四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试 数学文(2013资阳一诊)

22． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) = a( x − 1)2 + ln x + 1 ． 1 （Ⅰ）当 a = − 时，求函数 f ( x) 的极值； 4 （Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上是减函数，求实数 a 的取值范围； ⎧ x ≥ 1, （Ⅲ）当 x ∈ [1, +∞) 时，函数 y = f ( x) 图象上的点都在 ⎨ 所表示的平面区域内，求实数 a ⎩y − x ≤ 0 的取值范围．
21． （本小题满分 12 分） 设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) =
3 2 图象上任意两点，且 − x 2 2 + 2
x1 + x2 = 1． （Ⅰ）求 y1 + y2 的值；
1 2 n （Ⅱ）若 Tn = f (0) + f ( ) + f ( ) + ⋯ + f ( ) （其中 n ∈ N* ） ，求 Tn ； n n n 2 （Ⅲ）在 （Ⅱ）的条件下，设 an = （ n ∈ N* ） ，若不等式 an + an +1 + an + 2 + ⋯ + a2n − 1 ＞ log a (1 − 2a ) Tn 对任意的正整数 n 恒成立，求实数 a 的取值范围．
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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项： 1．第Ⅱ卷共 2 页，请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上． 2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分． 把答案直接填在题目中的横线上． 13．若 sin α = 3 ， α 是第二象限的角，则 tan α = _______． 5
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资阳市高中 2013 级诊断性考试
数 学（文史财经类 ）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．第 Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页． 全卷共 150 分，考试时间为 120 分钟．
第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分）
19 ． （本 小题 满分 12 分） 在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别 为内 角 A 、 B 、 C 的对 边，且 满足
sin 2 (π + B) + sin 2 C − cos 2(
π + A) = sin B sin(π −C ) . 2
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若 b = 4 、 c = 5 ，求 sin B ． 20． （本小题满分 12 分）函数 f ( x) = m + log a x （ a > 0 且 a ≠ 1 ）的图象过点 (8, 2) 和 (1, −1) ． （Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式； （Ⅱ）令 g ( x) = 2 f ( x) − f ( x − 1) ，求 g (x ) 的最小值及取得最小值时 x 的值．
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第 Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|－2＜x＜2}，集合 B ={x|1＜x＜3}，则 A ∩B＝ （A）{x|－2＜x＜1} 2．函数 f ( x) = （A） (1, +∞) （B ）{x |1＜x ＜2} （C ）{x |－2＜x ＜3} （D）{x|2＜x＜3}
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18． （本小题满分 12 分） 命题 p : 实数 x 满足 x − 4ax + 3a < 0 （其中 a > 0 ） ；命题 q : 实数 x 满 ⎧| x − 1|≤ 2, ⎪ 足⎨ x+3 ≥ 0. ⎪ ⎩x −2 （Ⅰ）若 a = 1 ，且 p ∧ q 为真，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）若 ¬p 是 ¬ q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
资阳市高中 2013 级诊断性考试
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数学（文史财经类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分． 1－5. BDCAC ；6－10.DBACB ；11－12.CB. 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分． 3 13． − ； 14．8； 15． (−1, 3) ； 16．①③． 4 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分． 17．解析： （Ⅰ）设数列 {an } 的公差为 d，依题意得： ⎧ a1 + d = 3, ⎧ a = 1, ⎪ 解得 ⎨ 1 ∴数列 {an } 的通项公式 an = 2n − 1 ．················· 4 分 ⎨ 15 ×14 15a1 + d = 225, ⎩ d = 2, ⎪ ⎩ 2 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 bn = ∴ Tn = b1 + b2 +⋯ + bn = = 1 n × 4 − 2n ， 2 1 (4 + 4 2 + ⋯ + 4 n ) − 2(1 + 2 + ⋯+ n) ···································· 6 分 2
（D）128 π 11 ． 函 数 f ( x) = sin 2 x + 2 3 cos 2 x − 3 ， 函 数 g ( x) = m cos(2 x − ) − 2m + 3 ( m > 0) ， 若 存 在 6
π x1 , x2 ∈[0, ] ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，则实数 m 的取值范围是 4
x 的定义域为 x −1
（B ） [0, +∞) （C ） (−∞,1) ∪ (1, +∞) （D） [0,1) ∪ (1, +∞) i(1 + i) 3．设 i 是虚数单位，复数 = 1− i （A） −1 + i （B ） 1 − i （C ） −1 （D）1 1 1 4．函数 f ( x) = xα 的图象过点 ( , ) ，则 f [ f (9)] = 4 2 1 3 （A） 3 （B ）3 （C ） （D） 3 3 5．命题 p： ∀x ∈ (−∞, 0] ， 2 x ≤ 1，则 （A）p 是假命题； ¬p : ∃x0 ∈ (−∞, 0]， 2 x 0 > 1 （B ）p 是假命题； ¬p : ∀x ∈ (−∞, 0] ， 2 x ≥ 1 （C ）p 是真命题； ¬p : ∃x0 ∈ (−∞, 0] ， 2 x 0 > 1 （D）p 是真命题； ¬p : ∀x ∈ (−∞, 0] ， 2 x ≥ 1
4 n+ 1 − 4 2 2 − n2 − n = × 4n − n2 − n − ．································································ 12 分 6 3 3
18．解析： （Ⅰ）由 x 2 − 4ax + 3a 2 < 0 得 ( x − 3a)( x − a) < 0 ，又 a > 0 ，所以 a < x < 3a ， 当 a = 1 时，1< x < 3 ，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x < 3 . ························· 2 分 ⎧| x − 1|≤ 2, ⎧ −1 ≤ x ≤ 3, 由⎪ 得⎨ 解得 2 < x ≤ 3 ， ⎨ x+3 ≥ 0, ⎩ x ≤ −3或x > 2, ⎪ ⎩x −2 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 < x ≤ 3 . ···························································· 4 分 若 p ∧ q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是 (2, 3) . ····························6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 p： a < x < 3a ，则 ¬p ： x ≤ a 或 x ≥ 3a ，································· 8 分
π 6．为了得到函数 y = sin(2 x + ) 的图象，只需把函数 y = sin 2 x 的图象 6 π π （A）向左平移 个长度单位 （B ）向右平移 个长度单位 6 6 π π （C ）向右平移 个长度单位 （D）向左平移 个长度单位 12 12
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7．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 ab = 1，则函数 f ( x) = a 与函数 g ( x) = − log b x 的图象可能是
8．已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数列，且 a1 ， a3 ， a2 成等差数列，则 q＝ （A）1 或 − 1 2 （B ）1 （C ） − 1 2 （D）－2
（A） (0,1] （B ） [1, 2] 2 （C ） [ , 2] 3 2 4 （D） [ , ] 3 3
12．已知函数 y = f ( x)( x ∈ R) 满足 f ( x + 2) = f ( x) ，且当 x ∈ (−1,1]时， f ( x) =| x | ，函数 g ( x) ＝ ⎧sin π x, x > 0, ⎪ 则函数 h (x ) = f (x ) − g (x ) 在区间 [−5, 5] 上的零点的个数为 ⎨ 1 − , x < 0, ⎪ ⎩ x （A ）8 （B）9 （C）10 （D）11