逆用导数运算法则构造函数型

逆用导数运算法则构造函数型知识点：题目已知中出现含f (x )、f ′(x )的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新，然后再逆用单调性等解决问题，构造新函数的方法有：1.对于()f x a '>，构造()()h x f x ax b =-+.2.对于()()0(0)xf x f x '+><，构造()()h x xf x '=；()()0(0)xf x nf x '+><，构造()()n h x x f x =．3.对于()()0(0)xf x f x '-><，构造()()xx f x h =； ()()0(0)xf x nf x '-><，构造()()nf x h x x =． 4.对于()()0(0)f x f x '-><，构造()()xe xf x h =； 对于()()0(0)f x nf x '-><，构造()()nxf x h x e =． 5.对于()()0(0)f x f x '+><，构造()()x f e x h x =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '+><，构造()()nx h x e f x =．6.对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．7.对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x =． 8.对于()0()f x f x '>，构造()ln ()h x f x =. 9.对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =.10.对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. 例1设奇函数f (x )定义在(－π，0)∪(0，π)上其导函数为f '(x )，且f (π2)＝0，当0＜x ＜π时，f '(x )sin x －f (x )cos x ＜0，则关于x 的不等式f (x )＜2f (π6)sin x 的解集为 ． 【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y 轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(f g )'＝f 'g －fg 'g 2，(sin x )'＝cos x ，于是本题的本质是构造f (x )sin x来解不等式 【解析】设g(x )= f (x )sin x ，则g ' (x )= (f (x )sin x )'＝f '(x )sin x －f (x )cos x sin 2x， 所以当0＜x ＜π时，g ' (x )<0，g(x ) 在(0，π)上单调递减又由于在(0，π)上sin x ＞0，考虑到sin π6＝12，所以不等式f (x )＜2f (π6)sin x 等价于f (x )sin x ＜f (π6)sin π6，即g(x )< g (π6),所以此时不等式等价于π6＜x ＜π. 又因为f (x ) 、sin x 为奇函数，所以g(x )是偶函数，且在(－π，0)上sin x ＜0，所以函数g(x )在(－π，0)是单调递增函数，原不等式等价于g(x )＞g(－π6)=f (－π6)sin(－π6)，所以此时不等式等价于－π6＜x ＜0，综上，原不等式的解集是(－π6，0)∪(π6，π)． 例2函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中2)(>'x f ，只需构造函数()g x ，使得()()2g x f x ''=-，不难得到()()2g x f x x c =-+（这里c 为常数，本题中取0c =），进而利用()g x 的单调性，即可找到解题的突破口.【解析】构造函数()()2g x f x x =-，则()g x '=()20f x '->，故()g x 单调递增，且(1)(1)214g f -=--⨯-=（）.另一方面所求不等式42)(+>x x f ， 就转化为()()(1)g x f x x g =->-，逆用单调性定义易知1x >，则不等式的解集为(1,)-+∞. 例3 设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1·f (x 2－1)的解集为________．【解析】设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，可得函数F (x )是R 上的增函数． 又x ＋1>0，∴由f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可变形得x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即F (x ＋1)>F (x 2－1)， ∴⎩⎨⎧ x ＋1>x 2－1，x ≥1，解得1≤x <2. [强化训练]1.函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x∴R ，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex ＋1的解集为______．【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex ，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex －ex ＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex 为R 上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.2.已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ()1,2- 3.已知()()R x x f y ∈=的导函数为()x f '.若()()32x x f x f =--，且当0≥x 时，()23x x f >'，则不等式()()13312+->--x x x f x f 的解集是),21(+∞4．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ） A ． B ． C ． D ．或【答案】C ．5．设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且'()'()f x g x >，则当a x b <<时，有（ ） .()()A f x g x > .()()B f x g x <.()()()()C f x g a g x f a +>+ .()()()()D f x g b g x f b +>+【答案】C【解析】构造函数，则易知单调递增，于是，，选C.6.设()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x <-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（ ）R ()f x (2)1f =()f x ()1f x x '>-21()12f x x x <-+{}22x x -<<{}2x x >{}2x x <{|2x x <-2}x >()()()F x f x g x =-()F x ()()()F a F x F b <<()()()()f x g x f a g a ->-A. (0,1)B. (1,)+∞C. (1,2)D. (2,)+∞【解析】构造函数[()]'()'()0xf x f x xf x =+<，于是该函数递减，2(1)(1)(1)f x x f x +>--变形为22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，于是22101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，得2x >，选D.7．定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()())12,3,12a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<【解析】构造函数()()1f xg x x =-， 当()1,x ∈+∞时，()()()()()2101f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，则()()()22221f a f g ===-，()()()3133231f b fg ===-，)1f c f g === 则()()23g g g <<，即c a b <<，选A ． 8上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）ABC D 【答案】A【解析】由()()'tan f x f x x >得()()'cos sin 0f x x f x x ->，构造函数()()cos F x f x x =，则()'0F x >，故()F x 单调递增，()f x ()'f x ()()'tan f x f x x >⋅有cos cos 666333F f f F ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选A ． 9．函数的导函数为，对任意的，都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A.)3(ln 2)2(ln 3f f >B.)3(ln 2)2(ln 3f f <C.)3(ln 2)2(ln 3f f =D.)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定【答案】B【解析】令()()x f x h x e =,则()()()()()()()22'()''''x x x x x x x f x e f x e f x e f x e f x f x h x e e e ---===,因为()()()()''0f x f x f x f x >⇒->,所以在R 上()'0h x >恒成立.即函数()h x 在R 单调递增.因为ln3ln2>,所以()()ln3ln 2h h >即()()()()()()ln 3ln 2ln3ln 2ln3ln 22ln33ln 232f f f f f f e e >⇒>⇒>.答案选B ．()f x ()f x 'x R ∈。