一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法

2x C 2y
2 xy Cy 2 y2
2 xy x2 y2 2y2
2 xy x2 y2
例外）。不被通解囊括的以及通解中的 任意常数取特定值后所得出的对应解称 为方程的特解。
可见，给定的表达式是给定方程的解；
由于表达式中仅含一个任意常数，个数
明显与方程的阶数（一阶）相等，故此
解是方程的通解。
(6) y 3xy 3x
全为一次的方程称为线性方程，否则称 为非线性方程。易见，简例唯有 (2) 是 非线性方程，剩下的都是线性方程。
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3. 常微方程的特解与通解 任何含自变量与因变量的表达式，若 能由之恒等地推出给定的常微方程时， 都称为该常微方程的解；解若含有任意
例1-1
验证方程
dy dx
e2xdy yd (e2x ) 0 ,
d ( ye2x ) 0 ,
故原方程的通解为
ye2x C 或者 y Ce2x . 12 y 15 y 0 的通解是？
5 x
Ans. y Ce 4 .
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例2-5 求一阶线性微分方程 y 1 y e x 满足初始条件 y(1) e xx
(2) y y tan x 0, dy y tan xdx 0, cos xdy y sin xdx 0； cos xdy yd(cos x) 0；
cos
xdy yd(cos cos2 x
x)
dx,
y
d( x) 0;
cos x
故方程的通解为
y xC cos x
即 y x cos x C cos x.
Q( x)dx
;
x
u
x
u
d( yea P(t)dt ) d(
x
e a
P(t
)dt
Q(u)du)
;
d ( yea P(t )dt
x
e a
P (t )dt
Q(u)du)
0
;
a
a
故方程的通解为
x
u
yea P(t )dt
x
e a
P(t
)dt
Q(u)du
C
.
a
x
u
y
e a
P(t )dt
[
x ea P(t)dtQ(u)du C ] . 参考课本P237公式(6)
x2 d( ) dy ;
y x2 d( y) 0 . y
故原方程的通解为
x2 yC
即
y
x2 y2 Cy .
非线性方程的通解（包括特解）
往往用隐函数的形式书写比较简洁。
有些非线性方程偶尔可经变元代换化 成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材 P236之例4与例5），但转换过程琐碎，明 显不如凑微分法来得直接和明快。
历经曲折求原函数的过程。因此，被
求出的特解和通解又常常被分别称做 微分方程的积分曲线和积分曲线族（
我们知道，同时含有因变量和自变量 的等式在解析几何中表示平面曲线）
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线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程
例2-4 解下列一阶线性齐次方程
(2) y 2 y 0,
ye x2 e x2 C 或者 y Cex2 1.
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*例2-7 求一阶线性微分方程 y y tan x cos x与 y y tan x 0 的通解。
解 (1) y y tan x cos x, dy y tan xdx cos xdx, cos xdy y sin xdx cos2 xdx； cos xdy yd(cos x) cos2 xdx；
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*例2-2 求一阶非线性微分方程
的通解。 解
dy
y2
dx xy x2
dy
y2
dx xy x2 ,
( xy x2 )dy y2dx ;
xydy y2dx x2dy ,
可见，
x2 xdy ydx dy ;
y
xdy ydx dy
x2
; y
d( y ) d(ln | y |) ; x
2 xy x2 y2
的通解
是 x2 y2 Cy .
证
x2 y2 Cy ,
2xdx 2 ydy Cdy ,
常数、且不能合并的任意常数的个数恰
(C 2 y)dy 2xdx ,
好等于方程的阶数时称为方程的通解。
常微方程的通解多数都能囊括方程的 所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有
dy dx
Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）
------ Francis Hutcheson（哈奇森）
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一 二 三
四
五
专题
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1. 何谓常微分方程
2. 常微方程分类命名法
含一元未知函数的导函数或因变量 常微方程按其内所含未知函数的最高
在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下 半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓 越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、 纯粹和专有的功绩，那就正在这里。
─F. 恩格斯
英国数学家Newton 德国数学家 Leibniz
微积分学创始人
The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions. （教育的真正目 的是使人处于不断发问的状态）
在极理想的情况下，原方程有可能被 重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
若 f ( x)dx g( y)dy,
则 d
x
f (t)dt d
y
g(t )dt ,
0
0
通解即
x
f (t)dt
y
g(t )dt C .
0
0
解微分方程的过程，本质上是
的特解。
解
y 1 y ex ,
xx
xy y e x ,
xdy ydx e xdx； d ( xy) d (e x ),
d( xy e x ) 0 ;
又 y(1) e, 亦即 e y(1) e C, C0,
故欲求的特解为 xy e x 0 或者 y 1 e x . x
cos
xdy yd(cos cos2 x
x)
0,
y
d( ) 0;
cos x
故方程的通解为 y C
cos x
即
y C cos x.
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**例2-8 求一阶线性微分方程 y P( x) y Q( x) 的通解，其中P，Q 都是
x 的连续函数。
解
y P( x) y Q( x) , dy p( x) ydx Q( x)dx ,
积函数的某个原函数而非全体原函数。
显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述
采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。
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**例2-9 求一阶线性微分方程
( y x)dy ( x y)dx 0 的通解。
解 ( y x)dy ( x y)dx 0 ,
的微分以及自变量的微分的等式称为 阶数来分类并命名。最高阶数是几，方
常微分方程；含多元未知函数的偏导 程就被称为几阶方程。
数或因变量的微分及其多个自变量的 显然，简例中阶数最高的方程是 (5)，
的微分的等式称为偏微分方程。 为三阶方程；其次是(4)，为二阶方程（
本章只讨论常微方程。简例如下： 它们统称为高阶方程）。剩下的方程全
------ Mandell Creighton（克莱顿）
Brevity is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂） ------ William Shakespeare（莎士比亚）
Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）
(1) y 1 y 0 x
*(2) y 2 y 0
dy 2 ydx 0 , dy yd(2x) 0 ,
解 (1)
y 1 y 0 x
xy y 0 ,
xdy ydx 0 ,
d( xy) 0 ;
故原方程的通解为 xy C 或者
yC. x
方程两边同乘以 e2x得 e2xdy ye2xd (2x) 0 ,
（本例即教材P236之例4）
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例2-3 求一阶线性微分方程
的通解。 解
1
x2dy e x dx
1
x2dy e x dx,
dy
1 x2
1
e x dx
e
1 x
d
(
1)
d
(e
1 x
),
x
1
d( y e x ) 0,
故
1
1
y e x C, y e x C.
凑微分法解一阶微分方程时， 只要可能，应坚持因变量按因变量凑， 自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。
e x2 dy yd(e x2 ) e x2d( x2 )； d( yex2 ) d(ex2 ), d( ye x2 e x2 ) 0;
又 y |x0 0, 即 0 y(0) C 1, C 1 , 故原方程欲求的特解为 ye x2 e x2 1 或者 y ex2 1.
故方程的通解为
故方程的通解为 xy e x C 亦即