理论力学教案--运动学
理论力学—点的运动学
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
理论力学-5-运动学基础
ds ＝v ＝s dt
dv at s dt
an
v
2
a a a
2 τ
2 n
5.1 点的运动学
自然轴系
自然轴系
当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得 到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然 轴系。
5.1 点的运动学
自然轴系P－TNB
B(副法线) N(主法线)
0
dτ n d
5.1 点的运动学
τ vτ av
τ
弧坐标法
τ ?
ds ＝v ＝s dt
dτ dτ d ds dt d ds dt
dτ n d
d 1 曲率 ds
a at an at τ an n
速度方向的变化率 法向加速度
xA OC CM R
M
即
CM v0t R R
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R 于是M点的运动方程为： vt y AC AM cos R R cos 0 R
5.1 点的运动学
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R vt y AC AM cos R R cos 0 R
切线方向的单位矢量为t ，则有 r ds lim τ ＝v ＝ s t 0 s dt t指向弧坐标s增加的方向。 动点的速度为
τ v vτ s
速度方向
速度大小
5.1 点的运动学
弧坐标法
加速度
dτ dτ d ds dt d ds dt dτ d 1 ds 曲率 ? ＝v ＝s ds d dt τ
大连理工大学理论力学第9课
求：a|t=0，a|t=2min。
注：两种情况下的加速度方向？
例题5
求：点运动轨迹的曲率半径ρ
已知：点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 cos 4 t , a x x 32 sin 4 t
v y (l a ) cos t
a x v x x l a 2 cos t a y v y y l a 2 sin t
a a a
2 x 2 y 2 4 sin 2 t l a 4 cos 2 t (l a） 2
例题4 已知：R=800m=常数，at=常数，v|t=0= v0=0，
v|t=2min= 54km/h。 解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如图。 由at=常数，v0=0，有v=att v 15m s at = 0.125m s 2 t 120s 2 a a 0.125m s t 0, a 0 ① t n ② t 2min 120s v 2 (15m s) 2 an = 0.281m s 2 R 800m
0 0 t t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
(0 t 2 )
y
M O
φO
1
O1
C
x
v x x r 1 cos t , 例题6 已得：
2 x 2 y
v y y r sin t
t v v v 2 r sin （0 t 2 ) 2
加速度
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学教案设计
理论力学教案设计一、教学目标通过本堂课的教学，学生将能够：1.理解基本力学概念和定律；2.掌握力的概念、单位和计算方法；3.熟悉运动学和动力学的基本原理；4.能够运用理论力学知识解决简单的物理问题。
二、教学内容1. 力的概念和力的计算•什么是力？•力的单位和计算方法•力的合成与分解2. 运动学•位移、速度、加速度的定义和计算•直线运动和曲线运动的分析方法•运动图像的绘制和解析3. 动力学•牛顿三定律的内容和应用•动量和冲量的概念及其计算•动量守恒定律的应用4. 机械能和功•动能和势能的定义和计算•机械能守恒定律的应用•功的定义和计算方法1.力的概念和力的计算方法；2.牛顿三定律的内容和应用；3.动量和冲量的概念及其计算方法；4.机械能守恒定律的应用。
四、教学方法1.讲解与演示相结合：通过讲解理论知识，并结合真实生活中的例子进行演示，帮助学生更好地理解概念和原理。
2.提问与讨论：在课堂中频繁提问学生，引导学生进行讨论和思考，激发学生的学习兴趣和思维能力。
3.实践与实验：组织学生进行实践活动和小实验，让他们亲自动手操作，体验理论力学知识的应用和验证。
1. 导入（5分钟）通过提问，让学生回顾上一堂课的内容，引导他们思考力的概念和作用，并激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解（30分钟）2.1 力的概念和力的计算•讲解力的定义，引导学生理解力的本质和作用；•介绍力的单位和计算方法；•讲解力的合成与分解，帮助学生掌握力的合成和分解原理。
2.2 运动学•介绍位移、速度、加速度等运动学基本概念；•讲解直线运动和曲线运动的分析方法；•演示运动图像的绘制和解析，帮助学生掌握运动的可视化表示方法。
2.3 动力学•讲解牛顿三定律的内容和应用，与学生分享一些实际应用案例；•介绍动量和冲量的概念，并演示计算方法；•讲解动量守恒定律的应用，如弹性碰撞等。
2.4 机械能和功•介绍动能和势能的定义和计算方法；•讲解机械能守恒定律的应用，如重力运动等；•引导学生理解功的概念和计算方法。
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
理论力学教学教案课件
理论力学教学教案课件第一章：引言1.1 课程介绍解释理论力学的基本概念和重要性。
强调理论力学在工程和物理领域中的应用。
1.2 力学的基本量度和单位介绍力学中的基本量度，如长度、质量和时间。
解释国际单位制（SI）及其在力学中的应用。
1.3 牛顿运动定律阐述牛顿运动定律的基本原理。
解释第一定律（惯性定律）、第二定律（加速度定律）和第三定律（作用与反作用定律）。
第二章：运动学2.1 运动学基本概念介绍位移、速度和加速度的概念。
解释直线运动和曲线运动的区别。
2.2 速度和加速度的计算教授如何计算速度和加速度。
提供速度和加速度的计算示例。
2.3 运动学方程推导和解释运动学方程。
展示如何使用运动学方程解决实际问题。
第三章：动力学3.1 牛顿第二定律深入探讨牛顿第二定律的内容。
解释力、质量和加速度之间的关系。
3.2 合力和分力介绍合力和分力的概念。
教授如何计算合力和分力。
3.3 牛顿第三定律解释牛顿第三定律的含义和应用。
提供实际例子来展示牛顿第三定律的作用。
第四章：能量守恒定律4.1 能量守恒定律的原理阐述能量守恒定律的基本原理。
解释能量的转换和守恒过程。
4.2 动能和势能介绍动能和势能的概念。
教授如何计算动能和势能。
4.3 能量守恒定律的应用展示如何应用能量守恒定律解决实际问题。
提供能量守恒定律的应用示例。
第五章：碰撞和爆炸5.1 碰撞的基本概念介绍碰撞的定义和特点。
解释弹性碰撞和完全非弹性碰撞的区别。
5.2 碰撞的计算教授如何计算碰撞中的速度和动量。
提供碰撞计算的示例。
5.3 爆炸和冲击波解释爆炸和冲击波的基本概念。
探讨爆炸和冲击波在力学中的应用。
第六章：刚体运动学6.1 刚体的平动介绍刚体平动的基本概念。
解释刚体平动的位移、速度和加速度。
6.2 刚体的转动阐述刚体转动的基本概念。
介绍刚体转动的角位移、角速度和角加速度。
6.3 刚体运动的合成教授如何合成刚体的平动和转动。
提供刚体运动合成的示例。
第七章：刚体动力学7.1 刚体的牛顿运动定律深入探讨刚体牛顿运动定律的内容。
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第六章 点的运动学第一、二节 矢量法 直角坐标法重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影 难点：点的曲线运动的直角坐标法 一、运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。
也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。
运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。
其次运动学本身也有独立的应用。
由于物体运动的描述是相对的。
将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。
只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。
时间概念要明确：瞬时和时间间隔。
运动学所研究的力学模型为：点和刚体。
二、点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。
点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。
点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。
当轨迹为圆时称为圆周运动。
表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。
本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。
三﹑矢量法1、点的运动方程如图，动点M 沿其轨迹运动，在瞬时t ，M 点在图示位置。
由参考点O 向动点M 作一矢量 r =OM ，则称 r为矢径。
于是动点矢径形式的运动方程为显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。
用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。
2、点的速度)(t r r )()(t r t t r r M M如图，动点M 在时间间隔 △t 内的位移为则 表示动点在时间间隔△t 内运动的平均快慢和方向，称为点的平均速度。
当 △t →0时，平均速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的速度。
即即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。
方向沿轨迹的切线方向。
3、点的加速度如图，动点M 在时间间隔△t 内速度矢量的改变量为 v v v则t v a表示动点的速度在时间间隔△t 内的平均变化率，称为平均加速度。
当△t →0时，平均加速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的加速度。
即r v dtv d t v a a t t00lim lim即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。
四、直角坐标法 1、点的运动方程At r vr dtr d t r v v t t00lim lim如图，在参考体上建立直角坐标系。
则 )(1t f x )(2t f y )(3t f z 这就是直角坐标形式的点的运动方程。
由运动方程消去时间t 可得两个柱面方程：0),(1 y x F 0),(2 z y F这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。
2、点的速度在直角坐标轴上的投影由图可知，动点的矢径为 将上式两边对时间求导，可得 将动点的速度表示为解析形式，则有比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影x dt dx v xy dt dy v y z dtdzv z 这就是用直角坐标法表示的点的速度。
即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。
3、点的速度在直角坐标轴上的投影 若已知速度的投影，则速度的大小为 222zy x vkz j y i x r kdtdz j dt dy i dt dx dt r d vk v j v i v v z y x其方向余弦为v z k v v y j v v xi v ),cos(),cos(),cos(4、点的加速度在直角坐标轴上的投影 由于加速度是速度对时间的一阶导数，则k dtdv j dt dv i dt dv k dt z d j dt y d i dt x d a z y x 222222将动点的加速度表示为解析形式，则有 k a j a i a a z y x比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影x dt x d dt dv a x x 22 y dt y d dt dv a y y 22 z dtzd dt dv a z z 22这就是用直角坐标法表示的点的加速度。
即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。
若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222z y x a a a a z y x 其方向余弦为a z k a a y j a a x i a ),cos(),cos(),cos(例1、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。
求小环M 的运动方程、速度和加速度。
解：建立如图所示的直角坐标。
则2cos 2sin R y R x即t R y tR x 2cos 2sin即为小环M 的运动方程。
t R xv x 2cos 2 t R y v y 2sin 2 故M 点的速度大小为 R v v v y x 222其方向余弦为 2cos ),cos(vv i v x2sin ),cos( v v j v yx t R v a x x 2242sin 4y t R v a y y 2242cos 4故M 点的加速度大小为 2224 R a a a y x且有 r j y i x j y i x a 22224)(444加速度的方向如图。
例2、半径为R 的圆轮在地上沿直线匀速滚动，已知轮心的速度为C v 试求轮缘上一点M 的运动方程﹑轨迹﹑速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动）解：建立直角坐标如图，0 t 时M 点位于O 点M 点的运动方程： sin R OP x 其中vt OP ，t Rv c即tR vR R y t R v R t v x C C C cos sin 轨迹为摆线（可演示轮子运动时，M 点的轨迹画出来） 速度：t R v v v xv C C C x cos t Rvv yv C C y sin 2sin 22sin 222C C C yx v t R v v v v v 2cos ,cos v v y v y 可知 PM v（如图） 当n 2 ,2,1,0 n 时， 即M 点接触地时 0 v加速度：t Rv R v x a CC x sint R v R v y a C C y cos 2R v a a a C yx 222 cos cos ,cos t Rv y a C即M 点的加速度大小为常量，方向恒指向轮心C本章介绍研究动点运动的三种方法，即矢径法、直角坐标法和自然法。
点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线，这条曲线成为点的运动轨迹。
点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。
当轨迹为圆时称为圆周运动。
点作运动就是点的位置随时间变化。
表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程，本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。
第三节 自然法重点：点的曲线运动的自然法，点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。
难点：矢量求导及自然轴系的概念。
自然坐标法 1、运动方程前提：点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定O 点，规定“+”，“-”M 点位置确定：弧坐标S设动点M 的运动轨迹如图。
当动点运动时，弧坐标随时间t 连续变化，且为时间t 的单值连续函数，即)(t f s这就是自然坐标形式的点的运动方程。
2、曲率和曲率半径图示空间曲线， 表明曲线在弧长M M s 内弯曲的程度。
(sk称为M M s 的平均曲率。
当M ′点趋近于M 点时，平均曲率的极限值就是曲线在M 点的曲率，即sk s 0limM 点曲率的倒数称为曲线在M 点的曲率半径，即s k 0lim 1 3、自然轴系如图。
由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。
且三个单位矢量满足右手法则，即n b自然轴系不是固定的坐标系。
4、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法 dsrd dt ds ds ds dt r d dt r d v由于ds r d v t sdt ds t 0lim ，所以 dtds v v 即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s 对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当dtds 为正时指向与相同，反之，与 相反。
)()5、用自然法表示点的加速度由点的加速度的矢径法 dtd vdt dv v dt d dt v d a)( 由于n v dt d， 所以 n v dt dv a 2 上式表明加速度矢量a 是由两个分矢量组成：分矢量dtdv a的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 n v a n2的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。
加速度在三个自然轴上的投影为s dtsd dt dv a 22 2v a n 0 b a全加速度位于密切面内，其大小为22222)()(v dt dv a a a n方向余弦为 a a a),cos(aa n a n ),cos( 例1、在曲柄摇杆机构中，曲柄OA 与水平线夹角的变化规律为24t，设cm O O OA 101 ，cm B O 241 ，求M 点的运动方程和s t 1 时M 点的速度和加速度（演示图中机构的运动可将B 点的轨迹画出来）解法1 自然坐标法B 点的运动方程 s 2324t B B D速度 t s v 6加速度 6 s a23243622222t t sa n4时s t 1 6 v 6 a 232n a 解法2 直角坐标法（坐标建立如图）O jB 点的运动方程：218cos 242cos24cos t B O x B218sin24sin t B O y B速度：t t x v B Bx28sin6t t y v BBy28cos 6 加速度：22228cos 238sin 6t t t x a BBx22228sin 238cos6t t t y a B By s t 1 时 8sin6Bx v 8cos 6Byv j i v8cos 68sin 68cos 238sin 62Bxa 8sin 238cos 62By a j a i a a Bx Bx例2、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。
求小环M 的运动方程、速度和加速度。
解：建立如图所示的自然坐标。
则点的自然坐标形式的运动方程为t R R s 2)2(速度为 R dtdsv 2加速度为 0 dtdva 2224)2( R R R v a n 例3、一点作平面曲线运动，其速度在x 轴上的投影始终为一常数C 。
试证明在此情形下，点的加速度的大小为C v a 3。