第三节正定二次型
第四章 二次型 第三节 正定二次型
该对角矩阵称为矩阵A的规范形矩阵，由A唯一确定. p称为矩阵A的正惯性指数；
r-p称为矩阵A的负惯性指数；
矩阵A的正惯性指数和负惯性指数的和为矩阵A的秩.
定理4.3.1 任意n阶实对称矩阵都合同于一个 n阶对角矩阵 E p
Er p . 0
定理4.3.2 两个n阶实对称矩阵合同 充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指数.
1r
a11 a, , n.
ar 1
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
如果对任何X 0都有f ( X ) 0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.
2 2 2 f x 4 y 16 z 例如三元二次型 为正定二次型
二元二次型
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
注 n阶对称矩阵A为负定矩阵当且仅当A为正定矩阵.
定理4.3.3 可逆的线性替换不改变n元 实二次型的正定性.
矩阵充分必要条件是其对角元di 0, i 1, 2,
推论4.3.2
n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A合同于n阶单位矩阵E. 推论4.3.3 n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A的特征值均为正数.
推论4.3.4 若n阶实对称矩阵A为正定矩阵， A 0 .
定义4.3.2
A设A aij 是一个n阶方阵，则称A中形如 Ak a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk , n）.
第五章三节二次型和对称矩阵的有定性
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = - 2x1 - 2x2 - x3 + 2x1x2 - 2x2 x3 例8 设二次型
试判断 f (x1, x2 , x3 )的有定性。 解
轾 -2 1 犏 二次型的矩阵 A = 犏 - 2 1 犏 犏 -1 0 臌 A的各顺序主子式 -2 det A = - 2 < 0,det A = 1 2 1
det A = 1> 0,det A2 = 1 1 det A = det A = t 3
1 t t 1
= 1- t 2 = > 0
t -1 1 2 = - 5t 2 - 4Fra bibliotek > 0 5
-1 2
4 解之得- < t < 0. 5 4 即当 - < t < 0时，二次型 f (x1, x2 , x3 )为正定二次型。 5
第三节 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
T
推论2 推论 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得 A = CT C. 推论3 推论 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。 定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 定理 特征值都是正数。 例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 A- 1也是正定矩阵。 证法1 证法 由 AT = A，有
6.2 正定二次型
bk b1ak 1 bk b2 ak 2
正定矩阵A的k 阶顺序主子式 Ak > 0 , (k = 1, …, n). 所以， Bk > 0 , (k = 1, …, n). B 为正定矩阵.
例
判别二次型
的正定性.
解
二次型的矩阵为
二次型正定
小
定理 (1) A为正定矩阵；
结
对于实对称矩阵 A，下列命题等价：
例 设实对称矩阵A = (aij)nn 是正定矩阵. b1, b2, …, bn是 任意n个非零实数，证明: B = (aii bibj)nn为正定矩阵. 证
b12 a11 b2b1a21 Bk
b1b2 a12 b22 a22
b1bk a1k b2bk a2 k 2 2 2 b1 b2 bk | Ak | bk2 akk
t 为何值时，f 为正定二次型？
解
2 P | A | 4 2 t 0, 3
1 t 1 A t 4 0 1 0 2 P1 1 0, 1 t P2 4 t 2 0, t 4
2t 2
所以，当 2 t 2 时 f 为正定二次型
定义
对于 n 阶矩阵 A = (aij), 子行列式
a11 a1k Pk ak 1 akk
称为 A 的 k 阶 顺序主子式.
定理 f (X) = X TAX 是正定二次型 A 的各阶顺序主子式全大于零.
例
讨论下面二次型的正定性： f3 (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 2x2 x3
解 作业：习题6.2 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11
高等代数课件 第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
e1 e2 T Ae1 e2 a d c d 0 b c 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
•若A
1 b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
a
2
c2
1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
第三节正定二次型
第三节正定二次型第三节正定二次型内容分布图示★ 二次型有定性的概念★ 例1-3 ★ 正定矩阵的判定★ 定理6 ★ 矩阵的主子式★ 定理7★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题5-3 ★ 返回内容要点:一、二次型有定性的概念定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<="">成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、正定矩阵的判别法定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。
推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为22122221r p p z z z z z ---++++则(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为22221n z z z f ----= )(2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22221 )(3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22221 ) (4) f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即22122221r p p z z z z z f ---+++=+ )定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式)1(21212221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k ≤<<<≤称为A 的一个k 阶主子式.而子式),,2,1(||212222111211n k a a a a a a a a a A kkk k k k k ==称为A 的k 阶顺序主子式.定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>.注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
《线性代数教学PPT》二次型的正定型
P2
5 2
2 26 0,
6
P3 | A | 80 0,
f 负定.
数
即 (-1)k Pk > 0 (k = 1, 2, 3) = =
基本要求
线
(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示, 性 了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯
性定理等概念.
代
(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,
线
若f (x) xT Ax正定,即x Rn , x 0, 恒有xT Ax 0,
性
于是y Rn , y 0,有Cy 0(否则Cy 0,则C 1Cy 0,
即y 0,这与y 0矛盾),因此y Rn , y 0,有
代
yT (CT AC) y (Cy)T A(Cy) 0
线
解
A t 4 0
需
1 0 2
性
P1 1 0,
P2
1
t
t 4 t 2 0,
4
P3 | A | 4 2t 2 0,
代
4 2t2 0
4
t2
0
数
=
2t 2
所以，当 2 t 2 时f 为正定次型
所以,二次型yT (CT AC) y正定.同理可证,当
数
yT (CT AC) y正定时, 有xT Ax正定.
命题1亦表明A与CT AC有相同的正定性.即合同的
=
矩阵有相同的正定性.
=
例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB
也是正定矩阵 (k > 0, l > 0).
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第三节 正定二次型
内容分布图示
★ 二次型有定性的概念 ★ 例1-3 ★ 正定矩阵的判定 ★ 定理6 ★ 矩阵的主子式 ★ 定理7
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-3 ★ 返回
内容要点:
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =
(1) 如果对任何非零向量X , 都有
0>AX X T （或0<AX X T ）
成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量X , 都有
0≥AX X T （或0≤AX X T ）
成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二、正定矩阵的判别法
定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.
定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =
定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。
推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .
定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为
2
2122221r p p z z z z z ---++++
则
(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为
2
2221n z z z f ----= )
(2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22
221 )
(3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22
2
21 ) (4) f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即2
2122221r p p z z z z z f ---+++=+ )
定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式
)1(2121
2221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k ≤<<<≤
称为A 的一个k 阶主子式.而子式
),,2,1(||2
1
22221
11211n k a a a a a a a a a A kk
k k k k k ==
称为A 的k 阶顺序主子式.
定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>.
注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。
(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-
其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.
(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a. 对称矩阵A 是半正定（半负定）的;
b. A 的所有主子式大于（小于）或等于零；
c. A 的全部特征值大于（小于）或等于零.
例题选讲：
二次型有定性的概念
例1(讲义例1) 二次型,),,,(2
222121n n x x x x x x f +++= 当0),,,(21≠=T n x x x X 时, 显然有
,0),,,(21>n x x x f
所以这个二次型是正定的,其矩阵n E 是正定矩阵.
例2 (讲义例2) 二次型,44422
33222312121x x x x x x x x x f -+-+--=将其改写成
,0)2(),,(2321321≤-+-=x x x x x x f
当02321=-+x x x 时, 0),,(321=x x x f ,故),,(321x x x f 是半负定,其对应的矩阵⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----422211211是半负定矩阵.
例3 (讲义例3) 2
221212),(x x x x f -= 是不定二次型,因其符号有时正有时负, 如
.0)1,2(,01)1,1(><-=f f
正定矩阵的判别法
例4 (讲义例4) 当λ取何值时, 二次型),,(321x x x f 为正定.
2
3
32223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++=. 例5 (讲义例5) 判别二次型),,(z y x f 为负定.
xz xy z y x z y x f 44665),,(222++---=.
例6 (讲义例6) 证明: 如果A 为正定矩阵, 则1-A 也是正定矩阵.
课堂练习
1.设二次型,222),,(31212
32221321x x x tx x x x x x x f -+++= 试确定当t 取何值时, ),,(321x x x f 为正定二次型.
2.判别二次型312
322213214542),,(x x x x x x x x f -++=是否正定.
3.设A ,B 分别为m 阶,n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=B A C 00是否为正定矩阵.。