[马丁加德勒]从惊讶到思考数学悖论奇景 第一章 逻辑学悖论
数学科普大师——马丁·加德纳
人生驿站RAND GARDEN OF SCIENCE2010年5月22日是全美国乃至全世界的科普爱好者黯然神伤和扼腕叹息的日子,因为在那个星期六,一个睿智非凡充满奇思妙想的大脑停止了转动,一名在数学科普领域无可替代的伟人与世长辞,一位95岁的老人告别了他终生热爱的数学传播事业。
他就是在美国家喻户晓、在世界享有盛誉的数学科普大师马丁·加德纳。
1914年10月21日,马丁·加德纳(MartinGardner)出生于美国俄克拉荷马州的塔尔萨。
母亲是一位幼儿教师,父亲是一位爱好魔术的地质学博士,在他的影响下加德纳很小就对魔术产生兴趣,并成为终身爱好。
中学时代加德纳对几何学颇有兴致,热衷于各类数学游戏,这为他致力于用数学游戏传播数学埋下伏笔。
在进入芝加哥大学之后,他又逐渐对科学和哲学产生浓厚兴趣,于1936年获得哲学学士学位。
大学期间,加德纳没有接受任何正式的高等数学教育。
他曾自称数学水平极低,但也正由于这个短板,反倒成为他后来开辟数学游戏专栏的特长。
因为他必须设法用简单方式诠释深奥内容,并用通俗易懂的情境呈现,显然这更贴近读者的理解水平,所以加德纳自嘲撰写数学科普文章最好是不太懂数学。
毕业后加德纳成为报刊记者,二战期间他为美国海军服役四年,主要从事文书工作。
战后,他开始从事自由撰稿人和编辑的工作。
1956年,一个偶然的事件改变了他的一生。
当时由纽曼主编的四大卷《数学世界》成为英美的畅销书,高级科普杂志《科学美国人》的主编皮尔由此看到了数学科普的商机,决定创办“数学游戏”专栏。
而此前曾给杂志写过几篇文章的加德纳给他留下深刻印象,皮尔当即邀请加德纳主持这个专栏。
于是,加德纳跑到纽约,购买众多书籍潜心研究。
此时的他似乎回到了命中注定的数学轨道,全部的热情和才智都情不自禁飞扬在数学传播的世界中,从此一发不可收拾。
在《科学美国人》杂志上撰稿的,一般都是各个科学、技术领域中的专家学者。
即便如此,也很少有人能在这份期刊发表超过两篇以上的文章,唯一例外就是加德纳。
逻辑学课件5逻辑学第五章逻辑规律
从惊讶到思考
——数学悖论奇景 《科学美国人》杂志社 马丁· 加德纳
第二节 （无或不）矛盾律
逻 辑 基 本 规 律
斯多葛派是由古希腊哲学家西蒂姆的芝诺 （zeno of citium,约公元前336－264年）创立 的。他在一个画廊（Stoa）里讲学，人称“画 廊（Stoa）”学派，与伯拉图的雅典学园和亚 里士多德的逍遥学派并称三大学派。该学派第二 个代表人物克里西普（Chrisipus）被称为古代 最伟大的逻辑学家之一。斯多葛学派早期研究认 识论和逻辑学，晚期重视社会伦理。“命题逻辑” 的第一个系统的建立约在亚里士多德之后的半个 世纪：它是斯多葛学派的逻辑。
第二节 （无或不）矛盾律
必有一假
逻 辑 基 本 规 律
一、矛盾律的基本内容和公式： １.基本内容： 在同一时间、同一方面对同一个思维对象不能作出两个相 矛盾的认识,即不能同时肯定两个相互矛盾的论述（两可） 操两可之说，设无穷之辞。 课本：在同一个思维过程中，互相否定（反对和矛盾）的 两个思想不能同时为真，其中必有一假，（见逻辑方阵）
逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来 完全消除这种恶性的矛盾。 方法：语言层次理论和排除自身
4.
第二节 （无或不）矛盾律
逻 辑 基 本 规 律
啊哈.灵机一动——美国科普大师马丁·伽德纳讲解不一样的数学
边 长 ９ ｍ 嘛 ！ ”
Ｏ．余 春 先 生 恍 然 大 悟 ，惭 愧 地 说 ：“看 来 你 的 确 是 匆 明 （聪 明 ），我 真
是 余 春 （愚 蠢 啊 ！ ”
ｆ．真 是 轻 而 易 举 ．问 题 怎 么 会 这 么 简 单 ？
匆 明 女 士 突 然 看 出 来 ．水 池 的 一 边 是 一 个 矩 形 的 对 角 线 ．而 该 矩 形
图 １
Ｃ．建 筑 师 福 兰 克 ．余 春 一 时 语 塞 ．他 慢 吞 吞 地 说 ：“让 我 想 想 ． 曰 长 ５ １２＇ １．
ｃ 长 ４ ｍ，要 求 出 ＢＤ 的 长 度 ．恐 怕 要 用 一 下 勾 股 定 理 吧 ．”
ｄ．就 在 余 春 先 生 煞 费 苦 心 求 解 时 ，市 长 忽 然 嚷 道 ：“很 显 然 ，水 池 每
．
，
。
全豹 这些小故事本来都是配有漫画 的 这样大家看起来会更加轻松一
．
．
点 此 处为 了节省篇幅 ．
略去 这是第二
．
．
部分 “几 何技巧
” 中 的 故 事 《长 度 求
八 年级 数学 ． 配 合 华 师大教材角 镜
解 技 巧 》．
ａ．在 某 城 市 的 一 个 公 园 中 ． 有 一 个 较 大 的 圆
．
、
从惊讶到思考-----数学悖论奇景
数学的无穷无尽的魅力在于它在最棘手 的悖论中能盛开出美丽的理论之花！ 的悖论中能盛开出美丽的理论之花！
谢
谢！
பைடு நூலகம்
一、由自指引发的悖论
1、我在说谎 、 2、理发师悖论 、 3、书目悖论 、 4、苏格拉底悖论 、 5、世界上没有绝对的真理 、
二、引进无限带来的悖论 1、 阿基里斯悖论 、 2、 二分法悖论 、
三、诡辩论
1、什么是诡辩？ 、什么是诡辩？
有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡， 有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡， 他们中间谁会洗？ 他们中间谁会洗？
悖论的主要形式： 悖论的主要形式： 1．似非而是型。论断看起来像是错了， ．似非而是型。论断看起来像是错了， 但实际上却是对的（佯谬）。 但实际上却是对的（佯谬）。 2．似是而非型。论断看起来好像是对 ．似是而非型。 但实际上却错了。 的，但实际上却错了。 3．二难推理型。一系列推理看起来好像 ．二难推理型。 无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
2、 邓析赎尸诡论 、
四、由量变和质变引发的悖论 1、谷“堆”的定义 、 2、秃头的定义 、 3、一整袋谷子落地没有响声 、
五、思考蠕虫问题 一条蠕虫以每秒1厘米的速度在一根 一条蠕虫以每秒 厘米的速度在一根 长一米的橡皮绳上从一端向另一端爬行， 长一米的橡皮绳上从一端向另一端爬行， 而橡皮绳每秒钟伸长1米，问这条虫子 而橡皮绳每秒钟伸长 米 能否爬到橡皮绳的另一端？ 能否爬到橡皮绳的另一端？
从惊讶到思考
数学系 刘宏伟
我今天说的话都是
假话！
悖论来自希腊语“ 悖论来自希腊语“para+dokein”， ， 意思是“多想一想” 意思是“多想一想”。 悖论是自相矛盾的命题。 悖论是自相矛盾的命题。 解决悖论难题需要创造性的思考， 解决悖论难题需要创造性的思考，悖论 的解决又往往可以给人带来全新的观念。 的解决又往往可以给人带来全新的观念。
数学悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
2
奇怪的旅店
有个故事据说出自杰出的德国数学家 希尔伯特之口：
一天深夜，一个人走进一家旅店， 想订一间房.店主微笑的告诉他说： “对不起，我们所有房间都住满了客 人，不过让我想想办法，或许我最终 可以为您腾出一个房间来.”
然后，店主便离开自己的办公台， 很不好意思的叫醒了旅客，并请他们 换一换房间：他要每一号房间的旅客 搬到房间号比原来高一号的房间去.
13
芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可
分的“一”及“静止的例证，人称
“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
我们从数学角度看其中的一个悖论。
18
症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展
2）较早的“反证法”及“无限”的思想
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离
数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的
（整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
1
无限集合也有“大小”
——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能
有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，
第一章 逻辑学悖论优秀课件
4．一句话和他的反话
▪ M：这句话有几个 字？
▪ 七个字。
▪ 显然原话错了！那 么它的反话就应该 是对的吧，是不是？
4．一句话和他的反话
▪ M：不对，这句语的反话正好是八个字。 所以，它像它原来的话一样是错的。我们 怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？
2．说谎者悖论
▪ 学生们是否能够解释，为什么这类悖论采 用上述形式表达（即一句话谈的正是它本 身）就变得清晰起来？这是因为它消除了 说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真 话。
2．说谎者悖论
▪ 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经 说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎， 就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想 了一会儿，就说：“不是。”
▪ 语句：“这句话是错的”。
5．发狂的计算机
▪ M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地 打出对、错、对、错的结果，陷入了无休 止的反复中。
5．发狂的计算机
▪ 世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的 计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和 西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈 佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎 者悖论时，计算机便进入反复振荡状态， 陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的 《逻辑机和逻辑图》）。
1．克里特人伊壁孟德
▪ 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去 完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话 呢！
▪ 一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于 “说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。
▪ 有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱， 据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常 常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
逻辑学悖论
逻辑学悖论说谎者悖论“这句话是错的。
”上面这个句子是对的吗？如果是对的，这句话就是错的；如果是错的，这句话就是对的。
这一类的悖论变化是无穷的。
例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治．摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。
”你可以创造一个这样的悖论吗？无穷倒退“先有鸡还是先有蛋？”先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那么是先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学为“无穷倒退“的最普通的例子，无穷倒退还有很多例子。
柏拉图：「下面苏格拉底说的话是假的。
」苏格拉底：「柏拉图说了真话。
」这是说谎者悖论的一个翻版。
假若苏格拉底说的是真的，那么柏拉图说的必然是真的。
但是，如果柏拉图说的是真的，那苏格拉底说的就必须是假的。
若我们假定苏格拉底说的是假的，那就意味着柏拉图说的是假的，这么，要是柏拉图说的是假的，苏格拉底说的就必须是真的，结果我们又从头开始，这个过程就会这样子一直重复下去。
理发师悖论“我给城里一切不自已刮脸者刮脸，我也只给这些人刮脸。
”著名的理发师悖论是伯特纳德．罗素提出的。
一个理发师的招牌写着如上面的告示。
谁给这位理发师刮脸呢？他提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个着悖论用故事通俗地表述出来。
某些集合看起来是它自已的元素。
现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合，这个集合是它本身的元素吗？无论你如何作答，都会得到矛盾。
设对于一类集合：A1={a11，a12，…a1i，…}，A2={a21，a22，…a2i，…}，…，A i={a i1，a i2，…a ij，…}都满足条件a ij∈A i ( i = 1，2，…j = 1，2，…)，但A i∉A i一切这类集合物成新集合A={A1，A2，…，A i} A1∈A，问A ∈A？如果认为A ∈A，则A应该不是自身集合的元素，即A ∉A；如果A ∉A，A就应是本集合的元素，即A ∈A，得到矛盾。
趣味逻辑和悖论
悖论的定义
定义： 如果某种理论的公理及其推理规 则看上去是合理的，但在这个理论中 却推出了两个互相矛盾的命题，或者 证明了这样一个复合命题，它表现为 两个矛盾命题的等价式，我们称这个 理论包含了一个悖论。
悖论的定义
悖论≠诡辩或谬论。
诡辩、谬论可以通过已有的理论、 逻辑论述其错误的原因，是与现有理论 相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所 在的理论体系中，不能阐明其错误的原 因，是与现有理论相容的。 悖论是（在当时）解释不了的矛盾 。
1.第一次数学危机
（3）欧多克斯比例理论的建立 大约在公元前 370 年 ，古希腊数学家欧多克斯 （ Eudoxus, 公 元 前 408— 前 355 年）建立了新的比 例理论，标志着这一悖论 的解决。
1.第一次数学危机
（4）对数学发展的影响——公理几 何与逻辑的诞生
在此以前的各种数学，无非都是‚算‛ ，也就是提供算法。比如泰勒斯预测日 食，利用影子距离计算金字塔高度，测 量船只离岸距离等等，都是属于计算技 术范围的。
格登纳对这 姑娘说：‚我 有三个问题， 请你对每个问 题 只 用 ‚ Yes” 或‚ No” 回答， 不必多做解释 。
让她无法说NO的约会
第一个问题是：你愿意如实地回答 我的下面两个问题吗？‛ 姑娘答：‚Yes !” “ 很好，‛格登纳继续说：‚我 的第二个问题是，如果我的第三个 问题是‘你愿意和我一道吃晚饭吗 ’，那么，你对这后两个问题的答 案是不是一致的呢？‛
鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就 说错了。我应该吃掉他。 母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说 对了，你就得把他交回给我 。
数学中充满矛盾：
正数与负数，实数与虚数，有限 与无限，常量与变量，连续与离散， 直观与抽象，分析与综合，微分与积 分，数与形，加与减等等。
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[马丁·加德勒]从惊讶到思考——数学悖论奇景第一
章逻辑学悖论
第一章逻辑学悖论
如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，就会发现，没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。
他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。
到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？
这一章的主要目的，是尽可能用娱乐的方式，通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。
在这里，“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。
在其他几章中，悖论是强烈违反我们直觉的问题。
在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。
逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。
尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。
在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直
接结果。
在这里，你会看到引自伯特兰德·罗素的话，
他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，后来他和阿尔弗雷德·怀特里德合作，写了《数学原理》，这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。
作为一个数学教师，不用人提醒就懂得，逻辑学是一切演绎推理的基础，一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。
对这些基础的理解往往是较困难的，它使初学学生丧失对数学的兴趣。
幸好，这组故事可以帮助你使学生认识到，逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。
在这组故事中有三个中心问题。
1．在我们谈论语句的真实价值时，为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？
2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？
3．在什么样的特殊情况下，预言未来在逻辑上是不可能的？最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。
现代几何学教科书，如雅可比的《几何学》，和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。
如果你使用的是这类教科书．那末在教课（或学习）之前最好先看看这一章。
这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背
景知识，并预计到可能会提出的问题，还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。
1．克里特人伊壁孟德伊：所有的克里特人都是撒谎者。
M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，
他必然说了假话。
他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。
他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？。