数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法

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郑州大学研究生2011-2012学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§8.2 欧拉(Euler)法
通常取 xi+1 − xi = hi = h (常数),则Euler法的计算格式
⎧ ⎨ ⎩
yi+1 = yi + y0 = y(x0 )
hf
(
xi
,
yi
)
i=0,1,…,n
解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要 f (x, y)
在[a, b] × R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使
| f (x, y1)− f (x, y2)| ≤ L| y1 − y2 |
对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存 在唯一解。
∵
y n +1
=
yn+Fra bibliotekh[ 2
f
(xn ,
yn ) +
f (x, y) = − y ∴
f (xn+1 , yn+1 )]
yn+1
=
yn
+
h 2
[−
yn
− yn+1]
整理成显式
y n +1
=
⎜⎛ ⎝
2 2
− +
h h
⎟⎞ ⎠
y
n
反复迭代,得到
y n+1
=
⎜⎛ ⎝
2 2
− +
h h
⎟⎞ ⎠
y
n
=
⎜⎛ 2 − h ⎟⎞ 2 ⎝2+h⎠
§8.2 欧拉(Euler)法
整体截断误差
记en+1 = y(xn+1) − yn+1.
因为计算 yn+1 时, 用到的y1, y2,",yn是 y(x1), y(x2 ),",
y(xn ) 的近似值,每步产生的误差会累积到计算y(xn+1)的误差
中,因此 en+1 与 y1, y2,",yn 都有关,称为整体截断误差.
≤| y(xn ) − yn | +hL | y(xn ) − yn | (李普希兹条件)
≤ (1+ hL) | en | .
(4)
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记
T
=
max k
| Tk
|, 将(4)代入(3)得
| en+1 |≤ T + (1+ hL) | en |
公 式
Tn+1
=
y(xn+1) −
yn+1
=
−
h2 2
y′′(xn ) + O(h3)
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若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差 的主要部分/*leading term*/
而获得更高的精度,称为梯形法
郑州大学研究生课程 （2011-2012学年第一学期）
数值分析 Numerical Analysis
习题课 第八章 常微分方程数值解法
一、要点回顾
待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
⎪⎧ dy = f ( x, y) x ∈[a, b] ⎨ dx ⎪⎩ y(a) = y0
h2 2
y′′(ξn )
(1)
假定已知准确值 y(xn ),利用欧拉公式(8.2)，定义
yn+1 y(xn ) + h f (xn , y(xn ))
(2)
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§8.2 欧拉(Euler)法
局部截断误差
| en+1 |=| y(xn+1) − yn+1 |≤| y(xn+1) − yn+1 | + | yn+1 − yn+1 |
≤| Tn+1 | + | yn+1 − yn+1 | .
(3)
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§8.2 欧拉(Euler)法
( 8.2 )
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§8.2 欧拉(Euler)法
(1) 用差商近似导数
y′(xn) = f (xn, y(xn))
y′(xn) ≈
y(xn+1) − h
y( xn )
y(xn+1) − h
y( xn )
≈
f
梯形 公式
欧拉法小结
公式
局部截断误差
( ) h2 y(2)
2
xn
− h2 2
y(2)
( xn )
( ) h3 y(3)
3
xn
精显稳 度 隐 定 步数
性 1阶 显 差 单步
1阶 隐 好 单步
2阶 隐 好 单步
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例8.2.3
对初值问题
⎧ ⎨ ⎩
y′ + y (0 )
y= =1
0
证明用梯形公式求得的近似解为
yn
=
⎜⎛ 2 − ⎝2+
h ⎟⎞ n h⎠
并证明当步长h→0时,yn收敛于精确解 e − x
证明: 解初值问题的梯形公式为
§8.3 改进欧拉(Euler)方法
先用欧拉公式(8.2)求出一个初步的近似值 y n +1 ,称为预测值, 它的精度不高, 再用梯形公式对它校正 一次,即迭代一次,求得yn+1,称为校正值, 这种预测-校 正方法称为改进的欧拉公式：
⎧ ⎨ ⎩
yn+1 y0 =
= yn + y(a)
hf
(
xn+1,
yn+1
)
向后Euler方法
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§8.2 欧拉(Euler)法
∫ ∫ （2）用数值积分方法
xn+1 y′( x)dx = xn+1 f ( x, y( x))dx
−
y(
xn
)
≈
h 2
f (xn, y(xn))+
f (xn+1, y(xn+1))
[ ] ⎪⎧
⎨
yn+1
≈
yn
+
h 2
f (xn, yn ) + f (xn+1, yn+1)
⎪⎩ y0 = y(a)
梯形欧拉公式
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( xn ,
y( xn ))
y(xn+1) ≈ y(xn) + hy′(xn) = y(xn) + hf (xn, y(xn))
⎧ ⎨ ⎩
yn+1 y0 =
= yn + y(a)
hf
(
xn
,
yn
)
差分方程初值问题 向前Euler方法
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≤ T + (1+ hL)[T + (1+ hL) | en−1 |]
≤ T + (1+ hL)T + (1+ hL)2 | en−1 |≤ "
≤ T + (1+ hL)T + (1+ hL)2T +" + (1+ hL)nT
+ (1+ hL)n+1 | e0 |
≤ (1+ hL)n+1 −1T = (1+ hL)n+1 −1 O(h2 )
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§8.2 欧拉(Euler)法
欧拉方法的收敛性
定义 若给定方法的局部截断误差满足 | Tn+1 |= O(h p+1),
则称该方法是 P 阶的，或称为具有 P 阶精度。
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§8.2 欧拉(Euler)法 向后欧拉公式
由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公 式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式 得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公 式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。
欧拉方法的收敛性
对yn+1, yn+1应用欧拉公式(8.2)得