第二节氢原子的波函数
sympy 可视化 氢原子波函数
sympy 可视化氢原子波函数氢原子波函数的可视化氢原子波函数描述了电子在氢原子中可能的量子态。
这些波函数可以通过薛定谔方程求解得到，并且它们对于理解原子的性质至关重要。
氢原子波函数的类型氢原子波函数根据它们的角量子数 \(l\) 和主量子数 \(n\) 进行分类。
角量子数描述了电子的角动量，而主量子数描述了电子的能级。
以下是最常用的氢原子波函数类型：s 轨道：\(l = 0\)。
这些波函数是球对称的，这意味着它们的形状独立于方向。
p 轨道：\(l = 1\)。
这些波函数具有哑铃形，具有指向两个相反方向的两个波瓣。
d 轨道：\(l = 2\)。
这些波函数具有更复杂的形状，具有四个波瓣。
f 轨道：\(l = 3\)。
这些波函数具有更复杂的形状，具有八个波瓣。
氢原子波函数的可视化氢原子波函数可以通过多种方法进行可视化。
最常见的方法是使用概率密度图。
这些图显示了在给定位置找到电子的概率。
s 轨道s 轨道的概率密度图是一个球形区域，其半径随着 \(n\) 的增加而增加。
这意味着电子更有可能位于原子核附近，主量子数越高。
p 轨道p 轨道的概率密度图具有哑铃形，其方向取决于角量子数\(m_l\)。
有三个 p 轨道，分别指向 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 轴。
d 轨道d 轨道的概率密度图具有更复杂的形状，具体取决于角量子数\(m_l\)。
共有五个 d 轨道，具有不同的对称性。
f 轨道f 轨道的概率密度图具有更复杂的形状，具体取决于角量子数\(m_l\)。
共有七个 f 轨道，具有不同的对称性。
氢原子波函数的重要性氢原子波函数对于理解原子的性质至关重要。
它们允许我们预测电子的能量和位置，并解释原子的光谱。
氢原子波函数还为分子轨道理论和化学键的形成奠定了基础。
氢原子的能量与波函数-中正化生系-中正大学
(4)
我們現在假設氫原子的波函數可寫成
ψ (r, θ , φ ) = R (r )Y (θ , φ )
(5)
將(4),(5)帶入薛丁格方程式中得
2 2 ⎞ h2 ⎛ ˆ2Y − Ze RY = ERY ⎜Y d R + Y 2 d R ⎟ + R 1 L 2 2μ ⎜ 4πε 0 r r dr ⎟ 2 μr 2 ⎠ ⎝ dr
2 ⎛ 2 2 2 ⎞ 2 ˆ = − h ⎜ ∂ + ∂ + ∂ ⎟ − Ze H 2 2μ ⎜ ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ⎝ ∂x ⎠ 4πε 0 r
(1)
氫原子的薛丁格方程式在 xyz 座標下無法做變數分離，因此我們改用球座標。在 球座標下，
2 2 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ 1 ∂2 ⎟ = ∂ + 2 ∂ + 1 ∂ + 1 cot θ ∂ + ∇2 = ⎜ + + ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 r 2 ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 ⎝ ⎠
(20)
由(19)，當 r = 0， M (0) = b0 , M ' (0) = b1 , M " (0) = 2b2 帶入 (20) 得到：
(21)
b0 ( s 2 + s − l 2 − l ) = 0 s = l or − l − 1 (不合)
(20) 是可改寫成
(22)
r 2 M "+[(2l + 2)r − 2Cr 2 )]M '+(2Z / a − 2C − 2Cl ) M = 0
(11)
(11)式稱為 radial equation，或可看成是在 r 方向運動的有效位能
氢原子的波函数表达式
氢原子的波函数表达式氢原子的波函数表达式，这听起来是不是特别高大上，特别神秘呢？就好像是宇宙深处传来的神秘密码一样。
咱们先得知道氢原子可是原子世界里的小明星呢。
它结构简单，就一个质子和一个电子。
可别小瞧了这简单的结构，这里面的学问可大了。
这氢原子的波函数表达式就像是描述这个小世界的魔法咒语。
这个波函数表达式啊，它不是随随便便的一个式子。
它就像一个超级精密的地图，能告诉我们电子在氢原子里可能出现的地方。
你可以把氢原子想象成一个超级大的城堡，电子就是在城堡里到处乱窜的小精灵。
这个波函数表达式呢，就像是城堡里隐藏的规则手册，上面写着小精灵在各个角落出现的概率。
这波函数表达式具体长啥样呢？它可是有很多数学符号和参数的。
有点像我们平时看的那种超级复杂的食谱，各种材料（参数）和烹饪步骤（数学运算）混合在一起。
它里面有像量子数这样的东西。
量子数就像是小精灵的身份标识，不同的量子数就代表着电子不同的状态。
比如说有主量子数，这就好比小精灵所在的楼层。
楼层不一样，小精灵的活动范围（能量）也就不一样。
还有角量子数，这就像是小精灵在楼层里的不同房间类型，圆形的房间、椭圆形的房间之类的。
磁量子数呢，就像是房间里的不同床位，每个床位都有自己独特的位置。
你可能会想，这东西有啥用啊？用处可大了去了。
它能帮助我们理解氢原子的很多性质。
就好比我们知道了小精灵的活动规则，就能预测城堡里什么时候会热闹（原子的激发态），什么时候会安静（基态）。
要是没有这个波函数表达式，我们就像是在黑暗里摸索，对氢原子内部的情况两眼一抹黑。
而且啊，这氢原子的波函数表达式还是研究其他更复杂原子的基础。
这就像学走路，先学会走稳了，才能跑起来。
氢原子的波函数表达式就是那个稳稳的第一步。
要是我们连氢原子这么简单的情况都搞不清楚，更复杂的原子就更别提了。
在研究化学和物理的时候，这个波函数表达式就像是一把万能钥匙。
打开了一扇又一扇通往微观世界的大门。
我们可以通过它来计算原子之间的相互作用。
第二节氢原子地波函数
第二节氢原子的波函数波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinger方程可以精确求解。
能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。
为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。
图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J1sA1e-B rA1e-B r-2.18×10-182sA2re-B r/2A2re-B r/2-2.18×10-18/222p zA3re-B r/2cosθA3re-B r/2cosθ-2.18×10-18/222p xA3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2sinθcosφ-2.18×10-18/222p yA3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道”(atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。
例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。
而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。
氢原子波函数
Hˆ nlm En nlm , lˆ2 nlm l(l 1) 2 nlm , lˆz nlm m nlm
Hˆ 、lˆ2、lˆz之间互易： [Hˆ ,lˆ2 ] 0, [Hˆ ,lˆz ] 0,
[lˆ2,lˆz ] 0.
n 1时，(nlm) (100) E1 100 R10Y00
能级不简并
5
一、氢原子波函数(5)
3、氢原子的能级简并度(2)
En n2, n 1, 2, 3, , l 0,1, 2,,(n 1);m l, l 1,, l 1, l;
cot cos ]
Lˆ y
i
[cos
cot sin ]
Lˆz
i
形式简洁
11
二、角动量的本征值与本征函数（3）
角动量算符对易性
lˆx、lˆy、lˆz之间: [lˆx , lˆy ] lˆxlˆy lˆylˆx i lˆz [lˆy , lˆz ] lˆylˆz lˆzlˆy i lˆx [lˆz , lˆx ] lˆzlˆx lˆxlˆz i lˆy
r
x
x
x
或
y
r
r y
y
y
z
r
r z
z
z
将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得：
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量波函数是原子物理学中重要的概念之一，它用于描述原子或分子系统的量子状态。
在氢原子中，波函数被广泛应用于分析和理解氢原子的性质和行为。
此外，波函数还与角动量密切相关，它提供了有关原子的角动量信息。
在本文中，我们将详细探讨氢原子的波函数以及与之相关的角动量。
1. 波函数简介波函数是量子力学中描述自旋态和位置的函数。
它通常用希腊字母Ψ（Psi）表示，Ψ(r,t)，其中r是位置向量，t是时间。
波函数描述了一个量子系统的全部信息，包括能量、动量、自旋等。
波函数的模的平方，|Ψ(r,t)|²，给出了在给定时刻在某个位置找到该量子系统的概率。
2. 氢原子波函数氢原子是原子物理学中最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
氢原子的波函数可以由薛定谔方程得到，它是描述量子力学体系的基本方程。
氢原子波函数相当复杂，主要由径向部分和角向部分构成。
2.1 径向波函数氢原子的径向波函数，记作R(r)，描述了电子在原子核周围的运动方式。
径向波函数取决于主量子数n、角量子数l和磁量子数m。
主量子数n决定了能级，角量子数l确定了角动量大小，磁量子数m描述了角动量在空间中的方向。
径向波函数展示了电子和原子核之间的相互作用。
2.2 角向波函数氢原子的角向波函数，记作Y(theta, phi)，展示了电子在球坐标系中的分布情况。
角向波函数取决于角量子数l和磁量子数m。
角向波函数是球谐函数的一种特殊形式，它给出了电子在不同方向上的概率分布。
3. 角动量与波函数在原子物理学中，角动量是一个重要的物理量，描述了物体旋转的性质。
角动量分为轨道角动量（L）和自旋角动量（S）两部分。
波函数与角动量之间存在紧密的联系。
3.1 定态波函数与角动量定态波函数是不随时间变化的波函数，描述了量子系统的固有状态。
在氢原子中，定态波函数与角动量之间具有简洁的关系。
根据定态波函数的表达式，能够计算出氢原子的角动量大小和方向。
量子力学中的氢原子波函数
量子力学中的氢原子波函数在量子力学中，氢原子是一个非常重要的研究对象。
其波函数描述了氢原子的量子态，是解决氢原子的薛定谔方程得到的解。
氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到，它描述了氢原子中电子的位置和能量。
在这篇文章中，我们将探讨氢原子波函数的性质以及它在量子力学中的重要性。
一、氢原子波函数的基本性质氢原子波函数是一个复数函数，可以用来描述氢原子中电子的位置和动量分布。
波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
具体来说，氢原子波函数有如下几个基本性质：1. 规范化：波函数必须是归一化的，也就是说波函数的模的平方在整个空间积分为1。
这保证了在任意位置找到电子的概率为1。
2. 连续性：波函数和其一阶导数在整个空间上必须是连续的。
这意味着波函数不能出现不连续的跳跃或奇点。
3. 平方可积：波函数的平方必须可积，也就是说其模的平方在整个空间上的积分是有限的。
这保证了波函数的总概率是有限的。
二、氢原子波函数的形式氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到。
一般来说，氢原子波函数可以写成径向波函数和角向波函数的乘积形式。
1. 径向波函数：径向波函数描述了电子与原子核之间的距离关系。
它是一个关于径向坐标的函数，常用的表示形式是利用Laguerre多项式和指数函数来表示。
2. 角向波函数：角向波函数描述了电子在各个方向上的分布情况。
它是一个关于极坐标的函数，常用的表示形式是球谐函数。
将径向波函数和角向波函数的乘积形式代入薛定谔方程，可以得到一系列的能量本征方程和对应的波函数解。
三、氢原子波函数的物理意义氢原子波函数是描述氢原子量子态的工具，它包含了电子的位置和动量信息。
通过对波函数的分析，我们可以得到以下几个重要的物理意义：1. 能级结构：氢原子波函数给出了氢原子中电子的能级结构。
电子的能量由波函数的离散本征能量给出，能量越低表示电子越靠近原子核。
2. 轨道形状：波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
氢原子零时刻定态空间波函数表示
氢原子零时刻定态空间波函数表示氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
在量子力学中，我们可以用波函数来描述氢原子的行为。
零时刻定态是指氢原子在初始时刻的状态，即初始态的波函数。
为了得到氢原子零时刻定态的波函数，我们需要解氢原子的定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程可以写为：Hψ = Eψ其中，H是氢原子的哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
在零时刻，氢原子的能量取最小值，即基态能量。
因此，我们要求的是氢原子的基态波函数。
氢原子的哈密顿算符可以写为：H = -ℏ²/2m∇² - ke²/r其中，ℏ是普朗克常数，m是电子的质量，∇²是拉普拉斯算符，k 是库仑常数，e是元电荷，r是电子与质子之间的距离。
为了求解定态薛定谔方程，我们可以采用分离变量法。
假设波函数可分解为空间波函数和时间波函数的乘积形式：ψ(r,t) = R(r)T(t)将上式代入定态薛定谔方程中，并将时间波函数部分移到等式右边，得到两个方程：-ℏ²/2m∇²R(r) + ke²/rR(r) = ER(r)dT(t)/dt = -E/T(t)第一个方程是关于空间波函数R(r)的方程，第二个方程是关于时间波函数T(t)的方程。
我们先来解第一个方程。
为了方便计算，我们引入球坐标系。
在球坐标系下，拉普拉斯算符的形式为：∇² = 1/r²(∂/∂r(r²∂/∂r) + 1/sinθ ∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + 1/sin²θ ∂²/∂ϕ²)将球坐标系下的拉普拉斯算符代入第一个方程中，得到：-ℏ²/2m(1/r²(∂/∂r(r²∂R/∂r)) + ke²/r)R = ER对方程两边同时乘以2mr²/ℏ²，得到：∂/∂r(r²∂R/∂r) + 2mr²/ℏ²(ke²/r - E)R = 0我们可以猜测一个解的形式，假设R(r) = U(r)/r，将其代入上式中，得到：∂/∂r(r∂U/∂r) + 2mr²/ℏ²(ke²/r - E)U = 0化简后可得：r∂²U/∂r² + 2m(ke²r - Er²/ℏ²)U = 0这是一个常微分方程，我们可以通过求解该方程得到波函数R(r)。
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第二节氢原子的波函数
氢原子的第二个四分之一氢原子的波函数是所有原子中最简单的原子。
它的原子核外只有一个电子。
移动到原子核外的电子的势能只取决于检查它的吸引力，它的薛定谔？丁格方程可以精确求解。
此外，类氢离子，例如氦离子和锂离子，可以被精确地解决。
2+
+
为了方便地解决这个问题，用直角坐标表示的ψ(x，y，z)应由用球面极坐标表示的ψ(r，θ，φ)代替。
两者之间的关系如图8-3所示:
r代表P点与原点之间的距离，θ、φ称为方位角。
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz= r cosθ
波函数ψn，l，m(r，θ，φ)和它们相应的氢原子能量列于表8-1
图8-3笛卡儿坐标被转换成球面极坐标表8-1氢原子的一些波函数和它们的能量轨道1s ψn，l，m(r，θ，φ) R n，l (r) A1e-Br Y l，m (θ，Phi)能量/j-2.18310-18a1e-Br-2.18310-18/222 sa 2re-Br/2a 2re-Br/2-2。
量子力学借用了玻尔的“原子轨道”的概念，仍然称波函数为“原子轨道”，但是它们的含义是完全不同的。
例如，玻尔认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道在量子力学中，氢原子基态的原子轨道是波函数
ψ1s(r，θ，φ) = A1e-br，其中a1和b是常数，这表明ψ1s随着离核r
的距离的变化在任何方位角变化
，它代表氢核外1s电子的运动状态，但并不意味着1s电子有确定的运动轨道1s电子的能量为-2.18310焦耳氢核外有许多电子激发态，如ψ2S(R，θ，φ)，θ，φ)等。
，相应的能量为-5.45310焦耳
-19
-18
(r，
)要求解薛定谔方程的ψ和e，必须满足一定的条件才能使解合理。
因此，在求解过程中必须引入三个量子数n、l和m当这三个参数的值和组合固定时，就确定了波函数。
这三个量子数的极限值及其物理意义如下:
主量子数通常用符号n表示。
它可以取任何非零正整数，即1，2，3？n它决定了在最有可能出现在原子核外空间的区域中，电子离原子核的距离，是决定电子能级的主要因素。
当n = 1时，电子离原子核的平均距离最近，能量最低n越大，电子离原子核越远，能量越高。
所以n也叫做电子壳层数。
对于氢原子，电子的能量完全由主量子数决定，即由公式
决定从这个公式可以看出，n越大，e越大(负值的绝对值
越小)
轨道角动量量子数(有机角动量量子数)通常用符号L表示它的值受主量子数的限制。
它只能接受小于N的正整数并且包括零，也就是
说，L可以等于0，1，2，3？(n–1)，总共n个值是可接受的根据光谱学的习惯，当l = 0时，用符号s表示，当l = 1时，用符号p表示，当l = 2时，用符号d表示，当l = 3时，用符号f表示，等等轨道角动量的量子数决定了原子轨道的形状例如，当l = 0时，原子轨道是球形的。
当l = 1时，原子轨道是双球面的，等等。
在多电子原子中，轨道角动量的量子数也是决定电子能级的一个因素。
因此，在多电子原子中，具有相同主量子数和不同轨道角动量量子数的电子的能量是不相等的，也就是说，同一电子层中的电子也可以分成几个不同的能级或子层。
当主量子N相同时，轨道角动量量子数L越大，能量越高。
所以有两种情况对于氢原子，Ens = Enp = End = Enf
磁量子数通常用m表示它的值受到轨道角动量量子数的限制也就是说，m可以等于0，1，2。
整数，如l因此，磁量子数的总数是(2l+1)磁性量子数决定了原子轨道在空间中延伸的方向，但它与电子的能量无关。
例如，当l =1时，磁量子数可以有三个值，即m = 0和1，这表明p轨道在空间中有三个不同的延伸方向，即总共有三个p轨道然而，三个P轨道的能量是相同的，也就是说，能级是相同的，这被称为简并或等价轨道。
综上所述，我们可以看到三个量子数N、L和M的组合有一定的规律。
例如，当n = 1时，l只能等于0，m只能等于0。
只有三个量子数的一个组合，即1、0和0，这意味着第一电子层只有一个能级和一个轨道，相应的波函数写为ψ1、0、0或ψ1s当n = 2时，l可以等于0和1，因此第二电子层具有两个能级当n = 2且l = 0时，m只能
等于0；当n = 2且l = 1时，m可以等于0和1量子数有四种组合，即2，0，0(ψ2S)；2，1，0()；2，1，1(，)
这也表明第二电子层有4个轨道，其中2，0，0的组合是能级，另外三个组合属于第二高能级通过类比，每个电子层中的轨道总数应该是n。
见表8-2
2
表8-2量子数组合和轨道数
主量子数n 1 2角量子数L 001 1磁量子数m 0 0 0 1 0 0 3 1 0 2波函数ψ轨道数(N2)ψ1sψ2sψ2Pzψ2Px，ψ2Py 3sψ3Pzψ3Px，ψ3Pyψ3d z2ψ3d xz，3dyz然而，第四个量子数，自旋角动量量子数，需要用来描述电子的运动状态，用符号si表示它不是通过求解薛定谔方程得到的，所以它与N，L和m无关电子本身有自旋运动自旋运动有两个相反的方向，
电子自旋运动图
分别由自旋角动量量子数+1/2和-1/2表示，也可以分别由正负箭头符号↓和↓表示当两个电子的自旋方向相同时，它们被称为平行自旋，否则它们被称为反平行自旋。
量子力学建立后，上述观点也得到肯定。
因此，总共需要四个量子数，即n，l，m和si，来表示电子的运动状态。
示例aNalysis of
:众所周知，基态na原子的价电子位于最外层的3s子层中，其运动状态由n、l、m和si量子数
来描述
求解最外层3s子层的n = 3，l = 0，m = 0，因此其运动状态可表示为3，0，0，+1/2(或-1/2)
的概率密度和电子云在氢核外只有一个电子。
如果原子核是固定的，电子的位置是不确定的，但它有统计规律性如前所述，∣ψ√代表电子出现在原子核外空间某一点(r，θ，φ)的概率密度。
为了用图形表示电子出现在基态氢原子原子核外空间各处的概率密度分布，空间各处的√ψ√值用不同密度的小黑点表示。
每单位体积黑点的数量与∠ψ ∠成正比的图叫做电子云。
2
2
2
图8-4是氢原子∠ψ1s∠对r和1s电子云的图从图中可以看出，离原子核越近，电子云越密集，即电子出现的概率密度越大；离原子核越远，电子云越稀少，电子出现的概率密度越小。
注意，不要把电子云中的小黑点当成电子，因为在氢原子核外只有一个电子。
还要注意，这是关于概率密度，而不是概率。
后来我们经常使用电子云作为概率密度的同义词。
图
2
原子轨道为了加深对波函数含义的理解，我们将研究它的图像以获得更直观的效果然而，波函数是一个包含r、θ、φ三个独立变量的函
数，很难制作二维或三维图形。
因此，波函数被写成以下一般形式:ψn，l，m(r，θ，φ) = R n，l(r)2Yl φ)和m(θ，公式的含义是:波函数可以写成两个函数的乘积，即R n，l(r)函数和Yl (θ，φ)函数这个R n，ll(r)，m函数也称为波函数的径向部分或径向波函数，它是离原子核距离R 的函数，只与两个量子数n和l有关Yl φ)函数也称为波函数的角部分或角波函数(m(θ，函数)，它是方位角θ和φ的函数，只与L和M 量子数有关这两个函数分别包含一个自变量和两个自变量，所以映射起来没有困难。
映射后，电子的运动状态可以从波函数的径向和角向边观察到。
虽然每个部分并不代表一个完整的波函数，但它可以解释许多问题。
表8-1列出了通过理解薛定谔方程和它们相应的R n，l(r)函数和Yl (θ，φ)函数获得的氢原子基态和一些激发态的波函数。
，m (a)氢原子轨道的角度分布图氢原子轨道的角度分布图又称y函数图
s轨道角度分布图
如图8-4所示Yl (θ，φ)值随方位角的变化如图8-5和图8-6所示由于角波函数只与轨道、M通道角动量量子数和磁量子数有关，而与主量子数无关，只要L和M相同，即使N不同，它们的角分布也相同。
轨迹角分布图
YPx
p轨迹角分布图
示意图显示y值形成的两个波瓣向x轴方向延伸，而yz平面上的y
值为零，该平面称为节点平面，即函数值为零的平面据此，可以用符号YPy和YPz来类比轨迹角分布图的含义。