巧用单位“1”解决问题
【小升初】18.工程问题教案讲义及练习
18.工程问题知识要点梳理一、根本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。
2．工程问题的三个根本量是工作效率、工作时间和工作总量。
〔1〕工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
〔2〕工作时间：完成工作总量所需的时间。
〔3〕工作总量：完成一项工作的总量。
一般都是把工作总量看做单位“1〞。
二、根本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。
我们把工作总量假设为单位“1〞，这个巧解方法的公式有：〔1〕一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。
〔2〕一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。
三、根本方法算术方法、比例方法、方程方法。
考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】 一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做〔 〕天完成。
【精析】 根据题意，把这件工作总量看作单位“1〞，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。
【答案】 把这件工作总量看作单位“1〞， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6〔天〕 【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。
考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1〞，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。
巧用单位“1”构建模型,解决分数(百分数)问题
巧用单位“1”构建模型，解决分数（百分数）问题作者：董开福来源：《小学教学参考(数学)》2019年第08期[摘要]运用口诀判断出问题中表示单位“1”的量，然后根据单位“1”构建两大类（4小类）解题模型，简单、快捷地解决分数（百分数）问题中的“倍数关系”问题。
[关键词]单位“1”;解题模型;分数（百分数）;倍数关系[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）23-0050-02在数学学习过程中，单位“1”是贯穿小学、中学，乃至更高学段的一种思考方法和解题模式。
因此，无论在哪一个学段的学习中，只要能够适时巧用单位“1”，就可以在数学学习中取得事半功倍的效果。
在基础教育阶段，分数（百分数）的应用是一个较为重要的知识模块，解决有关这方面的问题，主要运用“线段示意图法”或“等量关系式法”。
这两类解题方法可以让学生直观地了解题目中相关联量之间的关系，进而厘清解题思路。
但是，对于很大一部分分数问题来说，采用单位“1”的解题方法则要简单、明了得多。
那么，如何运用单位“1”的解题方法来解决分数（百分数）应用题呢？主要通过以下两个步骤。
一、确定单位“1”运用单位“1”的方法解决问题，确定单位“1”的量是关键。
通常可以用以下两种方法来确定单位“1”。
1.采用口诀：“的”前，“是”后，“比”、“占”后对于一些条件比较直观明显的应用题，可以直接找出题目中相关联的量之间的关系句“X 的……是Y”或“X是（比、占）Y的……”，再运用口诀“‘的’前，‘是’后，‘比’‘占’后”来确定单位“1”。
具体可以这样来理解，先找出题目中相关联的两个量，查看对它们之间关系的描述词中是否出现“的”“是”“比”“占”等，找出如“松树棵数的[23]是桃树”“红花是黄花的[15]”“铅笔比钢笔多[34]”“女生占全班人数的[35]”等句型，再利用口诀，就可以很容易地找出各个句子中的单位“1”：“的”前面的“松树棵数”、“是”后面的“黄花的数量”、“比”后面的“钢笔的数量”、“占”后面的“全班人数”。
第6课时 用单位“1”解决实际问题
第6课时 用单位“1”解决实际问题(教材例5，P90～91)一、我会填。
1．甲数比乙数少10%，乙数比丙数多10%，甲数是丙数的( 99 )%。
2．小明数学测验连续两次增长5%，两次成绩共增加( 10.25 )%。
3．一批树木的成活率为95%，经过技术改良后，未成活的树木减少了10%，现在这批树木的成活率达到( 95.5 )%。
二、我会判断。
1．去年比前年增产15%，今年又比去年增产15%，两年一共增产30%。
( × )2．王阿姨卖了两件衣服，都是60元，一件赚20%，另一件亏20%，正好没赚也没亏。
( × )3．一楼盘每平方米房价先提价10%，再降价10%，现在每平方米房价和原价相同。
( × )三、我会选。
1．(30－20)÷20＝50%，表示( A )。
A ．30比20多50%B ．20比30少50%C ．30是20的50%2．如果a ：35＝b ×62.5%＝c ÷62.5%(a 、b 、c 均不为0)，那么( B )。
A ．a 最大 B ．b 最大 C ．c 最大3．长方形的长和宽各增加10%，那么新长方形面积比原长方形面积增加( C )%。
A ．105B ．20C ．21四、解决问题。
1．蔬菜市场运回一批蔬菜，茄子的质量比西红柿多15%，辣椒的质量比茄子少20%。
辣椒的质量是西红柿的百分之几？(1＋15%)×(1－20%)＝92%答：辣椒的质量是西红柿的92%。
2．某品牌冰箱进行促销活动，降价10%，在此基础上，商场又按售价的5%赠送礼品，此时买这个品牌的冰箱，相当于降价百分之几？1－(1－10%)×(1－5%)＝14.5%答：相当于降价14.5%。
五、据调查，某地十月份的猪肉价格比九月份下降了10%，十－月份又比十月份上涨12%。
十－月份猪肉价格比九月份是涨了还是跌了？涨跌幅度是多少？(仿教材P93第11题)1×(1－10%)×(1＋12%)＝1.008涨：(1.008－1)÷1×100%＝0.8%答：涨了，涨幅是0.8%。
巧找不变量 确定单位“1”
巧找不变量确定单位“1”作者：张丽来源：《新教育时代·教师版》2016年第07期摘要：对于较复杂的分数问题往往有多个单位“1”或者单位“1”数量发生改变，此时分析数量关系，找出不变量并确定其为单位“1”，再转化已知条件的分率。
本文结合实例，给出解决这一类分数问题的三种基本类型：（1）总量不变；（2）部分量不变；（3）相差量不变。
关键词：分数问题不变量单位“1”分析数量关系，找出单位“1”是解决分数应用题的关键。
对于标准量不变的简单分数问题，学生能快速找出单位“1”，并能准确地解答。
但是在较复杂的分数问题解决中，当标准量发生改变时，学生很难确定新的统一的单位“1”，此时如何灵活确定统一的标准量即单位“1”是解决分数问题的突破口。
下面从几个特殊例题对这类问题的解题技巧进行简述。
一、总量不变，以总量为单位“1”，先求总量，再求解甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，甲仓库的粮食量是乙仓库的3/4，如果乙仓库给甲仓库 2吨粮食后，这时甲仓库的粮食量是乙仓库的4/5。
问：甲、乙两仓库原来各有多少吨粮食？分析与解答：因为乙仓库给甲仓库 2吨的粮食，甲、乙仓库的粮食量都发生变化，所以题目中的 3/4和 4/5所对应的单位“1”不同，不能直接进行比较。
但甲、乙两个仓库的粮食总量不变，因此可把甲、乙两个仓库粮食总量看作单位“1”，转化相对应的分率即可。
那么原来甲仓库的粮食量就是两个仓库粮食总量的3/（4+3）；乙仓库给甲仓库2吨粮食后，甲仓库的粮食量是两个仓库粮食总量的4/（4+5）。
从而可求出两个仓库的粮食总量为 2 ..45 . 3...126 （吨），甲仓库原来的粮食量为126 . 34 .54 （吨），乙仓库的粮食量为 126-54=72（吨）。
二、部分量不变，以部分量为单位“1”，先求不变量，再求解图书室有科技书和文艺书两种书共 360本，其中科技书的本数占总数的1/9，现在又买来了一些科技书后，科技书的本数占总数的1/6。
“单位1”在用分数解决问题中的有效运用
“单位1”在用分数解决问题中的有效运用作者：黄敏芳来源：《启迪与智慧·教育版》2018年第06期【摘要】在用分数解决问题当中，能否找准单位“1”的量至关重要，它是解答分数应用题的关键所在。
在平时的教学当中，我们立足根本从“意义”入手找单位“1”；也可以从部分与整体的比较中找到单位“1”；还可以从原数量与现数量的比较分析中找到单位“1”。
从而抓住问题的本质，提高学生分析问题、解决问题的能力。
【关键词】分数；解决问题；单位“1”；分率单位“1”也称整体“1”，它是一个标准量，是相对于比较量（几分之几）来说的。
所以比较量和标准量是一组相互依存的概念。
在一个问题中往往会涉及一个或多个单位“1”，只有把握准单位“1”，才能使解题更轻松。
一、从“分数的意义”入手我们知道分数的意义是；把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。
单位“1”可以是一个物体，一个计量单位，也可以是许多物体组成的一个整体。
所以单位“1”与分数的意义紧密相连。
从而理解把谁平均分，谁就是单位“1”。
例如，国家一级保护动物野生丹顶鹤，2001年全世界约有2000只，我国占其中的1/4。
我国约有多少只？（人教版九年义务教育教材六年级数学上册P7第9题），我先引导学生动手画图，在分析“我国占其中的1/4”，就是指把2000只丹顶鹤平均分成4份，我国的丹顶鹤数量占这样的1份。
要把2000只丹顶鹤平均分，所以“2000只丹顶鹤”是单位“1”。
二、在分率句子中找总数这种形式一般在句首出现。
在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例如，一个果园有600棵果树，其中苹果树占2/5，苹果树有多少棵？这一题的总量“600棵果树”就是单位“1”的量。
三、在分率句子中出现两种数量的比较找出关键的分率句子中的“的”“相当于”“是”“比”“占”等字。
让孩子明白这些字对单位“1”的判断很重要。
用单位“1”解决工程问题(教学设计)
解决问题----工程问题教学内容：教材42—43页例7及练习九的5-9题教学目标：1、使学生理解“工程问题”的特点、数量关系；掌握解题方法，并能正确解答。
2、培养学生观察、类推能力，初步的探究知识、合作解决问题的能力。
3、结合生活实际，让学生感受到数学的使用价值教学重点：工程问题数量关系特征及解题方法。
教学难点：工作总量用单位“1”表示及工作效率所表示的含义。
教具准备：多媒体课件、卡片教学过程：一、复习旧知，做铺垫师：同学们，我们回忆一下，以前学过的做工问题涉及到哪三种量？生：工作总量、工作效率、工作时间。
师：那它们的关系又如何呢？（课件出示）生：工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率二、探索交流，学习新知（1）出示例题（修这条路如果一队单独修，12天完成，如果二队单独修，18天才能修完。
如果两队合修，多少天能修完？）师：那怎样理解什么是独做？什么是合做？我们先来演示一下，我们就以同学的课桌的长度为一项工程，以笔的运作为工作效率，同桌分别扮演甲乙工程队，独做就是一个同学从左运作到右，另一个同学从右运作到左。
合做就是两个同学相向运作，直到相遇表示这项工程完成了。
同学们看看，完成一项工程是独做的快还是合做的快？（2）阅读理解：找出已知量和未知量，3、练习九9题（此题有多种解法，既可以按整数工程问题的方法来解，即把工作总量看做300：也可以按分数工程问题的方法来解，即把工作总量看作1）教师小结：既可以把“一项工程”“一条水渠”看成单位1，也可以把。
“一池水”“一段路程”。
，再用“几分之一”来表示工作效率。
四、课堂小结今天我们学习了什么?你有什么收获?五、板书设计解决问题---工程问题5。
《解决问题》教学反思
《解决问题》教学反思《解决问题》教学反思1用反比例解决实际问题是在学生已经学习了列方程解决实际问题和反比例的意义的基础上进行教学的，考虑到本班学生的实际情况，创设了学生熟悉的包装书本的情景后，直接提出要求：列方程解决问题，以避免发散思维造成时间分散，使得教学重点部分留给学生的数学活动时间不足。
教学中先让学生独立思考，尝试解决问题，然后引导学生认真分析3个小问题：情境中有哪三个量？哪个量不变？包数和每包本数成什么比例？找出等量关系进而列出方程，从而使学生掌握用比例解决实际问题的基本方法。
本节课教学的收获是给学生充分思考的时间，在学生原有的认识的基础上，建立反比例意义与列方程解决实际问题间的联系，掌握用比例解决问题的一般步骤。
回顾本次教学，还有几方面有待改进和提高。
1．要注意培养学生的发散思维，鼓励学生用不同的方法解决问题，对学生的正确想法要及时肯定，保护学生的学习热情，让学生在解决问题中体验成功的喜悦。
2．增加正比例和反比例解决实际问题的对比，加深理解。
对这节课整体感觉还不错，但仍有少数学生作业中出现问题。
学生不习惯用比例解决实际问题，有混淆正、反比例的现象，说明对题中的数量关系分析的不透彻，数量关系不会表达，需进一步反思。
《解决问题》教学反思2本节课是数学活动课，定位是学生在自主思考、合作交流、操作活动去感受数学的实用性。
教学目标:能剪出手拉手的4个小人。
基于目标将数学活动分为：操作前的思考和准备、操作中尝试和策略改变、操作后的归纳总结，体现了活动过程的完整性。
操作前确定活动步骤：1.折2.画3.剪（如何折纸、怎么画）设置了矛盾冲突的活动，引发学生思考。
操作中首先对自主思考的折和画进行尝试，按照由易到难的思考并解决问题，尝试剪1个小人，全班同学都能完成，建立信心。
接下来挑战“对折两次”剪手拉手的2个小人。
这是完成大目标前的小目标，力求让学生寻找折纸的方法与画法。
在这一阶段很多同学栽跟头表现出了失望的叹息声，这时需要给孩子正确的导向，我才用了两个方法（1）折的方法和画的方法上的引导，进行策略的调整，改变一下学生的定势思维。
西师大版小学六年级上册数学第一单元 百分数 1
1.3.4 列方程解决较为复杂的百分数应用题◆ 教学内容：教科书第12页例3以及教科书第13页课堂活动，教科书第13页练习四1～4题。
◆ 教学提示：例3是较复杂的百分数问题，应重点引导学生用方程解决。
由于上衣和裤子的价格都未知，因此两个量都需要设未知数来表示，于是设哪个量为x 就成为解决该问题的关键。
考虑到学生解决这个问题可能会有一定的难度，教科书将解决问题的整个过程全部呈现出来,目的是让学生明确解决该问题的基本步骤：一是选择哪个量设为x ，二是根据等量关系列出方程，三是解方程。
所以在教学时，可以先让学生尝试解决、合作交流后，再组织学生阅读课本，培养学生阅读能力。
◆ 教学目标：1.知识与技能：利用已有知识，理解并掌握较复杂的百分数应用题的数量关系，以及解题方法。
2．过程与方法：能够灵活地采用方程和算术方法解决相应的数学问题，提高学生解决问题的能力。
3．情感、态度与价值观：引导学生积极参与解决问题的过程，感受到数学知识之间的密切联系，培养学生利用旧知学习新知的能力。
◆ 重点难点：教学重点：理解并掌握较复杂的百分数应用题的数量关系，以及解题方法。
教学难点：理解并掌握较复杂的百分数应用题的数量关系。
◆ 教学准备:教具准备：多媒体课件。
学具准备：百分数、数量关系卡片等。
◆ 教学过程：（一）新课导入1.用含有字母的式子表示。
（1）图书室里有连环画x 本，故事书的本数是连环画树的4倍。
故事书有多少本？连环画和故事书一共有多少本？故事书比连环画多多少本？（2）一个箱子里有白球x 个，黑球的个数是白球个数的31。
黑球有多少个？白球的个数比黑球多多少个？请学生独立用含有字母的式子表示各个数量。
师：含有字母的式子可以清楚地表示出数量之间的关系，便于我们正确地解决问题。
2.一桌子和一把椅子的价格相差60元，桌子的价格是椅子价格的4倍。
桌子和椅子的价格各多少元？先请学生独立解答，然后集体讲评。
这道题把什么看做一倍量？（椅子的价格）桌子的价格是椅子价格这样的4倍，怎样用字母表示这两个数量？（把椅子的价格看做x元，桌子的价格就是4x元）教师同时在黑板上画出线段图：根据题意，桌子的价格与椅子的价格之间存在着怎样的等量关系？（桌子的价格－椅子的价格＝60元）根据这个关系，怎样列方程解答？解：设椅子的价格是x元。
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第五讲 巧用单位“1”解决问题
姓名______________
[检测]
先找具体的数量
再找出所知具体量所对应的分率
再由公式求出单位“1”的量
1．师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的比徒弟加工零件
个数的还多10个，那么徒弟一共加工了几个零件？
2. .一桶油,吃了7/10后,又添进了15千克,这时桶中的油正好是一桶油
的一半,这桶油重多少千克?
3. 一项工程，甲、乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲
比乙每天多完成这项工程的．甲、乙单独做这项工程各需要几天？
4. 甲乙两数的和为180，甲数的等于乙数的。
问甲、乙两数各是多少？
5. 发电厂去年计划发电70万千瓦时，结果上半年完成计划的，下半年
完成计划的，去年超额完成多少万千瓦时？
6．一个文具店运来的毛笔比钢笔多1千支，其中毛笔的与钢笔的支数相同，这个文具店共运来多少千支笔？
7. 一篓苹果分给甲乙丙3人，甲分得全部苹果的加5个苹果，乙分得全部苹果的加7个苹果，丙分得其余苹果的，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的。
这篓苹果有多少个？
8. 甲乙两个筑路队人数比是7:3，如果从甲队派30人到乙队，则人数比是3:2.问甲乙两个筑路队原来各有多少人？
9. 人体的血液占体重的，血液里约是水，爸爸的体重是78千克，他的血液大约含水多少千克？
10. 做同样一件工作，甲队4小时完成，乙队5小时完成，甲队的工作效
率是乙队的几分之几？
11.一种混凝土是由水泥,沙子,石子按2:3:5配制而成的,现在配制120吨这种混凝土,需要水泥、沙子、石子各多少吨?
12.一个长方形周长是88cm,长与宽的比是4:7。
长方形的长、宽各是多少厘米？面积是多少？
13. 五年级与六年级的人数的比是5：7，已知六年级比五年级多86人。
两个年级一共有多少人？
第五讲 巧用单位“1”解决问题(巩固积累)
1. 一本故事书，王强第一天看了这本书的，第二天看了剩下的，还
剩20页没有看。
这本书共有多少页？
2. 化肥厂计划生产一批化肥，第一天生产了全部任务的，第二天又
生产了余下任务的，第三天又生产了前两天生产后余下的，结果还剩下50吨没有完成。
问化肥厂计划生产化肥多少吨？
3. 某毛纺厂女职工占全厂人数的，女职工比男职工多几分之几？男
职工比女职工少几分之几？
4. 做同样一件工作，甲队4小时完成，乙队5小时完成，甲队的工作
效率是乙队的几分之几？。