密度的计算公式
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
C 0
（C 是常矢量）
(uC ) u C （u 是标量场） (uF ) u F u F （F 是矢量场） (F G) F G ( F G ) G F F G （矢量场的旋度的散度 恒为零） ( F ) 0 ( u ) 0
10
利用积分中值定理：
Ax Az Az Ay [( ) cos(n , x) ( ) cos( n , y ) y z z x Ax ( ) cos(n , z )] S x y M
因此环量面密度为：
Ay
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
（1）矢量场的环量 矢量场A沿任一闭合曲线L的积分,称为环量。
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
矢量微分 规则 记忆
矢量微分规则记忆
记忆矢量微分规则可以帮助你在矢量微积分中进行计算和推导。
以下是一些常用的矢量微分规则：
1.线性性质：微分运算是线性的，即对于任意矢量场U 和V，
以及标量函数 f，有如下规则：
o d/dt (U + V) = dU/dt + dV/dt
o d/dt (fU) = df/dt U + f dU/dt
2.乘积法则：对于标量函数 f 和矢量场 U，有乘积法则：
o d/dt (fU) = (df/dt) U + f (dU/dt)
3.合成函数法则：对于复合函数，有链式法则（链式规则）：
o如果矢量场U 是标量函数g 的函数，而g 又是标量函数 f 的函数，则有 dU/dt = (dg/dt) (df/dg)
4.标量对矢量的偏导数：对于标量函数 f 关于矢量场 U 的偏
导数，可以分别对 U 的每个分量求偏导数：
o(∂f/∂U) = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j + (∂f/∂z) k
这些规则是矢量微分中常用的规则，可以帮助你进行向量值函数的微分运算。
记忆这些规则并理解其应用场景，可以在解决问题时更加高效和准确。
需要注意的是，矢量微分规则可能会因上下文和具体问题而有所变化和扩展。
因此，在应用时根据具体问题需求灵活运用。
矢量的定义和加减法运算法则
A=AaA=Ad y yy z zz
矢量表示为：冒=4A + Ayay + "
在直角坐标系下的矢量表示:
矢量：冒=4,+4句+AZ（：I z
+模的计算：1冒1= M+A； + A；
令单位矢量:
a=
A Ax .
4八 &八
a* + 0,
+
a
Z
Ml Ml Ml J Ml
=cos a a + cos pay + cosEz
第1章电磁学的数学基= 础
矢量分析
—,矢量的定义和表示
矢量的基_=|— 本运算'- 法则
h
F
—
三,矢量微分元：线11 = 元，面元，体元
111 标量场的梯度
五,矢量场的散度 六■矢量场的旋度
—■矢量的定义和表示
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度T、长度L等
2. 矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
例: 已知^点和因点对于原点的位置矢量为刁和方,
求：通过4点和3点的直线方程。 解:
在通过力点和3点的直线上，任取
一 点G对于原点的位置矢量为c, 则：
c — a = k (b — 1)
c = (1 — k)a + kb 其中：k为任意实数。
小结:
、矢量的定义和表示 、矢量的加减法运算法则
如：重力电场强度E、磁场强度可 等
3-矢量表示
—个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 矢量 表示为： A=\A\a
其中：| A |为矢量的模，表示该矢量的大小。 a为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
矢量运算法则
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1
h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
矢量微分元
+
dz(ziz
面元：
ds； =(fydzax
dS^ = dxdz 句 dS^ =
AxAyaz 体元： dxdydz
dV =
2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为 (r&, z)，如图，做一微分体元。
线元：d— = dn2r + rd^a^ + dza
z 面元：旳=qxkar W =打顺 旳=nl cpAraz
1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 3. 球坐标系 4. 正交曲线坐标系
度, 其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若
已知 其拉梅系数hi，凡,方3，就可正确写出其线元、面元和体元。
•线元： d/ = + h d"2%2 + h 血3力〃3
•面元： 逾=//2Hd"2du3 ^iih3duidu3aU2
•体元： dV = hhh d"血2 du3
注意:
a. 在直角坐标系中，坐标变量为（x,*z ）均为长度量，其拉
梅系数
均为 1,即：
"、=h — = 1
b. 在柱坐标系中，坐h标=变1量, h为=（r,rh押3 ,—z）1,其中（P为角度， 其
对c. 应在的球线坐元标爪系叽中，，可坐见标拉变梅量系为数（为尺：。,但），其中e,e均为
角度，其拉梅系数为：
h = 1, h = R, h = R sin 3
小结：矢量微分元：线元■面元■体元
1.3矢量微分元：线元ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面元■体元 1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系
3.球坐标系
例:
W=
\Q= pdV
其中：d，,d&和d V称为微分元。
矢量运算法则
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
(，R其,中,)均为 ,
h1 1, h2 R, h3 R sin
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量
不一(定u1都, u是2 ,长u度3 )，其线元必然
有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数
，就
可正确写出其线元、面元和体元。
h1, h2 , h3
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
五、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线
方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称
+
-
为矢线。
2. 通量：
h BC
A C
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
矢量微分公式推导
矢量微分公式推导一、矢量微分的概念在矢量微积分中，微分是变化率的近似表示。
矢量微分则是对矢量函数进行微分的过程。
对于一个多元函数，其微分可以看作是函数在某一点附近的线性逼近。
二、矢量微分公式的推导假设有一个矢量函数f(x)，其中x是自变量，f(x)是一个矢量。
我们希望推导出矢量微分的公式。
我们将f(x)在x0处进行泰勒展开，展开到一阶项，可以得到以下表达式：f(x) ≈ f(x0) + (x - x0)·∇f(x0)其中，∇f(x0)是函数f(x)在点x0处的梯度，它是一个向量。
假设∇f(x0)的分量为(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)，则∇f(x0)·(x - x0)就是向量的点积。
接下来，我们将(x - x0)·∇f(x0)进行展开，得到：(x - x0)·∇f(x0) = (x1 - x01)∂f/∂x1 + (x2 - x02)∂f/∂x2 + ... + (xn - x0n)∂f/∂xn这个展开的结果就是矢量微分的公式，可以表示为：df = ∇f(x0)·dx其中，dx是自变量x的微小增量，它也是一个向量。
df是函数f(x)的微分，也是一个向量。
三、矢量微分公式的应用矢量微分公式在物理学中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以用矢量微分来描述物体受力的变化情况。
在电磁学中，矢量微分可以用来描述电磁场的变化和传播。
在工程学中，矢量微分也有重要的应用。
例如，在流体力学中，我们可以用矢量微分来描述流体的速度场和压力场的变化。
在控制系统中，矢量微分可以用来描述系统的动态特性和稳定性。
四、总结矢量微分公式是微积分中的重要内容，它可以用来描述矢量函数的微分。
本文通过推导矢量微分公式，并对其进行详细的解释和阐述，希望能够让读者对矢量微分有更深入的理解。
矢量微分公式在物理、工程学和数学等领域中有广泛的应用，它为我们研究和解决实际问题提供了重要的数学工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 3. 球坐标系
例： W Fdl B dS Q dV
其中： dl , dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：
dlx dxaˆx
面元： dSR R2 sinddaˆR dS R sindRdaˆ
dS RdRdaˆ
体元： dV R2 sindRdd
4. 正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量 (u1,u2 ,u3) 不一定都是长度， 其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知 其拉梅系数 h1,h2, h3 ，就可正确写出其线元、面元和体元。
线元： dl draˆr rdaˆdzaˆz
面元： dSr rddzaˆr
dS drdzaˆ
dSz rddraˆz
体元： dV rdrddz
3. 球坐标系
在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元： dl dRaˆRRdaˆ Rsindaˆ
小结：矢量微分元：线元、面元、体元
1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 3. 球坐标系 4. 正交曲线坐标系
•线元： dl h1du1aˆu h2du2aˆu h3du3aˆu
12Leabharlann 3•面元： •体元：
dS1 h2h3du2du3aˆu 1
dS2 h1h3du1du3aˆu 2
dS3 h1h2du1du2aˆu 3
dV h1h2h3du1du2du3
注意:
a. 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z )均为长度量，其拉梅系数
dly dyaˆy
dlz dzaˆz
dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
面元： 体元：
dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dSz dxdyaˆz dV dxdydz
2. 圆柱坐标系
在圆柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z) ，如图，做一微分体元。
均为1， 即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z) , 其中 为角度， 其对应的线元 rdaˆ ，可见拉梅系数为：
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,)，其中 , 均为
角度，其拉梅系数为：
h1 1, h2 R, h3 Rsin