第二章第十一节导数的概念及其运算

第二章第导数的概念及其运算
课下练兵场
1. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s= 3『一那么速度为零
的时刻是
A.0秒
B.1秒末
C.2秒末
D.1秒末和2秒末
解析：•/ s= 3t3—*2 + 2t,
••• v= s't(= t2—3t+ 2,
令v= 0 得，t2—3t+ 2= 0, t i= 1 或 &= 2.
答案：D
1
2.［理］已知y= 2sin2x + sinx，则y是
A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数
D.非奇非偶函数
, 1
解析：••• y'= 2cos2x 2+ cos<= cos2x+ cosx
=2曲X—1+ cosx
=2(cosx+1)2—8.
19
又当x € R时，cosx C [ —1,1]，函数y'= 2（cosx + ^）2—§是既有最大值又有最小值的偶函
答案：B
2
［文］y= x cosx的导数是
2
B.y'= 2xcosx—x
A.y'= 2xcosx + x'sinx
C.y = 2xcosx
D.y'= — x 2
sinx
2
解析：y '= 2xcosx — x sinx. 答案：B
3.(20佃 福州模拟)函数y = f(x)的图象在点X = 5处的切线方程是 y =— x +8,贝U f(5)+ f ' (5)
等于
解析：因 f(5) =— 5+ 8 = 3, f ’(5) — 1, 故 f(5) + f (5)2. 答案:
y = x n 1
(n € N )在点(1,1)处的切线与X 轴的交点的横坐标为
X n 则X 1 X 2…X n 等于
解析：由 f ' x)= g ' x)，得 f ' x)— g ' x) = 0,
即[f(x) — g(x)] '= 0,所以 f(x) — g(x) = C(C 为常数). 答案：C
6若点P 是曲线y = x 2
— Inx 上任意一点，则点P 到直线y = x — 2的最小距离为 C 罷
C. 2
解析：过点P 作y = x — 2的平行直线，且与曲线 y = x 2
— Inx 相切.
设 P(X 0, x 0—Inx 。

)则有
k = y ' x = X 0=
2x
—
丄. X 0
二 2X 0— X 0= 1，二 X 0= 1 或 X 0=— *舍去),
••• p(1,1) ,••• d
=寿=心
答案：B 二、填空题
A.1
B.2
C.0
D -2
4.设曲线
1 A-n
1 B
.n + 1
D.1
解析: y'= (n + 1)x n
，曲线在点 (1,1)处的切线方程为 y — 1 = (n + 1)(x — 1)，令y = 0,得X n
=_n
小
1 2
n + 1.则 X 1 X 2 …X n = 2 •… n = 1 n + 1 = n +
答案：B
5.f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若 f(x), g(x)满足f 'X) = g'X),贝U f(x)与 g(x)
满足
A.f(x)= g(x)
B f(x)= g(x)= 0 C.f(x)— g(x)为常数函数
D.f(x) + g(x)为常数函数
A.1
3
7.设点P是曲线y= x—x2—3x—3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小
3
值时的切线方程是
解析：设切线的斜率为k,则k = f'x) = x2—2x—3 = (x —1)2—4.当x= 1时，k有最小值
—
4.又f(i) = —20所以切线方程为y+ 20=—4(x —i),
即12X + 3y+ 8= 0.
答案：12X +3y+ 8= 0
8.(20佃湖北高考)已知函数f(x) = f'n cosc + sinx,贝U 的值为
解析：f(x) = f'n)cos< + sinx,
••• f' x)=—f' 4)sinx + cosx,
•f'》==羽—i. 故f(n = 22—1)普+¥= 1.
答案：1
9.已知f i(x) = sinx +cosx,记f2(x) = f i’x), f3(x)= f2'x),…，f n(x) = f n-i'x)(n € N , n> 2),
则f i( n+f2(n)+…+ f2oi9(n)=
解析：f2(x)= f i'x)= cosx —sinx,
f3(x)= (cosx—sinx) =—sinx—cosx,
f4(x)=—cos( + sinx, f5(x)= sinx + cosx,
以此类推，可得出f n(x)= f n+ 4(x)
又••• f l(x) + f2(x)+ f3(x)+ f4(x)= 0,
■ n n n n
•- f1(2)+ f2(2)+…+ f2019(2)= f1(2)= 1.
答案：1 三、解答题
10.求下列函数的导数:
(1)y= 5x5—fx3+ 3x2+迄；
3
(2)y= (3x —4x)(2x + i);
(3)y
= 1 — x + x 2
.
解：⑴y'= (fx 5
) - (4
x 5
)牛(3x 2
)牛(V 2)'
=X 4— 4x 2 + 6x.
⑵法一：•/ y = (3x 3
— 4x)(2x + 1) = 6x 4
+ 3x 3
— 8x 2
— 4x , ••• y'= 24x 3
+ 9x 2
— 16x — 4.
法二：y '= (3x 3
— 4x)' x + 1)+ (3x 3
— 4x)(2x + 1) ‘ =(9x 2
— 4)(2x + 1) + (3x 3
— 4x) 2 =24x 3
+ 9x 2
— 16x — 4.
2 2
(1 — x + x )
(1 — x + x 2
) — x( — 1 + 2x) 1 — x 2
= *? *? = 2 2 (1 — x + x ). 11
.已知曲线
y =
1x2- 1
与y = 1 + x 3在x = x o 处的切线互相垂直，求
x
o 的值.
1 2 1 1
解：对于 y = ^x 2
— 1,有 y '= 3x , k 1 = y ‘ x = x o =^x o ； 对于 y = 1 + x 3
,有 y '= 3x 2
, k 2= y '
x = x o = 3x o .
又 k 1 k 2 = — 1,贝U x o = — 1, X o = — 1.
12.设函数f(x)= ax — b
，曲线y = f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x — 4y — 12= 0.
x
⑴求f(x)的解析式;
(2)证明：曲线y = f(x)上任一点处的切线与直线 x = o 和直线y = x 所围成的三角形面积为
定值，并求此定值.
解：⑴方程7x — 4y — 12= 0可化为y =三x — 3.
4
当 x = 2 时，y = 2.又 fx) = a + 马,
2 X
b 1
于是
2 2
解得
B '
l a+7=7 b=3,
l a
4
4
，
故 f(x)= x — x.
—y
o =
(1
+ x o )(x — x o ),即 y —(x o — x o )=(1 + x 2)(x — x o ).
5 3 3
x ' (1 — x + x 2
) — x(1 — x + x 2
)' (3)y =
2 2
(1 — x +
八
3
(2)设P(x o, y o)为曲线上任一点，由y '= 1 + x2,知曲线在点P(x o, y o)处的切线方程为y
八
令x= 0，得y — 1从而得切线与直线x= 0的交点坐标为（0，- x0）；
令y= x，得y= x= 2x0,从而得切线与直线y= x的交点坐标为（2x0,2x0）.
1 6
所以点P（x。

，y0）处的切线与直线x= 0, y= x所围成的三角形面积为2l-亦1|2^0|= 6.故曲线y= f（x）上任一点处的切线与直线x= 0, y= x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。