高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线
一、知识结构
1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0；
点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0
两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则
f1(x0,y0)=0
点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?
f2(x0,y0) =0
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆
圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.
圆的方程： (1)标准方程
圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是
(x-a)2+(y-b)2=r 2
圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是
x 2+y 2=r 2
(2)一般方程
当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程
x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2
E ），半径是24
F -E D 22 .配方，
将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为
(x+2D )2+(y+2
E )2=44
F -E D 22+
当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点
(-2D ,-2
E
); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则
｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内，
其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法
(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=2
2
C Bb Aa B
A +++与半
径r 的大小关系来判定.
3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识
椭 圆 双曲线 抛物线
轨迹条件
{M ｜｜MF 1｜+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}
{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.
{M ｜ ｜MF ｜=点
M 到直线l 的距
离}. 圆 形
标准方程
2
2a x +22
b y =1(a ＞b ＞0)
2
2a
x -22
b y =1(a ＞0,b ＞0)
y 2=2px(p ＞0)
顶 点
A 1(-a,0),A 2(a,0);
B 1(0,-b),B 2(0,b )
A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)
轴
对称轴x=0,y=0
长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴
长：2b 对称轴y=0
焦 点 F 1(-c,0),F 2(c,0
)
焦点在长轴上
F 1(-c,0),F 2(c,0)
焦点在实轴上
F(2
P
，0) 焦点对称轴上
焦 距 ｜F 1F 2｜=2c ， ｜F 1F 2｜=2c,
曲
线 性 质
4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e 称为离心率.
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线
5.坐标变换
坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.
坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则
x=x′+h x′=x -h (1) 或(2)
y=y′+k y′=y -k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.
方 程
焦 点
焦 线
对称
轴
椭圆
22h)-(x a +22
k)-(y b
=1 (±c+h,k) x=±c a 2+h
x=h y=k 22
h)-(x b +2
2k)-(y a
=1
(h,±c+k) y=±c
a 2
+k
x=h y=k 双曲线
22h)-(x a -22
k)-(y b
=1 (±c+h,k) =±c a 2+k
x=h y=k 2
2k)-(y a -22
h)-(x b
=1 (h,±c+h) y=±c a 2+k x=h y=k 抛物(y-k)2=2p(x-h) (2p
+h,k) x=-2
p +h
y=k