压杆稳定性计算
压杆稳定性验算公式
压杆稳定性验算公式压杆稳定性是工程结构设计中需要考虑的一个重要问题。
在许多工程应用中，压杆一般用于承受压力作用的结构元素，如柱子、桁架等。
压杆的稳定性验算是为了判断压杆在承受压力时是否会发生屈曲或失稳的现象，需要通过计算并比较压力作用下的抗弯稳定能力和压杆的承载能力。
压杆在弯曲中的稳定性主要受压杆的几何形状、材料特性、边界条件以及压力作用方向等因素的影响。
一般来说，压杆的稳定性验算可以采用欧拉公式、约束系数法和有限元法等方法进行。
欧拉公式是一种经典的压杆稳定性验算方法，其基本原理是根据压杆的截面形状和尺寸来计算压杆的临界压力，然后和实际压力进行比较，从而评估压杆的稳定性。
欧拉公式的基本形式如下：Pcr = (π^2EI)/(kl)^2其中Pcr为压杆的临界压力（也称为临界载荷）E为材料的弹性模量I为压杆的截面惯性矩k为约束系数（取决于边界条件，一般为纵横比的函数）l为压杆的有效长度。
欧拉公式适用于压杆为理想长细杆的情况，即压杆的长度远大于其截面的最小尺寸，并且边界条件是固定或铰支的。
对于实际情况下的压杆验算，可以根据具体条件和要求进行修正或改进。
约束系数法是一种更为精确的压杆稳定性验算方法，它考虑了压杆的几何形状、材料特性以及边界条件等因素的影响。
其基本原理是根据压杆的几何形状以及约束条件，在一系列已知的稳定压力下进行试算，从而得到压力-破坏应力的关系曲线。
然后根据工程要求，找到落在这条曲线上的设计压力，从而评估压杆的稳定性。
约束系数法的计算过程较为复杂，需要进行较多的计算和试算，但可以得到更为准确的结果。
在实际工程中，一般可以借助计算机辅助设计软件进行约束系数法的计算。
有限元法是一种现代化的验算方法，通过将大型结构划分为小型有限元，然后进行数值计算，得到压杆的应力和变形情况，从而评估压杆的稳定性。
有限元法充分考虑了压杆的复杂几何形状、材料非线性以及边界条件的影响，具有较高的精度和适用性。
以上介绍的是压杆稳定性验算的一些基本方法和原理。
压杆稳定计算公式
压杆稳定计算公式一般而言，压杆的稳定性计算可以分为以下几个步骤：1.确定杆件几何形状：包括杆件的长度、截面形状和尺寸等参数。
这些参数对杆件的承载能力和稳定性有很大影响。
2.确定杆件材料的特性：主要包括弹性模量、截面惯性矩和截面面积等。
这些参数主要用于计算杆件的刚度和强度。
3.确定受力条件：包括受力的方向、大小和位置等参数。
这些参数是计算杆件临界载荷的基础。
4.计算临界载荷：可以使用公式或者数值方法计算出杆件的临界载荷。
压杆的临界载荷一般通过欧拉公式计算得到。
当临界载荷小于或等于实际受力时，杆件保持稳定；当临界载荷大于实际受力时，杆件可能发生屈曲。
欧拉公式是压杆稳定计算中最常用的公式之一，其基本形式为：Pcr = (π²EI) / (KL)²其中，Pcr为杆件的临界载荷，E为材料的弹性模量，I为杆件的截面惯性矩，K为端部条件系数，L为杆件的长度。
端部条件系数K取决于杆件的端部支承情况，常见的取值有：-简支-简支（K=1.0）-固支-固支（K=0.5）-简支-固支（K=0.699）-无端支承（K=π/2）实际工程设计中，常通过杆件的截面形状和尺寸、受力条件等参数来选择合适的端部条件系数。
需要注意的是，以上公式和计算方法适用于理想化的压杆情况，不考虑非理想因素和杆件的浮动性。
在实际工程中，还需要结合具体情况进行综合分析和计算。
总之，压杆稳定计算是工程设计中非常重要的一环，可以通过计算杆件的临界载荷来判断杆件在受压状态下是否能够保持稳定。
通过合理选择杆件的截面形状和尺寸、材料的特性以及受力条件等参数，并结合压杆的端部支承情况，可以进行准确的压杆稳定计算。
压杆稳定性计算
Wz=102⨯10-6m3,A=21.5⨯10-4m2
由此得到
σmax
MmaxFN15.63⨯10321.65⨯103
=+=+-6
WzA102⨯1021.5⨯10-4
=163.2⨯106Pa=163.2MPa
Q235钢的许用应力[σ]=
σs
ns
=
235
=162MPa 1.45
临界载荷为：Fcr=σcrA=191.5⨯10⨯
3
π⨯0.022
4
=60.1kN
根据稳定条件：n=
Fcr
≥nst F
Fcr
nst
则F=1.67P≤
于是得P≤
Fcr60.1
==12.0kN
1.67nst1.67⨯3
可见托架D端的许用载荷不应超过12.0 kN。
例12-6图12-14所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20 mm，二者材料均为Q235钢，A、C、D三处均为球铰约束。已知F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，σs=235 MPa。强度安全因数ns=1.45，稳定安全因数nst=1.8。试校核此结构是否安全
可见，压杆稳定性满足要求。
例12-5油管托架如图12-13所示。杆AB直径d=20mm，长l=400 mm，材料为Q235钢。如果取稳定安全因数nst=3，试确定托架D端的许用载荷P的大小。
解：杆AB两端可简化为铰支，忽略其自重，则可视为二力杆，受轴向压力F作用。以杆CD为研究对象，由平衡方程：
∑Mc=0,P(240+80)-F⋅CE=0
?
解：在给定的结构中，梁AB承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压力，属于稳定问题。应分别校核。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
压杆稳定性计算公式例题
压杆稳定性计算公式例题在工程结构设计中，压杆是一种常见的结构元素，用于承受压力和稳定结构。
在设计过程中，需要对压杆的稳定性进行计算，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将介绍压杆稳定性计算的基本原理和公式，并通过一个例题进行详细说明。
压杆稳定性计算的基本原理。
压杆稳定性是指压杆在受压力作用下不会发生侧向屈曲或失稳的能力。
在进行压杆稳定性计算时，需要考虑压杆的材料、截面形状、长度、支座条件等因素，以确定其稳定性。
一般来说，压杆的稳定性可以通过欧拉公式或约束条件来计算。
欧拉公式是描述压杆稳定性的经典公式，其表达式为：Pcr = (π^2 E I) / (K L)^2。
其中，Pcr表示压杆的临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示约束系数，L表示压杆的有效长度。
这个公式是基于理想的弹性理论，适用于较长的细杆，但在实际工程中，压杆的稳定性计算可能还需要考虑其他因素。
除了欧拉公式外，压杆稳定性计算还需要考虑约束条件。
约束条件是指压杆在受力时的支座和边界条件，对压杆的稳定性有重要影响。
在实际工程中，约束条件可以通过有限元分析等方法来确定，以获得更精确的稳定性计算结果。
压杆稳定性计算的例题分析。
下面我们通过一个例题来说明压杆稳定性计算的具体步骤和方法。
假设有一根长度为2m的钢质压杆，截面形状为矩形，截面尺寸为100mm ×50mm，弹性模量为2.1 × 10^5 N/mm^2。
现在需要计算在这根压杆上施加的最大压力，使得其不会发生侧向屈曲或失稳。
首先，我们需要计算压杆的有效长度。
对于简支压杆，其有效长度可以通过以下公式计算：Le = K L。
其中，K为约束系数，对于简支压杆，K取1。
所以，这根压杆的有效长度为2m。
接下来，我们可以使用欧拉公式来计算压杆的临界压力。
根据欧拉公式，可以得到：Pcr = (π^2 E I) / L^2。
其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
根据矩形截面的惯性矩公式，可以计算得到I = (1/12) b h^3 = (1/12) 100mm (50mm)^3 = 5208333.33mm^4。
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆的稳定性计算
6-3压杆的稳定性计算p p p ≤ —lδn = -ll - ≥ n cr压杆的稳定条件为： 〃“或 A”则此式为用平安系数表示的压杆的稳定条件，称为 平安系数法。
式中n 为平安系数。
若上式的两边同时除以压杆的横截面面积A,则可得：P P—≤- A An^r - s 或 此即为用应力形式表示的压杆稳定条件。
若将稳定许用应力6"］表示为压杆材料的强度许用应σ = — < φ{σ ］力［°］乘上一个系数°,得 A式中"称为折减系数，由于匕］,所以夕必是一个小于1的系数。
例6-2 某钢柱长为l=7m,两端固定，其横截面由两个10号槽钢组成(图6-6 (a))。
已知槽钢的弹性模量为E = 2×↑05MPa f 规定的稳定平安系数二3。
试求当两槽钢靠紧(图6-6(b))和离开(图6-6 (c))时钢柱的许可载荷。
解：(1)两槽钢靠紧的情形。
从型钢表中查得:A = 2×12.748×102 = 25.496× 102mm 2ιnin = I γ =2×54.9×104 =109.8×104∕77m 4 109∙8×10∖ ^20.8^25.496 ×102由此可求得钢柱的柔度，其值为:σ≤屋 n cr (a)min故该钢柱为大柔度杆，可用欧拉公式（6-2）计算临界力。
P 176 9P } ≤H = -^ = 58.97ZN由公式（6-8）计算钢柱的许可载荷P,即： 3（2）两槽钢离开情形。
从型钢表中可查得：L =2×198×104 =396×104m∕∕744∕v =2 J. + —+ z 0 ×12.748×102，51I 2 0J _B =2[25.6×104+(15 + l5.2)2 × 12.748× 102=283.7 ×104mm 4283.7 ×104 ” zi=33Amm A 25.496 ×102比较以上数值可知，应取min】μl 0.5 × 7000 /。
压杆稳定性计算1
算：
由压杆的约束条件选择相应的长度因素：因为后支撑的两端铰接，所以μ=1压杆长度l=1325mm
惯性半径i=15.4mm
由于斜支撑的材质：Q235B
所以，弹性模量E=206GPa；λ1=100；λ2=62
μl1⨯1325 λ===86i15.4
柔度判定：
因为λ2 <λ<λ1；所以为中柔度杆
因此，采用直线公式进行计算：6.13⨯10-6=61681N Fcr=(a-bλ)⨯A=(304-1.12⨯86)⨯10⨯297
F1=3702N＜Fcr=61681N
所以后支撑稳定。
4.压杆的3种类型：
a.大柔度杆
b.中柔度杆
c.小柔度杆
5.压杆的柔度由下式算出：
μl λ
=i
λ：柔度
μ：压杆的长度因素
l:压杆的长度
i：压杆的惯性半径
6.压杆类型的判定：
a.λ≥λ1，判定为大柔度杆
b.λ2 <λ<λ1，判定为中柔度杆
c. λ≤λ2，判定为小柔度杆
(说明：λ1、λ2与材料的性质有关，不同的材料有不同的取值。
材质Q235B: λ1=100; λ2=62
材质硬铝：λ1=55；λ2=0)
7.压杆临界力计算：
π2EIFcr= a.大柔度杆欧拉公式) 2(μl) Fcr=(a-bλ)⨯A（直线公式）b.中柔度杆：
(说明：a与b与材料的性质有关的常数。
材质Q235B: a=304Mpa; b=1.12 Mpa
材质硬铝：a=372 Mpa；b=2.14 Mpa)
因为后支撑的两端铰接所以压杆长度l1325mm惯性半径i154mm由于斜支撑的材质
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第16章压杆稳定16.1 压杆稳定性的概念在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。
但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。
当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。
但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。
我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。
此时，F1可能远小于F s (或F b)。
可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
图16－1失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。
本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。
实际上它是指平衡状态的稳定性。
我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。
第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。
先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。
因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。
第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。
当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。
因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。
第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。
因此。
我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。
图16-5图16-6通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。
因此。
在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a所示。
当轴向压力F 由小变大的过程中，可以观察到：1)当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。
若去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图16-6b所示。
所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。
2)当压力值F 2超过其一限度F cr 时，平衡状态的性质发生了质变。
这时，只要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d 所示。
因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。
3)界于前二者之间，存在着一种临界状态。
当压力值正好等于F cr 时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图16-6c 所示。
因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。
临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，用F cr 表示。
由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。
当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。
所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。
16.2 两端铰支细长压杆的临界力图16-7a 为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。
图16-7根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转变为不稳定。
在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。
因此，可以认为能够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为临界力。
选取坐标系如图l6-7a 所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图16-7b 所示。
由保留部分的平衡得()v F x M cr -= (a)在式(a)中，轴向压力F cr 取绝对值。
这样，在图示的坐标系中弯矩M 与挠度v 的符号总相反，故式(a)中加了一个负号。
当杆内应力不超过材料比例极限时，根据挠曲线近似微分方程有 ()EI v F EI x M x vcr-==22d d (b)由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。
因而，杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的I 应该是横截面的最小惯性矩。
令EI F k cr=2 (c)式（b ）可改写为0d d 222=+v k x v(d)此微分方程的通解为kx C kx C v cos sin 21+= (e)式中1C 、2C 为积分常数。
由压杆两端铰支这一边界条件0=x ，0=v (f)l x =，0=v (g)将式(f)代入式(e)，得02=C ，于是kx C v sin 1= (h)式(g)代入式(h)，有0sin 1=kl C (i)在式(i)中，积分常数1C 不能等于零，否则将使有0≡v ，这意味着压杆处于直线平衡状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有0sin =kl (j)由式(j)解得() ，，，210==n n kl πln k π＝ (k) 则 EI F l n k cr ==2222π或() ，，，210 222==n l EIn F cr π (l)因为n 可取0，1，2，…中任一个整数，所以式(1)表明，使压杆保持曲线形态平衡的压力，在理论上是多值的。
而这些压力中，使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界力。
取n =0，没有意义，只能取n =1。
于是得两端铰支细长压杆临界力公式22l EIF cr π= (16-1)式(16-1)又称为欧拉公式。
在此临界力作用下，l k π＝，则式(h)可写成 l xC v πsin 1= (m)可见，两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线。
将2l x =代入式(m)，可得压杆跨长中点处挠度，即压杆的最大挠度max 1122sin v C ll x C v lx ====π1C 是任意微小位移值。
1C 之所以没有一个确定值，是因为式(b)中采用了挠曲线的近似微分方程式。
如果采用挠曲线的精确微分方程式，那么1C 值便可以确定。
这时可得到最大挠度max v 与压力F 之间的理论关系，如图16-8的OAB 曲线。
此曲线表明，当压力小于临界力cr F 时, F 与max v 之间的关系是直线OA ，说明压杆一直保持直线平衡状态。
当压力超过临界力cr F 时，压杆挠度急剧增加。
1C图 16-8在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力F 是轴向压力，压杆材料均匀连续。
这是一种理想情况，称为理想压杆。
但工程实际中的压杆并非如此。
压杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也无法保证没有偏心，材料也经常有不均匀或存在缺陷的情况。
实际压杆的这些与理想压杆不符的因素，就相当于作用在杆件上的压力有一个微小的偏心距e 。
试验结果表明，实际压杆的F 与max v 的关系如图16-8中的曲线OD 表示，偏心距愈小，曲线OD 愈靠近OAB 。
16.3 不同杆端约束细长压杆的临界力v max压杆临界力公式(16-1)是在两端铰支的情况下推导出来的。
由推导过程可知，临界力与约束有关。
约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束对临界力有影响。
但是，不论杆端具有怎样的约束条件，都可以仿照两端铰支临界力的推导方法求得其相应的临界力计算公式，这里不详细讨论，仅用类比的方法导出几种常见约束条件下压杆的临界力计算公式。
16.3.1 一端固定另一端自由细长压杆的临界力图16-9为—端固定另一端自由的压杆。
当压杆处于临界状态时，它在曲线形式下保持平衡。
将挠曲线AB 对称于固定端A 向下延长，如图中假想线所示。
延长后挠曲线是一条半波正弦曲线，与本章第二节中两端铰支细长压杆的挠曲线一样。
所以，对于—端固定另一端自由且长为l 的压杆，其临界力等于两端铰支长为l 2的压杆的临界力，即 () 222l EIF cr π=图16-9 图16-10 图16-1116.3.2两端固定细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下，挠曲线如图16-10所示。
该曲线的两个拐点C 和D 分别在距上、下端为4l 处。
居于中间的2l 长度内，挠曲续是半波正弦曲线。
所以，对于两端固定且长为l 的压杆，其临界力等于两端铰支长为2l 的压杆的临界力，即222⎪⎭⎫ ⎝⎛=l EIF cr π16.3.3 一端固定另一端铰支细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图16-11所示。
在距铰支端B 为l 7.0处，该曲线有一个拐点C 。
因此，在l 7.0长度内，挠曲线是一条半波正弦曲线。
所以，对于一端固定另一端铰支且长为l 的压杆，其临界力等于两端铰支长为l 7.0的压杆的临界力，即() 7.022l EIF cr π=综上所述，只要引入相当长度的概念，将压杆的实际长度转化为相当长度，便可将任何杆端约束条件的临界力统一写() 22l EIF cr μπ= (16-2)称为欧拉公式的一般形式。
由式(16-2)可见，杆端约束对临界力的影响表现在系数μ上。
称μ为长度系数， l μ为压杆的相当长度，表示把长为l 的压杆折算成两端铰支压杆后的长度。
几种常见约束情况下的长度系数μ列入表16-1中。
表 16-1 压杆的长度系数μ表16-1中所列的只是几种典型情况，实际问题中压杆的约束情况可能更复杂，对于这些复杂约束的长度系数可以从有关设计手册中查得。
16.4 欧拉公式的适用范围 经验公式16.4.1 临界应力和柔度将式(16-2)的两端同时除以压杆横截面面积A ，得到的应力称为压杆的临界应力cr σ，() 22Al EI A F cr cr μπσ== (a) 引入截面的惯性半径i A Ii =2 (16-3)将上式代入式(a)，得22⎪⎭⎫ ⎝⎛=i l Ecr μπσ若令i lμλ= (16-4)则有22λπσE cr = (16-5) 式(16-5)就是计算压杆临界应力的公式，是欧拉公式的另一表达形式。
式中，i lμλ=称为压杆的柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。
从式(16-5)可以看出，压杆的临界应力与柔度的平方成反比，柔度越大，则压杆的临界应力越低，压杆越容易失稳。