矢量控制坐标变换
永磁同步电机的矢量控制系统
永磁同步电机的矢量控制系统一、本文概述随着科技的不断进步和工业的快速发展，电机作为核心动力设备，在各种机械设备和工业自动化系统中扮演着至关重要的角色。
其中，永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，简称PMSM）因其高效率、高功率密度和优良的控制性能等优点，被广泛应用于电动汽车、风力发电、机床设备等领域。
为了实现永磁同步电机的精确控制，提高其运行效率和稳定性，矢量控制（Vector Control）技术被引入到永磁同步电机的控制系统中。
本文将对永磁同步电机的矢量控制系统进行深入探讨。
文章将简要介绍永磁同步电机的基本结构和运行原理，为后续的矢量控制理论奠定基础。
接着，文章将重点阐述矢量控制的基本原理和实现方法，包括坐标变换、空间矢量脉宽调制（SVPWM）等关键技术。
文章还将分析矢量控制系统中的传感器选择、参数辨识以及控制策略优化等问题，以提高系统的控制精度和鲁棒性。
通过本文的研究，读者可以对永磁同步电机的矢量控制系统有一个全面而深入的了解，为实际应用中提高永磁同步电机的控制性能提供理论支持和指导。
本文还将探讨未来永磁同步电机矢量控制系统的发展趋势和挑战，为相关领域的研究者和工程师提供有价值的参考信息。
二、永磁同步电机的基本原理永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）是一种高效、高性能的电机类型，其工作原理基于电磁感应和磁场相互作用。
PMSM的核心组成部分包括定子、转子和永磁体。
定子通常由三相绕组构成，负责产生旋转磁场；转子则装有永磁体，这些永磁体在定子产生的旋转磁场作用下，产生转矩从而驱动电机旋转。
PMSM的工作原理可以简要概括为：当定子三相绕组通入三相交流电时，会在定子内部形成旋转磁场。
由于转子上的永磁体具有固定的磁极，它们在旋转磁场的作用下会受到力矩的作用，从而使转子跟随定子磁场的旋转而旋转。
通过控制定子电流的相位和幅值，可以精确控制旋转磁场的转速和转向，从而实现对PMSM的精确控制。
转矩控制矢量控制和VF控制解析
转矩控制、矢量控制和VF控制解析1.变转矩就是负载转矩随电机转速增大而增大，是非线性变化的，如风机水泵恒转矩就是负载转矩不随电机转速增大而增大，一般是相对于恒功率控制而言。
如皮带运输机提升机等机械负载2.VF控制就是变频器输出频率与输出电压比值为恒定值或正比。
例如：50HZ时输出电压为380V,25HZ时输出电压为190V即恒磁通控制；转矩不可控，系统只是一个以转速物理量做闭环的单闭环控制系统，他只能控制电机的转速根据电机原理可知，三相异步电机定子每相电动势的有效值： E1=4.44f1N1Φm式中：E1--定子每相由气隙磁通感应的电动势的有效值，V ；f1--定子频率，Hz；N1——定子每相绕组有效匝数；Φm-每极磁通量由式中可以看出，Φm的值由E1/f1决定，但由于E1难以直接控制，所以在电动势较高时，可忽略定子漏阻抗压降，而用定子相电压U1代替。
那么要保证Φm不变，只要U1/f1始终为一定值即可。
这是基频以下调时速的基本情况，为恒压频比（恒磁通）控制方式，属于恒转矩调速。
基准频率为恒转矩调速区的最高频率，基准频率所对应的电压为即为基准电压，是恒转矩调速区的最高电压，在基频以下调速时，电压会随频率而变化，但两者的比值不变。
在基频以上调速时，频率从基频向上可以调至上限频率值，但是由于电机定子不能超过电机额定电压，因此电压不再随频率变化，而保持基准电压值不变，这时电机主磁通必须随频率升高而减弱，转矩相应减小，功率基本保持不变，属于恒功率调速区。
3.矢量控制，把输出电流分励磁和转矩电流并分别控制，转矩可控，系统是一个以转矩做内环，转速做外环的双闭环控制系统。
它既可以控制电机的转速，也可以控制电机的扭矩。
矢量控制时的速度控制（ASR）通过操作转矩指令，使得速度指令和速度检出值（PG 的反馈或速度推定值）的偏差值为0。
带PG 的V/f 控制时的速度控制通过操作输出频率，使得速度指令和速度检出值（PG 的反馈或速度推定值）的偏差值为0。
转矩控制矢量控制和VF控制解析
转矩控制矢量控制和V F控制解析IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】转矩控制、矢量控制和VF控制解析1.变转矩就是负载转矩随电机转速增大而增大，是非线性变化的，如风机水泵恒转矩就是负载转矩不随电机转速增大而增大，一般是相对于恒功率控制而言。
如皮带运输机提升机等机械负载控制就是变频器输出频率与输出电压比值为恒定值或正比。
例如：50HZ时输出电压为380V,25HZ时输出电压为190V即恒磁通控制；转矩不可控，系统只是一个以转速物理量做闭环的单闭环控制系统，他只能控制电机的转速根据电机原理可知，三相异步电机定子每相电动势的有效值：E1=4.44f1N1Φm式中：E1--定子每相由气隙磁通感应的电动势的有效值，V；f1--定子频率，Hz；N1——定子每相绕组有效匝数；Φm-每极磁通量由式中可以看出，Φm的值由E1/f1决定，但由于E1难以直接控制，所以在电动势较高时，可忽略定子漏阻抗压降，而用定子相电压U1代替。
那么要保证Φm不变，只要U1/f1始终为一定值即可。
这是基频以下调时速的基本情况，为恒压频比（恒磁通）控制方式，属于恒转矩调速。
基准频率为恒转矩调速区的最高频率，基准频率所对应的电压为即为基准电压，是恒转矩调速区的最高电压，在基频以下调速时，电压会随频率而变化，但两者的比值不变。
在基频以上调速时，频率从基频向上可以调至上限频率值，但是由于电机定子不能超过电机额定电压，因此电压不再随频率变化，而保持基准电压值不变，这时电机主磁通必须随频率升高而减弱，转矩相应减小，功率基本保持不变，属于恒功率调速区。
3.矢量控制，把输出电流分励磁和转矩电流并分别控制，转矩可控，系统是一个以转矩做内环，转速做外环的双闭环控制系统。
它既可以控制电机的转速，也可以控制电机的扭矩。
矢量控制时的速度控制（ASR）通过操作转矩指令，使得速度指令和速度检出值（PG的反馈或速度推定值）的偏差值为0。
永磁同步电动机电流环矢量控制文档
永磁同步电动机电流环矢量控制文档永磁同步电动机的数学模型和矢量控制1.坐标变换原理（1）坐标系介绍三种：三相静止坐标系（abc）、两相静止坐标系（αβ）以及同步旋转坐标系（dq）（2）坐标变换主要目的是为了将交流电机的物理模型等效地变成直流电机的物理模型，使控制大大简化。
不同电机模型等效的原则是：在不同坐标系下产生的磁动势相同。
三相静止坐标系与两相静止坐标系之间转换为方便起见，取α轴与A轴重合，设三相系统每相绕组的有效匝数为N3，两相系统每相绕组的有效匝数为N2，各相磁动势均为有效匝数及其瞬时电流的乘积。
交流电流的磁动势大小随时间耳边，图中磁动势矢量的长短是任意画的。
设磁动势波形是正弦分布，当三相磁动势与两相磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β上的投影应当相等。
为了便于求反变换，最好将变换阵表示成可逆的方阵。
为此，在两相系统上人为地增加一相零轴磁动势N2i，并定义为将以上三式合在一起，写成矩阵形式，得式中是三相坐标系变换到两相坐标系的变换阵。
满足功率不变条件时应有显然，两矩阵的乘积应该为单位阵，由此求得这就是满足功率不变约束条件时的参数关系。
由此得到在实际电机中并没有零轴电流，因此实际的电流变换式为如果三相绕组是星形不带零线接法则整理得●两相静止/两相旋转变换●由三相静止坐标系到任意两相旋转坐标系上的变换2.永磁同步电动机的数学模型当永磁同步电动机的定子通入三相交流电I时，电枢电流在定子绕组电枢电阻R上产生电压降IR。
由三相交流电流I产生的旋转电枢磁动势Fa，及建立的电S枢磁场aφ，一方面切割定子绕组并在定子绕组中产生感应反电动势a E，另一方面以电磁力拖动转子以同步转速n旋转。
电枢电流I还会产生仅与定子绕组相交s链的定子绕组漏磁通。
并在定子绕组中产生感应漏电动势Eσ。
此外转子永磁极产生的磁场0φ以同步转速切割定子绕组，从而产生空载电动势0E。
因此永磁同步电动机运行时的电磁关系如下所示：该变换将转子两相旋转坐标系中的量直接变换到定子三相静止坐标系中，对电流、电压、磁链都适用、由此可得：由转矩方程可以看出来，永磁同步电机的电磁转矩基本上决定于定子交轴电流分量和转子次梁。
什么是矢量控制系统(VCS)并简述其
（实现方法：）在SVPWM的实现过程中，通常以 开关损耗较小 和 谐波分量较小 为原则，安排基本矢量和零矢量的作用顺序。有两种常用的SVPWM实现方法，分别是 （1）零矢量集中 和（2）零矢量分散。
答①异步电动机调速方法有：降电压调速、绕线式异步电机转子串电阻调速、串级调速、变极调速、变频调速等②降电压调速、绕线式异步电机转子串电阻调速属于转差功率消耗型 ③串级调速属于转差功率回馈型 ④变极调速、变频调速属于转差功率不变型。
14. 请说明双馈调速的五种情况的功率流动情况？
答：①转子运行于次同步电动状态（1＞S`＞0）② 转子运行于次同步速的定子回馈制动状态（1＞S`＞0）③ 转子运行于超同步电动状态（S`＜0) ④ 转子运行于超同步速的定子回馈制动状态（S＜0）⑤ 转子运行于倒拉反转的电动状态（S`＞1）
7. 转速电流双闭环系统中，转速调节器、电流调节器的作用?
答：（1）转速调节器ASR的作用：1）转速调节器是调速系统的主导调节器，转速n跟随转速给定电压变化，稳态无静差。2)对负载变化起抗扰作用。3）其输出电压限幅值决定允许最大电流值。
(2) 电流调节器ACR的作用1) 起动过程中保证获得允许最大电流，从而加快启动过程2) 在转速外环调节过程中，使电流跟随其电流给定电压变化。3) 电源电压波动时及时抗扰作用，使电动机转速几乎不受电源电压波动的影响。4)当电动机过载、堵转时，限制电枢电流的最大值，从而起到安全保护作用。
答：① 位置随动系统解决的主要问题是实现执行机构对位置指令（给定量）的准确跟踪。 随动系统一般称伺服系统 ② 位置随动系统与调速系统的相同点： 两者的控制原理相同，它们都是反馈控制系统，即通过对系统的输出量与给定量进行比较，组成闭环控制。 ③ 位置随动系统与调速系统的相异点：调速系统的给定量是恒值，不管外界扰动情况如何，希望输出能够稳定，因此系统的抗扰性能显得十分重要。 位置随动系统中的位置指令是经常变化的，是一个随机变量，要求输出量准确跟踪给定量的变化，输出响应的快速性、灵活性、准确性成了位置随动系统的主要特征。 位置随动系统在结构上往往比调速系统复杂一些。位置随动系统可以在调速系统的基础上增加一个位置环，位置环是位置随动系统的主要结构特征。
永磁同步电机矢量控制分析
永磁同步电机矢量控制分析一、本文概述永磁同步电机（PMSM）作为一种高性能的电机类型，在现代工业、交通以及新能源等领域的应用日益广泛。
其矢量控制技术，即通过对电机电流的精确控制，实现对电机转矩和磁场的独立调节，从而实现电机的高效、稳定运行。
本文旨在全面分析永磁同步电机的矢量控制技术，包括其基本原理、控制策略、实现方法以及在实际应用中的优缺点，为相关领域的研究者和工程师提供有益的参考。
本文将对永磁同步电机的基本结构和工作原理进行简要介绍，为后续的分析奠定理论基础。
然后，将重点讨论矢量控制技术的理论基础和实现方法，包括空间矢量脉宽调制（SVPWM）技术、电流环和速度环的设计与控制策略等。
在此基础上，本文将深入分析矢量控制技术在永磁同步电机中的应用，包括其在提高电机效率、优化动态性能以及提升系统稳定性等方面的作用。
本文还将对矢量控制技术在永磁同步电机应用中的挑战和前景进行探讨。
一方面，将分析当前矢量控制技术在实际应用中面临的主要问题，如参数敏感性、控制复杂度以及成本等；另一方面，将展望未来的发展趋势，如智能化、集成化以及优化算法的应用等。
本文将对永磁同步电机矢量控制技术的未来发展提出展望，以期为该领域的进一步研究和应用提供参考。
二、永磁同步电机基本原理永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）是一种高效、高功率密度的电机，广泛应用于电动汽车、风力发电、工业自动化等领域。
其基本原理主要基于电磁感应和磁场相互作用。
PMSM的核心部件是永磁体，这些永磁体通常嵌入在电机的转子中，形成固定的磁场。
当电机通电时，定子中的电流会产生一个旋转磁场。
这个旋转磁场与转子中的永磁体磁场相互作用，使得转子开始旋转。
通过精确控制定子中的电流，可以实现对转子旋转速度、方向和扭矩的精确控制。
在PMSM中，矢量控制是一种重要的控制策略。
矢量控制通过独立控制电机的磁通和扭矩分量，实现了对电机的高效、高性能控制。
foc 电机矢量控制
foc 电机矢量控制FOC电机矢量控制是一种高级的电机控制技术，它通过对电机的电流和电压进行精确控制，实现对电机的高效运行。
本文将对FOC电机矢量控制的原理、优势和应用进行介绍。
一、FOC电机矢量控制的原理FOC电机矢量控制的核心思想是将电机拆分成磁场定向控制和电流控制两个子系统。
首先，通过磁场定向控制，将电机的磁场与转子磁场的磁轴对齐，使电机旋转产生转矩。
然后，通过电流控制，控制电机的电流大小和相位，实现对电机的转速和转矩的精确控制。
具体来说，FOC电机矢量控制使用了两个坐标系：静态坐标系和旋转坐标系。
静态坐标系是以电机的定子为基准，旋转坐标系是以转子为基准。
在磁场定向控制中，通过变换静态坐标系到旋转坐标系，可以将电机的磁场与转子磁场的磁轴对齐。
在电流控制中，通过变换旋转坐标系到静态坐标系，可以将电机的电流转换为静态坐标系下的电流，从而实现对电流的精确控制。
二、FOC电机矢量控制的优势FOC电机矢量控制相比传统的电机控制技术具有如下优势：1. 高效运行：FOC电机矢量控制可以减少电机的功率损耗，提高电机的效率。
通过精确控制电机的电流和电压，可以使电机在不同负载下都能以最佳效率运行。
2. 高精度控制：FOC电机矢量控制可以实现对电机转速和转矩的精确控制。
通过精确控制电机的电流大小和相位，可以实现对电机的精确控制，从而满足不同应用场景的需求。
3. 高动态响应：FOC电机矢量控制可以实现对电机的快速响应。
通过精确控制电机的电流和电压，可以实现电机的快速加速和减速，提高电机的动态响应性能。
4. 低噪音和低振动：FOC电机矢量控制可以减少电机的噪音和振动。
通过精确控制电机的电流和电压，可以减少电机的震荡和共振现象，从而降低电机的噪音和振动。
三、FOC电机矢量控制的应用FOC电机矢量控制广泛应用于各种领域的电机控制中，包括工业控制、家用电器、交通运输等。
在工业控制领域，FOC电机矢量控制可以用于驱动各种类型的电机，如交流电机、直流电机和步进电机。
永磁同步电机矢量控制原理
永磁同步电机矢量控制原理1.永磁同步电动机简介永磁式同步电动机结构简单、体积小、重量轻、损耗小、效率高，和直流电机相比，它没有直流电机的换向器和电刷等缺点。
和其他类型交流电动机相比，它由于没有励磁电流，因而效率高，功率因数高，力矩惯量比较大，定子电流和定子电阻损耗减小，且转子参数可测、控制性能好；但它与异步电机相比，也有成本高、起动困难等缺点。
和普通同步电动机相比，它省去了励磁装置，简化了结构，提高了效率。
永磁同步电机矢量控制系统能够实现高精度、高动态性能、大范围的调速或定位控制，因此永磁同步电机矢量控制系统引起了国内外学者的广泛关注。
近些年，人们对它的研究也越来越感兴趣，在医疗器械、化工、轻纺、数控机床、工业机器人、计算机外设、仪器仪表、微型汽车和 电动自行车等领域中都获得应用。
1.1 永磁同步电机系统的结构永磁同步电机的基本组成：定子绕组、转子、机体。
定子绕组通过三相交流电，产生与电源频率同步的旋转磁场。
转子是用永磁材料做成的永磁体，它在定子绕组产生的旋转磁场的作用下，开始旋转。
2.坐标变换2.1 坐标变换坐标变换，从数学角度看，就是将方程中原来的一组变量，用一组新的变量来代替。
线性变换是指这种新旧变量之间存在线性关系。
电动机中用到的坐标变换都是线性变换。
在永磁同步电机中存在两种坐标系，一种是固定在定子上的它相对我们是静止的，即：α,β 坐标系，它的方向和定子三相绕组的位置相对固定，它的方向定位于定子绕组 A 相的产生磁势的方向，另一种是固定在转子上的旋转坐标系，我们通常称之为 d,q坐标，其中 d 轴跟单磁极的 N 极方向相同，即和磁力线的方向相同，q 轴超前 d 轴 90度下图所示。
在矢量控制中，我们获取的是定子绕组上的三相电流，所以我们还需要做的一个问题是怎么把三相电流产生的电流矢量等效到α,β坐标系中和 d,q 坐标系中去。
先讨论α,β坐标系和 A，B，C 三相之间的变换（以电流为例）。
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（4）、转矩方程按照机电能量转换原理，可求出电磁转矩Te的表达式如式（2-17）所示。
此式证明从略。
=……..(2-17)这里需要说明的是，式（2-17）是在磁路为线性、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出的，但对定、转子电流的波形未作任何假定，式中的i都是瞬时值。
因此，这个电磁转矩公式同样适用于由典雅型变频器供电的三相异步电机调速系统。
（5）、三相异步电动机的数学模型将前述式（2-14）、式（2-16）归纳起来，便构成在恒转矩负载下三相异步电动机的多变量非线性数学模型如下：………………………………………………….(2-18)上式中可按式（2-17）展开。
2.3. 坐标变换和变换矩阵虽然，在上节中已经推导出异步电动机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方程是十分困难的，即使要画出很清晰的结构图也非易事。
通常须采用坐标变换的方法。
使变换后的数学模型变得简单一些。
2.3.1 坐标变换的原则和基本思路从上节分析异步电动机数学模型的过程中可以看出，这个数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的电感矩阵，以及三相异步电机电磁关系的强耦合和非线性，故要简化数学模型，一是从简化磁链的关系着手；二是设法使三相异步电动机复杂的电磁关系解耦。
怎么做？比较容易想到的方法就是前面所讲到过的设法为异步电动机创造类似于直流电动机所具有的三个条件，即将交流电机的物理模型（见图2-3）等效地变换成类似直流电机的模式（见下页图1-2），如能这样，三相异步电动机的分析和控制问题就可以大为化简，并且，完全可以沿用直流电机调速系统的控制思路对三相异步电动机进行控制，进而得到与支流调速系统相媲美的调速性能。
坐标变换正是为了这个目的而提出的一种方法。
在这里，不同电机模型在变换前后彼此等效的原则是，在不同坐标中它们所产生的磁动势完全一致。
三相绕组与两相绕组的转换（M-T坐标举例）如图1-2所示的模型有两个互相垂直的绕组，它们是M绕组和T 绕组，且以角频率在空间旋转。
T、M绕组分别通以直流电流、。
在绕组轴线方向产生磁场M，励磁电流。
调节大小可以调节磁场强弱。
在T绕组轴线方向产生磁势，这个磁势总是与磁场同步旋转，而且总是与磁场方向垂直，调节的大小，可以在磁场不变的情况下改变转矩的大小，称为转矩电流。
、分别属于T绕组、M绕组，因此分别可调、可控。
如果异步电动机按照M、T两组绕组模型运行，就可以满足如直流电动机那样的调速性能好的三个条件。
实际上三相异步电动机定子三相绕组嵌在定子铁芯槽中，在空间上相互差120°电角度，固定不动。
根据电机学原理或统一电机理论知道，三相绕组的作用，完全可以用在空间上相互垂直的两个静止的绕组的电流由固定的变换关系。
由上例可见，产生旋转磁动势并不一定非要三相不可，（在前面已经提到），除单相、两相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
图2-4b 中画出了两相静止绕组，它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。
当图2-4a和b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图2-4b两绕组与图2-4a的三相绕组等效。
再看图2-4c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组M和T（或d-q），它们分别通以直流电流和，产生合成磁动势F，因为绕组中通过的是直流，故F的位置相对于绕组来说是固定的。
如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图2-4a和2-4b中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。
当观察者站在地面上看，它们是与三相交流绕组等效地旋转直流绕组；但当观察者也站到铁芯上和绕组一起旋转时，在他看来，M和T（或d-q）就是两个通以直流而互相垂直的静止绕组，它们就的的确确是一个直流电机的物理模型了；如果再设法把磁通Φ的位置控制在M轴（或d 轴）上，这样，就和直流电机的运转机理没有本质上的区别了。
这时，绕组M（或d）相当于直流电机的励磁绕组，绕组T（或q）相当于直流电机的电枢绕组。
由此可见。
从物理概念（定性）上来讲，通过坐标系的变换，我们完全能够找到一个与三相交流绕组等效地直流电机模型，现在的问题，如何求出、、与和()、()之间准确的数值等效关系，而这恰恰就是需要用坐标变换来解决的问题。
遵照把三相交流绕组等效变换成直流电机模型的目标，坐标变换的总体思路是：以产生同样的旋转磁动势为前提，先把三相静止绕组A、B、C 等效变换导两相绕组的静止的α-β坐标系，然后再从两相静止的α-β坐标系等效变换导旋转的具有直流绕组的d-q坐标系。
需要指出，旋转的具有直流绕组的d-q坐标系可以是以任意转速ω旋转的，也可以是以同步转速旋转地，即为M-T坐标系，还有，在坐标变换中还会经常用到两相坐标系与极坐标之间的变换。
2.3. 2相—三相变换（3/2变换）——Clarke变换===写成矩阵形式，得：=根据图2-4可知，首先应该找出三相绕组的电流与两相静止的α、β绕组的电流的变换关系，接着就是还要找到两相静止的α、β绕组的电流与两相旋转的M、T绕组（或d-q绕组）的电流变换关系。
如果M、T，α、β绕组的电流,都用矢量表示，那么，为了找到那些“关系”，我们就有必要建立α、β坐标系、M、T 坐标系，以及在矢量控制中最常用的另一个坐标系——d-q坐标系。
这三个坐标系在图2-4中都作了清晰的表述。
2.3.2相—— 三两相变换（3/2变换）——Clarke 变换2N a i =0B 3360os i -i C N N A =)i 21i 21i (3C B A N -- in i i 32S N N B B =03060in i -60S N C = )i i (23B 3C N - 写成矩阵形式，得：=考虑变换前后电机总功率不变，在此前提下，可以证明，匝数比：于是，就可以得到，令——为从三相交流坐标系统换到两相交流坐标系的变换矩阵，则令——为从两相交流坐标系变换到三相交流坐标系的变换矩阵（即的逆变换），则2.3.3 两相静止——两相旋转坐标系变换（写成矩阵形式，得式中：变换矩阵为：逆矩阵为：说明：1、其中角频率为电机旋转磁场的同步频率；2、如果欲从α、β坐标系转换到d-q坐标系，只要把M和T 换成符号d和q，换成ω即可。
2.3.4 直角坐标/极坐标变换（K/P变换）在图中令矢量（）、(),求、，就是直角坐标/极坐标变换，简称K/P变换。
显然，其变换式应为：或当在0-之间变换时，的变换范围是0-∞，这个变换幅度太大，很难在实际变换器中实现，因此常改用下列公式来表示的值:= = = =即有：=2arctan或=2arctan此式为使用的变换式。
2.3.5 三相异步电机在两相坐标系上的数学模型由上述的内容可见，异步电机的数学模型非常复杂，坐标变换的一个重要目的就是简化异步电机的数学模型，式（2-18）的异步电机数学模型是建立在三相静止的ABC坐标系上的，如果把它变换到两相坐标系上，由于两相坐标轴还互相垂直，两相绕组之间没有磁耦合，仅此一点，就会使异步电机的数学模型简单了许多。
1、异步电动机在两相任意旋转坐标系（d-q坐标系）上的数学模型。
两相坐标系可以是静止的，也可以是旋转的。
其中以任意旋转的坐标系的情况是最一般的。
有了这种情况下的数学模型，要求出某一具体的两相坐标系上的数学模型就比较容易了。
如图2-7（下页）所示，两相坐标系d轴与三相坐标系A轴的夹角为θ，而P θ=为d-q坐标系相对于定子的角转速，为d-q坐标系相对于转子的角转速。
现在就要把三相静止坐标系上的电压方程[式（2-1）]、磁链方程[式（2-2）]和转矩方程[式（2-17）]都变换到两相旋转坐标系上来。
图2-7 三相坐标系与两相静止坐标系和两相任意旋转坐标系的关系其变换过程如下：根据图2-7，其变换过程为，可以先利用3/2变换将方程式中定子和转子的电压、电流、磁链和转矩（即空间合成磁势或者）都变换到αβ两相静止坐标系上，然后再用旋转变换矩阵C/将这些变量都变换到两相旋转坐标系上d-q上。
具体的变换过程很复杂，这些不作具体介绍。
变换后得到的数学模型如下：=...(2-34)式中，定子各量均用下脚标1表示，转子各量均用2表示。
-q 坐标系定子与转子同轴等效绕组间的互感，）: -d-q 坐标系定子等效绕组的自感，=+： -d-q 坐标系转子等效绕组的自感，=+ 应该指出，两相绕组互感是原三相绕组中任意两相间最大互感（当轴线重合时）的3/2倍，这是因为两相取代了三相的缘故。
对比式（2-34）和式（2-1）可知，两相坐标系上的电压方程是四维的，它比三相坐标系上的6维电压方程降低了2维。
（2）磁连方程数学模型简化的根本原因可从磁链方程和图2—8所示的d-q 坐标系物理模型上看出。
= …..(2-35)或写成1d Ψ= S L +m L 1Ψq = S L +m L …..(2-35a)Ψ= m L+r Ld2Ψ= m L+r Lq2由于变换到d-q坐标系上以后，定子和转子等效绕组都落在两根轴上，而且两轴互相垂直，它们之间没有互感的耦合关系，互感磁链只在同轴绕组之间存在，所以式中的每个磁链分量只剩下两项了。
可是，由于定、转子绕组与坐标轴之间都有相对运动，每轴磁通在与之垂直的绕组中还要产生旋转电动势，这些电动势顶都与相对转速或成正比，且它们可以在式（2-34）所示的电压方程中找到。
（3）转矩和运动方程= (- ) = ……(2-36)式中w = - , w为电机转子的叫转速。
式（2-34）和式（2-36）就是异步电机在d-q坐标系的数学模型。
显然，它们比ABC三相坐标系上的数学模型简单得多，阶次也降低了。
但是，它们的非线性、多变量、强耦合性质并未改变。
在电压方程式（2-34）等号右侧的系数矩阵中，含R项的，表示电阻压降，含项的，表示电感压降（即脉变电动势），含w项的，表示旋转电动势。
为了使物理概念更清楚，可以把它们分开来写，并考虑到式（2-35）的磁链方程，即得：= ++令：u=I=ψ=R=L =旋转电动势矢量=则式（2-37）可写成u=Ri+Lpi+…………..(2-37a)将式（2-37a）、式（2-35）、式（2-36）画成如图2-9所示的多变量系统动态结构图。
图中，（·）表示表达式的非线性函数矩阵，（·）表示表达式的非线性函数，P为微分算子。
图2-9是异步电动机多变量控制结构（见图2-1）的具体体现。
它表明异步电机的数学模型具有以下性质：①、异步电机可以看做一个双输出系统，输入量是电压矢量u和定子与d-q坐标轴的相对角转速（当d-q轴以同步转速旋转时就等于定子输入角频率），输出量是磁链矢量和转子角转速ω。